SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học: 2017-2018 Mơn thi: TỐN THPT Người đề : Phạm Văn Quí Đơn vị :THPT Hậu Lộc Câu I: (4điểm) y = x2 − x + (2,0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số : 3x + x + = ( 3x − 1) (2,0 điểm) Giải phương trình: x2 + Câu II: (4điểm) cos x + cos3x = + sin(2 x + (2,0 điểm) Giải phương trình (2,0 điểm) Giải hệ phương trình Câu III: (4điểm) π ) x3 − x y − x + x − y − = xy + y + + 2016 = y + y + + 2017 x x, y , z (2,0 điểm) Cho số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 x y y z z x 13xyz P= + + + z x y ( xy + yz + zx ) ( un ) u1 = 2017 u = 2018u + u , ∀n ≥ 1, n ∈ ¥ n n n +1 (2,0 điểm) Cho dãy số xác định bởi: u u u Sn = + + + n lim Sn u u3 un +1 Đặt TÝnh: Câu IV: (4điểm) (2,0 điểm) Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có thể lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A D có AD = AB CD = Gọi E(2 ; 4) điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn 3AE = AB Điểm F thuộc BC cho tam giác DEF cân E Phương trình đường thẳng EF là: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết D thuộc đường thẳng d: x + y = A có hồnh độ ngun thuộc đường thẳng d ' : 3x + y − = Câu V: (4điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, tâm O Đường cao hình chóp SA=a M α điểm di động SB, đặt BM=x (0 Nhận xét :(3) 0.5đ 2016 2017 0.5đ x +1 ⇒ x +1 > mà x2 + + > x2 + + (3) ⇔ x = nên x2 + + − x +1 x2 + + − 2017 < đó: Với x=1 y=0 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y)= (1; 0) III x, y , z (2,0 điểm) Cho số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu 2 x y y z z x 13xyz P= + + + z x y ( xy + yz + zx ) thức: x y z = a, = b, = c suy abc = 1; a, b, c > z x y Đặt P= Ta có: 0.5đ a b2 c 13 a b2 c2 13 + + + = + + + c a b a b ( ab + bc + ca ) 1 1 c 3 + + ÷ a b c Áp dụng BĐT Cauchy Schwartz, ta có : a b2 c2 ( a + b + c ) + + ≥ = a+b+c c a b a+b+c P ≥ ( a + b + c) + 0.5đ 13 ( ab + bc + ca ) Suy : Áp dụng BĐT AM-GM cho ba số dương: a+b+c+ = 13 ( ab + bc + ca ) a + b + c 13(a + b + c) 13(a + b + c) 13 + + + 27 27 27 ( ab + bc + ca ) 3 abc 133 (a + b + c) 133 (a + b + c) ≥ + 33 = + 33 27 27 ( ab + bc + ca ) 27 ( ab + bc + ca ) Áp dụng BĐT: ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) , ta được: 0.5đ 133 ( a + b + c ) 133 (a + b + c) 13 33 ≥3 = 27 ( ab + bc + ca ) 27 2.(a + b + c ) Vậy 13 13 40 P ≥ ( a + b + c) + ≥ + = ( ab + bc + ca ) 9 0.5đ Khi x= y=z P= 40 Vậy P đạt giá trị nhỏ 40 x= y=z u1 = 2017 u = 2018u + u , ∀n ≥ 1, n ∈ ¥ n n n +1 ( un ) (2điểm) Cho dãy số xác định bởi: un u1 u2 Sn = + + + u2 u3 un +1 lim Sn Đặt Tính u1 = Từ giả thiết ta có >0 2017 Giả sử (un) có giới hạn: Vậy lim un = a lim un = +∞ un +1 > un ∀n ≥ 0.5đ nên (un) n∈N dãy tăng : a = 2018a2 + a ⇒ a = (vô lý) 0.5đ 2018un2 un +1 − un un +1 = 2018un2 + un ⇒ 2018un2 = un +1 − un ⇒ = un +1un un+1un 0.5đ u 1 ⇒ n = − ÷ un +1 2018 un un +1 Do đó: Sn = ⇒ Sn = IV 0.5đ 1 1 1 − + − + + − 2018 u1 u2 u2 u3 un un +1 1 2017 − ÷⇒ lim S n = 2018 u1 un +1 2018 (2điểm) Cho chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; Có thể lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần Gọi số A = a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8a9 a10 C103 Số cách chọn vị trí 10 vị trí Đặt vị trí vị trí chữ số …………………………………………… Sau đặt chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; vào vị trí cịn lại Có .………………………… 7! 0.5đ 0.5đ cách đặt 0.5đ 0.5đ C103 7! Ta thu tất số gồm 10 chữ số (kể số có chữ số đứng đầu) Có C93 6! số có chữ số đứng đầu C103 7!− C93 6! = 544320 Vậy số số thỏa mãn điều kiện đề là: (số) (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vng A CD D có AD = AB = Gọi E(2 ; 4) điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn 3AE = AB Điểm F thuộc BC cho tam giác DEF cân E Phương trình đường thẳng EF là: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết D thuộc đường thẳng d: x + y = A có hồnh độ ngun thuộc đường thẳng d ' : 3x + y − = CD Vì AD = AB = ⇒ ∆DBC vuông B Gọi P = AD ∩ BC ⇒ A trung điểm PD ⇒ AB trung trực DP ⇒ EP = ED = EF ⇒ E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DFP · FP = DE · A = DEP · ⇒D ·DEA + DEB · = 1800 Mà · · ⇒ DFB + DEB = 1800 ⇒ Tứ giác DEBF nội tiếp đường tròn 0.5đ Mặt khác DB ⊥ BF ⇒ DE ⊥ EF Đường thẳng DE qua E(2 ; 4) vng góc với EF có PT: x – 2y + = x + y = D = DE ∩ d ⇒ Tọa độ D nghiệm hệ PT x − y + = ⇒ D ( −2 ; ) AB AD AE = = ⇒ DE = AD + AE = 10AE 3 Ta có: Mà: A ∈ d ' : x + y − = ⇒ A ( a ; − 3a ) ( ⇒ DE = 10AE ⇔ 20 = 10 ( a − ) + ( − 3a ) a = ⇔ a = (loai ) ⇒ A ( 1; ) uuu r uuur EB = 2AE = ( ; − ) ⇒ B ( 4; ) Ta có: ) ⇔ 5a − 14a + = 0.5đ 0.5đ uuur DA = 3;3 Đường thẳng CD qua D nhận uuur ( ) làm VTPT nên có PT: x + y = DB = ( 6;0 ) Đường thẳng BC qua B nhận C=BC ∩ DC ⇒ Tọa độ C(4 ; -4) V 0.5đ làm VTPT nên có PT: x – = Vậy: A(1 ; 5), B(4 ; 2), C(4 ; -4), D(-2 ; 2) Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, tâm O Đường cao hình chóp SA=a M điểm di động SB, đặt BM=x α ) mặt phẳng qua OM vng góc với (ABCD) (0