CHUYÊN đề bồi DƯỠNG HSG môn TOÁN

Những năm gần đây, trong các kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thi chọn HSG lớp 9 cấp tỉnh và các kỳ thi tuyển sinh vào các lớp chuyên Toán, chuyên Tin của các trường THPT chuyên thường xuất hiện các bài toán hình học có nội dung áp dụng định lý Talét. Đây không phải là một kiến thức mới, tuy nhiên đòi hỏi học sinh phải có tư duy linh hoạt và cái nhìn nhạy bén thì mới áp dụng được nội dung định lý .

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8, ĐỊNH LÝ TA-LÉT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Họ tên: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Đối tượng học sinh bồi dưỡng: Lớp 8, Số tiết: tiết (2buổi) PHẦN PHẦN MỞ ĐẦU I - LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Cơ sở lí luận: Định lý Ta-lét định lý hình học cổ điển giữ vai trò quan trọng chương trình tốn THCS Định lý Ta-lét sử dụng nhiều giải tốn, đặc biệt tốn có liên quan đến đoạn thẳng tỉ số hai đoạn thẳng Thông qua việc vận dụng định lý Ta-lét vào giải tốn ta ơn lại cho học sinh tính chất tỷ lệ thức kỹ biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phương trình, chứng minh đường thẳng song song, diện tích đa giác Vận dụng định lý Ta-lét vào giải toán việc học sinh rèn luyện kỹ tốn học, chủ yếu cịn nâng cao mặt tư toán học Các thao tác tư như: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hố, đặc biệt hoá, … thường xuyên rèn luyện phát triển Cơ sở thực tiễn Qua thực tế giảng dạy nhận thấy khả vận dụng định lý Ta-lét vào giải tốn học sinh cịn hạn chế Khi học phần này, học sinh cịn khó khăn: - Việc sử dụng kỹ biến đổi đại số vào hình cịn lúng túng hay mắc sai lầm - Kỹ phân tích giả thiết, kết luận toán để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho tốn cịn chậm hạn chế - Khả vận dụng toán cho toán khác, kỹ chuyển đổi toán, khai thác toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hố chưa cao - Học sinh chưa có thói quen tổng hợp ghi nhớ tri thức phương pháp qua toán, dạng toán Kết luận khái quát Nhận thức rõ vị trí tầm quan trọng định lý Ta-lét chương trình Tốn THCS từ ý tưởng chuyên: “Định lý Ta-lét ứng dụng” đời Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi số sách viết chuyên đề nhà giáo khác, nghiên cứu thực đề tài Những năm gần đây, kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thi chọn HSG lớp cấp tỉnh kỳ thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin trường THPT chuyên thường xuất tốn hình học có nội dung áp dụng định lý Ta-lét Đây kiến thức mới, nhiên đòi hỏi học sinh phải có tư linh hoạt nhìn nhạy bén áp dụng nội dung định lý II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Từ thực tế giảng dạy mơn Tốn cho đối tượng học sinh khá, giỏi rút số kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề: “Định lý Ta-lét số ứng dụng” với mục đích áp dụng kinh nghiệm giảng dạy để giúp học sinh : - Nắm vứng nội dụng định lý Ta-lét tam giác định lý Ta-lét tổng quát - Trang bị cho học sinh cách có hệ thống dạng tập phương pháp giải Qua rèn luyện cho học sinh kỹ tính tốn, vẽ hình, phân tích, suy luận, tổng hợp,… - Rèn luyện phát triển cho học sinh phẩm chất trí tuệ, thao tác tư duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hố,… PHẦN 2: NỘI DUNG I – GIỚI THIỆU VỀ TA- LÉT Thalès de Milet hay theo phiên âm tiếng Việt Ta-lét (tiếng Hy Lạp: ΘαλῆςὁΜιλήσιος; khoảng 624 TCN – khoảng 546 TCN), triết gia, nhà toán học người Hy Lạp sống trước Socrates, người đứng đầu bảy nhà hiền triết Hy Lạp Ông xem nhà triết gia triết học Hy Lạp cổ đại, "cha đẻ khoa học" Tên ông dùng để đặt cho định lý tốn học ơng phát Ta-lét sống khoảng thời gian từ năm 624 TCN– 546 TCN, ông sinh thành phố Miletos, thành phố cổ bờ biển gần cửa sông Maeander (của Thổ Nhĩ Kỳ).Tuổi thọ ông cách xác Có hai nguồn: nguồn cho ông sống khoảng 90 tuổi, nguồn khác cho ông sống khoảng 80 tuổi Trước Ta-lét, người Hy Lạp giải thích nguồn gốc tự nhiên giới, vạn vật qua câu truyện thần thoại chúa trời, vị thần anh hùng Các tượng sấm, sét hay động đất cho vị thần tự nhiên.Ông quan niệm toàn giới khởi nguồn từ nước Nước chất chung tất vật, tượng giới Mọi gian khởi nguồn từ nước bị phân hủy lại biến thành nước Với quan niệm nước khởi nguyên giới, vật, tượng Ông đưa yếu tố vật vào quan niệm triết học giải thích giới Thế giới hình thành từ dạng vật chất cụ thể nước chúa trời hay vị thần Định lý Ta-lét: - Hai đường thẳng song song định hai đường thẳng giao đoạn thẳng tỷ lệ - Góc chắn nửa đường trịn vng - Đường kính chia đơi đường trịn thành hai phần - Hai góc đáy tam giác cân - Hai tam giác có hai cặp góc đối cặp cạnh tương ứng - Hai góc đối đỉnh Ta-lét người nghiên cứu thiên văn học, hiểu biết tượng nhật thực diễn mặt trăng che khuất mặt trời Ông nghĩ phương pháp đo chiều cao kim tự tháp Ai Cập vào bóng chúng Ta-lét coi người đặt vấn đề nghiên cứu Sự sống Trái Đất Ta-lét chết lúc già cách đột ngột xem vận hội Trên mộ ơng khắc dịng chữ: “Nấm mồ nhỏ bé làm sao! Nhưng vinh quang người này, ông vua nhà thiên văn, vĩ đại làm sao” II - KIẾN THỨC CƠ BẢN Đoạn thẳng tỉ lệ 1.1.Tỉ số hai đoạn thẳng - Tỉ số hai đoạn thẳng tỉ số độ dài chúng với đơn vị đo Như tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn 1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ: - Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ ta có tỉ lệ thức thức: AB A'B' AB CD = = hay CD C'D' A'B' C'D' - Tỉ lệ thức đoạn thẳng có tính chất tỉ lệ thức số *1 Tích trung tỉ tích ngoại tỉ AB A'B' = ⇔ AB.C 'D' = A ' B '.CD CD C'D' *2 Có thể hốn vị trung, ngoại tỉ:  AB CD  A'B' = C'D'  AB A'B'  CD C'D' = ⇔ = CD C'D' AB A'B'   A'B' C'D'  AB = CD  *3 Các tính chất dãy tỉ số nhau: AB A'B' AB ± A'B' = = (CD ≠ CD ') CD C'D' CD ± C'D' AB A'B' AB ± CD A'B' ± C'D' = ⇔ = CD C'D' CD C'D' Định lý Ta-lét tam giác 2.1.Định lý thuận: Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ VABC, B 'C ' PBC(B' ∈ AB, C' ∈ AC) GT KL AB' AC ' AB' AC ' BB' C 'C = ; = ; = AB AC B'B C 'C AB AC 2.2 Định lý đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh lại tam giác VABC, B' ∈ AB, C' ∈ AC GT AB ' AC ' = B' B C 'C B'C ' PBC KL 2.3 Hệ quả: Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có cạnh tương ứng tỉ lệ với cạnh tam giác cho GT KL VABC, B 'C ' PBC(B' ∈ AB, C' ∈ AC) AB' AC ' B'C ' = = AB AC BC Chú ý: Định lý Ta-lét thuận, đảo hệ trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại: Định lý Ta-lét tổng quát: 3.1 Định lý thuận: Nhiều đường thẳng song song định hai cát tuyến nhữngđoạn thẳng tương ứng tỷ lệ GT Cho a//b//c; d cắt a, b, c A, B, C; d’ cắt a, b, c A’, B’,C’ AB A ' B' KL = BC B 'C ' Hướng chứng minh: Ta chứng minh định lý cách qua A kẻ đường thẳng song song với d’ Đường thẳng cắt b, c theo thứ tự B '', C '' Dễ dàng chứng minh AB '' = A ' B ', B ''C '' = B 'C ' Sau áp dụng định lý Ta-lét tam giác vào VACC '' để có: AB AB'' AB A'B' = = từ suy kết luận BC B"C'' BC B'C' 3.2 Định lý đảo Cho đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ điểm theo thứ tự; A, B, C A’, B’, C’ thoả mãn tỉ lệ thức: AB A ' B ' = mà đường thẳng a, BC B ' C ' b, c song song với đường thẳng a, b, c song song với 3.3 Hệ quả(các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song) Hệ 1: Nhiều đường thẳng đồng quy định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Hướng chứng minh: Ta chứng minh hệ cách xét tam giác AOB AOC có AB//A’B’ AC//A’C’ Theo hệ định lý Ta-lét tam giác ta có: AB OA AC OA AB AC = = = từ suy ra: (đpcm) A 'B' OA ' A 'C ' OA ' A 'B' A 'C' Hệ 2: Nếu nhiều đường thẳng không song song định hai đường thẳng song song đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ chúng đồng quy điểm Hướng chứng minh: Gọi d1, d2, d3 ba đường thẳng không song song cắt hai đường thẳng song song a b A, B, C A’, B’, C’ thỏa mãn: AB AC  = A 'B' A 'C '   ⇒ d1, d2, d3 đồng quy O AB  ≠1  A 'B' Ta chứng minh định lý cách gọi giao điểm hai đường thẳng d1, d2 O Ta chứng minh d3 qua O Gọi C” giao điểm OC đường thẳng b Ta chưng minh C ' ≡ C '' Thật vậy, AC//A’C’ nên hệ ta có: AB AC AB AC = = mà theo giả thiết ta có : A 'B' A 'C '' A 'B' A 'C ' Từ suy C ' ≡ C '' Hay d3 qua O hay ba đường thẳng d1, d2, d3 đồng quy III – CÁC DẠNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT Định lý Ta-lét có nhiều ứng dụng giải tốn hình học như: Các tốn liên quan đến tỉ số đoạn thẳng; toán chứng minh hệ thức đoạn thẳng; toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng song song, nhiều đường thẳng đồng quy; toán diện tích, vận dụng để chứng minh định lý Tuy nhiên khuân khổ chuyên đề, chọn hai ứng dụng để trình bày là: Chứng minh hệ thức đoạn thẳng; chứng minh nhiều đường thẳng đồng quy nhiều điểm thẳng hàng Dạng CHỨNG MINH HỆ THỨC ĐOẠN THẲNG Dạng tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng tập hay khó Nếu lớp 7, hệ thức đoạn thẳng đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng khác,… lên lớp 8, học sinh sau học xong diện tích đa giác, định lý Ta-lét, tam giác đồng dạng, hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông kiến thức đường trịn lớp tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng phong phú Đối với tốn lớp 8, định lý Ta-lét trường hợp đồng dạng tam giác cơng cụ để giải tốn Ví dụ 1(lớp 8) Một đường thẳng qua A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a ) AE = EK EG b) 1 = + AE AK AG c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí qua A tích BK.DG có giá trị khơng đổi Hướng dẫn tìm lời giải: a) Từ AE = EK EG ⇔ AE EG AE EG = Vậy cần tìm mối liên hệ tỉ số EK AE EK AE BE ED 1 AE AE = + ⇔ + =1 b) Từ AE AK AG AK AG với Từ tìm mối liên hệ tỉ số AE AE DE BE ; với tỉ số AK AG DB BD c) Vì giả thiết cho hình bình hành có cạnh khơng đổi nên ta biểu diễn mối quan hệ tích BK.DG với cạnh hình bình hành BK.DG = AB.AD ⇔ BK BE AB = = AD ED DG Lời giải tóm tắt: a/ Vì BK//AD AB//DG nên theo hệ quảđịnh lý Ta-lét ta có: EK EB AE = = ⇒ AE = EK EG (đpcm) AE ED EG 1 AE AE = + + =1 b/ Từ suy ra: AE AK AG AK AG Vì BK//AD AB//DG nên theo định lý Ta-lét ta có : AE DE AE BE AE AE DE BE BD = , = + = + = = (đpcm) nên AK DB AG BD AK AG DB DB BD c/ Vì BK//AD KC//AD nên theo định lý Ta-lét ta có BK AB = KC CG KC CG = AD DG (1) (2) Nhân vế với vế (1) (2) ta được: BK AB = ⇒ BK DG = AB AD (khơng đổi) AD DG Ví dụ (lớp 8): ∆ ABC, O điểm thuộc miền tam giác, qua O kẻ HF//BC, DE//AB, MK//AC với H, K ∈ AB; E, M ∈ BC; D, F ∈ AC Chứng minh rằng: a) AK BE CF + + =1 AB BC CA b) DE FH MK + + =2 AB BC CA * Hướng dẫn tìm lời giải:Giả thiết cho đường thẳng song song, ta cố định tỉ số hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: chuyển tỉ số BE Hãy tìm cách BC AK CF , tỉ số có mẫu BC AB CA Lời giải (tóm tắt) a) KM//AC ⇒ AK MC = AB BC CF CI EM = = CA CB BC AK BE CF MC BE EM BC + + = + + = =1 suy ra: AB BC CA BC BC BC BC AK BE CF + + = (Đpcm) Vậy AB BC CA FH AH = b) FH//BC => BC AB KM BK = KM//AC => AC AB FH MK DE AH BK AK + BH AH + HB AK + KB + + = + + = + =2 BC AC AB AB AB AB AB AB Qua F kẻ FI//AB, I ∈ BC: nên ta được: (Đpcm) Ví dụ (lớp 8) Cho hình thang ABCD có AB = a, CD = b Qua giao điểm O hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD BC theo thứ tự E G Chứng minh rằng: 1 1 = = + OE OG a b * Hướng dẫn tìm lời giải: Từ 1 1 OE OE = + ⇔ OE( + ) = ⇔ + =1 OE a b a b AB CD Từ dựa vào hệ định lý Ta-lét ta tìm mối quan hệ tỉ số * Lời gải tóm tắt: OE DE OE DE = ⇔ = (1) AB DA a DA OE AE OE AE = ⇔ = Vì OE//CD nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: (2) DC DA b DA OE OE DE AE + = + =1 Cộng vế với vế (1) (2) ta được: a b DA DA 1 1 1 1 = + Chứng minh tương tự ta có = + Do đó: OE( + ) = hay a b OE a b OG a b Vì OE//AB nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: 10 Cho tam giác ABC vng A Đường cao AH, gọi E F theo thứ tự hình chiếu H AC AB Cho D điểm BC Gọi M, N theo thứ tự hình chiếu D AB AC Chứng minh rằng: CE AC = a) BF AB b) DB.DC = MA.MB + NA.NC Lời giải tóm tắt µ = 900, AH ⊥ BC a/ ∆ ABC, A AC HC Ta có: AC = CH.BC; AB = BH.BC ⇒ = (1) AB HB CH CE = Ta có: EH // AB ⇒ (Định lý Ta-lét) (2) HB EA AC AB = HF // AC ⇒ (hệ định lý Ta-lét) hay HF BF AC HF AC AE = = mà HF = AE nên (3) AB BF AB BF AC2 CH AC HC CE AE AC3 CE = = Từ (1), (2) (3) ta có: hay AB2 HB AB HB AE BF AB3 BF 2 b/ Dễ thấy MD//AC ND //AB BD MD CD NC MB Vì MD//AC nên theo hệ định lý Ta-lét ⇒ BC = AC = AB (4) ND Vì ND//AB nên theo hệ định lý Ta-lét ⇒ CB = AC = AB (5) BD.CD MD.NC MB.ND = = BC AC AB2 MD.NC + MB.ND MD.NC + MB.ND NA.NC + MB.MA = = = AC + AB2 BC BC ⇒ BD.CD = NA.NC + MA.MB Từ (4) (5) ⇒ Ví dụ 9: (Lớp 9)(Trích câu 4b đề thi vào lớp 10 chuyên Toán chuyên Tin – Thành phố Hà Nội – Năm học 2009 – 2010) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O) Gọi BD CE hai đường cao tam giác ABC b/ Tia AO cắt BC A1 cắt cung nhỏ BC A2 tia BO cắt AC B cắt cung nhỏ AC B2 Tia CO cắt AB C1 cắt cung nhỏ AB C2 AA BB CC 2 Chứng minh: A A + B B + C C = 1 1 15 Lời giải tóm tắt » M Ta có AK ⊥ BC Gọi H giao điểm BD CE AH cắt BC K cắt BC · · BAK = BCM · · · · Lại có BAK (cùng phụ với góc ABC) suy BCH nên tam giác BCM = BCH = BCM cân C, HK = KM (1) ·AMA = 900 nên MA2//BC AA MK AA HK S 2 HAB Theo định lý Ta-lét ta có: A A = KA Kết hợp với (1) suy ra: A A = KA = S (2) 1 ABC BB S CC S HAC 2 HAB Tương tự ta có: B B = S (3) C C = S (4) ABC ABC AA BB CC S ABC 2 Từ (2), (3) (4) suy ra: A A + B B + C C = S = (đpcm) 1 ABC Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, NHIỀU ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY, NHIỀU ĐIỂM THẲNG HÀNG Ở lớp để chứng minh hai đường thẳng song song ta phải tìm mối quan hệ góc mối quan hệ đường thẳng Để chứng minh đồng quy ta thường áp dụng tính chất đường tam giác, Đến lớp 8, sau học song định lý Ta-lét đảo, từ hệ thức độ dài đoạn thẳng cho ta kết luận đường thẳng song song ∆ ABC, AM AN = => MN / / BC AB AC Như định lý Ta-lét đảo cho ta thêm cách chứng minh đường thẳng song song Ví dụ (lớp 8): ∆ ABC, trung tuyến AM, phân giác AMC cắt AC H, phân giác góc AMB cắt AB K Chứng minh HK // BC Hướng dẫn tìm lời giải: Để chứng minh KH//BC ta chứng minh AH AK = , tìm cách chuyển tỉ số hai vế HC KB đẳng thức tỉ số cách sử dụng tính chất đường phân giác tam giác Lời giải: 16 AK AM · = Theo giả thiết: MK phân giác AMB => KB MB AH AM = HC MC AH AK = => KH / / BC (định Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra: HC KB MH phân giác góc AMC suy ra: lý Ta-lét đảo) Ví dụ 2(lớp 8):Qua giao điểm O đường chéo tứ giác ABCD, kẻ đường thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB M CD N Đường thẳng qua M song song với CD cắt AC E đường thẳng qua N song song với AB cắt BD F Chứng minh BE//CF * Hướng dẫn tìm lời giải: BE / / CF ⇔ OB OE = OF OC Hãy sử dụng đường thẳng song song giả thiết định lý Ta-lét để chứng minh hệ thức OB OE = OF OC * Lời giải tóm tắt: Theo giả thiết MB//NF OB OM = (1) OF ON OE OM = NC//ME => (2) OC ON OB OE = => BE / /CF (Định lý Ta-lét đảo) Từ (1) (2) suy ra: OF OC => Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh đường thẳng song song chứng minh hệ thức dạng a c = b d Ví dụ 3(lớp 8):Cho ∆ ABC, có AB + AC = 2.BC Gọi I giao điểm đường phân giác trong, G trọng tâm ∆ ABC (I khác G) Chứng minh IG // BC * Hướng dẫn tìm lời giải: Để chứng minh IG // BC, ta phải chứng minh Từ giả thiết toán suy ra: Hãy chứng minh AI AG AI = hay = ID GM ID AB + AC =2 BC AB + AC AI = , cách sử dụng tính BC ID chất đường phân giác * Lời giải: 17 Gọi AI cắt BC D, AG cắt BC M Nối B với I, C với I sử dụng tính chất đường phân giác tam giác ta được: AI AB AC AB + AC AB + AC = = = = ID BD CD BD + CD BC Theo giả thiết AB + AC = BC => Từ (1) (2) suy (1) AB + AC AI = (2) BC ID AI =2 ID (3) Vì G trọng tâm ∆ ABC nên: Từ (3) (4) suy ra: AG =2 GM (4) AG AI = => IG P BC GM ID (Đpcm) * Chú ý: + Bài toán đảo toán đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC + Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC giả thiết AB + AC < 2.BC kết luận toán thay đổi nào? (IG cắt tia MC) Ví dụ 4(lớp 8):∆ ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF đồng quy H Gọi M, N, P, Q hình chiếu D AB, BE, CF, CA Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng * Hướng dẫn tìm lời giải: Yêu cầu toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Giả thiết toán cho đường thẳng vng góc, từ có đường thẳng song song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng cách chứng minh nằm đường thẳng song song với EF * Lời giải tóm tắt: Từ giả thiết suy ra: AE AH HE // DQ => EQ = HD (1) (theo định lý Ta-lét) AF AH = (2) (theo định lý Ta-lét) FM HD AE AF Từ (1) (2) suy ra: EQ = FM => EF / / MQ (*) (theo định lý Ta-lét đảo) HF/ / DM => DM // CF suy ra: DN // CE suy ra: BM BD = (3) (theo định lý Ta-lét) BF BC BN BD = (4) (theo định lý Ta-lét) BE BC Từ (3) (4) suy ra: MN // EF (**) 18 CQ CD = (5) (theo định lý Ta-lét) QE DB DQ // BE suy ra: CP CD = (6) (theo định lý Ta-lét) PF DB CP CQ Từ (5) (6) suy ra: PF = QE => PQ / / EF DP // BF suy ra: (***) Kết hợp (*), (**) (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng * Nhận xét: Chứng minh điểm thẳng hàng cách chứng minh chúng nằm đường thẳng cố định Ví dụ 5(lớp 8): Cho tứ giác ABCD, vẽ đường thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD, BC theo thứ tự E F d2 cắt BA, BC theo thứ tự G H (GH khác EF) Chứng minh EG, DB, HF đồng quy * Hướng dẫn tìm lời giải: Theo giả thiết EF // AC // GH yêu cầu toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng quy, ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ định lý Ta-lét tổng quát, EG, BD, FH đồng quy ta chứng minh hệ thức ME NG ME DM = = , MF NH AO DO * Lời giải tóm tắt: Gọi M, O, N giao điểm EF, AC, GH với BD ME DM = AO DO MF DM = MF // OC suy OC DO MF ME = Từ (1) (2) suy ra: OC AO ME // AO suy ra: Chứng minh tương tự ta Từ (*) (**) suy ra: (1) (2) hay NH OC = NG OA MF OC = ME OA (*) (**) NH MF = mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy NG ME Nhận xét: Hệ định lý Ta-lét tổng quát cho ta cách chứng minh đường thẳng đồng quy Ở toán GH = EF đường thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nào? Ví dụ 6(lớp 8): Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC I, AC cắt BD O M, N trung điểm AB, DC Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng 19 Hướng dẫn giải Đây tập đơn giản, việc chứng minh sử dụng định lý Ta-lét tam giác hay phương pháp diện tích ta trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ định lý Ta-lét tổng quát Lời giải: Theo giả thiết M trung điểm AB, N trung điểm DC, nên suy ra: MB MA = ND NC Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O ∈ MN (1) Lại có: MA MB = mà AB// DC ND NC nên suy AD, MN, BC đồng quy hay I∈ MN(2) Từ (1) (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng * Nhận xét: - Bài toán vận dụng nhiều giải toán với tên gọi Bổ đề hình thang: “Trong hình thang có hai đáy khơng nhau, đường thẳng qua giao điểm đường chéo qua giao điểm đường thẳng chứa hai cạnh bên qua trung điểm hai đáy” Ngược lại: “ Trong hình thang có hai đáy không nhau, giao điểm hai cạnh bên, giao điểm hai đường chéo trung điểm hai đáy điểm thẳng hàng” Ta sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm đoạn thẳng mà dùng thước, vận dụng bổ đề hình thang để vận dụng giải số tốn hình học Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 7(lớp 8).Xét ví dụ 5_Dạng 1(Trích đề thi HOMC 2006) Cho tam giác ABC, PQ//BC với P, Q điểm tương ứng thuộc AB AC Đường thẳng PC QB cắt G Đường thẳng qua G song song với BC cắt AB E AC F Biết PQ = a EF = b Tính độ dài BC Lời giải (tóm tắt): Gọi M, N giao điểm AG với PQ BC Áp dụng bổ đề hình thang cho hình thang: BCQP BCEF dễ dàng suy được: MP = MQ; GE = GF; NB = NC 20 BC PC BC PC = ⇔ = b Vì PQ//EF//BC nên theo hệ định lý Ta-lét ta có: EG GC GC (1) BC GC BC GC = ⇔ = (2) PQ PG a PG BC BC PC GC − = − =1 ab Từ (1) (2) ta có: b suy BC = a PG PG 2a − b Ví dụ (lớp 9) Đường trịn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC D, đường trịn tâm (J) bàng tiếp góc A tam giác tiếp xúc với cạnh BC H Vẽ đường kính DD’ đường trịn (I) Chứng minh ba điểm A, D’, H thẳng hàng Hướng dẫn tìm lời giải: Để chứng minh A, D’, H thẳng hàng ta cần chứng minh AD’ AH trùng Mà A, I, J thẳng hàng Từ cho ta định hướng chứng minh góc tạo AD’ AH với AI Từ mối quan hệ tiếp tuyến dây cung ta suy IF//GJ Từ vận dụng định lý Ta-lét tam giác đồng dạng ta chứng minh tốn Lời giải tóm tắt: Gọi F G tương ứng tiếp điểm đường tròn (I) đường tròn (J) với AB IF AI = Ta có IF ⊥ AB, GJ ⊥ AB nên IF//GJ Theo Ta-lét ta có: mà ID’ = IF, JG = GJ JH nên AJ ID' AI = JH AJ ¶ ' = ·AJH suy VAID ' : VAJH (c-g-c), ta có I ·AD ' = JAH · Lại có: DD’//JH nên AID nên hai tia AD’ AH trùng nhau, nghĩa ba điểm A, D’, H thẳng hàng Nhận xét: Qua toán ta thấy gọi bán kính đường trịn (I) R bán kính đường trịn (J) R’ ta có: R AD ' = R ' AH Vận dụng tốn ta giải tốn sau: 21 Ví dụ (lớp 9) Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh đường tròn bàng tiếp góc A hai tam giác ABD ACD Lời giải tóm tắt Theo tốn ta chứng minh tứ A, M’, H thẳng hàng Và A, N, E thẳng hàng Dễ dàng chứng minh MM’N’N hình chữ nhật nên MM’ //BC Nên theo định lý Ta-lét ta có: AM ' AN ' = Theo nhận xét dễ dàng suy ra: AH AE IM ' I ' N ' = mà IM’ = I’N’ từ suy ra: KH = K’E (đpcm) KH K ' E Ví dụ 8(lớp 8).Định lý Menelaus (Nhà toán học cổ Hy Lạp, kỷ I sau công nguyên) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ nằm đường thẳng BC, CA, AB cho chúng khơng có điểm nào, có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Khi A’, B’, C’ thẳng hàng A'B B ' C C ' A =1 A 'C B ' A C ' B Chứng minh * Trường hợp 1: Trong điểm A’, B’, C’ có điểm thuộc cạnh tam giác ABC Giả sử B’, C’ Phần thuận Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt 22 đường thẳng B’C’ M Ta có: C'A AM B ' C A ' C A'B B ' C C ' A AM A ' C A ' B = ; = = =1 Vậy C ' B A ' B B ' A AM A ' C B ' A C ' B A ' B AM A ' C Phần đảo: Gọi A’’ giao B’C’ với BC Áp dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có mà A''B B ' C C ' A =1 A '' C B ' A C ' B A'B B ' C C ' A A''B A ' B = nên = Do B’, C’ thuộc cạnh CA, AB A 'C B ' A C ' B A '' C A ' C nên A’’ nằm cạnh BC Vậy A''B A ' B = A’, A’’ nằm cạnh BC suy A '' ≡ A ' Do A’, B’, C’ A '' C A ' C thẳng hàng * Trường hợp 2: Trong điểm A’, B’, C’ điểm thuộc cạnh tam giác ABC chứng minh tương tự Ví dụ 9(lớp 8) Định lý Ceva (Nhà toán học Ý, 1647-1734) Cho tam giác ABC Các điểm A’, B’, C’ thuộc đường thẳng BC, CA, AB Khi AA’, BB’, CC’ đồng quy A'B B ' C C ' A = A'C B ' A C ' B Chứng minh Phần thuận: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BB’, CC’ M, N Theo hệ định lý Ta-lét ta có: B ' C BC C'A AN A ' B AM = ; = ; = B ' A AM C ' B BC A ' C AN Vậy ta có A'B B ' C C ' A AM BC AN = =1 A ' C B ' A C ' B AN AM BC Phần đảo: Gọi I giao BB’ CC’ Giải sử AI cắt BC A’’, suy A’’ thuộc BC Theo định lý Ceva (phần thuận) ta có nên A''B B ' C C ' A A'B B ' C C ' A = mà =1 A '' C B ' A C ' B A'C B ' A C ' B A'B A '' B = Từ suy A '' ≡ A ' Do AA’, BB’, CC’ đồng quy A ' C A '' C Nhận xét: 23 Định lý Menelaus định lý Ceva định lý áp dụng nhiều toán hình học bồi dưỡng HSG, đề thi vào trường chun tốn, chun tin kì thi học sinh giỏi Sau số toán áp dụng định lý trên: Ví dụ 10(lớp 9): (Trích Câu 5.d Đề HSG tỉnh Phú Thọ 2010-2011) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB Qua B kẻ tiếp tuyến d đường tròn (O) MN đường kính thay đổi đường trịn (M khơng trùng với A, B) Các đường thẳng AM AN cắt đường thẳng d C D Gọi I giao điểm CO BM Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E, cắt đường thẳng d F Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng Lời giải Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng B, I, M ta có: AB OI CM OI MA = =1 ⇒ IC 2CM BO IC MA (1) Tương tự với tam giác BCO ba điểm thẳng hàng A, I, F ta có: OI FB = IC 2CF (2) Từ (1) (2) ta có MA FB = Do MF // AB CM CF (định lý Ta lét đảo) mà AB ⊥ BC · ⇒ MF ⊥ BC ⇒ MFC = 900 · · Ta có EFB (cùng phụ với góc EAB); = EBA · · (tứ giác AMEB nội tiếp) EBA = EMC · · ⇒ Tứ giác MEFC nội tiếp ⇒ EFB = EMC · · ⇒ MEC = MFC = 90 Do đó: ME ⊥ EC (3) · Lại có MEN = 900 (chắn nửa đtròn) ⇒ ME ⊥ EN (4) Từ (3) (4) suy C, E, N thẳng hàng Ví dụ 11(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chun Tốn, Vĩnh Phúc 2013-2014) 24 Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC Gọi D, E, F chân đường cao kẻ từ A, B, C Gọi P giao điểm đường thẳng BC EF Đường thẳng qua D song song với EF cắt đường thẳng AB, AC, CF Q, R, S Chứng minh: a) Tứ giác BQCR nội tiếp b) PB DB = D trung điểm QS PC DC c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Lời giải A a) Do AB < AC nên Q nằm tia đối tia BA R nằm đoạn CA, E từ Q, C nằm phía F đường thẳng BR H · Do tứ giác BFEC nội tiếp nên ·AFE = BCA , S B P · Do QR song song với EF nên ·AFE = BQR D M Q · · Từ suy BCA = BQR hay tứ giác BQCR nội tiếp b) Tam giác DHB đồng dạng tam giác EHA nên Tam giác DHC đồng dạng tam giác FHA nên Từ hai tỷ số ta DB HB = AE HA DC HC = AF HA DB AE HB AE FB = = ( 1) DC AF HC AF EC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến PEF ta được: PB EC FA PB AE FB =1⇔ = ( 2) PC EA FB PC AF EC Từ (1) (2) ta PB DB = ( 3) PC DC Do QR song song với EF nên theo định lý Ta-lét DQ BD DS CD = , = PF BP PF CP Kết hợp với (3) ta DQ = DS hay D trung điểm QS c) Gọi M trung điểm BC Ta chứng minh DP.DM = DQ.DR Thật vậy, tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ.DR = DB.DC (4) DC − DB  ÷ = DB.DC    Tiếp theo ta chứng minh DP.DM = DB.DC ⇔ DP  DP ( DC − DB ) = DB.DC ⇔ DB ( DP + DC ) = DC ( DP − DB ) ⇔ DB.PC = DC PB 25 R C ⇔ PB DB = (đúng theo phần b) Do DP.DM = DB.DC ( 5) PC DC Từ (4) (5) ta DP.DM = DQ.DR suy tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR qua trung điểm BC Ví dụ 12(lớp 9) (Trích Đề thi vào lớp Chuyên Tin, Vĩnh Phúc 2011-2012)Cho tam giác ABC có AB = AC Trên cạnh AB, AC lấy điểm E , D cho DE = DC Giả sử đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng EB cắt đường thẳng BC F Chứng minh đường thẳng EF chia đơi góc ·AED Lời giải Gọi M trung điểm BE , G giao điểmcủa đường thẳng EF , AC Ta chứng minh GA EA = × GD ED Áp dụng định lý Ménélaus cho ∆ADM với cát tuyến G, E , F ta có: GA FD EM GA FM EA × × =1⇒ = × GD FM EA GD FD EM Lấy I ∈ BC cho DI P AB Khi hai tam giác FMB, FDI đồng dạng nên FM BM = FD DI FM BM BM = = Do ∆ABC cân, DI P AB nên ∆DCI cân, hay DI = DC = DE suy ra: FD Do M trung điểm BE nên EM = MB Vậy DI DE EA EA = EM MB GA FM EA BM EA EA = × = × = điều phải chứng minh GD FD EM DE BM ED KẾT LUẬN SỐ 2: - Định lý Ta-lét đảo cho ta cách chứng minh đường thẳng song song Khi gặp toán chứng minh hai đường thẳng song song ta có thêm cách phân tích để tìm lời giải, chuyển từ chứng minh đường thẳng song song chứng minh hệ thức đoạn thẳng - Bài toán chứng minh nhiều điểm thẳng hàng, nhiều đường thẳng đồng quy cách phân tích tìm lời giải quen thuộc ta có thêm cách phân tích tìm lời giải theo hướng sử dụng kết qủa suy từ định lý Ta-lét, bổ đề hình thang, định lý Menelaus định lý Ceva 26 27 III – MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1(lớp 8): Cho ∆ ABC đều, trọng tâm G, M điểm nằm bên tam giác, đường thẳng MG cắt đường thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ , C’ Chứng minh: A'M B ' M C ' M + + =3 A'G B 'G C 'G Bài 2(lớp 8): a) Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC, điểm N cạnh CD cho: CN =2 ND Gọi giao điểm AM, AN với BD P, Q Chứng minh: S( APQ ) = S( AMN ) b) Chứng minh kết luận câu a) thay điều kiện : “M trung điểm BC, N cạnh CD cho: “M cạnh BC, N cạnh CD cho CN = ” điều kiện tổng quát ND CN BM =2 ” ND MC Bài 3(lớp 8): Cho ∆ ABC, I giao điểm đường phân giác , G trọng tâm ∆ ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm, a) Chứng minh: IG // BC b) Tính IG = ? Bài 4(lớp 8+9): Cho ∆ ABC, cạnh BC, CA AB lấy điểm M, N P cho: BM CN AP = = = k (k > 0) MC CA AB a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu ∆(k) b) Tìm k để diện tích tam giác ∆(k) nhỏ Bài 5(lớp 8): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABD ACD Bài 6(lớp 8+9) Cho tam giác ABC điểm M nằm tam giác AM, BM, CM cắt cạnh đối diện A 1, B1, C1 Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác A1B1C1 cắt cạnh BC, CA, AB điểm thứ hai A 2, B2, C2 Chứng minh AA2, BB2, CC2 đồng quy Bài (lớp 9) Cho (O1) (O2) cắt hai điểm A, B Các tiếp tuyến A B (O1) cắt K Lấy điểm M nằm (O1) không trùng A B Đường thẳng AM cắt (O2) điểm thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O 1) điểm thứ hai 28 C đường thẳng AC cắt (O2) điểm thứ hai Q Gọi H giao điểm PQ với đường thẳng MC Chứng minh rằng: H trung điểm PQ Bài 8(lớp 8+9) Cho góc xOy, tia Ox lấy hai điểm C A, tia Oy lấy hai điểm D B cho AD cắt BC E Các đường thẳng AB CD cắt K; tia OE cắt AB I Chứng minh rằng: IA KA = IB KB Bài 9(lớp 9): Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm D cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABD ACD Chứng minh đường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABD ACD PHẦN 3: KẾT LUẬN Trong thời gian giảng dạy trường THCS, qua học hỏi kinh nghiệm thày cô giáo bạn đồng nghiệp, viết đề tài với mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm q trình dạy BD HSG tốn Trong phạm vi đề tài cố gắng hệ thống lại hai dạng tập vận dụng định lý Ta-lét mà học sinh thường gặp tình giải toán, đặc biệt bồi dưỡng HSG Tuy có cố gắng tìm tịi, nghiên cứu trình độ, kinh nghiệm cịn hạn chế thời gian có hạn chắn đề tài cịn có nhiều thiếu sót, hạn chế Tơi mong góp ý bạn đồng nghiệp để nội dung đề tài phong phú đầy đủ Trân trọng cảm ơn! 29 ... dụng toán cho toán khác, kỹ chuyển đổi toán, khai thác toán theo hướng đặc biệt hoá, khái quát hoá chưa cao - Học sinh chưa có thói quen tổng hợp ghi nhớ tri thức phương pháp qua toán, dạng toán. .. Tốn THCS từ ý tưởng chuyên: “Định lý Ta-lét ứng dụng” đời Thông qua thực tế giảng dạy kết hợp với bồi dưỡng học sinh giỏi số sách viết chuyên đề nhà giáo khác, nghiên cứu thực đề tài Những năm gần... tài Những năm gần đây, kỳ thi giao lưu HSG lớp 8,9 cấp huyện, kì thi chọn HSG lớp cấp tỉnh kỳ thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin trường THPT chuyên thường xuất tốn hình học có nội