I THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ TỔ HỢP ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Đại số 11 Tác giả: Họ tên: Giới tính: Nữ Ngày tháng năm sinh: Trình độ chun mơn: ĐHSP Tốn Chức vụ, đơn vị công tác: Điện thoại: Email: Đồng tác giả: Không Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Không Đơn vị áp dụng sáng kiến Tên đơn vị: Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: tháng II BÁO CÁO MÔ TẢ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ TỔ HỢP ” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn – Đại số 11 Mơ tả chất sáng kiến 3.1 Tình trạng giải pháp biết: * Thực trạng việc học mơn tốn, giải tập toán học sinh THPT * Cơ sở việc nghiên cứu: từ thực trạng việc dạy học chương “Tổ hợp xác suât” * Về chương trình: Đại số 11 3.1.1 Đặt vấn : Trong chơng trình toán trờng THPT Đại số tổ hợp nội dung Đây vấn đề vừa đơn giản, vừa khó Đơn giản chỗ lý thuyết ngắn gọn, song khó chỗ ngời học phải định hình đợc kiến thức sử dụng vào tập nh để phù hợp Bên cạnh phân phối chơng trình cho phần hạn chế, đề thi thờng xuyên có phần đại số tổ hợp Trong học lớp ngời giáo viên truyền tải hết lợng tập liên quan đến kiến thức Đại số tổ hợp cho học sinh Chính lý mà định chọn đề tài: Một số toán liên quan đến đại số tổ hợp làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm 3.1.2 C s lý lun: Dựa vào chủ yếu tài liệu tham khảo tham gia góp ý đồng nghiệp Mặt khác thân nhận thấy cần phải tự nghiên cứu bồi dỡng để nâng cao chuyên môn Khi ôn tập cho học sinh lớp 11 ôn thi cho học sinh lớp 12 nhận thấy học sinh thờng lúng túng gặp tập tổ hợp Vì muốn khai thác sâu nghiên cứu vấn đề nhằm trang bị cho em lợng kiến thức vừa đủ để giải toán liên quan đến đại sè tỉ hỵp 3.2 Nội dung giải pháp: 3.2.1.Kiến thức c bn - Phơng pháp giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình, đặc biệt phơng trình bậc hai, bất phơng trình bậc hai, đạo hàm, tích phân - Quy tắc cộng, quy tắc nhân đại số tổ hợp - Hoán vị: Pn = n ! - ChØnh hỵp: A kn = - Tỉ hỵp: C k n ( n N*) n! (n k )! ( n N*, k n) n! Ank = k!(n k )! = Pk (0 k n, n N*) - Các hệ thức c¸c C kn : C kn = C nn k C kn 11 + C kn = C kn n k k n k - Công thức nhị thức Niut¬n: (a+b) n = �Cn a b (n N*) k - Các tính chất công thức nhị thức Niutơn Đặc biệt số hạng tổng quát khai triĨn 3.2.2 Một số dạng tốn sử dụng phương phỏp Dng Giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình liên quan đến đại số tổ hợp Phơng pháp chung: Bớc 1: Đặt điều kiện Bớc 2: Viết phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đà cho dới dạng tờng minh Bớc3: Giải phơng trình đại số Bớc 4: Kết hợp với điều kiện kết luận nghiệm * Chú ý: Nghiệm số nguyên dơng, hệ phơng trình đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phơng trình: Giải: * Điều kiÖn: Ax2 50 A22x (1) xN x * Phơng trình: x! (2 x)! +50 = ( x 2)! (2 x 2)! (2) Vì x=2 không nghiệm phơng trình nên (2) x( x 1)( x 2)! x(2 x 1)(2 x 2)! +50 = ( x 2)! (2 x 2)! 2x(x-1) + 50 = 2x(2x-1) 2x2 = 50 x2 = 25 x x 5 Vậy phơng trình có nghiệm là: x = Ví dụ 2: Giải bất phơng trình (ẩn n): Ann4 < P Pn n Giải: ĐK: n N* ( 3) (n 4)(n 3)(n 2)(n 1) < (n 2)(n 1).n(n 1)! (n 1)! (n 4)(n 3) < ( n 1)!n (n 1)! +, n = không thoả mÃn bất phơng trình +, n bất phơng trình (4) (n 4)(n 3) < 15 n (3) n2 +7n +12 < 15n n2 – 8n +12< 2 An Bµi 3: Tìm số hạng âm dÃy: xn An44 143 Pn 4 Pn ( n = 1,2,3…) Bµi 4: Giải hệ phơng trình cho hệ thức sau: C xy1 : C xy : C xy = 6:5:2 Bài 5: Giải bất phơng trình: C 22x C 24x C 22xx 2 2003 Trắc nghiệm: Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn : A 3n = 20n A n = B n = C n = 10 D n = 12 Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn : A 3n 5A 2n = 2(n + 15) A n = B n = C n = D n = Câu Tìm số tự nhiên n thỏa mãn : A 22n 3A n2 = 42 A n = 10 B n = C n = D n = 16 Câu Tìm số nguyên dương n cho : 2Pn 6A 2n Pn A 2n = 12 A n = V n = B n = V n = C n = V n = D n = V n = Câu Số giá trị nguyên dương n thỏa mãn A 36 B 35 1 A 4n 143 < : Pn 4Pn 1 C 33 D 30 C x = D x = Câu Giải phương trình : Cx C x C x A x = B x = Câu Giải phương trình : C10x 4x C102xx10 A x = V x = B x = 10 V x = C x = V x = 14 D x = V x = 14 Câu Tìm số tự nhiên x thỏa mãn : A 2x 2 C xx 2 101 A x = 10 B x = 12 C x = D x = Câu Tìm số tự nhiên x thỏa mãn : C8xx3 5A 3x 6 A x = V x = 16 B x = V x = 17 C x = 17 D x = 16 Câu 10 Số nghiệm bất phương trình C4n 1 C3n 1 A n2 2 A B C D vô số Câu 11 Giải phương trình : C xx 12 2C3x 1 = 7(x – 1) A x = B x = C x = D x = C x = D x = 10 Câu 12 Giải phương trình : A 5x 336Cxx 52 A x = B x = Câu 13 Số giá trị nguyên dương n thỏa mãn : 4C4n 1 4C3n 1 5A n2 2 A B C D vô số Câu 14 Số giá trị nguyên dương x thỏa mãn : 2C2x 1 3A 2x 30 A B C D � 5C xy 1 6C xy 1 � Câu 15 Giải hệ phương trình : � y C x 1 3C xy 1 � A (x; y) = (9; 4) B (x; y) = (9; 5) C (x; y) = (8; 5) D (x; y) = (8; 3) Dng Tìm hệ số khai triển nhị thức Niutơn Phơng pháp chung: *TH1: Biết n Tk Cnk a n k bk áp dụng công thức: Tìm k = ? KL hệ số cần tìm *TH2: Cha biết n - Từ giả thiết cho tìm n - Đa trờng hợp Ví dụ 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức x x 17 (x>0) Số hạng tổng quát khai triÓn: 2 Tk 1 C17k x 3 (17 k ) k - Tõ gi¶ thiÕt cã: - (17 - k) + k = k =8 - VËy sè h¹ng thø khai triển không chứa x có hệ sè b»ng: C178 24310 VÝ dơ 2: T×m hƯ sè x5 khai triểm nhị thức Niutơn (1+x) n , n N* biÕt tỉng tÊt tÊt c¶ hệ số khai triển 1024 Giải: Khai triÓn (1+x) n C n0 C n1 x C nn x n Cho x = Tổng tất hệ số khai triĨn lµ: T = C n0 C n1 C nn 2 n (1) Theo gi¶ thiÕt: T = 1024 (2) Tõ (1) vµ(2) ta cã: n = 10 Sè h¹ng khai triĨn: C10k x k Do ®ã hƯ sè cđa x5 khai triĨn: C105 = 252 Bài tập áp dụng: T lun: Bài 1: Tìm hệ số nguyên dơng n, biêt dạng khai triển (x+2) n thành đa thức x, hƯ sè cđa x b»ng 10 lÇn hƯ sè cña x6 28 x x x 15 Bµi 2: Cho khai triển nhị thức: n Tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết rằng: C nn C nn C nn 79 Bµi 3: Tìm số hạng không chứa x khai triển: P x 1 x víi x x Trắc nghiệm: Câu Tìm số hạng khơng chứa x khai triển A = (x – 2/x4)15 A 1820 B –1820 C 3640 D –3640 Câu Tìm số hạng không chứa x khai triển B = (x² – 2/x)12 A 126720 B –126720 C 7920 D –7920 Câu Tìm hệ số x4y3 khai triển P = (2x + 3y)7 A 11520 B 12510 C 15120 D 12150 Câu Khai triển rút gọn đa thức P(x) = (1+x) + (1+x)² + (1+x)³ + + (1+x)12 đa thức P(x) = ao + a1x + a2x² + + a12x12 Hệ số a9 A a9 = 256 B a9 = 286 C a9 = 320 D a9 = 132 Câu Cho đa thức P(x) = (1+x) + 2(1+x)² + 3(1+x)³ + + 20(1+x)20 = ao + a1x + a2x² + a3x³ + + a20x20 Xác định hệ số a18 A 3254 B 3549 C 4179 D 4569 Câu Trong khai triển P(x) = (3 – 2x)25, tính tổng hệ số đa thức P(x) A 325 B 225 C –1 D Câu Trong khai triển nhị thức (a² + b³)15, tìm số hạng chứa a, b với số mũ giống A 5005a6b6 B 1010a15b15 C 5005a18b18 D 1010a9b9 Câu Tìm số hạng thứ khai triển (1/x² – x³/2)12 theo thứ tự số mũ tăng dần biến A (99/4)x–1 B (–99/4)x–1 C (99/4)x D (–99/4)x x Câu Tìm số hạng độc lập với x khai triển ( x )16 A 1820 B 1280 C 2180 D 2810 x 13 Câu 10 Số số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển (x ) A B C D Câu 11 Biết tổng hệ số khai triển (3 – x²)n 1024 Hệ số số hạng chứa x12 khai triển A –17010 B 17010 C –153090 D 153090 Câu 12 Tính tổng S = C100 C126 C101 C125 C102 C124 C106 C120 A 74236 B 74362 C 74613 D 24671 Câu 13 Tính tổng S = (C90 ) (C19 )2 (C92 )2 (C99 )2 A 39432 B 43758 C 36730 10 D 48620 Dng Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thøc VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: 4C n1 C n2 n C nn n n Giải: áp dụng công thức nhị thức Niutơn cho (1+x) n ta cã: n 1 x n C nk x k (*) k 0 Thay x = vµo (*) ta cã: k n C nk k n C n0 4C n1 C n2 n C nn n C nn k 0 VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: C n1 2C n2 3C n3 ( 1) n nC nn 0 Giải: Lấy đạo hàm hai vế (*) theo x ta cã: n1 x n n kC nk x k (**) k 0 Thay x = -1 vµo (**) cã: n(1 1) n n kC nk ( 1) k k 0 Hay: = C n1 2C n2 3C n3 ( 1) n (n 1)C nn 1nC nn VÝ dô 3: CMR: C n0 C n1 C2 Cn n 1 n n 1 1 n 1 n Gi¶i: LÊy tÝch ph©n hai vÕ cđa (*) cã: (1 x) n 1 0 (1 x) dx n 1 n n n 1 n 1 1 n n k k k k n C n x dx C n x dx C k k 0 k 0 k o n 1 VËy: C k 1 1 n k 0 n k n 11 x k 1 k 1 n C nk k 0 k 1 VÝ dơ 4: Chøng minh r»ng víi mäi n 2, n N ta có bất đẳng thức: 1 1 � k 11 k 44 Do k ℕ cã k = 1,2, ,6 44 Ta cã ak - ak-1 < k > Do ®ã: Max ak = a6 = C106 C34 Do k ℕ cã k=7,8,9,10 (0 k 10) VËy hƯ sè cã gi¸ trị lớn khai triển nhị thức đà cho 250 243 Bài tập áp dụng: Bài 1: Khai triển đa thức P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x+ + a12x12 Tìm max (a0,a1,,a12) Bài 2: Tìm h¹ng tư lín nhÊt khai triĨn: (1+0,2)1000 KẾT QUẢ Thông qua trình giảng dạy ụn cho học sinh lớp 11A5 11A6, đà áp dụng đề tài kết cho thấyhọc sinh nắm vững, nhớ sâu kiến thức đại số tổ hợp - Học sinh nắm vững, nhớ sâu kiến thức đại sè tỉ hỵp 13 - Häc sinh tù tin phân tích để lựa chọn phơng pháp giải hay, ngắn gọn cho dạng bi - Hình thành đợc t logic, kỹ giải phơng trình Đồng thêi t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh 3.4 Những người tham gia tổ chức áp dụng sáng kiến năm học 2017 – 2018 Học sinh lớp 11A5,11A6 – Trường THPT Vũ Tiên: STT HỌ TÊN ĐIỂM HỌ TÊN ĐIỂM TRẦN QUANG ANH 21 ĐINH VĂN VINH NGUYỄN THỊ NGỌC ÁNH 22 NGUYỄN TRUNG XÔ TRẦN THÙY CHINH 23 ĐỖ THỊ KIỀU ANH ĐỖ THỊ GIANG 24 NGHIÊM VĂN CƯỜNG TỐNG THỊ THU HẰNG 25 LÊ QUANG ĐẠI TRƯƠNG THỊ HỒNG 26 HOÀNG THỊ HIÊN LÊ THỊ HUẾ 27 LƯƠNG THỊ HUỆ 8 NGUYỄN THỊ HUYỀN 28 NGUYỄN TRUNG HƯỚNG ĐINH THỊ LINH 29 HOÀNG TRUNG KIÊN 10 PHẠM THỊ KIM LOAN 30 HOÀNG TRỌNG NAM 11 NGUYỄN THỊ MƠ 31 PHAN THANH NGÂN 12 NGUYỄN THỊ TUYẾT NGÂN 32 TRẦN THỊ QUYÊN 13 NGUYỄN VĂN NGỌC 33 BÙI THỊ PHƯƠNG THÚY 14 VŨ TUYẾT NHUNG 34 PHẠM THANH THƯ 15 LƯU NGỌC THÁI 35 ĐÀO THỊ THÙY TRANG 16 PHẠM VĂN THAO 36 ĐẶNG KIỀU TRANG 17 TRẦN THỊ THU THỦY 37 HỒ THỊ THU TRANG 18 PHẠM THU TRANG 38 LÊ THU TRANG 19 TRỊNH THỊ THU TRANG 39 TRẦN THỊ THANH XUÂN 20 TRẦN THỊ VÂN 40 VŨ THỊ YẾN 3.5 Điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: 14 Thực phạm vi số buổi chữa tập với tập mức độ vừa phải Giáo viên đưa phương pháp giải, ví dụ mẫu hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tịi, phát số vấn đề xung quanh giải mức độ đơn giản Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên 3.6 Cam kết không chép hay vi phạm quyền: Tôi xin cam kết không chép vi phạm quyền tác giả KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT Cần tăng cường hệ thống ví dụ giải toán đại số tổ hợp hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng q trình giải tốn tổ hợp xỏc sut KT LUN Chuyên đề Một số toán liên quan đến đại số tổ hợp soạn dựa vào thực tiễn giảng dạy đợc tham khảo số tài liệu có liên quan.Trong trình giảng dạy, nhận thấy tài liệu hữu ích giáo viên đà mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh ngời quan tâm đến vấn đề Do thời gian, kinh nghiệm hạn chế nên việc nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót Rất mong 15 đợc đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để chuyên đề đợc hoàn thiện, phục vụ công tác giảng dạy đợc tốt Tụi xin chõn thnh cm n ! , ngày 15 tháng năm 2018 CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 16 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN ... đại số tổ hợp Trong học lớp ngời giáo viên truyền tải hết lợng tập liên quan đến kiến thức Đại số tổ hợp cho học sinh Chính lý mà định chọn đề tài: Một số toán liên quan đến đại số tổ hợp làm... toán đại số tổ hợp hệ thống tập sách giáo khoa, tài liệu tham khảo để học sinh tự nghiên cứu vận dụng q trình giải tốn tổ hợp xỏc sut KT LUN Chuyên đề Một số toán liên quan đến đại số tổ hợp soạn... Kết hợp với điều kiện có: n 3;4;5 Vậy bất phơng trình (3) cã nghiÖm: n 3;4;5 Axy 5C xy 90 Giải hệ phơng trình: y A·x 2C xy 80 VÝ dô 3: ( Ank , C nk lần lợt chỉnh hợp, tổ hợp