Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 16 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
I Các mệnh đề tính chât thường dùng 1) cho phương trình f ( x) = g ( x) xác định ( a; b ) Nếu hai hàm số f ( x) g ( x) hàm đơn điệu, hàm lại hàm số đơn điệu ngược lại với hàm phương trình có nghiệm nghiệm 2)Nếu hàm số f ( x) đơn điệu D tồn u, v ∈ D cho f (u ) = g (v) u = v II Các phương pháp giải Dạng 1: Phương trình cho biến đổi dạng f ( x) = g ( x) (hoặc f (u ) = g (u ) u = u ( x) ) Bước 1: Biến đổi phương trình dạng f ( x) = g ( x) (hoặc f (u ) = g (u ) ) Bước 2: Xét hàm số y1 = f ( x); y2 = g ( x) D -Tính y1 ' , xét dấu y1 ' , kết luận tính đơn điệu hàm số y1 = f ( x) D -Tính y2 ' , xét dấu y2 ' , kết luận tính đơn điệu hàm số y2 = g ( x ) D Kết luận hai hàm số y1 = f ( x); y2 = g ( x) đơn điệu ngược môt hai hàm hàm số -Tìm x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) (hoặc tìm u0 ch f (u0 ) = g (u0 ) Bước 3: Kết luận -Phương trình có nghiệm x = x0 (hoặc u = u0 giải phương trình u = u0 ) - Kết luận nghiệm phương trình cho Dạng 2: Phương trình cho biến đổi dạng f (u ) = f (v ) u = u ( x) , v = v( x) Bước 1:Biến đổi phương trình dạng f (u ) = f (v) Bước 2: Xét hàm số y = f ( x) D -Tính y ' , Xét dấu y' - Kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x) D Bước 3: Kết luận -Phương trình cho có nghiệm u = v , giải phương trình u = v - Kết luận nghiệm phương trình cho III Các dạng toán cụ thể: A CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ: VD 1: Giải phương trình : x − + x − + x = (1) Nhận xét Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ ta thấy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm ,đây điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải: Đk: x ≥ ,Đặt f(x)= x − + x − + x 15 x 2 1 + >0 ∀ x ∈ ( ; +∞) nên hàm số đồng biến ∈ [ ; +∞) 3 5 x − 3 (2 x − 1) Mà f(1)=4 nên x=1 nghiệm f (x)= = ’ + VD 2: Giải phương trình x + + x + + x − = (1) Giải: TXĐ: D = [ ; + ∞ ) Xét hàm số f ( x) = x + + x + + x − Trên D = [ ; + ∞ ) Đạo hàm f '( x ) = 1 + + > 0, ∀x ∈ D x +1 x + x − Vậy f ( x) đồng biến D Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thây f(3) = Vậy phương trình có nghiệm x = VD : Giải phương trình : x + x + x + 16 − − x = Giải: Nhận xét : Bài tốn gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện x + x + x + 16 ≥ ( x + 2)(2 x + x − 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ Đk: 4 − x ≥ 4 − x ≥ Đặt f(x) = x + x + x + 16 − − x , f’(x)= 3( x + x + 1) x + x + x + 16 Nên hàm số đồng biến ,f(1)= nên x=1 nghiệm VD 4: Giải phương trình + > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 4− x x − − x = − x (1) Giải: TXĐ: D = [ 0; +∞ ) (1) ⇔ x − − x + x = Xét hàm số f ( x) = x − − x + x Trên D = [ 0; +∞ ) 1 + > 0; ∀x ≠ 0;1 Đạo hàm f '( x) = x + 3 (1− x) Vậy f ( x) đồng biến D Nên phương trình (1) có nghiệm nghiệm Ta thây f(1) = Vậy phương trình có nghiệm x = VD : Giải phương trình x + x3 − − x + = ( ĐH Ngoại thương 2000) Giải: Đặt f(x) = x + x − − x + , x ≤ 3 ' > 0∀x < ta có f ( x) = x + x + − 3x VD 6: Giải phương trình x + 15 = 3x − + x + Giải: xét f(x)= x − + x + − x + 15 = 2 ⇒ x − ≤ 0, x + − x + 15 < Vì ∀x ≤ khơng nghiệm 3 ' − > Vậy f(x) đồng biến x > ,f(1)=0 Nếu x > , f ( x ) = + x ÷ 3 x + 15 x +8 Nên x=1 nghiệm phương trình Nếu x≤ ,f(-1) =0 nên x=-1 nghiệm Vậy f(x) đồng biến với x ≤ VD :Giải phương trình : x3 − x + x3 − x + = x + + x + (1) Giải: Biến đổi (1) ⇔ x − x + + x − x + = x + + x + (1) Xét hàm số f(t)= t + t R, ta có f’(t)= + > 0, ∀t ∈ R \ { 0} ⇒ hàm số đồng biến R t 1 ± (1) ⇔ f(2x3-3x+1)=f(x2+2) ⇔ 2x3-3x+1= x2+2 ⇔ (2x+1)(x2-x-1)=0 ⇔ x ∈ − ; Nhận xét: Bài toán giải dựa vào tính chất sau hàm số : f(t) đơn điệu f(t1)=f(t2) ⇔ t1=t2 Tuy nhiên tốn trước áp dụng tính chất vào giải phương trình người giải tốn cần phải biến đổi ,lột bỏ nguỵ trang tốn ,đưa dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng cơng cụ giải tốn Muốn làm tốt điều người thầy phải thường xuyên trọng việc bồi dưỡng tư hàm cho học sinh Để khắc sâu điều ta xét thêm số ví dụ sau: VD 8: Giải phương trình: (4 x + 1) x + ( x − 3) − x = (1) Giải: Điều kiện x ≤ (1) ⇔ (2 x)3 + x = ( − 2x ) + − x (2) Xét hàm số f(t)=t3+t ( t ≥ ) ; f '(t ) = 3t + > 0; ∀t ≥ hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) x ≥ −1 + 21 ⇔x= (2) ⇔ f (2 x) = f ( − x ) ⇔ x = − x ⇔ 4 x + x − = −1 + 21 Vậy nghiệm phương trình x = ) ( ( ) 2 VD 9: Giải phương trình: ( x + 1) + x + x + + x + x + = (1) Giải: TXĐ: D = R ( (1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( ) ( + = ( −3 x ) + ) ( −3x ) ) + (2) Xét hàm số f (t ) = t + t + D = R t2 Đạo hàm f '(t ) = + t + + t2 + Vậy hàm số đồng biến D = R > ∀t ∈ R Để (2) xảy f (2 x + 1) = f ( −3 x) ⇔ x + = −3 x ⇔ x = − Vậy nghiệm phương trình (1) x = − 5 VD10: Giải phương trình x + 3x + x + = ( x + ) 3x + (1) Giải: TXĐ: D = − ; +∞ ÷ (1) ⇔ ( x + 1)3 + x + = ( ) 3 x + + 3x + (2) Xét hàm số f (t ) = t + t D = [ 0; +∞ ) Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0; ∀t ∈ D Vậy hàm số đồng biến D x = Để (2) xảy f ( x + 1) = f ( x + 1) ⇔ x + = x + ⇔ x =1 x = Vậy nghiệm phương trình x = VD11: Giải phương trình x + = x − x − (1) Giải: (1) ⇔ x + = x − x − ⇔ x + + x + = (2 x) + x (*) Xét hàm số f(t)=t3+t dễ thấy f(t) đồng biến nên (*) ⇔ f( x + )=f(2x) ⇔ x + = x ⇔ x = x + ⇔ x − 3x = (1) Nếu |x|>1 | x3 − 3x |=|x|| x − | > (1) vô nghiệm Nếu x ≤ đặt x=cost t ∈ [ 0; π ] phương trình trở thành 1 π 2π ⇔ cos3t = ⇔t =± +k 4cos3t-3cost = chọn nghiệm khoảng t ∈ [ 0; π ] ta 2 π 5π 7π t = ,t = ,t = có nghiệm từ suy ngiệm phương trình 9 π 5π 7π x = cos ; x = cos ; x = cos 9 Nhận xét : Nhiều phương trình vơ tỷ giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đưa hệ phương trình ,từ vận dụng hàm số để giải VD12: Giải phương trình : x3 − x − 5x + = x + x − Giải: Đặt y= x + x − 4 x − x − x + = y x − x − x + = y ⇔ Ta có 3 7 x + x − = y ( x + 1) + x + = y + y Xét hàm số f(t)=t3+t, f’(t)=3t2+1>0 ∀t ∈ R hàm số đồng biến nên ta có y=x+1 −1 ± ⇔ x − x − x + = o ⇔ x ∈ 5; VD13:Giải phương trình x − 15 x + 78 x − 146 = 10 x − 29 Giải: Đặt y = x − 29 ⇔ y = x − 29 x − 15 x + 78 x − 146 = 10 y ⇒ y + 10 y = ( x − ) + 10 ( x − ) (1) ta có hệ phương trình 7 x − 29 = y Xét hàm số f(t)=t3+10t, (t ∈ R ) f’(t)=3t2+10>0 ∀t ∈ R hàm số đồng biến nên ta có x = (1) ⇔ f ( y ) = f ( x − ) ⇔ y = x − ⇔ x − 29 = x − ⇔ x − 15 x + 68 x − 96 = ⇔ x = x = x = Vậy phương trình có nghiệm x = x = VD14: Giải phương trình 81x − = x − x + x − (1) Giải: (1) ⇔ 27 x − 54 x + 36 x − 54 = 27 81x − Đạt y = 81x − ⇔ y = 81x − 3 27 x − 54 x + 36 x − 54 = 27 y ⇒ ( x − ) + 27 ( x − ) = y + y (2) Vậy ta có hệ phương trình 81x − = y Xét hàm số f (t ) = t + t t ∈ R Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R (2) ⇔ f (3 x − 2) = f ( y ) ⇔ x − = y ⇔ x − = 81x − ⇔ 27 x − 54 x − 45 x = x = ⇔ x = ± x = phương trình có ba nghiệm 3± x= VD15: Giải phương trình : x3 − 10 x + 17 x − + x x − x3 = (1) Giải: TXĐ: D = R Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình Xét x ≠ (1) ⇔ − 10 17 + − + − = x x x x Đặt t = ; ( t ≠ ) x Ta phương trình : 8t − 17t + 10t − = 5t − ⇔ ( 2t − 1) + ( 2t − 1) = ( 5t − 1) + 5t − (2) 3 Xét hàn số f ( a ) = a + 2a D = R \ { 0} Đạo hàm f ' ( a ) = 3a + > 0; ∀a ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) Vậy hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ∪ ( 0; +∞ ) t = 17 + 97 x= 12 17 + 97 ⇔ Để (2) xảy f (2t − 1) = f ( 5t − 1) ⇔ 2t − = 5t − ⇔ t = 16 17 − 97 x= 17 − 97 12 t = 16 17 + 97 x = 12 Vậy nghiệm phương trình 17 − 97 x = 12 VD 16 : Giải phương trình ( x + ) ( x − 1) − x+6 = 4− ( x + ) ( x − 1) + x+2 Giải: Viết lại phương trình dạng sau 2x −1 − x+2 + x+6 = Đk: x ≥ ( )( ) Nhận thấy x − − >0 ⇔ x >5 hàm g(x)= x − − , h(x) = x + + x + dương đồng biến với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 nghiệm B.CÁC BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGA RÍT: VD1 Giải phương trình: e x −5 − e x −1 = − 1 + x −1 2x − Giải 2 x − ≠ x ≠ ⇔ Điều kiện : x −1 ≠ x ≠ x −5 − Viết lại phương trình dạng : e t Xét hàm số f (t ) = e − 1 = e x −1 − (1) 2x − x −1 t TXĐ: D = R \ { 0} > 0, ∀x ∈ D x2 Hàm số đồng biến D x Đạo hàm f '( x) = e + Để (1) xảy ⇔ f ( x − ) = f ( x − 1) ⇔ x − = x − 2 x − = x − x = ⇔ ⇔ 2 x − = − x + x = Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 x=4 VD2 Giải phương trình: x −1 − x −x = ( x − 1) (1) Giải TXĐ: D = R Trên D (1) ⇔ 2 x −1 + x − = x − x + x − x Xét hàm số f (t ) = 2t + t (t ∈ R) Đạo hàm f ’(t ) = t ln2 + > 0 ∀ t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến R Để (1) xảy ⇔ f(x - 1) = f(x2 - x) ⇔ x - = x2 - x ⇔ x2 - 2x + = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiêm x=1 VD3 Giải phương trình: 1− x 1− x −2 x2 x2 = 1 (1) − x Giải TXĐ D = R \ { 0} (1) ⇔ 1− x x2 − x2 + ÷= 2 x t Xét hàm số f (t ) = + 1− x x2 1− 2x + ÷ (2) 2 x t > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến tren R t Đạo hàm f '(t ) = ln + x = − x2 − 2x − x2 1− 2x ⇔ = ⇔ ) = f ( ) 2 x x x x x = Vậy nghiệm phương trình x=2 Để (2) xảy f ( x x VD4.Giải phương trình: = ( x − x + 1) (1) Giải TXĐ D = R (1) ⇔ 22 x − x = x − x + Đặt 2x2 – x = t (t ≥ − ) (1)trở thành: 2t = t + ⇔ 2t − t − = (3) Xét hàm số f(t) = 2t − t − Đạo hàm f '(t ) = 2t ln − f ''(t ) = 2t ln 2 > Vậy hàm số f(t) lõm R ⇒ f (t ) = có nhiều hai nghiệm t = ta thấy t = x = x = 2 x − x = ⇔ Vậy x = 2 x − x = x = − x = x = Vậy phương trình (1) có nghiệm x =1 x = − VD5.Giải phương trình: 3x.2 x = 3x + x + (1) Giải TXĐ: D = R x (1) ⇔ ( x − 1) = x + (2) Ta thấy x = khơng phải nghiệm phương trình (2) ⇔ 3x = 2x +1 (3) 2x −1 Đặt f ( x ) = 3x g ( x) = 2x +1 2x −1 Hàm số f ( x) = 3x đồng biến R Hàm số g ( x) = 2x +1 nghịch biến khoảng 2x −1 1 1 −∞; ÷∪ ; +∞ ÷ 2 2 Vậy phương trình (3) có nhiều hai nghiệm x = Ta thấy nghiệm (3) x = −1 x = Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = −1 VD6.Giải phương trình:2x + 3x = 3x + (1) Giải TXĐ: D = R (1) ⇔ 2x + 3x - 3x - = (2) Xét hàm số f(x) = 2x + 3x - 3x - với x ∈ D Đạo hàm f’(x) = 2xln2 + 3xln3 - f’’(x) = 2xln2x + 3xln2x > ∀ x ∈ R ⇒ hàm số lõm R x = Vậy phương trình (2) có nhiều nghiệm Ta thấy nghiệm (2) x = x = Vậy phương trình (1) có nghiệm là: x = VD7 Giải phương trình: 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (1) Giải TXĐ: D = R log ( x − x + 5) ( x − x + > e > ) = x − x+5 Đặt t = x − x + với t > e, ta phương trình (1) ⇔ log 2t = (2) t log 2t với t > e t − ln t Đạo hàm f '(t ) = e t ln Vậy phương trình (2) có nghiệm Ta thấy t=8 nghiệm (2) Xét hàm số: f (t ) = + 13 − 13 Với t=8 ta có x − x + = ⇔ x = x = 2 Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = ( + 13 − 13 ; x= 2 ) VD8.Giải phương trình: 3log + x + x = log x (1) Giải Điều kiện: x > ( ) Đặt: 3log + x + x = 6t Ta có hệ ( ) 2t t t t 3log + x + x = 6t 1 + x + x = 3t 2t 2t 1 8 4 ⇔ ⇒ + + = ⇔ ÷ + ÷ + ÷ = (2) 3t 9 9 9 log x = 6t x = t t t 1 8 4 Xét hàm số f (t ) = ÷ + ÷ + ÷ ; ( t ∈ R ) 9 9 9 t t t 1 1 8 8 4 4 Đạo hàm f ' ( t ) = ÷ ln ÷+ ÷ ln ÷+ ÷ ln ÷ < 0; ∀t ∈ R 9 9 9 9 9 9 Vậy phương trình (2) có nghiệm nghiệm Ta thấy t=2 nghiệm phương trình Với t=2 ta có x=4096 4x2 + VD9 Giải phương trình: 3x2 + + log2012 = x (1) x + x2 + Giải TXĐ: f '(t ) = 3t − D=R (1) ⇔ log 2012 x2 + x6 + x2 + − x − x6 + x2 + Đặt u = x + > ; v = x + x + > Ta phương trình : log 2012 u = v − u ⇔ log 2012 u + u = log 2012 v + v (2) v Xét hàm số f (t ) = log 2012 t + t với t>0 Đạo hàm f '(t ) = + > 0; ∀t > t.ln 2012 Vậy hàm số đồng biền khoảng ( 0; +∞ ) Để (2) xảy f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x + x + = x + ⇔ x − x − = Đặt t = x (t ≥ 0) ta phương trình f (t ) = t − 3t − = (3) t = −1 Đao hàm f '(t ) = 3t − ; f '(t ) = ⇔ t = Ta có bảng biến thiên t -∞ f’(t) -1 + f (t) 0 - +∞ + +∞ -1 -∞ -3 Ta có f (2) = > Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình (3) có nghiệm t ∈ ( 0; ) 10 Đặt t = cos α π α ∈ 0; ÷÷ Ta phương trình 8cos3 α − cos α − = ⇔ cos 3α = π π ⇔ 3α = (do α ∈ 0; ÷ 2 π π ⇔ t = cos 9 π π Ta có x = cos ⇔ x = ± cos 9 ⇔α = 4) log x + log ( x + 1) = log ( x + ) + log ( x + 3) VD10.Giải phương trình: ln ( sin x + 1) = esin x − (1) Giải: π + kπ ;(k ∈ Z ) y Đặt ln ( sin x + 1) = y ⇔ sin x + = e Điều kiện sin x ≠ −1 ⇔ x ≠ − esin x = y + Ta có hệ y e = sin x + ⇒ esin x + sin x = e y + y (2) t Xét hàm số: f (t ) = e + t ; ( t ∈ R ) Đạo hàm f '(t ) = et + > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R Để (2) xảy f ( sinx ) = f ( y ) ⇔ sinx = y Vậy ta có: esin x = sin x + (3) t Xét hàm số f (t ) = e − t − 1; ( t ∈ ( −1;1] ) t Đạo hàm f ' ( t ) = e − ; f ' ( t ) = ⇔ t = f ' ( ) = Ta có f ( ) = Vậy phương trình (3) có nghiệm : sin x = ⇔ x = kπ ; ( k ∈ Z ) Vậy nghiệm phương trình (1) x = kπ ; ( k ∈ Z ) C CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH + x + x = + y VD1 Giải hệ phương trình: (I) + y + y = + x Giải Điều kiện: x ≥ 0, y ≥ + x + x = + y ⇔ ⇒ + x2 + x + = + y2 + y + (I) 3 + x = + y + y (1) Xét hàm số f (t ) = + t + t + 11 TXĐ: D = [ 0; +∞ ) Đạo hàm f '( x ) = t + > 0, ∀t ∈ D hàm số đồng biến D + t2 t Để (1) xảy f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y + x + x = + y + x = − x (2) ⇔ Hê cho trở thành x = y x = y Giải (2) ( 2) + x + x − = (3) Xét hàm số f ( x ) = + x + x − 3; ( x ≥ ) Đạo hàm f ' ( x ) = x 3+ x + x > 0; ∀x > ⇒ hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Vậy phương trình (3) có nghiệm x=1 Vaayj nghiệm hệ là:(1;1) x − − y = − x VD2 Giải hệ phương trình (I) ( x − 1) = y Giải x ≥ Điều kiện y ≥ x − − ( x − 1) = − x (1) (I) ⇔ ( x − 1) = y (1) ⇔ x − = − x + x − x + (2) Đặt f ( x ) = x − g ( x ) = − x + x − x + Ta có f ' ( x ) = > 0; ∀x > ; g ' ( x ) = −3 x + x − < 0; ∀x ≥ x −1 Vậy hàm số f ( x ) = x − đồng biến [ 1; +∞ ) ; hàm số g ( x ) = − x + x − x + nghịch biến [ 1; +∞ ) Nên phương trình (2) có nghiệm nghiệm Ta thấy x=2 nghiệm (2) Với x=2 ta có y=1 Vậy đãcho có nghiệm nhất: (2;1) ( x + 1) + x + = ( y − 3) VD3 Giải hệ phương trình: x + + y + = (2) Giải x ≥ − Điều kiện y ≥ y−2 (1) (I) 12 (1) ⇔ ( x + 1) + x + = ( y−2 ) + y − (3) Xét hàm số f (t ) = 2t + t ;(t ≥ 0) Đạo hàm f '(t ) = 3t + > 0; ∀t ≥ Vậy hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Để (3) xảy f ( x + 1) = f ( ) y − ⇔ 2x +1 = Thế vào (1) ta phương trình: y−2 y − + y + = (4) Xét hàm số f ( y ) = 4 y − + y + 4; ( y ≥ ) Đạo hàm f '( y ) = ( y − 8) + > 0; ∀y > 2y + Vậy hàm số đồng biến [ 2; +∞ ) Nên phương trình (4) có nghiệm nghiệm Ta thấy y=6 nghiệm (4) Với y=6 ta có x = 1 nghiệm hệ ;6 ÷ 2 x + xy = y10 + y (1) VD4 Giải hệ phương trình: (I) x + + y + = (2) Ta thấy y = nghiệm hệ Điều kiện: x ≥ − x x Xét y ≠ chia vế (1) cho y ta phương trình: ÷ + ÷ = y + y (3) y y 5 Xét hàm số f (t ) = t + t ; ( t ∈ R ) Đạo hàm f ' ( t ) = 4t + > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R x x Để (3) xảy f ÷ = f ( y ) ⇔ = y ⇔ x = y y y vào (2) ta phương trình: x + + x + = ⇔ x = Với x = ta có y = ±1 Vậy nghiệm hệ là:(1;1) (1:-1) y + x − x = − x − y (1) VD5 Giải hệ phương trình: (I) (2) y = x − + xy + x Giải Điều kiện x ≤ Đặt a = − x ( a ≥ ) phương trình (1) trở thành: y + y = 2a + a (3) 13 Xét hàm số f (t ) = 2t + t ( t ≥ 0) Đạo hàm f ' = 6t + > 0; ∀t ≥ Vậy hàm số đồng biến [ 0; +∞ ) Để (3) xảy f ( y ) = f ( a ) ⇔ y = a ⇔ − x = y vào (2) ta phương trình: − x = x − + x − x (4) Đặt x = cosα ⇔ sin ( α ∈ [ 0; π ] ) ta phương trình: − cos α = cos α − + cos α − cos α π α 3π (do α α ∈ [ 0; π ] ) = cos 2α + sin 2α ⇔ sin 2α + ÷ = sin ⇔ α = 10 3π x = cos 3π 10 Với α = ta có 10 y = sin 3π 20 3π x = cos 10 Vậy nghiệm hệ là: y = sin 3π 20 ( ) 5 + 16.4 x2 − y = + 16 x2 − y 72 y − x2 + VD6 Giải hệ phương trình : x + 17 x + 10 y + 17 = ( x + ) y + 11 Giải t t −t Đặt t = x − y phương trình (1) có dạng + 16.4 = ( + 16 ) ⇔ x x + 2+t + 42 t 1 4 , Xét hàm số f ( x ) = ÷ + ÷ ⇒ f ( x) HSNB R = 2+t 2t 7 7 7 Phương trình (*) có dạng f (t + 2) = f (2t ) ⇔ t + = 2t ⇔ t = ⇔ x − y = Khi phương trình (2) có dạng x + x + 17 x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + 2) + ( x + 2) + ( x + 2) = ( 2x2 + ) 2x2 + + ( x2 + ) + 2x2 + Xét hàm số f (t ) = t + t + t , f ( t ) hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Phương trình có dạng f ( x + ) = f ( ) x + ⇔ x + = x + ⇔ x = x =3 −1 Hệ phương trình có cặp nghiệm ( x; y ) là: 1; ÷, 3; ÷ 2 20 − x − 17 − y − x − x + y − y = (1) VD7:Giải hệ phương trình: (2) 2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Giải:Điều kiện: x ≤ 6; y ≤ 5; x + y + ≥ 0; x + y + 11 ≥ 14 ( 20 − 3x ) − x = ( 17 − y ) − y ⇔ ( 3( − x ) + 2) − x = ( 3( − y ) + 2) 5− y ( 3) Xét hàm số f ( t ) = ( 3t + ) t với t ≥ , ta có f '( t ) = t + 3t + > 0, ∀t > t Kết hợp với ( 3) ta có f ( − x ) = f ( − y ) ⇔ − x = − y ⇔ y = x − Thay vào phương trình ( ) hệ, ta 3x + + x + = x + x + 13 , với x ≥ − ⇔2 ⇔ ( ) ( 3x + − ( x + ) + −2 x ( x + 1) 3x + + ( x + ) −3 x ( x + 1) + ) x + − ( x + 3) = x + x x + + ( x + 3) = x2 + x ⇔ x ( x + 1) + + 1÷ = 3x + + ( x + ) ÷ x + + ( x + 3) ⇔ x = 0; x = −1 (vì + + > với x thuộc TXĐ) 3x + + ( x + ) x + + ( x + 3) Với x = ⇒ y = −1 Với x = −1 ⇒ y = −2 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) ∈ { ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) } BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 1) Giải phương trình sau: a) x + = x − x − b) ( x − ) − 1 = x2 − 5x − x −1 c) x − 15 x + 78 x − 141 = x − 2) Giải phương trình sau: a) log ( x + 1) = log ( x + 1) x b) = + x + log (1 + x) c) log ( tan x ) = log ( sin x ) 3) Giải hệ phương trình sau: x11 + xy10 = y 22 + y12 a) 4 7 y + 13x + = y 3 x + xy − x ( x + 1) x + ( y − 3) − y = b) x + y + − x = 15 y x + = +2 x y x c) y x2 + −1 = x2 + ( ) ( ) 16 ... Nhiều phương trình vơ tỷ giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đưa hệ phương trình ,từ vận dụng hàm số để giải VD12: Giải phương trình : x3 − x − 5x + = x + x − Giải: Đặt y= x + x − 4 ... lợi cho việc sử dụng cơng cụ giải tốn Muốn làm tốt điều người thầy phải thường xuyên trọng việc bồi dưỡng tư hàm cho học sinh Để khắc sâu điều ta xét thêm số ví dụ sau: VD 8: Giải phương trình:... t Xét hàm số: f (t ) = e + t ; ( t ∈ R ) Đạo hàm f '(t ) = et + > 0; ∀t ∈ R Vậy hàm số đồng biến R Để (2) xảy f ( sinx ) = f ( y ) ⇔ sinx = y Vậy ta có: esin x = sin x + (3) t Xét hàm số f (t