Hàm tăng chậm và dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TẠ THỊ HỒNG THỨC HÀM TĂNG CHẬM VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc TS Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên em suốt thời gian nghiên cứu vừa qua Xin chân thành cảm ơn tới q thầy khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12b Em xin cảm ơn đến bạn học viên bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ em trình học tập nghiên cứu trường Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân ln khuyến khích động viên tác giả suốt trình học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số giới hạn dãy số 1.2 Hàm số giới hạn hàm số 1.3 Tính liên tục đạo hàm hàm số 1.4 Vô bé vô lớn 10 Chương Hàm tăng chậm dãy số 13 2.1 Định nghĩa ví dụ 13 2.2 Tính chất hàm tăng chậm 13 2.3 Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm 20 2.4 Hàm tăng chậm dãy số trung bình nhân 31 Chương Hàm α-tăng chậm 35 3.1 Định nghĩa ví dụ 35 3.2 Tính chất 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Mở đầu Cho f (x) hàm số xác định khoảng [a, ∞) thỏa mãn f (x) > , lim f (x) = ∞ đạo hàm liên tục f (x) > Hàm số f (x) gọi x→∞ tăng chậm thỏa mãn điều lim f (x) x→∞ f (x) x = Một ví dụ hàm tăng chậm hàm số f (x) = log x Khái niệm hàm tăng chậm Jakimczuk định nghĩa năm 2010 báo “Functions of slow increase and integer sequences” xuất tạp chí Journal of Integer sequence Trong báo này, ơng chứng minh số tính chất hàm tăng chậm áp dụng tính chất hàm tăng chậm nghiên cứu số toán dãy số Các kết tiếp tục ông phát triển công bố số kết báo “Integer sequences, functions of slow increase, and the Bell numbers” xuất năm 2011 Sau đó, hàm tăng chậm nhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu Năm 2012, Shang [4] mở rộng khái niệm hàm tăng chậm để định nghĩa nghiên cứu hàm α-tăng chậm, đồng thời nghiên cứu số áp dụng tính chất hàm α-tăng chậm để nghiên cứu số dãy số Mục tiêu đề tài trình bày lại kết nói hàm tăng chậm hàm α-tăng chậm Trước trình bày lại kết này, luận văn nhắc lại cách sơ lược số kiến thức dãy số thực, giới hạn dãy số thực, giới hạn hàm số biến số thực Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày thành chương Trong chương 1, luận văn trình bày lại số kiến thức dãy số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số biến số thực, đạo hàm, đại lượng vô bé, đại lượng vô lớn Các nội dung sử dụng cho chương sau luận văn Chương luận văn trình bày khái niệm hàm tăng chậm, số kết hàm tăng chậm áp dụng vào nghiên cứu số dãy số nguyên Nội dung chương tham khảo từ hai báo [2] [3] Jakimczuk Dựa vào báo [4] Shang, luận văn trình bày chương khái niệm tính chất hàm α-tăng chậm, số áp dụng hàm số vào nghiên cứu dãy số Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số giới hạn dãy số Một dãy số X ⊂ R vơ hạn có thứ tự số X (xn )n∈N = x0 , x1 , x2 , x3 , Nói cách khác, dãy X ánh xạ x : N → X, n → xn = x (n) Có nhiều cách khác để mô tả dãy số liệt kê phần tử, thông qua biểu thức xác định dãy, thông qua biểu thức đệ quy, Định nghĩa 1.1.1 Giá trị a ∈ R gọi giới hạn dãy số (xn )n∈N với > bé tùy ý, tìm số tự nhiên N đủ lớn (phụ thuộc ), cho n > N |xn − a| < Khi ta nói dãy (xn ) hội tụ a ký hiệu lim xn = a hay lim xn = a hay xn → a, n → ∞ n→∞ Dưới vài tính chất giới hạn dãy số: • Định nghĩa giới hạn dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu dãy • Dễ thấy: lim xn = a lim |xn − a| = n→∞ n→∞ • Nếu (xn ) hội tụ, giới hạn Thực vậy, a b giới hạn (xn ), |a − b| |a − xn | + |xn − b| → 0, n → ∞ Vậy |a − b| = hay a = b Định nghĩa 1.1.2 Dãy số (xn ) gọi có giới hạn dương vơ cùng, ký hiệu lim xn = +∞ lim xn = ∞, với E > lớn tùy ý, n→∞ n→∞ tồn số tự nhiên NE đủ lớn cho xn > E, với n > NE Dãy số (xn ) gọi có giới hạn âm vơ cùng, ký hiệu lim xn = −∞, n→∞ với E > lớn tùy ý, tồn số tự nhiên NE đủ lớn cho xn < −E, với n > NE Nếu dãy số (xn ) có giới hạn dương vơ âm vơ ta nói (xn ) dãy phân kỳ Dưới số tính chất giới hạn dãy số thường sử dụng tính tốn Mệnh đề 1.1.3 (Tính bị chặn) Nếu (xn ) hội tụ tồn M > cho |xn | < M, ∀n Mệnh đề 1.1.4 (Tính bảo tồn qua phép toán) Giả sử (xn ) (yn ) xn dãy hội tụ Khi dãy (xn + yn ), (xn yn ), ( ) (giả thiết thêm yn lim yn = 0) hội tụ lim (xn + yn ) = lim xn + lim yn , lim (xn yn ) = n→∞ lim xn lim yn , lim xynn n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim xn = n→∞ n→∞ n→∞ n→∞ lim yn n→∞ Mệnh đề 1.1.5 (Tính bảo tồn thứ tự) Giả sử (xn ) (yn ) dãy hội tụ với n đủ lớn xn yn Khi lim xn n→∞ lim yn n→∞ Mệnh đề 1.1.6 (Tính chất kẹp giữa) Giả sử với n đủ lớn ta có xn yn zn lim xn = lim zn = a Khi lim yn = a n→∞ n→∞ n→∞ 1.2 Hàm số giới hạn hàm số Một hàm số biến số thực ánh xạ f : X → Y, x → y = f (x) X, Y tập R Tập X gọi miền xác định f Tập f (X) = {y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f (x)} gọi miền giá trị f Cho f, g : X → R hai hàm số xác định tập X Khi f định nghĩa hàm f ± g, f g, (nếu g(x) = 0, ∀x ∈ X) cách tự g nhiên sau (f ± g) (x) = f (x) ± g (x) , f g (x) = f (x) g (x) , f f (x) (x) = , x ∈ X g g (x) Cho f : X → Y g : Y → Z hai hàm số Khi hàm hợp g ◦ f : X → Z định nghĩa g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X Định nghĩa 1.2.1 (Tính đơn điệu) Cho f hàm số xác định tập X Hàm f gọi tăng (tương ứng tăng ngặt) X x1 , x2 ∈ X x1 < x2 kéo theo f (x1 ) f (x2 ) (tương ứng f (x1 ) < f (x2 )) Hàm f gọi giảm (tương ứng giảm ngặt) X x1 , x2 ∈ X x1 < x2 kéo theo f (x1 ) f (x2 ) (tương ứng f (x1 ) > f (x2 )) Định nghĩa 1.2.2 (Điểm tụ) Một điểm x điểm tụ tập hợp A lân cận x có chứa điểm A khác với x x điểm tụ A ⇔ ∀r > 0, ∃a ∈ A : < d (x, a) < r Định nghĩa 1.2.3 (Giới hạn) Cho hàm số f : X → R a điểm tụ X Hàm f gọi có giới hạn L ∈ R x tiến tới a với > bé tùy ý, tồn δ > cho x ∈ X mà < |x − a| < δ, |f (x) − L| < Khi ta viết lim f (x) = L hay f (x) → L, x → a x→a Dưới vài tính chất giới hạn hàm số Cho f, g, ϕ : X → R ba hàm số xác định X a điểm tụ X Giả sử lim f (x) = L lim g (x) = M Khi đó: x→a x→a • Ta có lim (f ± g) (x) = L ± M, x→a lim f g (x) = LM, x→a f L (x) = (M = 0) x→a g M lim • Nếu giả thiết thêm f (x) L g(x) với x lân cận a, M • Nếu giả thiết thêm f (x) ϕ(x) g(x) với x lân cận a L = M , lim ϕ (x) = L x→a • Nếu hàm hợp g ◦ f tồn lim f (x) = L, lim g (y) = A x→a y→L lim g ◦ f (x) = A x→a Có thể mở rộng khái niệm giới hạn a = ±∞ hay L = ±∞ Ta có định nghĩa sau: lim f (x) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : f (x) > E, ∀x ∈ X, < |x − a| < δ, x→a lim f (x) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > : f (x) > −E, ∀x ∈ X, < |x − a| < δ, x→a lim f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x > R, x→+∞ lim f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x < −R x→−∞ 1.3 Tính liên tục đạo hàm hàm số Định nghĩa 1.3.1 Cho f hàm xác định tập X chứa a Hàm f gọi liên tục a lim f (x) = f (a) x→a Lưu ý hàm số f (x) liên tục a với dãy (xn ) X mà lim xn = a ta có lim f (xn ) = f (a) Tổng, hiệu, tích, thương (với n→∞ n→∞ điều kiện mẫu khác 0) hàm liên tục a hàm liên tục a Nếu f liên tục a g liên tục f (a) hàm hợp g ◦ f liên tục a Định nghĩa 1.3.2 Cho f (x) hàm số xác định khoảng (a; b) f (x) − f (x0 ) x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn lim tồn giới hạn x→x0 x − x0 gọi đạo hàm hàm số f (x) x0 , ký hiệu f (x0 ) Nếu hàm số f (x) có đạo hàm điểm khoảng (a; b) ta có hàm số khoảng (a; b), gọi đạo hàm hàm số f khoảng (a; b), ký hiệu d f ký hiệu f dx Dưới số tính chất đạo hàm: • Nếu hàm số f có đạo hàm x0 liên tục • Nếu hàm số u v có đạo hàm x hàm số u + v uv có đạo hàm x ta có (u + v) = u + v , (uv) = u v + uv u Nếu có thêm v (x) = hàm số có đạo hàm x v u u v − uv = v v2 • Nếu hàm f có đạo hàm x hàm số g có đạo hàm y = f (x) hàm số hợp g ◦ f có đạo hàm x (g ◦ f ) (x) = f (x)g (f (x)) Định lý 1.3.3 (Định lý giá trị trung bình Lagrange) Nếu f hàm số liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = f (b) − f (a) b−a 28 Từ (2.43), (2.44) Bổ đề 2.3.5 suy ψ(x) i=1 ψ (x) ∼ log Ai s log ψ (x) (2.45) Từ (2.42) (2.45) suy ψ (x) log x , s log ψ (x) ψ (x) ≤ λ (x) ≤ h (x) h (x) → Tức 1≤ λ (x) log x ≤ h (x) ψ (x) s log ψ (x) (2.46) Cuối cùng, từ (2.31) (2.46) suy (2.41) Định lý 2.3.11 Nếu An thỏa mãn (2.23) biểu thức sau n Aαi i=1 n nsα+1 f (n)α − Aαn , ∼ sα + sα + (α > 0) , (2.47) ψ (x) α x , sα + (α > 0) (2.48) Aαi ∼ Ai ≤x Chứng minh Xét tổng n (is f (i))α , + + + (n − 1) + (2.49) i=n n số nguyên dương thuộc khoảng [a, ∞) Lưu ý (xem (2.23)) Aαi ∼ (is f (i))α (2.50) Do hàm số xs f (x) hàm tăng nên ta có n s n α (i f (i)) = i=n n xsα f (x)α dx + O (nsα f (n)α ) (2.51) 29 Mặt khác, theo (2.12), ta có n nsα+1 f (n)α x f (x) dx ∼ sα + α sα n (2.52) Từ (2.49), (2.51) (2.52) suy n n nsα+1 f (n)α (i f (i)) ∼ ∼ Aαn sα + sα + α s + + + (n − 1) + i=n (2.53) Bây giờ, từ (2.53), (2.50) Bổ đề 2.3.5 ta có (2.47) Nếu thay n = ψ (An ) vào biểu thức (2.47) tiến hành Định lý 2.3.4 Định lý 2.3.6 thu (2.48) Định nghĩa 2.3.12 Hàm tăng chậm f (x) gọi hàm phổ dụng với dãy An thỏa mãn (2.23) ta có f (An ) ∼ lf (n), l phụ thuộc vào dãy An Ví dụ 2.3.13 Phương trình (2.28) cho thấy f (x) = log x hàm phổ dụng, trường hợp l = s Phương trình (2.29) suy f (x) = log log x hàm phổ dụng, trường hợp l = không phụ thuộc vào dãy An Nhận xét 2.3.14 Nếu f (x) g(x) hàm phổ dụng hàm số f (x)α (α > 0), Cf (x) (C > 0) f (x)g(x) hàm phổ dụng Hơn nữa, f (x)/g(x) hàm tăng chậm hàm phổ dụng Định lý 2.3.15 Nếu f (x) hàm phổ dụng An thỏa mãn (2.23) ta có f (Ai )β ψ (x) ∼ với β Ai ≤x f (x)β , 30 Chứng minh Chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.3.6 chứng minh Định lý 2.3.8 Ví dụ 2.3.16 Vì f (x) = log x hàm phổ dụng nên, với dãy An thỏa mãn (2.23), ta có logβ Ai ψ (x) ∼ Ai ≤x logβ x Đặc biệt, β = có logβ Ai ψ (x) ∼ Ai ≤x log x Định lý 2.3.17 Tồn hàm tăng chậm mà hàm phổ dụng Chứng minh Ta chứng minh hàm tăng chậm sau hàm phổ dụng: log x g (x) = e log log x Chúng ta chứng minh tồn dãy An thỏa mãn (2.23) g (An ) = ∞ x→∞ g (n) lim Do An thỏa mãn (2.23) nên ta viết An = h1 (n) ns f (n) , với h1 (n) → Do   g (An ) log h1 (n) + s log n + log f (n) = exp  g (n) log log n + log s + log + log f (n) + log h1 (n) s log n s log n − log n  log log n Nếu s > (2.54) trở thành g (An ) s log n log n = exp h2 (n) − , g (n) log log n log log n (2.54) 31 h2 (n) → Tức g (An ) (s − 1) log n = exp h3 (n) , g (n) log log n với h3 (n) → Do đó, có g (An ) = ∞ x→∞ g (n) lim Suy điều cần chứng minh 2.4 Hàm tăng chậm dãy số trung bình nhân Trong mục này, chúng tơi trình bày số kết số dãy số trung bình nhân xác định hàm tăng chậm Trước tiên, nhắc lại hai bổ đề kết quen thuộc giải tích thực Bổ đề 2.4.1 Nếu {sn } dãy số dương có giới hạn s dãy số √ { n s1 s2 sn } có giới hạn s Bổ đề 2.4.2 Ta có giới hạn sau √ n n! lim = x→∞ n e Bổ đề sau cho ta thơng tin tiệm cận dãy số trung bình nhân xác định hàm tăng chậm Bổ đề 2.4.3 Nếu f (x) hàm tăng chậm khoảng [b, ∞) n f (b) f (b + 1) f (n) ∼ f (n) , b số nguyên dương (2.55) 32 Chứng minh Lưu ý ln giả sử f (x) > khoảng [b, ∞) Vì log f (x) tăng dương khoảng [b, ∞) nên n n (1 log f (i)) log f (i) = i=b n i=b = log f (x) dx + O (log f (n)) b n = n log f (n) + b (2.56) xf (x) dx + O (log f (n)) f (x) Theo quy tắc L’Hơpital ta có log f (x) f (x) = lim = x→∞ x→∞ f (x) x lim Vì O (log f (n)) = o (n) x Nếu tích phân b (2.57) tf (t) dt hội tụ thu f (t) x tf (t) dt f (t) = lim b x→∞ x x tf (t) Mặt khác, tích phân dt phân kỳ thu từ f (t) b quy tắc L’Hôpital (2.1) x lim b x→∞ tf (t) dt f (t) = x Suy n b xf (x) dx = o(n) f (x) (2.58) Từ (2.56), (2.57) (2.58) suy n log f (i) = n log f (n) + o(n) i=b (2.59) 33 Tức n n log f (i) = log f (n) + o (1) i=b Suy điều cần chứng minh Định lý 2.4.4 Giả sử An (n ≥ 0) dãy số dương cho An ∼ Cnα f (n)β , An−1 (2.60) f (x) hàm tăng chậm khoảng [b, ∞), C > 0, α > β số thực Nếu ≤ n < b ta đặt f (n) = Ta có cơng thức sau A1 A2 A0 A1 n n · · · AAn−1 An An−1 → , eα 1+ n1 An+1 ∼ eα An (2.61) , (2.62) log An = αn log n + βn log f (n) + (−α + log C) n + o (n) , (2.63) log An ∼ αn log n, (2.64) Cnα f (n)β An = e(α+o(1))n n (2.65) Chứng minh Từ giả thiết (2.60) ta có An An−1 Cnα f (n)β → (2.66) Áp dụng Bổ đề 2.4.1 ta n n n n Ak Ak−1 β α k=1 Ck f (k) k=1 = n n k=1 Ak Ak−1 Ck α f (k)β → 34 Suy n An ∼ n n A1 A2 An ∼ A0 A1 An−1 Ck α f (k)β n (2.67) k=1 Bổ đề 2.4.2 Bổ đề 2.4.3 suy n Ck α f (k)β n = √ C( n n!)α ( n k=1 nα β f (1) f (2) f (n)) ∼ C f (n) eα β (2.68) Từ (2.67), (2.68) (2.60) suy n An ∼ n A1 A2 An nα An ∼ C α f (n)β ∼ α A0 A1 An−1 e e An−1 (2.69) Suy (2.61) Từ (2.69) suy 1 n−1 Ann ∼ An−1 (2.70) Suy 1+ An ∼ eα An−1n−1 Vậy (2.62) chứng minh Từ (2.69) ta lại có nα log An = log C α f (n)β n e + o (1) Vậy (2.63) chứng minh Theo quy tắc L’Hôpital, (2.63) suy (2.64) log f (x) xf (x) = lim = x→∞ log x x→∞ f (x) lim Cuối cùng, (2.65) hệ trực tiếp (2.63) 35 Chương Hàm α-tăng chậm Mục đích chương trình bày kết công bố báo Y.Shang năm 2012 3.1 Định nghĩa ví dụ Hàm α-tăng chậm định nghĩa mở rộng khái niệm hàm tăng chậm giới thiệu chương trước Định nghĩa 3.1.1 Cho f (x) hàm xác định khoảng [a, ∞) cho f (x) > 0, lim f (x) = ∞ có đạo hàm liên tục f (x) > x→∞ Với α > 0, hàm f (x) gọi hàm α-tăng chậm lim x→∞ f (x) f (x) xα = (3.1) Dễ thấy rằng, hàm tăng chậm trình bày chương trước hàm α-tăng chậm với α = Dưới vài ví dụ điển hình cho hàm α-tăng chậm: • f (x) = x hàm α-tăng chậm với α < • f (x) = ln x f (x) = ln ln x hàm α-tăng chậm với α ≤ 36 3.2 Tính chất Định lý 3.2.1 Giả sử < α1 < α2 Nếu f (x) hàm α2 -tăng chậm hàm α1 -tăng chậm Chứng minh Tính chất dễ dàng suy từ định nghĩa hàm α-tăng chậm Định lý 3.2.2 Cho α1 , α2 , β > C ∈ R Nếu f (x) g(x) hàm α1 -tăng chậm α2 -tăng chậm phát biểu sau i) f (x) + C, Cf (x) f (x)β hàm α1 -tăng chậm ii) f (xβ ) hàm ((α1 − 1) β + 1)-tăng chậm (α1 − 1) β > −1 iii) f (x)g(x) f (x) + g(x) làm hàm {α1 , α2 }-tăng chậm Chứng minh Chúng trình bày chứng minh khẳng định thứ hai, khẳng định lại chứng minh tương tự Theo Định nghĩa ta có d f xβ βxα1 β f xβ x(α1 −1)β+1 dx = lim lim x→∞ x→∞ f (xβ ) f (xβ ) βy α1 f (y) = lim = y→∞ f (y) Suy f (xβ ) hàm ((α1 − 1)β + 1)-tăng chậm (α1 − 1)β > −1 Định lý 3.2.3 Nếu f (x) hàm α-tăng chậm với α ≥ ta có ln f (x) = x→∞ ln x lim fx(x) β = với x→∞ (i) lim (ii) β > (iii) lim f (x) = x→∞ Chứng minh Để chứng minh (i), ta sử dụng quy tắc L’Hôpital sau ln f (x) f (x) x f (x) xα lim = lim ≤ lim = 0, x→∞ ln x x→∞ f (x) x→∞ f (x) (3.2) 37 giả thiết α ≥ Để chứng minh (ii), giả sử < γ < β Theo (3.2), ta có f (x)x/f (x) < γ với x đủ lớn Suy f (x) xγ = f (x) xγ − γxγ−1 f (x) < 0, x2γ với x lớn Do đó, tồn < M < ∞ cho < f (x)/xγ < M Suy f (x) f (x) = lim · = x→∞ xβ x→∞ xγ xβ−γ lim Khẳng định (iii) hệ trực tiếp (ii) (3.1) Định lý 3.2.4 Cho C ∈ R Nếu f (x) hàm α-tăng chậm với α ≥ f (x + C) = x→∞ f (x) lim (3.3) Chứng minh Chúng ta chứng minh cho trường hợp C > 0, trường hợp C < chứng minh tương tự Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, ta có 0≤ f (x + C) − f (x) Cf (ξ) = , f (x) f (x) (3.4) với x < ξ < x + C Từ (3.4) khẳng định (iii) Định lý 3.2.3 suy giới hạn (3.3) Định nghĩa 3.2.5 Hàm số L(x) gọi biến đổi chậm L (tx) → 1, L (t) t → ∞, với x > Định lý cho ta mối liên hệ hàm α-tăng chậm hàm biến đổi chậm 38 Định lý 3.2.6 Cho C ∈ R Nếu f (x) hàm α-tăng chậm với α ≥ f (x) giảm f (Cx) = 1, x→∞ f (x) lim (3.5) tức là, f (x) biến đổi chậm Mặt khác, f (x) hàm biến đổi chậm với lim f (x) = ∞, đạo hàm liên tục f (x) > f (x) tăng f (x) x→∞ hàm α-tăng chậm với α ≤ Chứng minh Giả sử f (x) hàm α-tăng chậm C > Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, ta có: 0≤ f (Cx) − f (x) (Cx − x) f (ξ) = f (x) f (x) (C − 1) xf (x) ≤ f (x) (C − 1) xα f (x) ≤ , f (x) (3.6) với x < ξ < Cx Từ (3.6) Định nghĩa 3.1.1 suy giới hạn (3.5) Giả sử C < Tương tự, ta có 0≤ f (x) − f (Cx) (x − Cx) f (ξ) = f (Cx) f (Cx) − C Cxf (Cx) ≤ · C f (Cx) − C (Cx)α f (Cx) ≤ · , Cα f (Cx) (3.7) với Cx < ξ < x Từ (3.7) Định nghĩa 3.1.1 suy giới hạn (3.5) Mặt khác, giả sử f (x) thỏa mãn (3.5) Khi đó, cách lấy C > 1, ta có (C − 1) xα f (x) (C − 1) xf (x) 0≤ ≤ f (x) f (x) (C − 1) xf (ξ) ≤ f (x) 39 = f (Cx) − f (x) → 0, f (x) với x < ξ < Cx α ≤ Do đó, f (x) hàm α-tăng chậm Định lý cho tính chất hàm α-tăng chậm tương tự tính chất hàm tăng chậm trình bày Bổ đề 2.4.3 chương trước Định lý 3.2.7 Nếu f (x) hàm α-tăng chậm khoảng [a, ∞), với a số dương, ta có n f (a) f (a + 1) f (n) ∼ f (n) Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả sử f (x) > khoảng [a, ∞) Vì ln f (x) tăng dương, ta có n n ln f (i) = ln f (x) dx + O (ln f (n)) a i=a n = n ln f (n) − a xf (x) dx + O (ln f (n)) f (x) (3.8) Từ (3.1) quy tắc L’Hôpital suy ln f (x) f (x) = lim =0 x→∞ x→∞ f (x) x lim ln f (n) = o (n) x Nếu tích phân a (3.9) tf (t) dt hội tụ ta có f (t) x lim x→∞ a tf (t) dt f (t) = x (3.10) 40 x Mặt khác, tích phân a tf (t) dt phân kỳ thì, từ (3.1) quy tắc f (t) L’Hôpital suy x lim a x→∞ tf (t) dt xf (x) f (t) = lim = o x1−α x→∞ f (x) x (3.11) Từ (3.10) (3.11) suy n a xf (x) dx = o n1−α f (x) Từ (3.8), (3.9) (3.12) suy n ln f (i) = n ln f (n) + o (n), i=a tương đương với n n ln f (i) = ln f (n) + o (1) i=a Suy điều phải chứng minh (3.12) 41 Kết luận Dựa theo tài liệu tham khảo, luận văn trình bày số vấn đề sau: Nhắc lại sơ lược số kiến thức giới hạn dãy số, giới hạn hàm số biến số thực Khái niệm tính chất hàm tăng chậm; áp dụng hàm tăng chậm vào nghiên cứu số dãy số nguyên Khái niệm tính chất hàm α-tăng chậm; áp dụng hàm α-tăng chậm vào nghiên cứu số dãy số nguyên 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán học cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục Tiếng Anh [2] R Jakimczuk (2010), “Functions of slow increase and integer sequences”, J Integer Seq 13, Article 10.1.1 [3] R Jakimczuk (2010), “Integer Sequences, Functions of slow increase, and the Bell numbers”, J Integer Seq 14, Article 11.5.8 [4] Y Shang (2012), “Functions of α-slow increase”, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 4(1), pp 226–230 ... trình bày số vấn đề sau: Nhắc lại sơ lược số kiến thức giới hạn dãy số, giới hạn hàm số biến số thực Khái niệm tính chất hàm tăng chậm; áp dụng hàm tăng chậm vào nghiên cứu số dãy số nguyên Khái... 2.2 Tính chất hàm tăng chậm Từ định nghĩa hàm tăng chậm ta có số tính chất Định lý 2.2.1 Các khẳng định sau đúng: 14 i) Nếu f (x) g(x) hàm tăng chậm C α số dương hàm số sau hàm tăng chậm: f (x)... chất hàm α -tăng chậm để nghiên cứu số dãy số Mục tiêu đề tài trình bày lại kết nói hàm tăng chậm hàm α -tăng chậm Trước trình bày lại kết này, luận văn nhắc lại cách sơ lược số kiến thức dãy số