1) co so cua KGVT

§4 CƠ SỞ CỦA KGVT I Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở Tọa độ vectơ sở II Cơ sở không gian Khái niệm sở khơng gian Tìm sở không gian I Khái niệm sở không gian vectơ Định nghĩa sở KGVT Định nghĩa: Cơ sở R hệ véc tơ thỏa mãn hai điều kiện: + Số véc tơ số chiều (= n) + Độc lập tuyến tính Nhận xét: Trong hệ véc tơ từ n+1 vectơ trở lên phụ thuộc tuyến tính ⟹ Trong khơng gian vectơ sở hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại (có số vectơ lớn nhất) Ví dụ 1: Cho hệ véc tơ n chiều , ,…, ∈ tơ CMR tồn véc biểu diễn tuyến tính cách qua , ,…, , ,…, hệ véc tơ sở Ví dụ 2: Trong = = cho hệ véc tơ: , ,…, , ,…, Hệ véc tơ đơn vị ……………… = ( , ,…, ) Hệ véc tơ đơn vị có sở Trả lời: ???? Có ? Ví dụ 3: Trong khơng gian hệ vectơ sau có sở hay khơng? = ,− , = − , , = , ,− Giải: + Hiển nhiên: Số véc tơ = số chiều (= 3) , + Kiểm tra ⋄ Xét: , + Đ + ? = ⋄ Thay số ta được: Đây hệ có ma trận hệ số là: Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam , giác nên hệ véc tơ Do đó, hệ véc tơ , , , ĐLTT sở ∎ Tọa độ vectơ sở Trước tiên ta có kết sau: Định lý: Trong không gian vectơ , trước sở vectơ X ∈ ,…, cho Khi đó, biểu diễn tuyến tính cách qua sở Tức là, tồn n số có thứ tự: ( Sao cho: = , ,…, + ) +⋯+ 10 Thật vậy, giả sử có hai biểu diễn: = + + …+ (1) = + + …+ (2) Trừ (1) (2) theo vế ta được: ( − ) Do , +( ,…, − ) +…+( − ) =0 ĐLTT nên hệ số đồng thời 14 Tức ta có: − = − =⋯= − =0 Từ đây, suy hai biểu diễn (1) (2) trùng ∎ 15 Định nghĩa: Bộ gồm n số thực có thứ tự ( , ,…, ) Định lý gọi tọa độ vectơ X sở , ,…, Thường ký hiệu là: [ Như vậy, [ … … ] =( ] =( , ,…, , ,…, ) )⟺ 16 ⟺ = + + ⋯+ Bài toán: “Hãy tìm tọa độ véc tơ X sở cho trước , ,…, ” Nhận xét: Đây thực chất toán biểu diễn véc tơ X qua hệ véc tơ , ,…, cho trước (đã học rồi) (Chỉ có điều tốn ln có nghiệm nhất) 17 Ví dụ: Tìm tọa độ véc tơ = ( ,− , ) sở: = ( , ,− ) = , , = , , Giải: ∘ Giả sử, = + + 18 Thay số ta được: ∘ Đây hệ PT tuyến tính có ma trận mở rộng là: 19 ∘ Viết lại hệ giải: 20 ∘ Ta có hệ: + − = = − = − + − ∘ Giải hệ thu nghiệm nhất: ( Đs: =− =− , + = , =− ) − 21 II Cơ sở không gian con: Định nghĩa: Cơ sở không gian , hệ vectơ ,…, thỏa mãn hai điều kiện sau: + , ,…, Độc lập tuyến tính + Mọi vec tơ tính qua , ∈ ,…, biểu diễn tuyến 22 Ví dụ: Trong không gian xét tập hợp véc tơ chiều: = ( , , ) −2 −3 =0 ⊂ a) CMR: L không gian b) Hãy tìm sở Giải a) Ai giải được? 23 b) Để tìm sở L ta xuất phát từ điều kiện thứ định nghĩa: Lấy véc tơ L: =( , , ) ∈ , ta có: ⟹ =2 +3 ⟹ = (2 +3 , ⟹ = , (Rút , −2 theo ) , + (3 , 0, ) −3 , =0 ) Tách biến 24 ⟹ = , , ⟹ = + + , , Như vậy, + X biểu diễn tuyến tính qua + Vậy , , ĐLTT , sở L ∎ 25 Nhận xét 1: Một không gian có nhiều sở khác nhau, nhiên số véc tơ sở Hãy chứng minh kết ? Định nghĩa: Số véc tơ sở KGC L gọi số chiều L Ký hiệu là: dim L 26 Chẳng hạn: Với KGC = ( , , ) − − = Ở ví dụ thì: dim L = Nhận xét 2: + Trong KGC r chiều (dimL= r) hệ véc tơ có số véc tơ lơn r PTTT (số chiều KGC số véc tơ ĐLTT cực đại) 27 + Nếu cho trước sở KGC L , ,…, véc tơ X L biểu diễn tuyến tính cách qua sở đó: = + + ⋯+ ………………28……………… 28