HSG12 NAM DINH TU LUAN 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán TL (Bài độc lập) Lớp: 12 Thời gian làm bài: 75 phút Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2,0 điểm) x+3 có đồ thị ( C ) điểm O ( 0;0 ) Tìm tất giá trị tham số x+2 m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn trọng tâm G tam giác OAB thuộc đường thẳng ∆ : x − y + m3 = Cho hàm số y = Câu (2,5 điểm) 1) Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn khơng có chữ số lặp lại lần? 2) Giải phương trình 2log5− x = x Câu (1,5 điểm) Giải hệ phương trình  y2 x + x = + x  ln ( x − 3) + x − 20 x + 12 = ln y + y  Câu (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , đáy ABCD hình thang vng A B , AD = 3BC = 3a , AB = a , SA = a Gọi M trung điểm SD I uuur uur thỏa mãn AD = AI a) Tính thể tích khối tứ diện CDIM Tính góc hai đường thẳng AM SC b) Gọi E , F hình chiếu A cạnh SB, SC H giao điểm SI AM Tính thể tích khối nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng ( ABCD ) Câu (2,0 điểm) 3 Xét ba số thực x, y, z > thỏa mãn ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) + 15 xyz 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y + z ) − ( y + z ) HẾT -Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ, tên chữ ký GT 1: GT 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn TL (Bài độc lập) Lớp: 12 Hướng dẫn chấm có 05 trang Câu Nội dung Điểm x+3 có đồ thị ( C ) điểm O ( 0;0 ) Tìm tất giá trị x+2 tham số m để đường thẳng d : y = x + 3m cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn trọng tâm G tam giác OAB thuộc đường thẳng ∆ : x − y + m3 = x+3 = x + 3m ( x ẩn số) (1) Xét phương trình x+2 Cho hàm số y = Đường thẳng d cắt đồ thị ( C ) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  x ≠ −2 (1) ⇔  2 x + ( m + 1) x + 6m − = 2,0 0,25 0,25 x + ( m + 1) x + 6m − = có hai nghiệm phân biệt khác −2  ∆ = ( m + 1) − ( 6m − 3) > ⇔ 9m − 30m + 33 > với m ∈ ¡  8 − ( m + 1) + 6m − ≠ 0,5 Ta có O ∉ d ⇔ m ≠ 0,25 Giả sử A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) với y1 = x1 + 3m, y2 = x2 + 3m x1 + x2 = − ( m + 1)  m +1  ; m − 1÷ Khi G  −   Ta có G ∈ ∆ ⇔ m − 2m = m = ⇔  m = ± 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu điều kiện m ≠ ta tất giá trị cần tìm m − 2; 2.1 Có số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn khơng có chữ số lặp lại lần? 1,0 Số tự nhiên gồm chữ số có tất 9000 số 0,25 Số tự nhiên gồm chữ số chữ số lặp lại lần có tất số 0,5 Số tự nhiên gồm chữ số chữ số lặp lại lần có tất + 9.3 = 35 số Tương tự với chữ số 2,3, ,9 lặp lại lần có 35 số Vậy có tất 9000 − − 35.9 = 8676 số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn khơng có chữ số lặp lại lần 2.2 Giải phương trình 2log5− x = x x < ĐK:  x ≠ Đặt t = log 5− x , 2t = x (1) Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình nên t ≠ 1 Vậy log 5− x = t ⇔ log ( − x ) = ⇔ − x = 3t (2) t 0,25 1,5 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta 3t + 2t − = (3) 1 Với t < ⇒ 3t < 1, 2t < ⇒ 3t + 2t − < −3 < 0,25 Với t > 0, xét hàm số f ( t ) = 3t + 2t − 3t ln ⇒ f ' ( t ) = − + 2t ln t t t 0,25 ln 2.3 ln t >0 với t > + + ln t4 t3 ⇒ f ' ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Mà f ' ( 1) < 0, f ' ( ) > ⇒ f '' ( t ) = Vậy phương trình f ' ( t ) = có nghiệm khoảng ( 0; +∞ ) Suy phương trình f ( t ) = có nhiều hai nghiệm khoảng ( 0; +∞ ) 0,5 Nhận thấy f ( 1) = f ( log 3) = Vậy t = ⇔ x = 2, t = log ⇔ x = 3  y2 (1) x + x = + x Giải hệ phương trình  ln ( x − 3) + x − 20 x + 12 = ln y + y (2)  1,5  x > ĐK:   y > 0,25 Phương trình (1) ⇔ ( x − 1) = y ⇔ ( x + y − 1) ( x − y − 1) =  x + y −1 = x − y −1 = ⇔ Với x + y − = (vơ lí) x > , y > ⇒ x + y − > > 2 Với x − y − = ⇔ y = x − 1, phương trình (2) trở thành ln ( x − 3) + x − 20 x + 12 = ln ( x − 1) + ( x − 1) 0,25 0,25 0,5 ⇔ 1 ln ( x − 3) + x − x + = ln ( x − 1) + x − 2 ⇔ ln x − x + + x − x + = ln ( x − 1) + x − (3) Xét hàm số f ( t ) = ln t + t với t > ⇒ f ' ( t ) = + > với t > t ⇒ f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Phương trình (3) trở thành f ( ) x − x + = f ( x − 1) ⇔ x − 5x + = x − x = ⇔ x − 3x + = ⇔  x = Đối chiếu điều kiện ta x = ⇒ y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( 2;1) 4.a Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , đáy ABCD hình thang vng A B , AD = 3BC = 3a , AB = a , SA = a Gọi M uuur uur trung điểm SD I thỏa mãn AD = AI a) Tính thể tích khối tứ diện CDIM Tính góc hai đường thẳng AM SC b) Gọi E , F hình chiếu A cạnh SB, SC H giao điểm SI AM Tính thể tích khối nón có đáy đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng ( ABCD ) 1 a d ( M ; ( CDI ) ) = d ( A; ( CDI ) ) = SA = 2 Ta có ∆CDI vng I ⇒ S ∆CDI = IC.ID = a 2 0,25 2,0 0,25 0,25 4.b a3 Vậy VCDIM = d ( M ; ( CDI ) ) S ∆CDI = Ta có CI ⊥ ( SAD ) ⇒ CI ⊥ AM uuuu r uuu r uuur uu r uur uur uuuu r uu r uuur uur Ta có AM = AS + AD, SI = SA + AI ⇒ AM SI = − SA2 + AD AI = Vậy AM ⊥ SI ⇒ AM ⊥ ( SCI ) ⇒ AM ⊥ SC Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AE , lại có AE ⊥ SB ⇒ AE ⊥ SC Do AE ⊥ SC , AF ⊥ SC , AH ⊥ SC nên điểm A, E , F , H thuộc mặt phẳng qua điểm A vng góc SC Do AM ⊥ ( SCI ) ⇒ AH ⊥ HF , AE ⊥ ( SBC ) ⇒ AE ⊥ EF Vậy tứ giác AEFH nội tiếp đường tròn đường kính AF 1 a 30 Ta có = + = ⇒ AF = Suy bán kính đường trịn 2 AF AS AC 6a a 30 ngoại tiếp tam giác EFH R = 10 Gọi G trung điểm AF , từ G kẻ đường thẳng song song với SC cắt AC J ⇒ JG ⊥ ( AEFH ) ⇒ J đỉnh hình nón 1 a Mà JG = CF = AC − AF = 2 π a3 V = π R JG = Vậy thể tích khối nón cần tìm 10 5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 3 Xét ba số thực x, y, z > thỏa mãn ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) + 15 xyz 2 Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( x + y + z ) − ( y + z ) 2,0 Từ giả thiết ta có ( x + y + z − xyz ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ⇔ ( x + y + z ) ( x + y + z − xy − yz − zx ) = ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) ⇔ ( x + y + z − xy − yz − zx ) = xy + yz + zx (vì x + y + z > ) 0,25 ⇔ ( x + y + z ) = ( xy + yz + zx ) Nhận thấy y + z ( y + z) yz ≤ ( y + z) ≥ 2 ⇒ ( x2 + y + z ) ≥ 5x + ( y + z) 2  y + z)  ( ⇒ ( xy + yz + zx ) ≤  ( xy + zx ) +  = 6x ( y + z ) + ( y + z ) Ta có 4   2 Do x + ( y + z ) ≤ x ( y + z ) + ( y + z ) 2 y+z ⇔ 5x2 − ( y + z ) x + ( y + z ) ≤ ⇔ ≤ x ≤ y + z 2 y + z) y + z) ( ( Vậy P ≤ ( y + z ) − =2 y+z − 2 0,25 0,5 0,25 y + z với t > Khi P ≤ − t + 2t với t > Xét hàm số f ( t ) = − t + 2t ( 0; +∞ ) Có f ' ( t ) = −2t + Đặt t = f ' ( t ) = ⇔ t = Lập bảng biến thiên, từ bảng biến thiên suy max f ( t ) = ⇔ t = ( 0;+∞ )  x = y = z    Nhận thấy P =  x = y + z ⇔  y = 2 y + z =1     z = Vậy giá trị lớn biểu thức P 0,5 0,25 Chú ý: - Nếu thí sinh làm đúng, cách giải khác với đáp án, phù hợp kiến thức chương trình THPT tổ chấm thống cho điểm thành phần đảm bảo tổng điểm hướng dẫn quy định - Tổng điểm tồn khơng làm trịn HẾT ...SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn TL (Bài độc lập) Lớp: 12 Hướng dẫn chấm có