Bộ đề thi thử tốt nghiệp môn Toán có đáp án chi tiết

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần dưới đây 1. Từ đó chứng minh ABCD là một tứ diện. 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm D, đồng thời tiếp xúc v[r]

(1)

Page Website: www.caotu.tk

BỘ ĐỀ THI

THỬ TỐT

NGHIỆP MƠN

TỐN

(2)

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Môn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng

Đề số 01 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

- -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y (1 x) (42 x )

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C giao điểm ( )C với trục hoành

3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3 6x2 9x m Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 22x 3.2x

2) Tính tích phân:

1

0

(1 ) x

I x e dx

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y e xx( x 1) đoạn [0;2]

Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc cạnh bên mặt đáy 600

Tính thể tích hình chóp

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần

1 Theo chương trình chuẩn

Câu I ( ,0 điể ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)B C

1) Chứng minh điểm A,B,C không thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc gốc toạ độ O lên mặt phẳng (ABC )

Câu Va (1,0 điểm): Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: z 2z 2i 2 Theo chương trình nâng c o

Câu IVb (2,0 điê m): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)B C 1) Chứng minh điểm A,B,C khơng thẳng hàng Viết phương trình mặt phẳng (ABC ) 2) Viết phương trình mặt cầu tâm B, tiếp xúc với đường thẳng AC

Câu Vb (1,0 điểm): Tính mơđun số phức z = ( i)2011

- Hết -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh:

BÀI GIẢI CHI TIẾT.

(3)

2 x y

2

3 4 4

2

O 1

 y x3 6x2 9x  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 3x2 12x

 Cho 12

3 x

y x x

x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

 Bảng biến thiên

x – +

y – 0 + 0 –

y + 4

0 –

 Hàm số ĐB khoảng (1;3), NB khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ ;

đạt cực tiểu yCT xCT

 y 6x 12 x y 2 Điểm uốn I(2;2)

 Giao điểm với trục hoành:

4 x

y x x x

x Giao điểm với trục tung: x y

 Bảng giá trị: x

y 4

 Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng hình vẽ bên

 ( ) :C y x3 6x2 9x Viết pttt giao điểm ( )C với trục hoành  Giao điểm ( )C với trục hoành: A(1;0), (4;0)B

 pttt với ( )C A(1;0): vaø

pt t t t aïi

0

1

: 0( 1)

( ) (1)

x y

A y x y

f x f

 pttt với ( )C B(4;0): vaø

pt t t t aïi

0

4

: 9( 4) 36

( ) (4)

x y

B y x y x

f x f

 Vậy, hai tiếp tuyến cần tìm là: y y 9x 36

 Ta có, x3 6x2 9x m x3 6x2 9x m (*)  (*) phương trình hoành độ giao điểm ( ) :C y x3 6x2 9x 4

d y: m nên số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C d

 Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt

0 m

 Vậy, với < m < phương trình cho có nghiệm phân biệt

Câu II

(4)

60

2a O

C B

A D

S (nhan)

(loai)

2

1

2

2t 3t t

t

 Với t = 2: 2x x

 Vậy, phương trình (*) có nghiệm x = 

1

0

(1 ) x

I x e dx

 Đặt u x x du xdx

dv e dx v e Thay vào cơng thức tích phân phần ta được:

1 1 0 1 0

0

0 0

(1 ) x x (1 1) (1 0) x ( )

I x e e dx e e e e e e e

 Vậy,

1

0

(1 ) x

I x e dx e

 Hàm số y e xx( x 1) liên tục đoạn [0;2]

 y ( ) (ex x2 x 1) e xx( x 1) e xx( x 1) ex(2x 1) e xx( x 2)

 Cho (nhan)

(loai)

2 [0;2]

0 ( 2)

2 [0;2]

x x

y e x x x x

x

 Ta có, f(1) e1 2(1 1) e

0

(0) (0 1)

f e

2 2

(2) (2 1)

f e e

 Trong kết trên, số nhỏ e số lớn e 2

 Vậy, khi

[0;2] [0;2]

miny e x 1; maxy e x

Câu III

 Gọi O tâm mặt đáy SO (ABCD SO đường cao ) hình chóp hình chiếu SB lên mặt đáy BO,

SBO 600 (là góc SB mặt đáy)

 Ta có, tan tan tan

2

SO BD

SBO SO BO SBO SBO

BO

0

2.tan60

a a

 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm

3

1 1

2

3 3

a

V B h AB BC SO a a a

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu IVa: Với A(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)B C

Ta có hai véctơ: AB ( 1; 2;4), AC ( 2;1;3) 

2 4 1

[ , ] ; ; ( 10; 5; 5) , ,

1 3 2

AB AC A B C không thẳng hàng

 Điểm mp(ABC : ) A(2;0; 1)

 vtpt mp(ABC : ) n [AB AC, ] ( 10; 5; 5)

(5)

4

10( 2) 5( 0) 5( 1)

10 5 15

2

x y z

 Gọi d đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng ( ), có vtcp u (2;1;1)

 PTTS

2 :

x t

d y t

z t

Thay vào phương trình mp( ) ta được:

1

2(2 ) ( ) ( ) 3t t t 6t t  Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm 1

2

1; ; H

Câu Va:  Đặt z a bi z a bi , thay vào phương trình ta

2( ) 2 6

3

2 2

2

a bi a bi i a bi a bi i a bi i

a a

z i z i

b b

 Vậy, z 2i

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: Với A(2;0; 1), (1; 2;3), (0;1;2)B C

 Bài giải hoàn toàn giống giải câu IVa (phần ban bản): đề nghị xem lại phần  Đường thẳng AC qua điểm A(2;0; 1), có vtcp u AC ( 2;1;3)

 Ta có, AB ( 1; 2;4) ( 2;1;3)

u AC Suy

2 4 1

[ , ] ; ; ( 10; 5; 5)

1 3 2

AB u

 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC ta

2 2

[ , ] ( 10) ( 5) ( 5) 15

( , )

14 ( 2) (1) (3 )

AB u d B AC

u

 Mặt cầu cần tìm có tâm điểm B(1; 2;3), bán kính ( , ) 15 14

R d B AC nên có pt

2 2 225

( 1) ( 2) ( 3)

14

x y z

Câu Vb: Ta có, ( i)3 ( 3)3 3.( 3) 2i 3.i2 i3 3 9i 3 i 3i

(6)

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông

Đề số 02 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề - -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x3 3x2 3x

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có

phương trình y 3x

Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 6.4x 5.6x 6.9x 2) Tính tích phân:

0

(1 cos )

I x xdx

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y e xx( 3) đoạn [–2;2]

Hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân (BA = BC), cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy có độ dài a 3, cạnh bên SB tạo với đáy góc 600 Tính diện tích tồn phần hình chóp

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chọn hai phần 1 Theo chương trình chuẩn

Câu IVa (2,0 điê m): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(2;1;1) hai đường thẳng ,

1 2

: :

1 2

x y z x y z

d d

1) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A đồng thời vng góc với đường thẳng d

2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d đồng thời cắt đường thẳng d

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức:

4

( )z 2( )z

2 Theo chương trình nâng c o

Câu IVb (2,0 điê m): Trong không gian Oxyz cho mp(P) mặt cầu (S) có phương trình

( ) :P x 2y 2z ( ) :S x2 y2 z2 – 4x 6y 6z 17

1) Chứng minh mặt cầu cắt mặt phẳng

2) Tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng

Câu b (1,0 điểm): Viết số phức sau dạng lượng giác

2

z

i

- Hết -

(7)

6 x

y

2 2

1 I

O 1

Câu I :

 y x3 3x2 3x  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 3x2 6x

 Cho y 3x2 6x x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – +

y + 0 +

y – 1 +

 Hàm số ĐB tập xác định; hàm số không đạt cực trị  y 6x x y 1 Điểm uốn I(1;1)  Giao điểm với trục hoành:

Cho y x3 3x2 3x x Giao điểm với trục tung:

Cho x y

y

 Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

 ( ) :C y x3 3x2 3x Viết ( )C song song với đường thẳng :y 3x  Tiếp tuyến song song với :y 3x nên có hệ số góc k f x( )0

Do đó: 20 0 20 0

0

3 3

2 x

x x x x

x

 Với x0 y0 03 3.02 3.0

và f x( )0 nên pttt là: y 3(x 0) y 3x (loại trùng với )  Với x0 y0 23 3.22 3.2

và f x( )0 nên pttt là: y 3(x 2) y 3x  Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn đề là: y 3x

Câu II

 6.4x 5.6x 6.9x

Chia vế pt cho 9x ta

2

4 2

6 6

3

9

x x

x x (*)

 Đặt

x

t (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành

(nhan) , (loai)

2

6

2

t t t t

 Với

t :

1

2 2

1

3 3

x x

x

(8)

60

a 3

A

B

C S

d

d' A

B 

0 0

(1 cos ) cos

I x xdx xdx x xdx

 Với

2 2

1

0

2 2

x

I xdx

 Với 2

0

cos

I x xdx

 Đặt

cos sin

u x du dx

dv xdx v x Thay vào công thức tích phân phần ta được:

0

2 sin 0 sin ( cos )0 cos cos cos

I x x xdx x x

 Vậy,

2

1 2

I I I

 Hàm số y e xx( 3) liên tục đoạn [–2;2]

 y ( ) (ex x2 3) e xx( 3) e xx( 3) ex(2 )x e xx( 2x 3)

 Cho (nhan)

(loai)

2 [ 2;2]

0 ( 3)

3 [ 2;2]

x x

y e x x x x

x

 Ta có, f(1) e1 2(1 3) 2e

2 2

( 2) [( 2) 3]

f e e

2 2

(2) (2 3)

f e e

 Trong kết trên, số nhỏ 2e số lớn e 2

 Vậy, khi

[ 2;2]miny 2e x 1; max[ 2;2]y e x Câu III

 Theo giả thiết, SA AB SA , AC , BC AB BC , SA

Suy ra, BC (SAB) BC SB

Do đó, tứ diện S.ABC có mặt tam giác vng  Ta có, AB hình chiếu SB lên (ABC) nên SBA 600

tan ( )

3 tan

SA SA a

SBA AB a BC

AB SBO

AC AB2 BC2 a2 a2 a

SB SA2 AB2 ( 3)a a2 2a

 Vậy, diện tích tồn phần tứ diện S.ABC là:

2

1

( )

2

1 3

( )

2

TP SAB SBC SAC ABC

S S S S S

SAAB SB BC SAAC AB BC

a a a a a a a a a

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa:

 Điểm mp( ): (2;1;1)A

(9)

8 I

 Vậy, PTTQ mp( ): A x( x0) B y( y0) C z( z0)

1( 2) 3( 1) 2( 1)

2 3 2

3

x y z

 PTTS

2

:

1

x t

d y t

z t

Thay vào phương trình mp( ) ta được:

(2 ) 3(2 ) 2( ) 1t t t 7t t  Giao điểm ( ) d (4; 1; 3)B

 Đường thẳng đường thẳng AB, qua A(2;1;1), có vtcp u AB (2; 2; 4) nên có

PTTS:

2

: ( )

1

x t

y t t

z t

Câu Va: ( )z 2( )z

 Đặt t ( )z , thay vào phương trình ta 2

2

4 ( )

2

2 ( ) 2

z z

t z

t t

t z z i z i

 Vậy, phương trình cho có nghiệm:

1 ; 2 ; ;

z z z i z i

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb:

 Từ pt mặt cầu (S) ta tìm hệ số : a = 2, b = –3, c = –3 d = 17

Do đó, mặt cầu (S) có tâm I(2;–3;–3), bán kính R 22 ( 3)2 ( 3)2 17  Khoảng cách từ tâm I đến mp(P):

2 2

2 2( 3) 2( 3)

( ,( ))

1 ( 2)

d d I P R

 Vì d I P( ,( )) R nên (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến đường tròn (C) Gọi d đường thẳng qua tâm I mặt cầu vng góc mp(P) d có vtcp

(1; 2;2)

u nên có PTTS

2

:

3

x t

d y t

z t

(*) Thay (*) vào pt mặt phẳng (P) ta

1

(2 ) 2( ) 2( )

3

t t t t t

 Vậy, đường trịn (C) có tâm 5; 7; 11

3 3

H bán kính r R2 d2

Câu Vb:



2

1 2 2 2 1 1

2 (2 )(2 ) 4 4 4 4

i i i

z i z

i i i i

 Vậy, 1 2 2 cos sin

4 4 2 4

(10)

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông Đề số 03 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

- -

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x4 4x2

2) Dựa vào ( )C , biện luận số nghiệm phương trình: x4 4x2 2m 3) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C điểm ( )C có hồnh độ Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 7x 2.71 x 2) Tính tích phân:

2

(1 ln )

e

I x xdx

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số:

2 2 2

1

x x

y

x đoạn

1

[ ;2]

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Xác định tâm tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k , cho OI 2i 3j 2k mặt phẳng ( )P có phương trình: x 2y 2z

1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm điểm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )P 2) Viết phương trình mp( )Q song song với mp( )P đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S Câu (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:

3 4 3 1

y x x x y 2x

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm A(–1;2;7) đường thẳng d có

phương trình:

1

x y z

1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d 2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng d

Câu b (1,0 điểm): Giải hệ pt log4 log4 log 94

20

x y

- Hết -

(11)

10

Câu I :

 y x4 4x2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 4x3 8x

 Cho ( 2) 2 2 0

2 2

x

x x

y x x x x

x x x

 Giới hạn: lim lim

x y ; x y

x – 0 +

y + 0 – 0 + 0 –

y – 1 –3 1 –

 Hàm số ĐB khoảng ( ; 2),(0; 2), NB khoảng ( 2;0),( 2; ) Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ 2, đạt cực tiểu yCT = –3 xCT

 Giao điểm với trục hoành: cho

2

4

2

1

0

3

x x

y x x

x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x 2

y –3

 Đồ thị hàm số:

x y

y = 2m 2

- 2

- 3 3

1

2m -3 -1

O

1

 x4 4x2 2m x4 4x2 2m (*)

 Số nghiệm pt(*) với số giao điểm ( ) :C y x4 4x2 3 d: y = 2m  Ta có bảng kết quả:

M 2m Số giao điểm

của (C) d

Số nghiệm pt(*)

m > 0,5 2m > 0

m = 0,5 2m = 2

–1,5< m < 0,5 –3< 2m < 4

m = –1,5 2m = –3 3

m < –1,5 2m < –3 2

 x0 y0

3

( ) ( 3)

f x f y x x

(12)

a 2a I C B A D S

Câu II 7 2.71 7

7

x x x

x (*)

 Đặt t 7x (ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành

nhan nhan

2 2( )

14

9 14 9 14

7( )

t

t t t t t

t t

 Với t 2: 7x x log 27  Với t 7: 7x x

 Vậy, phương trình cho có nghiệm :x x log 27 

2

(1 ln )

e

I x xdx

 Đặt 2

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx x

v

Thay vào cơng thức tích phân phần ta được:

2

2 2

4 4

2

(1 ln ) (1 2) (1 1)

2 2

3

2 4 4

e e

e

e e

x x x e e x

I dx

e e e e e

e  Vậy, 4 e e I

 Hàm số

2 2 2

1

x x

y

x liên tục đoạn

1

[ ;2]



2 2

( 2) ( 1) ( 2)( 1) (2 2)( 1) ( 2)1

( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x x x x x x x x

y

x x x

 Cho (nhan)

(loai)

1

2

1

0 [ ;2]

0

2 [ ;2] x

y x x

x

 Ta có, f(0)

2

f (2) 10

3 f

 Trong kết trên, số nhỏ số lớn 10

 Vậy, khi

1

2

[ ;2] [ ;2]

10

min 0; max

3

y x y x

Câu III Theo giả thiết, SA AC , SA AD BC , AB BC , SA

Suy ra, BC (SAB BC) SB

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh CD SD  A,B,D nhìn SC góc vng nên A,B,D,S,C thuộc

đường trịn đường kính SC, có tâm trung điểm I SC

 Ta có, SC SA2 AC2 (2 )a ( 2)a a

 Bán kính mặt cầu:

2

SC a

R

 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD là:

2

4

2 a

S R a

(13)

12

Câu IVa:

 OI 2i 3j 2k I(2;3; 2)  Tâm mặt cầu: I(2;3; 2)  Bán kính mặt cầu:

2 2

2 2.3 2.( 2) 9

( ,( ))

3

1 ( 2) ( 2)

R d I P

 Vậy, pt mặt cầu ( )S là: (x a)2 (y b)2 (z c)2 R 2

2 2

(x 2) (y 3) (z 2)

 ( ) || ( ) :Q P x 2y 2z 0 nên (Q) có vtpt n n( )P (1; 2; 2) Do PTTQ mp(Q) có dạng ( ) :Q x 2y 2z D (D 9)  Do (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên

(nhan) loai

2 2

9 2.3 2.( 2)

( ,( )) 3

9( )

1 ( 2) ( 2)

D

D D

d I Q R D

D  Vậy, PTTQ mp(Q) là: ( ) :Q x 2y 2z

Câu Va: Cho 3

2 x

x x x x x x x

x

 Diện tích cần tìm là:

1

S x x x dx

hay

2

4

2 3 2

1 1

4 1

( 2)

4 12 12

x x x

S x x x dx x (đvdt)

 Gọi H hình chiếu A lên d H(2 t;1 ; )t t , AH (3 t t;2 1;t 7)  Do AH d nên AH u d (3 t).1 (2t 1).2 (t 7).1 6t t  Vậy, toạ độ hình chiếu A lên d H(3;3;1)

 Tâm mặt cầu: A(–1;2;7)

 Bán kính mặt cầu: R AH 42 12 ( 6)2 53

 Vậy, phương trình mặt cầu là: (x 1)2 (y 2)2 (z 7)2 53

Câu Vb: ĐK: x > y >

 log4 log4 log 94 log4 log 364 36

20 20 20

x y xy xy

x y x y x y

 x y nghiệm phương trình: 20 36 18

2

X

X X

X

 Vậy, hệ pt cho có nghiệm: 18 ;

2 18

x x

(14)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số:

1 x y

x

2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc – Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: log22x log (4 ) 54 x2

0

sin cos cos

x x

I dx

x

3) Tìm giá trị tham số m để hàm số sau đạt cực tiểu điểm x0

3 3 ( 1) 2

y x mx m x

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, BAC = 300 ,SA = AC = a SA vng góc với mặt phẳng (ABC).Tính VS.ABC khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ ( , , , )O i j k , cho OM 3i 2k , mặt cầu ( )S có

phương trình: (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2

1) Xác định toạ độ tâm I bán kính mặt cầu ( )S Chứng minh điểm M nằm mặt cầu,

từ viết phương trình mặt phẳng ( ) tiếp xúc với mặt cầu M

2) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu, song song với mặt phẳng ( ), đồng

thời vng góc với đường thẳng :

3 1

x y z

2 2 5 0

z z

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có toạ độ đỉnh

A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1)

1) Viết phương trình đường vng góc chung AB CD 2) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

Câu b (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau

ln

y x , trục hoành x = e

- Hết -

Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm

(15)

14 x y 1 2 2,5 3 3 2

-1 O 1

Câu I:



1 x y

x

 Tập xác định: D \{1}  Đạo hàm:

2

1

0, ( 1)

y x D

x

 Hàm số cho NB khoảng xác định không đạt cực trị  Giới hạn tiệm cận: lim ; lim 2

x y x y y tiệm cận ngang

;

1

lim lim

x y x y x

tiệm cận đứng  Bảng biến thiên

x –  +

y – –

y 2 – +

2

 Giao điểm với trục hoành: 1

y x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x –1

y 3/2 || 5/2

 Đồ thị hàm số hình vẽ bên đây:

 ( ) :

1 x

C y

x

 Tiếp tuyến có hệ số góc –4 nên f x( )0

0 2 0

1 2 2

4 ( 1)

1

4

( 1) 1

2

x x

x

x x x

 Với

3

0

2

3

4

2

x y pttt là: 4 10

2

y x y x

 Với

1

0

2

1

0

2

x y pttt là: 4

2

y x y x

 Vậy, có tiếp tuyến thoả mãn ycbt : y 4x y 4x 10

Câu II:

 Điều kiện: x > Khi đó, phương trình cho tương đương với

2 2

2 4 2

log x (log log x ) log x log x (*)  Đặt t log2x , phương trình (*) trở thành

3

2

3 log

6

2 log 2

t x x

t t

t x x (nhận hai nghiệm)

 Vậy, phương trình cho có hai nghiệm :x x

 3 3

0 0

sin cos sin cos sin

1

cos cos cos cos

x x x x x

I dx dx dx dx

(16)

a a A B C S

 Với

1 0

sin cos

x dx I

x , ta đặt t cosx dt sin x dx sin x dx dt Đổi cận: x

3

t 1

2

Thay vào:

2 1 1 1

ln ln1 ln ln

2

dt dt

I t

t t

 Với 3

0

2 0 3

I dx x

 Vậy, 1 2 ln2

3

I I I

 y x3 3mx2 (m2 1)x 2 có TXĐ D

 y 3x2 6mx m2  y 6x 6m

 Hàm số đạt cực tiểu

2

0

(2) 3.2

2

(2) 6.2

f m m

x

f m

hoac

2 12 11 0 1 11

1

12

m m

m

 Vậy, với m = hàm số đạt cực tiểu x0

Câu III Theo giả thiết, SA AB BC , AB BC , SA

Suy ra, BC (SAB BC) SB

 Ta có, cos 300

2 a

AB AC sin 300

2 a

BC AC

2

2 2

4

a a

SB SA AB a



2

1 3

2 2 24

ABC S ABC ABC

a a a a

S AB BC V SA S



2

1 7

2 2

SBC

a a a

S SB BC



3

2

3

1 21

( ,( )) ( ,( ))

3 24 7

S ABC

S ABC SBC

SBC

V a a

V d A SBC S d A SBC

S a

 OM 3i 2k M(3;0;2) ( ) : (S x 1)2 (y 2)2 (z 3)2  Mặt cầu có tâm I(1; 2;3) bán kính R

 Thay toạ độ điểm M vào phương trình mặt cầu: (3 1)2 (0 2)2 (2 3)2 Do đó, M ( )S

 ( ) qua điểm M, có vtpt n IM (2;2; 1)

 Vậy, PTTQ ( ) là: 2(x 3) 2(y 0) 1(z 2) 2x 2y z  Điểm d: I(1; 2;3)

(17)

16

2 1 2

[ , ] ; ; (1; 5; 8)

1 1 3

u n u

 Vậy, PTTS d là:

1

2 ( )

3

x t

y t t

z t

Câu Va: z2 2z 0 (*)

 Ta có, 22 4.( 1).( 5) 16 (4 )i 2  Vậy, pt (*) có nghiệm phức phân biệt

1

2

1

2 i

z i 2

2 i

z i

 Ta có, AB (0;1;0) CD (1;1; 1)

 Gọi M,N điểm nằm AB CD toạ độ M,N có dạng

(1;1 ;1), (1 ;1 ;2 )

( ; ; 1)

M t N t t t

MN t t t t

 MN đường vuông góc chung AB CD

0 1

1

AB MN t t

t t

t t t t

CD MN

 Vậy, 1; ;1 ,3 3 3; ; 1;0;

2 2 2

M N MN hay u (1;0;1) vtcp d cần tìm

PTCT đường vng góc chung cần tìm là:

1

( )

2

x t

y t

z t

 Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d  Vì A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) thuộc ( )S nên:

3 2 2 2 2

6 2 3 /

6 2 2 2

9 4 4 2

a b c d a b c d d a b c d

a b c d a b c d b b

a b c d a b c d b c c

a b c d a b c d a b c

/ / a

 Vậy, phương trình mặt cầu là: x2 y2 z2 3x 3y 3z

Câu Vb: Cho y lnx x

 Diện tích cần tìm là:

1 ln ln

e e

S x dx xdx

 Đặt

1 ln

u x du dx

x

dv dx v x Thay vào cơng thức tính S ta được:

1

ln e e ln 1ln1 e 1

S x x dx e e x e e (đvdt)

(18)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x2(4 x 2)

2) Tìm điều kiện tham số b để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

4 4 log 0

x x b

3) Tìm toạ độ điểm A thuộc ( )C biết tiếp tuyến A song song với d y: 16x 2011 Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: log (2 x 3) log (2 x 1)

3

sin cos

x

I dx

x

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y ex 4e x 3x đoạn [1;2] Câu III (1,0 điểm):

Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc với nhau, SB =SC = 2cm, SA = 4cm Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, từ tính diện tích mặt cầu

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho điểm A( 3;2; 3) hai đường thẳng

1

:

1 1

x y z

d 2 :

1

x y z

d

1) Chứng minh d 1 d cắt 2

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 d Tính khoảng cách từ A đến mp(P) 2 Câu Va (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:

2 1

y x x y x4 x

2 Theo chương trình nâng cao

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

1

:

1 1

x y z

d 2 :

1

x y z

d

1) Chứng minh d 1 d chéo 2

2) Viết phương trình mp(P) chứa d song song với 1 d Tính khoảng cách 2 d 1 d 2 Câu b (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:

2

y x , x y 4 trục hoành

Hết

(19)

18

x y

y = logm

- 2 2

4

-2 O 2

Câu I:

 y x2(4 x2) x4 4x 2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 4x3 8x

 Cho ( 2) 2 2 0

2 2

x

x x

y x x x x

x x x

 Giới hạn: lim lim

x y ; x y

x – 0 +

y + 0 – 0 + 0 –

y – 4 4

0 –

 Hàm số ĐB khoảng ( ; 2),(0; 2), NB khoảng ( 2;0),( 2; ) Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ 2,

đạt cực tiểu yCT = xCT

cho

2

4

2

0

2

x x

y x x

x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x 2 2

y 0

 x4 4x2 logb x4 4x2 logb (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = logb  Dựa vào đồ thị, (C) cắt d điểm phân biệt

4

0 logb b 10

 Vậy, phương trình (*) có nghiệm phân biệt 1 b 104

 Giả sử A x y Do tiếp tuyến A song song với :( ; )0 0 d y 16x 2011 nên có hệ số góc

3

0 0 0

( ) 16 16 16

f x x x x x x

 x0 y0  Vậy, A( 2;0)

Câu II:

log (2 x 3) log (2 x 1)

 Điều kiện: 3

1

x x

x

x x Khi đó,

2 2

log (x 3) log (x 1) log (x 3)(x 1) (x 3)(x 1) (loai

(nhan)

2 3 3 8 4 5 0 )

5 x

x x x x x

(20)

I M

H

S C

B A



3

sin cos

x

I dx

x

 Đặt cos sin sin

2 dt

t x dt x dx x dx

 Đổi cận: x

3

t

 Thay vào:

2

1

2 1

1 1

ln ln2 ln

2 2

dx dt

I t

t t

 Vậy, I ln

 Hàm số y ex 4e x 3x liên tục đoạn [1;2]  Đạo hàm: y ex 4e x

 Cho x x x 2x x

x

y e e e e e

e (1)

Đặt t e (t > 0), phương trình (1) trở thành: x (nhan)

(loai)

2 3 4 0 1 0 [1;2]

4

x

t

t t e x

t (loại)

 f(1) e

e

2

4

(2)

f e

e

 Trong kết số nhỏ là: e

e , số lớn

2

4 e

e  Vậy,

[1;2]

4

miny e

e x =

2 [1;2]

4

maxy e

e x =

Câu III

 Gọi H,M trung điểm BC, SA SMIH hbh

 Ta có, IH SA|| (SBC) IH SH SMIH hình chữ nhật

 Dễ thấy IH trung trực đoạn SA nên IS = IA

H tâm đường tròn ngoại tiếp SBC IH (SBC) nên IS IB IC ( IA) I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

 Ta có, 1 2 22 22

2 2

SH BC SB SC (cm) 1

2

IH SM SA (cm)

 Bán kính mặt cầu là: R IS SH2 IH2 ( 2)2 22  Diện tích mặt cầu : S R2 ( 6)2 24 (cm)

 d1 qua điểm M1(1; 2;3), có vtcp u1 (1;1; 1)

 d2 qua điểm M2(3;1;5), có vtcp u2 (1;2;3)

 Ta có [ , ]1 2 1; 1 1; (5; 4;1)

2 3 1

u u

và M M1 2 (2;3;2)

 Suy ra, [ , ].u u M M1 2 1 2 5.2 4.3 1.2 0, d1 d2 cắt

(21)

20  vtpt (P): n [ , ]u u1 2 (5; 4;1)

 Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x 1) 4(y 2) 1(z 3) 5x 4y z 16  Khoảng cách từ điểm A đến mp(P) là:

2 2

5.( 3) 4.2 ( 3) 16 42

( ,( )) 42

42

5 ( 4)

d A P

Câu Va: y x2 x 1 y x4 x

 Cho x2 x x4 x x2 x4 x 0,x

 Vậy, diện tích cần tìm :

1

S x x dx

0

3 5

0 2 4 2 4

1 1 0

2

( ) ( )

3 5 15 15 15

x x x x

S x x dx x x dx

 d1 qua điểm M1(1; 2;3), có vtcp u1 (1;1; 1)

 d2 qua điểm M2( 3;2; 3), có vtcp u2 (1;2;3)

 Ta có [ , ]1 2 1; 1 1; (5; 4;1)

2 3 1

u u

và M M1 2 ( 4;4; 6)

 Suy ra, [ , ].u u M M1 2 1 2 5.( 4) 4.4 1.( 6) 42 0, d1 d2 chéo

 Mặt phẳng (P) chứa d song song với 1 d 2  Điểm (P): M1(1; 2;3)

 vtpt (P): n [ , ]u u1 2 (5; 4;1)

 Vậy, PTTQ mp(P) là: 5(x 1) 4(y 2) 1(z 3)

5x 4y z 16

 Khoảng cách hai đường thẳng d1 d2 khoảng cách từ M2 đến mp(P):

1 2 2 2 2

5.( 3) 4.2 ( 3) 16 42

( , ) ( ,( )) 42

42

5 ( 4)

d d d d M P

Câu Vb:

 Ta có,

2

2 ( 0)

2 y

y x x y x y x y

Trục hoành đường thẳng có phương trình y = 0:

 Cho (nhan)

(loai)

2 4

4

2

y

y y

y

 Diện tích cần tìm là:

2

0

y

S y dx

2

0 0

14 14

( 4)

2 3

y y y

(22)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y 2x3 (m 1)x2 (m2 4)x m

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số m =

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C giao điểm ( )C với trục tung 3) Tìm giá trị tham số m để hàm số đạt cực tiểu x =

1) Giải phương trình: 2 log (2 x 2) log (20,5 x 1) 2) Tính tích phân:

2

0

( x 1)

x

e

I dx

e

3) Cho hàm số

2

x

y x e Chứng minh rằng, xy (1 x y 2)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3), ( 1;2; 4)B C D

1) Chứng minh ABC tam giác vng Tính diện tích tam giác ABC 2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Tính thể tích tứ diện ABCD

2

2 0

Câu IVb (2,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A(0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3)B C 1) Chứng minh ABC tam giác vuông Tính diện tích tam giác ABC

2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm B đồng thời vng góc với mặt phẳng (ABC) Xác định toạ độ điểm D cho tứ diện ABCD tích 14

Câu b (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức:

2

4

z z i

- Hết -

Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm

(23)

22 x

y

1

2 -1 O -1

Câu I:

 Với m = ta có hàm số: y 2x3 3x2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 6x2 6x

 Cho y 6x2 6x x hoac x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – –1 0

y + 0 – 0 + y

0

– –1

 Hàm số ĐB khoảng ( ; 1),(0; ), NB khoảng ( 1;0) Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ 1, đạt cực tiểu yCT = –1 xCT

 12 1

2

y x x y Điểm uốn: 1;

2

I

cho 3 1 hoac

2

y x x x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x

2

1

2

1

y 12

 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên  Giao điểm ( )C với trục tung: (0; 1)A

 x0 ;y0  f (0)

 Vậy, pttt A(0;–1) là: y 0(x 0) y  y 2x3 (m 1)x2 (m2 4)x m

 Tập xác định D

 y 6x2 2(m 1)x m2  y 12x 2(m 1)

 Hàm số đạt cực tiểu x0

(loai )

2

(0) 6.0 2( 1).0

(0) 12.0 2( 1)

2

4

2 2

1

2

f m m

f m

m m

 Vậy, với m hàm số đạt tiểu x0

Câu II:

 2 log (2 x 2) log (20,5 x 1) 0 (*)  Điều kiện:

2

2 x x

x

x x

(24)

60 a a 2 C B A D S (loai) (nhan)

2

( 2) (2 1)

5 x

x x x x

x  Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: x =



2 2

1 1

0 0

( 1) 2

( )

x x x x x

e e e e e

I dx dx dx

e e e e e

1

1 1 1 0 0

0

1 (ex e x)dx (ex 2x e x) (e 2.1 e ) (e 2.0 e ) e

e  Vậy,

2

0

( 1)

2

x

e

I dx e

e e

 Hàm số

2

x

y x e



2 2

2

2 2

( )

2

x x x x

x

y x e x e e x e

2 2

2

2 . (1 )

x x x

e x e x e

 Do đó,

2

2 2 2

(1 ) (1 ) (1 )

x x

xy x x e x x e x y

 Vậy, với

2

x

y x e ta có xy (1 x y 2)

Câu III  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD

SAD ABCD SA ABCD

SAB SAD SA

 Suy hình chiếu SC lên (ABCD) AC, SCA 600

 tanSCA SA SA AC.tanSCA AB2 BC2.tan 600 a2 (2 ) 3a a 15 AC

 SABCD AB BC a a.2 2a 2  Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là:

3

1 15

15

3 ACBD 3

a

V SAS a a (đvtt)

Câu IVa: A(0;1;2), ( 2; 1; 2), (2; 3; 3), ( 1;2; 4)B C D

 AB ( 2; 2; 4) AB ( 2)2 ( 2)2 ( 4)2

2 2

(4; 2; 1) ( 2) ( 1) 21

BC BC

2.4 2.( 2) 4.( 1)

AB BC ABC vng B

 Diện tích : 1.2 21 14

2

ABC S AB BC

 Viết phương trình mặt phẳng (ABC)  Điểm mp(ABC): (0;1;2)A

 vtpt (ABC): ( ) [ , ] 4; 2; 2 ( 6; 18;12)

2 1 4

ABC

u n AB BC

 PTTQ mp(ABC): 6(x 0) 18(y 1) 12(z 2)

6 18 12

3

x y z

(25)

24

2 2

1 3.2 2( 4) 14

( ,( )) 14

14

1 ( 2)

h d D ABC

 Do BD (ABC nên ) 1.3 14 14 14

3

ABCD ABC

V S h (đvtt)

Câu Va: 2 2 0 (*)

 Ta có, ( 2)2 4.2.5 36 (6 )i 2

 Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt: ;

1

2 6

4 2 2

i i

 Hoàn toàn giống giải câu IVa.1 dành cho chương trình chuẩn  Đường thẳng qua điểm B đồng thời vng góc với mặt phẳng (ABC)

 Điểm : B( 2; 1; 2)

 vtcp vtpt mp(ABC):

( )

2 4 2

[ , ] ; ; ( 6; 18;12)

2 1 4

ABC

u n AB BC

 PTTS :

2

1 ( )

2

x t

y t t

z t

 Điểm D có toạ độ dạng D( t; ; 2 )t t

2 2

( ;3 ; ) (3 ) ( ) 14 14

BD t t t BD t t t t t

 Do BD (ABC nên ) 14 14 14

3

ABCD ABC

V BD S t t

 Vậy, VABCD 14 14t 14 t

1 ( 1;2; 4)

t D

1 ( 3; 4;0)

t D

Câu Vb: z2 4z 8i

 Đặt z a bi z a2 b2 z2 a2 b Thay vào phương trình ta được: 2

2 2 2 2 2

2 2 2

4 4( ) 4

2

4 4

2

4 2

z z i a b a bi i a b a bi i

a

a b a a b a a a

b

b b b

(26)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 2

3

y x x x

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm ( )C có hồnh độ Vẽ tiếp tuyến

lên hệ trục toạ độ với đồ thị ( )C

1) Giải phương trình: 9x 3x 18 2) Tính tích phân:

2

ln

ex x

I dx

x

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x( ) x5 5x4 5x3 đoạn [–1;2]

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp

Câu I ( ,0 điể ): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)B C

1) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt phẳng (P) qua điểm C đồng thời

vng góc với đường thẳng AB

2) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm C lên đường thẳng AB Viết phương trình mặt cầu

tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB.

Câu (1,0 điể ): Tìm số phức liên hợp số phức z biết rằng: 3z 2iz 11i

Câu I b ( ,0 điê m): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)B C

1) Viết phương trình đường thẳng AB tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm C, tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm toạ độ tiếp điểm

đường thẳng AB với mặt cầu ( )S

Câu Vb (1,0 điểm): Tính mơđun số phức z = ( i)2011

- Hết -

Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh:

(27)

26 x

y

d

4 2

-4/ 3

O 3

Câu I :

 2

3

y x x x

 Tập xác định: D

 Đạo hàm: y x2 4x

 Cho y x2 4x x ;x

 Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – +

y – 0 + 0 –

y

+ 0

4

3 –

 Hàm số ĐB khoảng (1;3), NB khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ ; đạt cực tiểu CT

y xCT

 2

3

y x x y Điểm uốn

3

2;

I

 Giao điểm với trục hoành: cho 2 0

3

x

y x x x

x Giao điểm với trục tung: cho x y

y 43 23 43

 Đồ thị hàm số: hình vẽ

 0 0

3

x y

 f x( )0 f (4)

 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: : 3( 4) 32

3

d y x y x

Câu II

 9x 3x 18 9.9x 9.3x 18 (*)  Đặt t 3x

(ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành

(nhan) (loai)

2

9 18

1 t

t t

t

 Với t = 2: 3x x log 23

 Vậy, phương trình (*) có nghiệm nhất: x log 23 

2 2

1 1

ln ln ln

ex x e x e e x

I dx dx dx dx

x x

x x x

 Xét 1

1

ln

e e

I dx x

x

 Xét 2 2

1

ln

e x

I dx

(28)

2a

60 M O

C B

A D

S  Đặt

2

1 ln

1 1

u x du dx

x

dv dx v

x x

Thay vào công thức tích phân phần ta được:

2 1

1

1 1 1

ln ( ) 1

e e

e

I x dx

x x e x e e e

 Vậy, I I1 I2 1 2

e e

 Hàm số f x( ) x5 5x4 5x3 liên tục đoạn [–1;2]  y 5x4 20x3 15x2 (x x2 4x 3)

 Cho

(nhan) (nhan) (loai)

2 2

2

0 [ 1;2]

5

0 ( 3) [ 1;2]

4

3 [ 1;2] x

x

y x x x x

x x x

 Ta có, f(0) 05 5.04 5.03 1

5

(1) 5.1 5.1

f

5

( 1) ( 1) 5.( 1) 5.( 1) 10

f

5

(2) 5.2 5.2

f

 Trong kết trên, số nhỏ 10 số lớn

 Vậy, khi

[ 1;2] [ 1;2]

miny 10 x 1; maxy x

Câu III

 Gọi O tâm mặt đáy SO (ABCD nên SO đường cao ) hình chóp

Gọi M trung điểm đoạn CD Theo tính chất hình chóp

0

( )

( ) 60

( ) ( )

CD SM SCD

CD OM ABCD SMO

CD SCD ABCD

(góc mặt (SCD mặt đáy) )

 Ta có, tan tan tan 600

2

SO BC

SMO SO OM SMO a

OM

 Vậy, thể tích hình chóp cần tìm là:

3

1 1

2

3 3

a

V B h AB BC SO a a a (đvtt)

Câu IVa: Với A(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)B C  Điểm đường thẳng AB: A(2;1; 1)

 vtcp đường thẳng AB: u AB ( 6; 2;4)

Suy ra, PTTS đường thẳng AB:

2

1 ( )

1

x t

y t t

z t

 Mặt phẳng (P) qua điểm: C(1; 2;3)

(29)

28

6( 1) 2( 2) 4( 3)

6 10

x y z

 Thay ptts AB vào PTTQ mp(P) ta được:

6(2 ) 2(1 ) 4( ) 10

56 26 0,5

2

t t t

t t

 Thay t = 0,5 vào phương trình tham số AB ta được:

1; 0;

x y z

 Vậy, toạ độ hình chiếu cần tìm H( 1;0;1)

 Vì mặt cầu (S) tâm C tiếp xúc với đường thẳng AB nên qua điểm H  Tâm mặt cầu: C(1; 2;3)

 Bán kính mặt cầu: R CH (1 1)2 ( 0)2 (3 1)2  Vậy, phương trình mặt cầu: (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 12

Câu Va: Ta có, 3z 2iz 11i 3z 2iz 11i (1)

 Đặt z a bi z a bi , thay vào phương trình (1) ta

2

3( ) ( ) 11 3 2 11

3

3 (3 ) 11

3 11

a bi i a bi i a bi ai bi i

a b a

a b b a i i

b a b

 Vậy, z 3i z 3i

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu IVb: Với A(2;1; 1), ( 4; 1;3), (1; 2;3)B C

 Đường thẳng AB: xem giải câu IVa.1 chương trình chuẩn  Đường thẳng AB qua A(2;0; 1), có vtcp u AB ( 6; 2;4)

CA (1;3; 4) Suy ra, [ , ] 4; 1; (4;20;16)

2 4 6

CA u

 Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB ta

2 2

[ , ] (4) (20) (16) 572

( , ) 12

56 ( 6) ( 2) (4 )

CA u d C AB

u

Mặt cầu ( )S có tâm C tiếp xúc AB có tâm (1; 2;3)C , bán kính R d C AB( , )  Phương trình mặt cầu: (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 12

 Gọi tiếp điểm cần tìm H AB H có toạ độ (2 ;1 ; )H t t t  Vì CH AB nên CH AB 0 Giải t = 0,5 Và suy ra, H( 1;0;1)

Câu Vb: Ta có, ( i)3 ( 3)3 3.( 3) 2i 3.i2 i3 3 9i 3 i 3i

(30)

1 x y

x

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số

2) Viết phương trình tiếp tuyến với ( )C giao điểm ( )C với : y x

3) Tìm giá trị tham số k để đường thẳng d: y kx cắt ( )C điểm phân biệt Câu II (3,0 điểm):

1) Giải bất phương trình:

2 2

9

3

x x x x

2) Tìm nguyên hàm F x hàm số ( )( ) f x lnx x , biết (1)F

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y x3 4x2 3x đoạn [ 2;1]

Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B, cạnh SA vng góc với đáy Gọi D, E là hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết AB = 3, BC = SA =

Tính thể tích khối chóp S.ADE

Câu IVa ( ,0 điểm): Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D có toạ độ đỉnh:

(1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)

A B D A

1) Xác định toạ độ đỉnh C B hình hộp Chứng minh rằng, đáy ABCD hình hộp

một hình chữ nhật

2) Viết phương trình mặt đáy (ABCD), từ tính thể tích hình hộp ABCD A B C D Câu Va (1,0 điểm): Cho hình phẳng (H) giới hạn đường: y 1

x , trục hoành x = Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình (H) quanh trục Ox

Câu I b ( ,0 điểm):Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D có toạ độ đỉnh: (1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)

A B D A

1) Xác định toạ độ đỉnh C B hình hộp Chứng minh, ABCD hình chữ nhật

2) Viết phương trình mặt cầu qua đỉnh A,B,D A hình hộp tính thể tích mặt cầu

đó

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức: z2 – (1 ) – 6 2i z i - Hết -

(31)

30 x

y

1

-1 O 1

2

-2

0.5

Câu I:

 Hàm số

1 x y

x

 Tập xác định: D \{ 1}

 Đạo hàm: 2 0,

( 1)

y x D

x

 Hàm số ĐB khoảng xác định không đạt cực trị  Giới hạn tiệm cận:

;

lim lim 1

;

( 1) ( 1)

lim lim

x y x y x tiệm cận đứng

x –  +

y + +

y 1

1  Giao điểm với trục hoành: cho y x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x 1

y 1,5 || 0,5

PTHĐGĐ ( )C là: ( 1) 0 0

1

x x x x x x x

x  x0 y0

 f x( )0 f (0)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 1(x 0) y x  Xét phương trình:

1 x

kx

x (*) x kx x( 1)

2 ( 1) 0 ( 1) 0

1 (2)

x

x kx kx kx k x x kx k

kx k

 d:y kx cắt ( )C điểm phân biệt phương trình (*) có nghiệm phân biệt phương trình (2) có nghiệm khác 0, tức 0

1

k k

 Vậy, với k 0,k 1 d cắt ( )C điểm phân biệt

Câu II:

 Ta có,

2

2 2 2 2 2 2

9 3.3 3

3

x x

x x x x x x x x x x

2

4 2 2

3 x x x x 4x 2x 2x x 6x x

 Cho 6 1 hoac

2

x x x x

 Bảng xét dấu: x

3

1

2

6x x + 0 – 0 +

 Vậy, tập nghiệm bất phương trình khoảng: 1

(32)

3 2 6 A C B S D E D ' C ' A ' D A B C B ' H  Xét ( )F x lnx xdx

 Đặt

2

1 ln

2

u x du dx

x

dv xdx v x Thay vào nguyên hàm F(x) ta được:

2

( ) ln ln ln

2 x

F x x xdx x x xdx x x C

 Do F(1) nên

2

2 1 1

1 ln1 1

2 C C C 2

 Vậy,

2

( ) ln

2

x

F x x x

 Tìm GTLN, GTNN hàm số y x3 4x2 3x đoạn [ 2;1]  Hàm số y x3 4x2 3x liên tục đoạn [ 2;1]

 y 3x2 8x

 Cho

(loai) (nhan)

2 [ 1;2]

0 1

[ 1;2]

x

y x x

x

 Ta có,

3

1 1 149

4

3 3 27

f

3

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

(1)

f f

Trong số số 149

27 nhỏ nhất, số lớn

 Vậy, khi

[ 2;1] [ 2;1]

149

min , max

27

y x y x

Câu III

 SB SA2 AB2 32 62

2 2 2 62 32 22 7

SC SA AC SA AB BC

 2 2 (3 5) SD SA

SA SD SB

SB SB  2 2 36 49 SE SA

SA SE SC

SC SC

 . 1 6.3.2

3

S ABC

V SA AB BC



4 36 864

6

5 49 245

S ADE

S ADE S ABC

S ABC

V SA SD SE SD SE

V V

V SA SB SC SB SC

Câu IVa: (1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0),A B D A( 1;3;1)

 ABCD hình bình hành AB DC

1

(1; 2;2)

2

( 5; 2; ) 2 2

C C

C C C

C C

x x

AB

y y

DC x y z z z

(33)

32 

2 2

(1; 2;2) ( 2)

(4;1; 1) ( 1)

AB AB

AD AD AB AD 1.4 2.1 2.( 1)

AB AD ABCD hình chữ nhật (vì hình bình hành, có thêm góc vng) 

 Điểm mp(ABCD): A(1;1;1)

 vtpt mp(ABCD): [ , ] 2; 1; (0;9;9)

1 1 4

u AB AD

 PTTQ mặt đáy (ABCD):0(x 1) 9(y 1) 9(z 1)

9y 9z 18 y z

 Diện tích mặt đáy ABCD: B SABCD AB AD 3.3 2(đvdt)

 Chiều cao h ứng với đáy ABCD hình hộp khoảng cách từ A đến (ABCD): D

2

3 2

( ,( ))

2

1

h d A ABC

 Vậy, Vhh B h 2 18(đvtt)

Câu Va:Cho 1 x

x

 Vậy, thể tích cần tìm: 2 2

1

(1 ) (1 )

V dx dx

x x x

2

1 1

2 ln 2 ln 2 ln1 ln

2

V x x

x (đvtt)

Câu IVb: A(1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)B D A

Hoàn toàn giống câu IVa.1 (phần dành cho CT chuẩn): đề nghị xem giải  Giả sử phương trình mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d

 Vì (S) qua bốn điểm A(1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)B D A nên:

3 2 2 2 4 11

14 6 14 6 15

29 10 10 29 12 2 18

11 2 11 2

a b c d a b c d a b c

a b d a b d a b c

a b c d a b c d d a b c

3,5 5,5 6,5 28 a b c d

 Vậy, phương trình mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 7x 11y 13z 28

Câu Vb: z2 – (1 ) – 6 2i z i 0 (*)

 Ta có, (1 )i 4.( )i 10i 25i2 24 8i 2i (1 i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt:

1

(1 ) (1 )

2

i i i

z i 2 (1 ) (1 )

2

i i i

(34)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x3 3x2 có đồ thị ( )C

2) Dựa vào đồ thị ( )C , tìm điều kiện tham số k để phương trình sau có nghiệm phân

biệt: x3 3x2 k

1) Giải bất phương trình: 2log ( – 1)2 x log (5 – ) 12 x 2) Tính tích phân:

1

0 ( )

x

I x x e dx

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y 2x3 3x2 12x [ 1;2] Câu III (1,0 điểm):

Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C có tất cạnh a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:

1

2

( ) :

x t

d y

z t

( ) :2

1

x y z

d

1) Chứng minh hai đường thẳng ( ),( )d1 d vng góc khơng cắt 2

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời song song d2 Từ đó, xác định khoảng cách

giữa hai đường thẳng d1 d2 cho

Câu (1,0 điểm): Tìm mơđun số phức: z 1 4i (1 i )3 2 Theo chương trình nâng c o

Câu I b ( ,0 điểm):Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng:

1

2

( ) :

x t

d y

z t

( ) :2

1

x y z

d

1) Chứng minh hai đường thẳng ( ),( )d1 d vng góc không cắt 2

2) Viết phương trình đường vng góc chung ( ),( )d1 d 2

Câu b (1,0 điểm): Tìm nghiệm phương trình sau tập số phức:

z z , z số phức liên hợp số phức z

- Hết -

(35)

34 x

y

y = m - 1

3

1

3 -1

-1

2 O

1

Câu I:

 Hàm số y x3 3x2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 3x2 6x

 Cho y 3x2 6x x hoac x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – +

y – 0 + 0 –

y +

–1 –

 Hàm số ĐB khoảng (0;2); NB khoảng (–;0), (2;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ

 Giao điểm với trục tung: cho x y

 Điểm uốn: y 6x x y

Điểm uốn I(1;1)

 Bảng giá trị: x –1

y –1 –1

 Đồ thị hàm số hình vẽ:

 x3 3x2 k x3 3x2 k x3 3x2 k x3 3x2 k 1 (*)  Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = k –

 (*) có nghiệm phân biệt k k  Vậy, phương trình cho có nghiệm phân biệt k

Câu II:

 2log ( – 1)2 x log (5 – ) 12 x

5

x x

x

x x (1)

 Khi đó, 2log ( – 1)2 x log (5 – ) 12 x log ( – 1)2 x log [2.(5 – )]2 x

2 2

( 1) 2(5 ) 10

3 x

x x x x x x

x  Đối chiếu với điều kiện (1) ta nhận: < x <

 Vậy, tập nghiệm bất phương trình là: S (3;5)

 Xét

0 ( )

x

I x x e dx

 Đặt

( )

2

x x

du dx

u x

x

dv x e dx v e Thay vào công thức tích phân phần ta được:

1

1 2 1 2 3

0

1

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1

( ) (0 1)

2

x x x x x x x

I x x e dx x e e dx e e

(36)

I

O O'

M M ' C '

B '

A B

C A '  Tìm GTLN, GTNN hàm số y 2x3 3x2 12x đoạn [ 1;2]

 Hàm số y 2x3 3x2 12x liên tục đoạn [ 1;2]  y 6x2 6x 12

 Cho (loai)

(nhan)

2 [ 1;2]

0 6 12

1 [ 1;2] x

y x x

x

 Ta có, f(1) 2.13 3.12 12.1

3

( 1) 2.( 1) 3.( 1) 12.( 1) 15

(2) 2.2 3.2 12.2

f f

Trong số số nhỏ nhất, số 15 lớn

 Vậy, khi

[ 1;2] [ 1;2]

miny x 2, maxy 15 x

Câu III

 Gọi O O trọng tâm hai đáy ABC A B C , OO vng góc với hai mặt đáy Do đó, gọi I trung điểm OO

IA IB IC IA IB IC

 Ta có, 2 3

3 3

a a

OA O A AM

 Và

2

2 2 2

2 21

2

a a a a a

IA OI OA IA

 Suy ra, I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ IA bán kính Diện tích mặt cầu là:

2

2 7

4

12

a a

S R (đvdt)

 d1 qua điểm M1(2;3;0), có vtcp u1 ( 2;0;1)

d2 qua điểm M2(2;1;0), có vtcp u2 (1; 1;2)

 Ta có, u u1 2 2.1 0.( 1) 1.2 u1 u2 d1 d 2

 [ , ]1 2 1; 2 (1;5;2)

1 2 1

u u

1 (0; 2;0) [ , ].1 2 10

M M u u M M

 Vậy, d1 vng góc với d2 khơng cắt d2

 Mặt phẳng (P) chứa d1 nên qua M1(2;3;0) song song d2

 Điểm mp(P): M1(2;3;0)

 vtpt mp(P): n [ , ]u u1 2 (1;5;2)

 PTTQ mp(P):1(x 2) 5(y 3) 2(z 0)

5 17

x y z

 Khoảng cách d1 d2 khoảng cách từ M2 đến mp(P), bằng:

2 2 2 2

2 5.1 2.0 17 10 30

( ,( ))

3 30

1

d M P

Câu Va:z 4i (1 i)3 4i 3i 3i2 i3 2i

2

1 ( 1)

(37)

36

Câu IVb: A(1;1;1), (2; 1;3), (5;2;0), ( 1;3;1)B D A

Hoàn toàn giống câu IVa.1 (phần dành cho CT chuẩn): đề nghị xem giải

 1

2

( ) :

x t

d y

z t

( ) :2

1

x y z

d

 d1 qua điểm M1(2;3;0), có vtcp u1 ( 2;0;1)

d2 qua điểm M2(2;1;0), có vtcp u1 (1; 1;2)

 Lấy A d B d (2 ;3; ), (21, 2 A a a B b;1 b b;2 ) AB (b ; 2a b b a ;2 )  AB đường vng góc chung d1 d2

1

2

0

2( ) 1(2 )

1

1( ) 1( ) 2(2 )

3 a

AB u b a b a a

b a b b a b b

AB u

 Đường vng góc chung d1 d2 qua A(2;3;0) có vtcp ( 1; 5; 2)

3 3

AB hay u (1;5;2)

 Vậy, PTCT cần tìm:

1

x y z

Câu Vb: z z (*) 2

 Giả sử z a bi z a bi Thay vào phương trình (*)ta được:

2 2 2

( ) 2

a bi a bi a bi a abi b i a bi a b abi

hoac

2

2 2 2

1

2 (2 1) 0

a a b

a a b a a b a a b

b ab ab b b a b a

 Với b = 0, ta a a2 a2 a a hoac a

 Với

2

a , ta 1 2 3

2 b b b

 Vậy, nghiệm phức cần tìm là: 1 , 2 , 3 , 4

2 2

(38)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x3 3x 1

có đồ thị ( )C

2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị với trục tung Vẽ tiếp

tuyến lên hệ trục toạ độ với đồ thị ( )C

1) Giải phương trình: 2 log23x log (3 ) 143 x 2) Tính tích phân:

0 (2 1) x

I x e dx

3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x4 2x3 x đoạn [–1;1] 2 Câu III (1,0 điểm):

Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600

Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón có đỉnh S đáy đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp cho

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 5;0;1), (7;4; 5)B mặt

phẳng ( ) :P x 2y 2z

1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt phẳng ( )P

2) Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I mặt cầu ( )S đồng thời vng góc với mặt

phẳng ( )P Tìm toạ độ giao điểm d ( )P

Câu (1,0 điểm): Tìm mơđun số phức: 3

2

z i i

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;6;4) đường thẳng d có phương trình d:

1

x y z

1) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm điểm A tiếp xúc với đường thẳng d. Câu b (1,0 điểm):Giải phương trình sau tập số phức

2 (3 4 ) ( ) 0

x i x i

- Hết -

(39)

38 x

y

y = 3x + 1

1 3

-2

-1

-1 O 1 2

Câu I:

 Hàm số y x3 3x  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 3x2

 Cho y 3x2 x2 x

x y x y

x – –1 +

y – 0 + 0 –

y +

–1 –

 Hàm số ĐB khoảng (–1;1) ; NB khoảng (–;–1), (1;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ

 y 6x x y

Điểm uốn I(0;1)

 Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x –2 –1

y –1 –1

 Đồ thị hàm số hình vẽ:  y x3 3x

 Ta có, x0 0,y0

 f x( )0 f (0) 3.02 3

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y 3(x 0) y 3x Câu II:

 2 log23x log (3 ) 143 x  Điều kiện: x >

 Khi đó, 23 23 3

3

2 log x log (3 ) 14x log x log (3 ) 14x

2

3 3

2log x 2(1 log ) 14x 2log x 2log x 12 0 (*)  Đặt t log3x , phương trình (*) trở thành

3

2

3 log 3

2 12

2 log

t x x

t t

t x x

 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x 27 x

 Xét

0(2 1) x

I x e dx

 Đặt u 2xx du x2dx

dv e dx v e Thay vào cơng thức tích phân phần ta được:

1 1 0 0

(2 1) x x x (2 2)

I x e e dx e e e e e

(40)

60 O

C B

A

D S

 Tìm GTLN, GTNN hàm số y x4 2x3 x đoạn [ 1;1] 2  Hàm số y x4 2x3 x liên tục đoạn [ 1;1] 2

 y 4x3 6x2 2x (2x x2 3x 1)

 Cho (2 1) 0; 1;

2

y x x x x x x (nhận giá trị này)

 Ta có, f(0) 04 2.03 02 1

2 2

1

16 f

4

(1) 2.1

f f( 1) ( 1)4 2.( 1)3 ( 1)2 4

Trong số trên, số nhỏ số lớn

 Vậy, khi

[ 1;1] [ 1;1]

miny x x 1, maxy x

Câu III

 Gọi O tâm hình vng ABCD Do S.ABCD hình chóp nên

( )

SO ACBD

 Suy ra, OB hình chiếu vng góc SB lên mp(ABCD)

Do đó, SBO 600 Kết hợp,

2 a

r OB ta suy ra:

0

2

.tan 60

2

2 cos 60 cos 60

a a

h SO OB

OB a

l SB a

 Diện tích xung quanh mặt nón: 2 2

xq

a

S r l a a (đvdt)

 Thể tích hình nón:

2

1 6

3 2 12

a a a

V r h (đvtt)

Câu IVa: A( 5;0;1), (7;4; 5)B ( ) :P x 2y 2z  Gọi I trung điểm AB ta có I(1;2; 2)

 Mặt cầu ( )S có đường kính AB, có tâm I(1;2; 2)

 Và bán kính R IA (1 5)2 (2 0)2 ( 1)2  Vậy, phương trình mặt cầu ( )S : (x 1)2 (y 2)2 (z 2)2 49

 Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( ) :P x 2y 2z là:

2 2

1 2.2 2.( 2)

( ,( ))

9

1 ( 2)

d I P

 Đường thẳng d qua điểm I(1;2; 2), đồng thời vng góc với mp( ) :P x 2y 2z nên có vtcp u nP (1;2; 2)

 PTTS d:

1

2 ( )

2

x t

y t t

z t

 Thay PTTS d vào PTTQ ( ) :P x 2y 2z ta được:

1 t 2(2 ) 2( 2 )t t 9t t

 Thay t 1 vào PTTS d ta toạ độ giao điểm d mp(P) O(0;0;0)

(41)

40  Vậy,

2

3 3 27 91 91

4 16

2 4

z i z

 Đường thẳng d qua điểm M0(2;1;0) có vtcp u (1;2;1)

 Gọi A hình chiếu v.góc A lên d (2A t;1 ; )t t AA (2 t t;2 5;t 4)  Do A hình chiếu vng góc A lên d nên ta có AA u , suy

1(2 t) 2(2t 5) 1(t 4) 6t 12 t

 Thay t = vào toạ độ A ta (4;5;2)A hình chiếu vng góc A lên d  Mặt cầu ( )S có tâm (0;6;4)A , tiếp xúc với đường thẳng d nên qua A(4;5;2)

 Do đó, ( )S có bán kính R AA (4 0)2 (5 6)2 (2 4)2 21

 Vậy, phương trình mặt cầu ( ) :S x2 (y 4)2 (z 6)2 21

Câu Vb: x2 (3 )i x ( )i 0 (*)

 Ta có, (3 )i 4.1.( )i 24i 16i2 20i 4i (1 )i 2  Vậy, phương trình cho có nghiệm phức:

1

2

(3 ) (1 )

2

(3 ) (1 ) 2

2

i i i

x i

i i i

(42)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y x4 (m 1)x2 2m (1)

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số m =

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm ( )C có hồnh độ 3) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị

1) Giải phương trình: log (2 x 3) log (0,5 x 1)

0 ( )

x

I x x e dx

3) Cho hàm số y e4x 2e Chứng minh rằng, x y 13y 12y Câu III (1,0 điểm):

Cho khối chóp S.ABC có SA vng góc với mặt đáy (ABC), tam giác ABC vuông cân B, SA= a, SB hợp với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có pt

3

: ,( ) :

x t

d y t P x y z

z t

1) Tìm toạ độ điểm A giao điểm đường thẳng d mp(P) Viết phương trình mặt phẳng (Q)

qua điểm A, đồng thời vng góc với đường thẳng d

2) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm (2;1;1)I , tiếp xúc với mp(P) Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu ( )S biết song song với mp(P)

Câu Va (1,0 điểm): Tìm phần thực phần ảo số phức z i

z i, z 2i

Câu I b ( ,0 điểm):Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d mặt phẳng (P) có pt

3

: ,( ) :

2 1

x y z

d P x y z

1) Chứng minh đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) khơng vng góc với (P) Tìm toạ độ

điểm A giao điểm đường thẳng d mp(P)

2) Tìm phương trình hình chiếu đường thẳng d lên mp(P)

Câu Vb (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức: iz2 4z i - Hết -

(43)

42 x

y

-3

-1 O 1

Câu I:

 Với m = ta có hàm số: y x4 2x2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 4x3 4x

 Cho y 4x3 4x x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – 0

y – 0 +

y

–3

 Hàm số ĐB khoảng (0; ), NB khoảng ( ;0) Hàm số đạt cực tiểu yCT = –3 xCT

 Giao điểm với trục hoành: Cho

2

4 2

2

1

0 3 1

3 x

y x x x x

x

Giao điểm với trục tung: cho x y

y –3

 Đồ thị hàm số: hình vẽ bên

 x0 y0

 f x( )0 f ( 2) 4.( 2)3 4.( 2) 12

 Vậy, pttt cần tìm là: y 12 2(x 2) y 12 2x 19  y x4 (m 1)x2 2m (1)

 Tập xác định D

 y 4x3 2(m 1)x (đây đa thức bậc ba)

 2( 1) (2 1) 2

2 (*)

x

y x m x x x m

x m

 Hàm số (1) có điểm cực trị (*) có nghiệm pbiệt khác m m  Vậy, với m hàm số (1) có điểm cực trị

Câu II:

 log (2 x 3) log (2 x 1) 3 (*)

1

x x

x

x x

 Khi đó, (*) log [(2 x 3)(x 1)] (x 3)(x 1) x2 x 3x hoac

2 4 5 0 1 5

x x x x

 So với điều kiện đầu ta nhận x =

 Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: x

 2 2

1

1 2 1

0 0 0 0

1

( )

3

x x x x x

(44)

30 a

A C

B S

 Đặt 2

2 dt

t x dt x dx xdx

 Đổi cận: x t  Vậy,

1

0 0

1 1 1

3 3 2

t

t dt e e e

I e

 Xét hàm số y e4x 2e x

 Ta có, y 4e4x 2e ; x y 16e4x 2e ; x y 64e4x 2e x

 Từ đó, y 13y 64e4x 2e x 13(4e4x 2e x) 12e4x 24e x 12y  Vậy, với y e4x 2e x y 13y 12y

Câu III

 ( )

( )

SA ABC

SA AB

AB ABC hình chiếu SB lên (ABC)

là AB, SBA 300

 cotSBA AB BC AB SA.cotSBA a.cot300 a SA



2

1

3

2 2

ABC

a

S AB BC a a

 Vậy, thể tích khối chóp S.ABC là:

2

1

3 ABC 2

a a

V SAS a (đvtt)

 Thay ptts d vào ptmp(P), ta được:

( ) 3( 1t t) 2( ) 6t 3t t

 Thay t = vào ptts d ta toạ độ giao điểm d mp(P) là: A(1;1; 2)  mp(Q) qua điểm A(1;1; 2), vng góc với d nên có vtpt n ud (2;1; 1)  Vậy, PTTQ mp(Q): 2(x 1) 1(y 1) 1(z 2)

2x y z

 Mặt cầu ( )S có tâm điểm (2;1;1)I

 Do ( )S tiếp xúc với mp( ) :P x 3y 2z nên ( )S có bán kính

2 2

2 3.1 2.1 14

( ,( ))

2 14

1 ( 3)

R d I P

 Phương trình mặt cầu ( ) : ( 2)2 ( 1)2 ( 1)2

S x y z

 Gọi ( )Q mp song song với ( ) :P x 3y 2z 0 phương trình mp(Q) có dạng

( ) :Q x 3y 2z D (D 6)  ( )Q tiếp xúc mặt cầu ( )S nên:

(loai) (nhan)

2 2

2 3.1 2.1 14 14

( ,( ))

2 14

1 ( 3)

1

D D

d I Q R

D D

D

D D

(45)

44

Câu Va: z 2i z 2i

 Ta có,

2

1 (1 )(1 )

1 (1 )(1 ) 1 9 5

z i i i i i i i i

i

z i i i i i i i

 Vậy, phần thực

5, phần ảo

 d qua điểm M0( 3; 1;0), có vtcp ud (2;1; 1) (P) có vtpt nP (1; 3;2)

 Ta có, [ , ] ( 1; 5; 7) không phương

2.1 1.( 3) 1.2

d P

d P d

u n

u n

u n u nP

 Vậy, d cắt (P) khơng vng góc với (P)

 Thay PTTS

3

:

x t

d y t

z t

vào PTTQ mp( ) :P x 3y 2z 0, ta

( ) 3( 1t t) 2( ) 6t 3t t

 Toạ độ giao điểm d mp(P) là: A(1;1; 2)

 Gọi (Q) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với (P), (Q) có vtpt [ , ] ( 1; 5; 7)

Q d P

n u n

 Đường thẳng hình chiếu vng góc d lên (P) giao tuyến (P) (Q) Do

 Điểm : A(1;1; 2)

 vtcp : [ , ] 2; 1; (31;5; 8)

5 7 1

P Q

u n n

 PTTS :

1 31

1 ( )

2

x t

y t t

z t

Câu Vb: iz2 4z i 0 (*)

 Ta có, 22 i.(4 i) 4i i2 (2 i )2  Vậy, phương trình (*) có nghiệm phức phân biệt

1

1 (2 )

1

i i

z i

i i

2

1 (2 )

1

i i

z i

(46)

ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thơng

4

2 4

2 x

y x

2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C trục hồnh

3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 2x2 2m Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: 22x 2x

2) Tìm nguyên hàm F x ( ) f x( ) 3x2 4ex

x biết F(1) 4e

3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 x 1, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 2x

Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy 6 , đường cao h = Hãy tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz , cho A( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)B C

1) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O,A,B,C xác định toạ độ tâm I

2) Tìm toạ độ điểm M cho 3AM 2MC Viết phương trình đường thẳng BM Câu (1,0 điểm): Tính x1 x , biết 2 x x hai nghiệm phức phương trình sau đây: 1, 2

2

3x 3x

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d mặt phẳng (P)

có phương trình d:

1 2

1

x t

y t

z

, (P): 2x y 2z

1) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, bán kính tiếp xúc (P)

2) Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(0;1;0), nằm mp(P) vng góc với đường thẳng d

Câu b (1,0 điểm): Gọi z z hai nghiệm phương trình 1; 2 z2 z 1 0

tập số phức Hãy xác định

1

A

z z

- Hết -

(47)

46 x

y

-4.5 -2

-4

-1 O 1 2

Câu I:  Hàm số:

4

2 4

2 x

y x

 Đạo hàm: y 2x3 2x

 Cho 0

1 x

y x x

x

x y x y

x – 0 +

y – 0 + 0 – 0 +

y

–4

9

 Hàm số ĐB khoảng ( 1;0),(1; ), NB khoảng ( ; 1),(0;1) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ

Hàm số đạt cực tiểu CT

y xCT  Giao điểm với trục hoành:

Cho

2

4 2

2

4

0 4

2

x

y x x x x

x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x –2 –1

y –4,5 –4 –4,5  Đồ thị hàm số: hình vẽ bên

 Giao ( )C với Oy: cho y x

 Diện tích cần tìm:

2

5

2 4 2 4 2

2 2

1 224

4 4

2 10 15

x x

S x x dx x x dx x (đvdt)



4

4 2 2 0 2 2 2 4 4

2

x x

x x m x x m x m x m (*)

 Số nghiệm pt(*) với số giao điểm

4

( ) :

2 x

C y x d y: m

 Từ đó, dựa vào đồ thị ta thấy pt(*) có nghiệm phân biệt

4

9

4

2

m m

Câu II: 22x 2x 4.22x 4.2x 0 (*)  Đặt t 2x

(ĐK: t > 0), phương trình (*) trở thành: (nhan)

(loai)

2

3

3 3

2

4 log

1 2

2

x

t

t t t x

(48)

M O I

B

A C

S  Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: log23

2 x

 Với f x( ) 3x2 4ex

x , họ nguyên hàm f(x) là:

2

( ) x ln x

F x x e dx x x e C

x

 Do F(1) 4e nên 13 ln 4e1 C 4e C  Vậy, F x( ) x3 lnx 4ex

 Viết pttt y x3 x 1 song song với đường thẳng d:y 2x  TXĐ hàm số : D

 y 3x2

 Do tiếp tuyến song song với y 2x nên có hệ số góc

2 2

0 0 0

( ) 3 1

k f x x x x x

 Với x0 y0 13 1 f x( )0

pttt x0 là: y 2(x 1) y 2x 1 (loại trùng với đường thẳng d)  Với x0 y0 ( 1)3 ( 1) 1 f x( )0

pttt x0 là: y 2(x 1) y 2x  Vậy, có tiếp tuyến cần tìm là: y 2x

Câu III

 Giả sử hình chóp cho S.ABC có O chân đường cao xuất phát từ đỉnh S Gọi I điểm SO cho IS = IA,

IS IA IB OC R

Do đó, I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Theo giả thiết, SO = IO R

2

3

OA AM

 Trong tam giác vng IAO, ta có

2 2 (2 )2 2 4 4 2 0

2

IA OI OA R R R R

 Vậy, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

2

4

2

S R (đvdt)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: A( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)B C

 Phương trình mặt cầu ( )S có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0

 Vì điểm O(0;0;0), A( 1;2; 1), (2;1; 1), (3;0;1)B C thuộc ( )S nên:

0 2.0 2.0 2.0 0

6 2

6 2 2

10 6 10

d d d

a b c d a b c a

a b c d a b c b

a b c d a b c c

 Vậy, phương trình mặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 6y 4z Và toạ độ tâm mặt cầu là: I(1;3;2)

(49)

48

AM (a 1;b 2;c 1) 3AM (3a ; 3b ; 3c 3) MC (3 a b; ;1 c) 2MC (2a ; ; 2b c 2)

 Ta có,

3

3 6 ( 9;6; 5)

3 2

a a a

AM MC b b b M

c c c

 Đường thẳng BM qua điểm: B(2;1; 1) có vtcp: u BM ( 11;5; 4)

 Phương trình đường thẳng BM: 1

11

x y z

Câu Va: 3x2 3x

 Ta có, ( 3)2 4.3.2 12 24 12 (2 )i 2  Phương trình cho có nghiệm phức:

1,2

2 3 3 3

2.3 6 3

i

x i i

 Từ đó,

2 2

1

3 3

3 3 3

x x

 Mặt cầu( )S có tâm I d nên toạ độ (1 ;2 ; 1)I t t

 Do ( )S có bán kính tiếp xúc với mp(P) nên ( ,( ))d I P

2 2

6

2(1 ) (2 ) 2( 1)

3

6

2 ( 2)

t t

t

t t

 Vậy, có mặt cầu thoả mãn yêu cầu toán là:

2 2

( ) : ( 3) ( 2) ( 1)

( ) : ( 3) ( 4) ( 1)

S x y z

 mp(P) có vtpt n (2;1; 2), đường thẳng d có vtcp u (2;2;0)  Đường thẳng qua M(0;1;0)

 Đường thẳng nằm (P), vng góc với d nên có vtcp

1 2 2

[ , ] ; ; (4; 4;2)

2 0 2

u n u

 PTTS :

4

1 ( )

2

x t

y t t

z t

Câu Vb: Phương trình z2 z 0(*) có biệt thức 12 4.1.1 ( )i 2

 Suy ra, phương trình (*) có nghiệm phức: 1,2 3

2 2

i

z i

&

1 1

z z z z

 Vậy,

1 2

1 1

1

z z

A

(50)

I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: y (x2 2)2

2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình: x4 4x2 m Câu II (3,0 điểm):

1) Giải phương trình: log (2 x 5) log 2 x 2) Tính tích phân:

3 ln

1

x

e

I dx

e

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số:

1 x y

x đoạn [1; 4]

Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA C C tạo với đáy góc ) 45 Tính thể tích khối lăng trụ

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;1; 4), (1;0; 5)B đường thẳng

1

:

1

x y z

1) Viết phương trình đường thẳng AB chứng minh AB chéo

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai điểm A,B đồng thời song song với đường thẳng Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng (P)

Câu (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 12x 36 y 6x x 2 2 Theo chương trình nâng c o

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

1

3

: :

1

2

x t

x y z

y t

z

1) Chứng minh 1và 2 chéo Viết phương trình mp(P) chứa 1và song song 2

2) Tìm điểm A 1 điểm B 2 cho độ dài đoạn AB ngắn

Câu b (1,0 điểm): Trên tập số phức, tìm B để phương trình bậc hai z2 Bz i có tổng bình phương hai nghiệm 4i

- Hết -

(51)

50 x

y

y = m + 3

-2

-1 3

2 -1 O 1 BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu I:

 Hàm số: y (x2 2)2 x4 4x2 x4 4x2  Tập xác định: D

 Đạo hàm: y 4x3 8x

 Cho ( 2)

2 x

y x x x x

x y x y

x – 0 +

y – 0 + 0 – 0 +

y

3

–1 –1

 Hàm số ĐB khoảng ( 2;0),( 2; ) , NB khoảng ( ; 2),(0; 2) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ

Hàm số đạt cực tiểu yCT xCT  Giao điểm với trục hoành:

Cho

2

4

2

1

0

3

x x

y x x

x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x –2 –1

y –1 –1

 x4 4x2 m x4 4x2 m 3 (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = m +  Ta có bảng kết sau:

m m + Số giao điểm

của (C) d

Số nghiệm pt(*)

m > m + > 2

m = m + = 3

–4 < m < –1< m + < 4

m = –4 m + = –1 2

m < –4 m + < –1 0

Câu II:

 2

2

log (x 5) log x 3 (*)

2

x x

x

x x

 Khi đó, (*) log (2 x 5) log (2 x 2) log (2 x 5)(x 2) (x 5)(x 2) (nhan)

(loai)

2 2 5 10 8 3 18 0

3 x

x x x x x

(52)

a I

M H

C '

B '

A B

C A ' 

ln

3 2 ln

ln ln 2 ln 2 0

0 0

1

( )

2 2

x x

x x x

x

e e e e

I dx e e dx e e e

e

 Vậy,

1 ln ln

2 1 1 1 2

2 2 2

e

I e

 Hàm số 2

1

x x

y

x x liên tục đoạn [1; 4]

 2 0, [1;4]

( 1)

y x

x

 (1)

f f(4)

 Trong kết trên, số –1 nhỏ nhất, số 1

2 lớn

 Vậy,

[1;4] [1;4]

1

min , max

2

y x y x

Câu III

 Gọi H,M,I trung điểm đoạn AB,AC,AM  Theo giả thiết,

( ),

A H ABC BM AC

Do IH đường trung bình tam giác ABM nên ||

IH BM IH AC

 Ta có, AC IH AC, A H AC IA

Suy góc (ABC ) (ACC A ) A IH 45o

 .tan 45o

2

a

A H IH IH MB

 Vậy, thể tích lăng trụ là:

3

1 3

2 2

a a a

V B h BM AC A H a (đvdt)

Câu IVa: A(0;1; 4), (1;0; 5)B :

1

x y z

 Đường thẳng AB qua điểm A(0;1; 4), có vtcp u AB (1; 1; 1)  PTCT đường thẳng AB là:

1 1

x y z

 Đường thẳng qua điểm M(1;4;1), có vtcp u (1; 4; 2)  Ta có, [ , ] 1; 1 1; ( 2;1; 3)

4 2 1

u u

(1;3;5) [ , ] 1.1 1.3 3.5 13

AM u u AM

 Vậy, AB chéo

 Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A,B đồng thời song song với đường thẳng  Điểm mp(P): A(0;1; 4)

 Vì (P) chứa A,B song song với nên có vtpt: n [ , ]u u ( 2;1; 3)  PTTQ (P): 2(x 0) 1(y 1) 3(z 4) 2x y 3z 13  Khoảng cách AB bằng:

2 2

2.1 3.1 13 14

( ,( )) 14

14

2 ( 1)

(53)

52

Câu Va: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 12x 36 y 6x x 2

 Cho x2 12x 36 6x x2 2x2 18x 36 x 3,x

 Diện tích cần tìm là: 6

3 18 36 (2 18 36)

S x x dx x x dx

6

2

3

2 9 36 9 9

3 x

x x (đvdt)

 1 qua điểm M1(1; 1;2), có vtcp u1 (1; 1;0) 2 qua điểm M2(3;1;0), có vtcp u2 ( 1;2;1)  Ta có, [ , ]1 2 0; 1; 1 ( 1; 1;1)

2 1 1

u u

1 (2;2; 2)

M M

1 2

[ , ].u u M M 1.2 1.2 1.( 2)  Suy ra, 1 2 chéo

 mp(P) chứa 1và song song 2 nên qua M1(1; 1;2), có vtpt n1 [ , ]u u1 2 ( 1; 1;1)  Vậy, PTTQ mp(P): 1(x 1) 1(y 1) 1(z 2) x y z

 Vì A 1,B 2 nên toạ độ chúng có dạng:

(1 ; ;2), (3 ;1 ; ) (2 ;2 ; 2)

A a a B b b b AB a b a b b

 AB ngắn AB đường vng góc chung 1 2

1

2

(2 ).1 (2 ).( 1) ( 2).0

(2 ).( 1) (2 ).2 ( 2).1

2 2 0

2 4 0

AB u a b a b b

a b a b b

AB u

a b a b a b a

a b a b b a b b

 Vậy, A(1; 1;2), (3;1;0)B

Câu Vb: z2 Bz i 0 có tổng bình phương hai nghiệm 4i

 Giả sử z1 z2 nghiệm phức phương trình Dựa vào cơng thức nghiệm phương trình

bậc hai, ta suy ra:

va

1 2

b c

z z B z z i

a a

 Theo giả thiết, z12 z12 4i (z1 z2)2 2z z1 2 4i B2 2i 4i B2 2i

2 (1 )2 (1 )

B i B i

(54)

1 x y

x

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm ( )C có tung độ 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ( )C hai trục toạ độ

1) Giải phương trình: log (0.5 x2 5) 2log (2 x 5) 2) Tính tích phân:

0

I x xdx

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y e xx( 2)2 đoạn [1;3]

Câu III (1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, cạnh SA vng góc với mặt

đáy Góc SCB 600

, BC = a, SA a 2 Gọi M trung điểm SB

1) Chứng minh (SAB) vuông góc (SBC) 2) Tính thể tích khối chóp MABC

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1;1;1), (5;1; 1), (2;5;2), (0; 3;1)B C D

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Từ chứng minh ABCD tứ diện

2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm D, đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) Viết

phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) song song với mp(ABC)

Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức: z4 5z2 36 2 Theo chương trình nâng c o

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

có phương trình : 3

2 1

x y z

mặt phẳng (P): x 2y z

1) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) 2) Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P)

3) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P)

Câu b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình sau : 2

2

4 log

log

y

x x

- Hết -

Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh:

(55)

54 x y 5 4 3 1 -2 4 2 2 1 -1 O

Câu I:

 Hàm số

1 x y

x

 Tập xác định: D \{1}  Đạo hàm:

2

3

0, ( 1)

y x D

x

 Hàm số NB khoảng xác định không đạt cực trị  Giới hạn tiệm cận:

;

lim lim 2

;

1

lim lim

x y x y x

tiệm cận đứng  Bảng biến thiên

x –  +

y + +

y 2

2  Giao điểm với trục hoành: cho

2

y x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x –2

y –1 ||



0 0

0

2

5 5

1 x

y x x x

x

 ( )0 2

(2 1) f x

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y 3(x 2) y 3x 11

 Diện tích cần tìm: 01 01 01

2 2

2

1 1

x x

S dx dx dx

x x x

0

3

2 3ln 1 3ln 3ln

2

x x (đvdt)

Câu II: log (0.5 x2 5) 2log (2 x 5) 0 (*)  Điều kiện:

2 5 0

5

x

x x

x

 Khi đó,

2

0.5 2

log (x 5) 2log (x 5) log (x 5) 2log (x 5)

(nhan)

2 2

log ( 5) log ( 5) log ( 5) log ( 5)

( 5) 10 25 10 20

x x x x

x x x x x x x

 Vậy, phương trình có nghiệm nhất: x



0

I x xdx

 Đặt t x dt dx dx dt x t  Đổi cận: x

t

 Vậy,

1

3

1 2 2

1

2

0

2

1 (1 ) ( ) ( )

3 15

t t

I x xdx t t dt t t dt

(56)

60

a

a 2 M

A C

B S

 y ( ) (ex x2 4x 4) e xx( 4x 4) e xx( 4x 4) ex(2x 4) e xx( 2 )x

 (loai)

(nhan)

2 [1;3]

0 ( )

2 [1;3]

x x

y e x x x x

x

 f(2) e2(2 2)2 0 ; f(1) e1(1 2)2 e f(3) e3(3 2)2 e 3

 Trong kết trên, số nhỏ nhất, số e lớn 3

 Vậy,

[1;3] [1;3]

miny x , maxy e x

Câu III

 ( ) ( )

( )

BC SA SAB

BC SAB

BC AB SAB (do SA cắt BC)

 Mà BC (SBC nên () SBC) (SAB )

 Ta có, SB BC.tanSCB a.tan600 a 3

2 ( 3)2 ( 2)2

AB SB SA a a a



2

1 1

2 2

MAB SAB

a

S S SA AB

 Thể tích khối chóp M.ABC:

2

1 1 2

3 MAB 12

a a

V B h S BC a (đvdt)

Câu IVa: A( 1;1;1), (5;1; 1), (2;5;2), (0; 3;1)B C D

 Điểm mặt phẳng (ABC): A( 1;1;1)

 Hai véctơ: AB (6;0; 2) (3;4;1) AC

vtpt mp(ABC): [ , ] 2; 6 0; (8; 12;24)

4 1 3

n AB AC

 PTTQ mp(ABC):8(x 1) 12(y 1) 24(z 1)

8x 12y 24z 2x 3y 6z  Thay toạ độ điểm D vào phương trình mp(ABC) ta được:

2.0 3( 3) 6.1 14 0: vô lý  Vậy, D (ABC hay ABCD tứ diện )

 Mặt cầu ( )S có tâm D, tiếp xúc mp(ABC) Tâm mặt cầu: A(0; 3;1)

 Bán kính mặt cầu:

2 2

2.0 3.( 3) 6.1 14

( ,( ))

7

2 ( 3)

R d D ABC

 Phương trình mặt cầu ( ) :S x2 (y 3)2 (z 1)2

 Gọi (P) tiếp diện ( )S song song với mp(ABC) (P) có phương trình

2x 3y 6z D (D 1)

 Vì (P) tiếp xúc với ( )S nên

2 2

2.0 3.( 3) 6.1

( ,( ))

2 ( 3)

D

d I P R

(loai) nhan

15 14

15 14 29( )

D D

D

D D

(57)

56

Câu Va: z4 5z2 36

 Đặt t z , phương trình trở thành 2

2

9

5 36

4

t z z

t t

t z z i

 Vậy, phương trình cho có nghiệm: z 3;z 2i THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P)

có phương trình: 3

2 1

x y z

mặt phẳng (P): x 2y z

1) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) 2) Tính góc đường thẳng d mặt phẳng (P)

3) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng (P) Câu IVb:

 Thay ptts d:

3

1

x t

y t

z t

(1) vào pttq mp(P): x 2y z ta được:

( ) 2( 1t t) (3 t) 3t t  Thay t = vào (1) ta giao điểm d (P) là: H( 1;0;4)

 Gọi ( )Q mặt phẳng chứa d vng góc với mp(P), ( )Q có vtpt

1 1 2

[ , ] ; ; ( 3;3;3)

2 1 1

Q d P

n u n

 hình chiếu vng góc d lên (P), giao tuyến (P) (Q), nên có vtcp

2 1 1

[ , ] ; ; (9;0;9)

3 3 3

P Q

u n n

 Vậy, hình chiếu d lên (P) qua H, có vtcp u (9;0;9) u (1;0;1) nên có ptts

0 ( )

4

x t

y t

z t

Câu Vb: 2

2

4 log 4 log 4

4

log 4 log

y y

x x uv

u v

x x (*) (với

y

u v log2x )

 Từ (*) ta suy ra, u,v nghiệm phương trình: X2 4X X1 X2

 Như vậy,

2

1

4 log

2

log 2 4

2

y x

y

x x y

 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm nhất:

4 x

(58)

KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP Mơn thi: TỐN − Giáo dục trung học phổ thông

Đề số 15 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

- -

3

( )

3 x

y f x x x

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm ( )C có hồnh độ x , với 0 f x( )0

3) Tìm tham số m để phương trình x3 6x2 9x 3m có nghiệm phân biệt

1) Giải phương trình: 24x 17.22x 2) Tính tích phân:

0 (2 1)sin

I x xdx

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x2 4ln(1 x) đoạn [– 2;0]

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC tam giác vuông B, BC = a, mặt ( A BC ) tạo với đáy góc 30 tam giác A BC có diện tích 0 a2 Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;2;1), ( 5; 4; 3)B mặt phẳng ( ) : 3P x 2y 6z 38

1) Viết phương trình tham số đường thẳng AB Chứng minh rằng, AB ||( )P 2) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB

3) Chứng minh ( )P tiếp diện mặt cầu ( )S Tìm toạ độ tiếp điểm ( )P ( )S

Câu Va (1,0 điểm): Cho số phức z 3i Tìm số nghịch đảo số phức: z2 z z 2 Theo chương trình nâng c o

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểmI(1;3; 2) đường thẳng

4

:

1

x y z

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm I chứa đường thẳng

2) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng

3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm điểm I cắt hai điểm phân biệt A,B cho đoạn thẳng AB có độ dài

Câu b (1,0 điểm): Gọi z z hai nghiệm phương trình: 1, 2 z2 2z 2 2i Hãy lập phương trình bậc hai nhận z z làm nghiệm 1, 2

- Hết -

(59)

58

x y

y = m

-2/ 3

4

-4/ 3

3 2 O 1

Câu I:

 Hàm số:

3

( )

3 x

y f x x x

 Cho y x2 4x x 1;x

x y x y

x – +

y – 0 + 0 –

y

+

4

3 –

 Hàm số ĐB khoảng (1;3), NB khoảng (–;1), (3;+) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ 3,

đạt cực tiểu CT

y xCT

 Điểm uốn: 2

3

y x x y

Điểm uốn đồ thị là: 2;

3 I

 Giao điểm với trục hoành: cho y x 0;x Giao điểm với trục tung: cho x y

 Bảng giá trị: x y –4/3 –2/3 –4/3  Đồ thị hàm số hình vẽ:

 ( )0 0 0 0 16

3

f x x x y

 f x( )0 f ( 1) ( 1)2 4( 1)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: 16 8( 1) 8

3

y x y x

 3 3 2

3

x x x m x x x m x x x m(*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C d y: m

 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có nghiệm phân biệt

0 m

m

Câu II:

 24 17.22 1 0 16 17.4 1 0 42 17.4 16 0

16 16

x x

x x x x

(*)  Đặt t 4x

(ĐK: t > 0) phương trình (*) trở thành (nhan)

(nhan)

2 17 16 0

16 16

x x

t x

t t

t x

(60)

30 a B'

C '

A C

B A '



0 (2 1)sin

I x xdx

 Đặt 2

sin cos

u x dx dx

dv xdx v x Thay vào cơng thức tích phân phần ta được:

 0

0

(2 1)cos ( 2cos ) (2 1) 2sin (2 1) 2.0 2

I x x x dx x

 Hàm số y x2 4ln(1 x liên tục đoạn )

[–2;0] 

2

4 2

2

1

x x

y x

x x

 Cho (nhan)

(loai)

2 [ 2;0]

0 2

2 [ 2;0] x

y x x

x

 f( 1) 4ln2 ; f( 2) 4ln3 ; f(0)

 Trong kết trên, số nhỏ là: 1 ln , số lớn nhất là:

 Vậy,

[ 2;0] [ 2;0]

miny ln2 x ; maxy 0 x =

Câu III

 Do BC AB BC A B

BC AA (hơn nữa, BC (ABB A ) )

 Và

( )

( ) ( )

BC AB ABC

BC AB A BC ABA

BC ABC A BC

góc (ABC ) (A BC )

 Ta có,

2

1

2

A BC A BC

S a

S A B BC A B a

BC a

0

.cos 3.cos 30

.sin 3.sin 30

AB A B ABA a a

AA A B ABA a a

 Vậy, l.t ruï

3

1 3

3

2 2

ABC

a

V B h S AA AB BC AA a a a (đvtt)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: A(7;2;1), ( 5; 4; 3)B

 Đường thẳng AB qua điểm A(7;2;1), có vtcp u AB ( 12; 6; 4) nên có ptts 12

:

1

x t

AB y t

z t

(1)

 Thay (1) vào phương trình mp(P) ta được:

3(7 12 ) 2(2 ) 6(1 ) 38t t t 0.t 49 0t 49: vô lý  Vậy, AB|| ( )P

 Tâm mặt cầu ( )S : (1; 1; 1)I (là trung điểm đoạn thẳng AB)  Bán kính ( )S : R IA (1 7)2 ( 2)2 ( 1)2  Phương trình mc( ) : (S x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 49

 Ta có,

2 2

3.1 2.( 1) 6.( 1) 38

( ,( ))

3 ( 2) ( 6)

d I P R ( )P tiếp xúc với ( )S

(61)

60

H C

I

A

B

Khi PTTS d:

1

x t

y t

z t

Thay vào ptmp(P) ta :

3(1 ) 2( ) 6( ) 38t t t 49.t 49 t  Tiếp điểm cần tìm giao điểm d (P), điểm H( 2;1;5)

Câu Va: Với z 3i , ta có

 z2 z z (1 )i (1 )(1 )i i 6i 9i2 12 9i2 6i

 1 22 2

2 (2 )(2 ) 36 40 10 10

i i i

i

i i i i

 Đường thẳng qua điểm M(4;4; 3), có vtcp u (1;2; 1)  Mặt phẳng ( )P qua điểm I(1;3; 2)

 Hai véctơ: IM (3;1; 1) (1;2; 1) u

Vtpt mp(P): [ , ] 1; 3 1; (1;2;5)

2 1 1

n IM u

 PTTQ mp ( ) : 1(P x 1) 2(y 3) 5(z 2) x 2y 5z  Khoảng cách từ đểm A đến :

2 2

[ , ] 30

( , )

6

1 ( 1)

IM u

d d I

u  Giả sử mặt cầu ( )S cắt điểm A,B

sao cho AB = ( )S có bán kính R = IA  Gọi H trung điểm đoạn AB, đó:

IH AB IHA vuông H

 Ta có, HA ; IH d I( , )

2 2 ( 5)2 22 9

R IA IH HA

 Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

2 2

( ) : (S x 1) (y 3) (z 2)

Câu Vb:

 Với z z nghiệm phương trình 1, 2 z2 2z 2 2i 0

2

1 2

2 2

2

b

z z z z

a

c z z i

z z i

a

(62)

y x x

1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số nêu

2) Dùng đồ thị ( )C để biện luận số nghiệm phương trình: x4 4x2 2m 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( )C với trục hoành

1) Giải phương trình: 2

2

log (x 2) 2log x

2 2 2

0 ( 1)

I x x dx

3) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: y x 2 Câu III (1,0 điểm):

Hình chóp S.ABC có BC = 2a, đáy ABC tam giác vng C, SAB tam giác vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Gọi I trung điểm cạnh AB

1) Chứng minh rằng, đường thẳng SI vng góc với mặt đáy (ABC )

2) Biết mặt bên (SAC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(3;1; 1), (2; 1;4)B mặt phẳng ( ) : 2P x y 3z

1) Viết phương trình đường thẳng AB phương trình mặt cầu đường kính AB

2) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa hai điểm A,B, đồng thời vng góc với mp(P) Câu Va (1,0 điểm): Giải phương trình sau tập số phức: 5z3 2z2 z

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x y 2z

1) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I(3;–1;2) tiếp xúc với (Q) Tìm toạ độ tiếp điểm

2) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A(1; 1;1), (0; 2;3)B , đồng thời tạo với mặt

cầu ( )S đường trịn có bán kính

Câu b (1,0 điểm): Trên mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện:

2z i i 2z

- Hết -

(63)

62 x

y

y = m

- 2

-2

-2 O 2

Câu I: Hàm số: 2

2

y x x

 Đạo hàm: y 2x3 4x

 Cho 0

2 x

y x x

x

x y x y

x – 0 +

y – 0 + 0 – 0 +

y

0

2

 Hàm số ĐB khoảng ( 2;0),( 2; ) , NB khoảng ( ; 2),(0; 2) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ

Hàm số đạt cực tiểu yCT xCT  Giao điểm với trục hoành:

Cho

2

4

2

0

1

0

2

x x

y x x

x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x 2 2

y 2

 4 2 2

2

x x m x x m (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C d: y = m  Ta có bảng kết sau:

m Số giao điểm (C) d Số nghiệm pt(*)

m > 2

m = 3

–2< m < 4

m = –2 2

m < –2 0

  Giao (C) với Ox: cho y x 0;x

 Diện tích cần tìm: 4 2

2

1 1

2 ( ) ( )

2 2

S x x dx x x dx x x dx

0

5

2

2 32 32 64

10 10 15 15 15

x x x x

S (đvdt)

Câu II:

 2

2

log (x 2) 2log x

0

x x

x

(64)

60

2a I

K

A B

C S  Khi đó, log (2 x 2) log2x 2 log (2 x 2) log2x2 log 42

(nhận) (loại)

2 2 2

2 2

3

2

log (x 2) log 4x (x 2) 4x 3x 4x x

x  Vậy, phương trình cho có nghiệm nhất: x =



2

6

2 2 2 4 2 5 3

0 0 0

14

( 1) ( 1) ( )

6 2

x x x

I x x dx x x x dx x x x dx

 Hàm số y x liên tục tập xác định nó, đoạn [ 2;2] 2 

2

4 x y

x Cho y x [ 2;2] (nhận)

 f(0) 2 ; f( 2) f(2)

 Trong kết trên, số nhỏ số lớn

 Vậy,

[ 2;2] [ 2;2]

miny x , maxy x

Câu III

 Do SAB vng cân S có SI trung tuyến nên SI AB



( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

SAB ABC

AB SAB ABC SI ABC

AB SI SAB

 Gọi K trung điểm đoạn AC IK ||BC nên IK AC Ta cịn có, AC SI AC SK

Suy ra, góc mặt phẳng (SAC) (ABC) SKI 600

 Ta có, tan tan 600

2

SI IK SKI BC a

và AB 2SI 2a AC AB2 BC2 2a  Vậy,

3

1 1

2 2

3

S ABC ABC

a

V S SI AC BC SI a a a (đvtt)

Câu IVa: A(3;1; 1), (2; 1;4)B ( ) : 2P x y 3z

 Đường thẳng AB qua điểm A(3;1; 1), có vtcp u AB ( 1; 2;5)  PTCT đường thẳng AB là: 1

1

x y z

 Mặt cầu đường kính AB có tâm: 5;0;3

2

I bán kính 30

2

AB R

 Phương trình mặt cầu đường kính AB:

2

5 15

2 2

x y z

 Mặt phẳng ( )Q chứa hai điểm A,B đồng thời vng góc với (P)  Điểm mp(Q): A(3;1; 1)

 Hai véctơ: AB ( 1; 2;5), nP (2; 1;3)

Vì mp(Q) qua A,B vng góc với mp(P) nên có vtpt

2 5 1

[ , ] ; ; ( 1;13;5)

1 3 2

p

n AB n

(65)

64

Câu Va: 5z3 2z2 z

 5z3 2z2 z z( 5z2 2z 1) z 5z2 2z (2)  Giải (2): 5z2 2z

Ta có, 22 4.( 5).( 1) 16 (4 )i 2

Như vậy, phương trình (2) có nghiệm : 1,2

10 5

i

z i

 Vậy, phương trình cho có nghiệm: 1 , 2 , 3

5 5

z z i z i

 Mặt cầu tâm I(3;–1;2) tiếp xúc với (Q) có bk

2 2

2.3 ( 1) 2.2

( ,( ))

( 2) ( 2)

R d I Q

nên có phương trình: (x 3)2 (y 1)2 (z 2)2

 Đường thẳng qua M(3; 1;2), vng góc với (Q) có ptts:

3 2

x t

y t

z t

, thay vào ptmp (Q) ta

được: 2(3 ) ( 1t t) 2(2 ) 2t 9t t Tiếp điểm cần tìm giao điểm (Q) , điểm H(1;0;0)

 Gọi d khoảng cách từ tâm I đến mp(P) r bán kính đường trịn giao tuyến

2 2 2 32 22 5

R r d d R r

 Vì mp(P) cần tìm qua điểm A(1; 1;1) nên có pttq: a x( 1) b y( 1) c z( 1)  Do (P) qua B(0; 2;3) nên a( 1) b( 1) c(2) a 2c b (1)

 Và ( ,( ))d I P nên 2

2 2

(2) (0) (1)

5 5( )

a b c

a c a b c

a b c

(2)

 Thay (1) vào (2) ta được: 5c 2b 5[(2c b)2 b2 c 2]

2 2

(5c )b 5(5c 4bc )b b b 0. Thay vào (1) ta a 2c

 Vậy, phương trình mp(P) là: 2 (c x 1) c z( 1) 2x z

Câu Vb: 2z i i 2z (*)

 Xét z a bi thì: (*) 2(a bi) i i 2(a bi )

2 2

2 (2 1) (2 1)

(2 ) (2 1) (2 4) (2 1)

4 16 16

16 16

2

a b i a b i

a b a b

b a b

a b

a b

(66)

Câu I (3,0 điểm): Cho hàm số: 2( 3)

2 x x y

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C giao điểm ( )C với trục hoành

3) Tìm điều kiện k để phương trình sau có nghiệm nhất: x3 3x2 k

1) Giải phương trình:

2

2 6

1

2 x x 2.4x

3

0 1

x

I dx

x

3) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: y x5 x4 3x3 đoạn [ 2;1]

Cho khối chóp S.ABC có ABC SBC tam giác có cạnh 2, SA a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có toạ độ đỉnh:

A(1;1;2), B(0;1;1) C(1;0;4)

1) Chứng minh ABC tam giác vuông Xác định toạ độ điểm D để bốn điểm A,B,C,D bốn đỉnh

của hình chữ nhật

2) Gọi M điểm thoả MB = 2MC Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc

với đường thẳng BC Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mp(P)

Câu (1,0 điểm): Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau đây:

2

( 1) ,

y x x y x x x

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;2;–3) đường thẳng

d: 1

2

x y z

1) Tìm toạ độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm

M, tiếp xúc với d

2) Viết phương trình mp(P) qua điểm M, song song với d cách d khoảng Câu b (1,0 điểm): Cho số phức z 3i Hãy viết dạng lượng giác số phức z 5

- Hết -

(67)

66 x

y y = k

-1 2

-2 -1

3 O 1

Câu I:

 Hàm số:

2( 3) 3

2

x x x x

y

 Tập xác định: D  Đạo hàm:

2

3

2

x x

y

 Cho y 3x2 6x x 0;x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – 0 2

y + 0 – 0 + y

0

– –2

 Hàm số ĐB khoảng ( ;0),(2; ), NB khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại yCĐ = xCÑ

đạt cực tiểu yCT = –2 xCT

 y 3x x y Điểm uốn: 1; 1I

 Giao điểm với trục hồnh: y x3 3x2 x x Giao điểm với trục tung: cho x y

y –2 –1 –2

 Giao điểm ( )C với trục hoành: cho 0

0

3 x y

x

 Với x0 0,y0 f x( )0 Pttt là: y 0(x 0) y  Với 0 3, 0 ( )0

2

x y f x Pttt là: 9( 3) 27

2 2

y x y x



3

3 3 2 0 3 2

2

x x

x x k x x k k

 Số nghiệm pt(*) số giao điểm ( )C đường thẳng d y: k

 Dựa vào đồ thị ta thấy, pt(*) có nghiệm khi: k 0 k Câu II:



2 2

2

1

2 6 (2 6 6)

1 2( 1) 3

2 x x 2.4x x x 2.2 x 2x x 2x

2 3 3 2 3 6 0 3 2

x x x x x x x

 Vậy, phương trình có hai nghiệm: x vaøx 

3

0 2

1

x x x

I dx dx

x x

 Đặt

2

1

1 x

t x dt dx

x

2 1

x t

(68)

D

A C

B

O M

A C

B S  Vậy,

2 2

1 1

8

( 1)

3 3

t

I t dt t

 Hàm số y x5 x4 3x3 liên tục đoạn [ 2;1]  y 5x4 4x3 9x2 x2(5x2 4x 9)

 2(5 9) 0; 1;

5

y x x x x x x (chỉ loại nghiệm

5

x )

 f(0) 9 ; f( 1) 10 ; f( 2) 15 f(1)  Trong kết trên, số –15 nhỏ nhất, số 10 lớn

 Vậy,

[ 2;1] [ 2;1]

miny 15 x , maxy 10 x

Câu III

 Gọi M trung điểm đoạn BC, O trung điểm đoạn AM  Do ABC SBC có cạnh 2a nên

2

2 a

SM AM SA SAM SO AM (1)

 Ta có, BC SM BC SO

BC OM (2)

 Từ (1) (2) ta suy SO (ABC) (do AM BC, (ABC))  Thể tích khối chóp S.ABC

3

1 1 3

3

3 2

a a

V B h AM BC SO a a (đvtt)

THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu IVa: A(1;1;2), B(0;1;1) C(1;0;4)

 (1;0; 1) 1.2 0.( 1) 1.2

(2; 1;2) AB

AB AC AB AC ABC

AC vuông A

 Gọi ( ;D x y zD D; D) CD (xD 1;y zD; D 4)

 Do AB AC nên A,B,C,D bốn đỉnh hình chữ nhật tứ giác ABDC hình chữ nhật

1

0

1

D D

x x

AB CD y y

z z

Vậy, D(2;0;3)

 Gọi M a b c ( ; ; ) ( ;1 ;1 )

(1 ; ;4 )

MB a b c

MC a b c

 Vì MB 2MC nên

2(1 )

1 2( )

1 2(4 )

a a a

b b b

c c c

Vậy, M(2; 1;7)

 mp(P) qua điểm M(2; 1;7) vuông góc với BC nên có vtpt n BC (1; 1;3)  ptmp (P): 1(x 2) 1(y 1) 3(z 7) x y 3z 24

 Mặt cầu tâm A(1;1;2), tiếp xúc với mp(P) có bán kính

2 2

( 1) 3.2 24 20

( ,( ))

11

1 ( 1)

(69)

68  Phương trình mặt cầu cần tìm: ( 1)2 ( 1)2 ( 2)2 400

11

x y z

Câu Va: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x x( 1) ,2 y x2 x x

 Cho x x( 1)2 x2 x x3 3x2 x 0;x

 Diện tích cần tìm là: 3 3

1 1( ) ( )

S x x dx x x dx x x dx

0

4

3

1

5 27

8

4 4

x x

S x x (đvdt)

 Gọi M hình chiếu điểm M lên d, M d , toạ độ điểm M là:

(3 ; ;1 ) (2 ; ;4 )

M t t t MM t t t

Đường thẳng d qua điểm A(3; 1;1), có vtcp ud (2;1;2)

 Và ta cịn có, MM d nên MM u d (trong u vtcp d) d

(2 ).2 ( 3t t).1 (4 ).2t 9t t  Vậy, toạ độ điểm M (1; 2; 1) toạ độ véctơ MM (0; 4;2)

 Mặt cầu tâm M, tiếp xúc với d có bán kính R MM 02 ( 4)2 22  Vậy, pt mặt cầu: (x 1)2 (y 2)2 (z 3)2 20

 mp(P) qua M, có vtpt n ( ; ; )a b c có pttq: a x( 1) b y( 2) c z( 3) (*)  Vì ( ) ||P d nên n ud 2a b 2c b 2a 2c (1)

 Và khoảng cách từ d đến (P) nên khoảng cách từ A đến (P) 4,

2 2

2

( ,( )) a b c 4

d A P a b c a b c

a b c

(2)

 Thay (1) vào (2) ta được:

2 2 2

2 6 4 (2 ) 5

2

16 25 40 20 20 32

2

a a c c a a c c a c a c ac

a c b c

a c ac a c ac a ac c

a c b c

 Thay a,b,c (theo c) vào (*) ta mp: 5x 14y 2z 29 ;x 2y 2z 11

Câu Vb: Ta có, 3 2.(cos sin )

2 3

z i i i

 Do đó, (cos5 sin5 ) 32 cos( ) sin( )

3 3

(70)

1 x y

x

2) Viết pt tiếp tuyến ( )C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng :x y 3) Tìm giá trị k để ( )C d y: kx cắt điểm phân biệt

1) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f x( ) 2x3 3x2 12x đoạn [ 1;3] 2) Tính tích phân:

1 (ln 1)

e

I x dx

3) Giải phương trình: log (22 x 1).log (22 x 2) Câu III (1,0 điểm):

Cho hình trụ có độ dài trục OO 7 ABCD hình vng cạnh có đỉnh nằm hai đường tròn đáy cho tâm hình vng trung điểm đoạn OO Tính thể tích hình trụ

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng mặt phẳng ( )

có phương trình : 3

1

x y z

; ( ) : 2x y z

1) Chứng minh đường thẳng  song song với mặt phẳng (α) Tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng (α)

2) Tìm toạ độ giao điểm A đường thẳng  với mặt phẳng (Oxy Viết phương trình mặt cầu tâm )

A, tiếp xúc với mặt phẳng (α)

Câu (1,0 điểm): Cho z (1 )(2i i Tính mơđun số phức z)2

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 1;1), mặt phẳng

( ) :P y 2z hai đường thẳng 1 :

1

x y z

, 2

2

:

1

x t

y t

z

1) Tìm toạ độ điểm M đối xứng với điểm M qua đường thẳng 2

2) Viết phương trình đường thẳng  cắt hai đường thẳng 1, 2 nằm mp(P) Câu b (1,0 điểm): Cho hàm số

2 1

1

( 1)

mx m x

y

x Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại cực tiểu nằm khác phía so với trục tung

- Hết -

(71)

70

x y

1

-4 -1 -2 -3

2 O

Câu I:

 Hàm số: 2

1

x x

y

x x

 Tập xác định: D \{1}

 Đạo hàm: 2 0,

( 1)

y x D

x

 Hàm số NB khoảng xác định không đạt cực trị

 Giới hạn tiệm cận: lim ; lim 2

;

1

lim lim

x y x y x tiệm cận đứng

x –  +

y – –

y –2 – +

–2

2

y x x

Giao điểm với trục tung: cho x y  Bảng giá trị: x 1/2 3/2

y –3 –4 || –1

 ( ) :

1 x

C y

x

 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng :y x nên có hệ số góc k f x( )0

2 0

2

0 0

1

1 ( 1)

1

( 1)

x x

x

x x

x

 Với x0 y0 pttt là: y 1(x 2) y x  Với x0 y0 pttt là: y 1(x 0) y x

 Xét phương trình : 3 ( 3)( 1) (1 )

1 x

kx x kx x kx k x

x (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm (C) d: y = kx  (C) d có điểm chung (*) có nghiệm phân biệt

2

0

0 (1 )

k

a k

k k

 Vậy, với k k 1 (C) cắt d điểm phân biệt

Câu II:

 Hàm số f x( ) 2x3 3x2 12x 1 liên tục đoạn [ 1;3]  y 6x2 6x 12

 Cho y 6x2 6x 12 x 1;x 2 (nhận hai)

 f( 1) 8 ; f(2) 19 f(3)

 Trong kết trên, số –19 nhỏ nhất, số lớn

 Vậy,

[ 1;3] [ 1;3]

miny 19 x , maxy x



1 (ln 1)

e

(72)

I

K H

C

D O

O' A

B  Đặt

1

ln

u x du dx

x

dv dx v x Thay vào cơng thức tích phân phần ta

1

1 (ln 1) (ln 1) 2 1

e e e e

I x dx x x dx e x e e e

 Vậy, I = e

 log (22 x 1).log (22 x 2) 6

 Ta có, log (22 x 1).log (22 x 2) log (22 x 1).log 2.(22 x 1)

2 2 2

log (2x 1) log log (2x 1) log (2x 1) log (2x 1)

(*)

 Đặt t log (22 x 1) phương trình (*) trở thành: t(1 t) 6

VN

2

3

2 log

2 log (2 1) 2

6 7

3 log (2 1) 3 2 1 2 2 0 :

8

x

x x

x x x

x t

t t

t

 Vậy, phương trình cho có nghiệm: x log 32

Câu III

 Giả sử A B, ( )O ,C D ( )O

 Gọi H,K,I trung điểm đoạn AB,CD OO  Vì IO IH nên O H

 Theo tính chất hình trụ ta có OIH OHA tam giác vuông O H

 Tam giác vng OIH có OH IH2 OI2  Tam giác vng OHA có r OA OH2 HA2

 Vậy, thể tích hình trụ là: V B h .r h2 72 50 7 (đvtt) THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN

Câu IVa: : 3

1

x y z

( ) : 2x y z

 Đường thẳng qua điểm M(3;2; 3), có vtcp u (1;1;3) nên có ptts:

3

x t

y t

z t

(1)

 Thay (1) vào pttq mp(α) ta được:

2(3 t) t ( 3 ) 1t 0t 12: vô lý  Vậy, đường thẳng song song với mp( )

 Khoảng cách từ đến mp( ) khoảng cách từ điểm M đến ( ), bằng:

2 2

2.3 ( 3) 12

( ,( )) ( ,( ))

6

2 ( 1)

d d M

 Mặt phẳng (Oxy có phương trình z = )

 Thay ptts (1) vào phương trình z = ta được: 3 3t t  Suy giao điểm đường thẳng mp(Oxy) là: A(4;3;0)

 Mặt cầu tâm A, tiếp xúc với ( ) có bán kính R d A( ,( )) nên có phương

trình: (x 4)2 (y 3)2 z2 24

Câu Va: z (1 )(2i i)2 (1 )(4i 4i i2) (1 )(3i )i 4i 6i 8i2 11 2i

(73)

72

THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO Câu IVb: M(1; 1;1)

 2 có vtcp u2 ( 1;1;0)

 Lấy H(2 t;4 t;1) thuộc 2 MH (1 t;5 t;0)  H hình chiếu M lên 2 MH u 2

(1 t).( 1) (5 t).1 0.0 2t t

 Như vậy, toạ độ hình chiếu M lên ( ) (4;2;1)H

 Điểm M đối xứng với M qua 2 H trung điểm đoạn thẳng MM

2

M H M

x x x

y y y

z z z

Vậy, toạ độ điểm M (7;5;1)

 Gọi A,B giao điểm 1, 2 với mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải đáp số

 Thay ptts 1 vào pttq mp(P), ta tìm toạ độ điểm A(1;0;0)

 Thay ptts 1 vào pttq mp(P), ta tìm toạ độ điểm B(8; 2;1)

 Đường thẳng  qua hai điểm A,B có vtcp u AB (7; 2;1) nên có phương trình

:

7

x y z

Câu Vb:

2 1

1

( 1)

mx m x

y

x  TXĐ: D \{1}  Đạo hàm:

2

( 1)

mx mx m

y

x

 Hàm số cho có điểm cực trị nằm khác phía so với trục tung phương trình

y có hai nghiệm trái dấu

( 2) 0

(74)

4

y x x

2) Viết phương trình tiếp tuyến ( )C điểm cực tiểu

3) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

4 6 1 4 0

x x m

1) Giải bất phương trình: 22 2x 5.6x 9.9x 2) Tính tích phân:

2

0 ( 1)

x

I x e dx

3) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: f x( ) sin4x 4cos2x Câu III (1,0 điểm):

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A AC = a, C 600 Đường chéo BC' mặt bên BB'C'C tạo với mặt phẳng (AA'C'C) góc 30 Tính thể tích 0

khối lăng trụ theo a

Câu IVa (2,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x y 2z điểm A(1;3; 2)

1) Tìm tọa độ hình chiếu A mặt phẳng (P)

2) Viết phương trình mặt cầu tâm A qua gốc tọa độ O

Câu Va (1,0 điểm): Cho số phức z thỏa mãn: (1 i) (22 i z) i (1 )i z Tìm phần thực, phần ảo

và tính mơđun số phức z

Câu I b ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d) có phương trình

2

1

x y z

điểm A(1; 2;3)

1) Tìm tọa độ hình chiếu A đường thẳng (d)

2) Viết phương trình cầu tâm A, tiếp xúc với đường thẳng d

Câu b (1,0 điểm): Cho hàm số

2 3

1

x x

y

x ( )C Tìm ( )C điểm cách hai trục toạ độ

- Hết -

(75)

74 x

y

y = -1 - m

4 5

- 3 3

- 5 5

1 -1

O

1 BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu I:

 Hàm số:

4

y x x

 Cho 3 ( 3)

3 x

y x x x x

x y x y

x – 0 +

y + 0 – 0 + 0 –

y

1

4

 Hàm số ĐB khoảng ( ; 3),(0; 3), NB khoảng ( 3;0),( 3; ) Hàm số đạt cực đại yCÑ xCÑ ; đạt cực tiểu CT

4

y xCT

2

4

2

1

0

5

4

x x

y x x

x x

Giao điểm với trục tung: cho

x y

 Điểm cực tiểu đồ thị có:

x y

 f x( )0 f (0)

 Vậy, tiếp tuyến điểm cực đại hàm số là: 0( 0)

4

y x y

 4

4

x x m x x m 1

4x 2x m (*)

 Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( )C d: y = –1 – m Do đó, dựa

vào đồ thị ta thấy (*) có nghiệm phân biệt

5 1

1 2

4 m m m

 Vậy,

m phương trình cho có nghiệm phân biệt

Câu II: 22 5.6 9.9 9.9 5.6 4.4 9

4

x x

x x x x x x

2

3

9

2

x x

 Đặt

x

t (ĐK : t > 0), phương trình (*) trở thành:

(loại) (nhận)

1

9 4

9 t

t t

(76)

30 60 a

B ' C A

A ' C '

B



2

4 3

2

9 2

x x

t x

 Vậy, phương trình có nghiệm nhất: x

 2

0 ( 1)

x

I x e dx

 Đặt 2

2

1

x x

du dx

u x

dv e dx v e Thay vào công thức tích phân phần ta :

2 4

2

2 4

0

1 1 1

( 1)

2 2 2 4

x x x e

I x e e dx e e e e

 Ta có f x( ) cos4x sin2x cos4x cos2x cos4x cos2x  Đặt t cos2x (ĐK: t [0;1]

) f x( ) g t( ) t2 t 1  g t hàm số liên tục đoạn [0;1] ( )

 g t( ) 2t

 ( ) 1

2

g t t t (nhận)



2

g ; g(0) 1 g(1)

 Trong kết trên, số

4 nhỏ số lớn  Vậy, min , max

4

y y

Câu III: Ta có, AB AC AB (ACC A)

AB AA , AC hình chiếu

vng góc BC lên (ACC A Từ đó, góc BC () ACC A ) BC A 300

 Trong tam giác vuông ABC, AB AC.tan600 a 3

 Trong tam giác vuông ABC , AC AB.cot300 a 3 3 3a

 Trong tam giác vuông ACC , CC AC AC2 (3 )a a2 2 2a

 Vậy, thể tích lăng trụ là: 2

2

V B h AB AC CC a a a a (đvdt)

Câu IVa: ( ) : 2P x y 2z có vtpt n (2; 1;2)

 Gọi d đường thẳng qua A(1;3; 2) vng góc với ( )P d có vtcp u (2; 1;2)

 Do đó, d có PTTS:

1

2

x t

y t

z t

(*)

 Thay (*) vào PTTQ

3 ( ) : 2(1 ) (3P t t) 2( 2 ) 1t t  Thay

3

t vào (*) ta được: ; ;

3 3

x y z

 Vậy, toạ độ hình chiếu vng góc A lên mp( )P 7; ;

3 3

(77)

76  Tâm mặt cầu: A(1;3; 2)

 Bán kính mặt cầu: R OA 12 32 ( 2)2 14

 Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là: (x 1)2 (y 3)2 (z 2)2 14

Câu Va: (1 i) (22 i z) i (1 )i z (2i i z) i (1 )i z

2

8 (8 )(1 )

2(2 1) (1 ) (1 )

1 (2 )

i i i

i z i i z i z i z

i i

10 15

2

5 i

z i

 Phần thực z a = 2, phần ảo z –3 môđun z z 22 ( 3)2 13

 d qua điểm M0( 2;0;1)có vtcp u (1;2; 3)

 PTTS d là:

2

x t

y t

z t

nên H d toạ độ H có dạng H( t t;2 ;1 )t

( ;2 ; )

AH t t t

 Do A d nên H hình chiếu vng góc A lên d AH d AH u ( )1 (2 ).2 ( ).( 3)

2

t t t t

 Vậy, hình chiếu vng góc A lên d 5; 1;5

2

H  Gọi ( )S mặt cầu tâm A tiếp xúc với d

 Tâm mặt cầu: A(1; 2;3)

 Bán kính mặt cầu: 2

2

27

2

R AH

 Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là: ( 1)2 ( 2)2 ( 3)2 27

x y z

Câu Vb: Xét điểm

2 3 3

( ) : ;

1

x x x x

M C y M x

x x (ĐK: x 1)

 M cách trục toạ độ

2

3

x x

x x x x x

x

2

4

3

1

2

3

x

x x x x x

x

x x

x x x x

(78)

3

y x x x

2) Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt:

3

2x 3x 12x 2m

1) Giải bất phương trình: 21 x 26 x 24 2) Tính tích phân:

2

ln

e

x x

I dx

x

3) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x3 x giao điểm với đường thẳng y 2x

Một hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh góc vng a

a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón tương ứng

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ ( , , , )O i j k , cho hình hộp ABCD A B C D có

0, , ,

OA OB i OC i j k AA k ,

1) Viết phương trình mặt phẳng (ABA tính khoảng cách từ C đến () ABA ) 2) Tìm toạ độ đỉnh C viết phương trình cạnh CD hình hộp ABCD A B C D

Câu Va (1,0 điểm): Cho

2

z i Tính z2 z 1

Câu I ( ,0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ ( , , , )O i j k , cho hình hộp ABCD A B C D có

0, , ,

OA OB i OC i j k AA k ,

1) Tìm tọa độ đỉnh C, D chứng minh ABCD A B C D hình hộp chữ nhật 2) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD A B C D

Câu b (1,0 điểm): Cho

2

z i Tính z2011

- Hết -

(79)

78 x

y

d

-3,5

-1

2,5 3,5

-2

O

1 BÀI GIẢI CHI TIẾT.

Câu I:

 Hàm số: 2

3

y x x x

 Đạo hàm: y x2 x

 Cho y x2 x x x  Giới hạn: lim ; lim

x y x y

x – +

y + 0 – 0 +

y

7

–1

 Hàm số ĐB khoảng ( ; 2),(1; ), NB khoảng ( 2;1) Hàm số đạt cực đại yCÑ 72 xCÑ

Hàm số đạt cực tiểu yCT xCT

 y 2x Cho 1

2

y x x y

Điểm uốn: 5; I

3

y y x x x

Giao điểm với trục tung: cho

x y

 Bảng giá trị: x –3,5 –2 –1,5 2,5 y –1 3,5 1,25 –1 3,5  Đồ thị hàm số: hình vẽ bên

 3 12 2 1

3

x x x m x x x m

3

1 1 1 1 1

2

3x 2x x 3m 3x 2x x 3m (*)

 Số nghiệm phương trình (*) với số giao điểm ( )C : 1

3

d y m

 Do đó, (*) có nghiệm pb 1 19 19

3 3m 3m m

 Vậy, phương trình cho có nghiệm phân biệt 19

2 m

Câu II:

 21 26 24 2.2 64 24

2

x x x

x (*)

 Đặt t 2x

(ĐK : t > 0), phương trình (*) trở thành: 2t 64 24 2t2 24t 64 t

8

t t 4 (nhận hai nghiệm t > 0)  Với t 8ta có 2x x

(80)

B A

O S

I

C ' C

B'

D ' A '

A D

B  Vậy, phương trình có hai nghiệm nhất: x = x =



2

2 1 1 1

1

ln ln ln

1

e

e e e

x x x x

I dx dx dx dx

x x x

 Xét 1

1

e e

I dx x e

 Xét 2 2

1 ln

e x

I dx

x Đặt 2

1 ln

1 1

u x du dx

x

dv dx v

x x

Khi đó,

2 1

1

ln 1 1

1

e e

e

x

I dx

x x e x e e e

 Vậy, I I1 I2 e 1 e

e e

 Viết pttt y x3 x giao điểm với đường thẳng y 2x  Cho x3 x 2x x3 3x x 1,x

 y 3x2

 Với x0 y0 13 1 f (1) 3.12 pttt x0 là: y 2(x 1) y 2x

 Với x0 y0 ( 2)3 ( 2) f ( 2) 3.( 2)2 11 pttt x0 là: y 11(x 2) y 11x 17

 Vậy, có tiếp tuyến cần tìm là: y 2x y 11x 17

Câu III: Giả sử SAB thiết diện qua trục hình nón (như hình vẽ)

 Tam giác SAB cân S tam giác cân nên SA = SB = a

Do đó, AB SA2 SB2 a

2

a

SO OA AB

 Vậy, diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón :

xq

2

2 2

a a a

S rl ; t p xq

2

2 2

2

a a

S S r a

Thể tích khối nón:

2

3

1 2

3 2 12

a a a

V r h

Câu IVa: Từ giả thiết ta có A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;2;3),A(0;0;3)  Điểm (ABA : (0;0;0)) A

 Hai véctơ: AB (1;0;0) , AA (0;0;3)

 vtpt (ABA : ) [ , ] 0 1 0; ; (0; 3;0) 3 0

n AB AA

 PTTQ (ABA : ) 0(x 0) 3(y 0) 0(z 0) y



2 2

2

( ,( ))

0

d C ABA

(81)

80 I

C ' C

B'

D ' A '

A D

B  Do CD || AB nên CD có vtcp u AB (1;0;0)

 Và hiển nhiên CD qua C nên có PTTS:

1

2 ( )

0

x t

y t

z

Câu Va:

2

1 3 3

2 2 4 2

z i z i i i

 Do đó, 1 3

2 2

z z i i

 Từ AA CC (0;0;3) (1 xC;2 yC;3 z , ta tìm C) C(1;2;0)

 Từ AB DC (1;0;0) (1 xD;2 yD; z , ta tìm D) D(0;2;0)



(1;0;0)

(0;2;0)

( )

(0;0;3)

AB AB AD AB AD

AB AD

AD AA AB AA AB

AA ABCD

AA AB

AA AA AD

 Vậy, ABCD A B C D hình hộp chữ nhật

 Gọi ( )S mặt cầu ngoại tiếp hình hộp ABCD A B C D  Tâm mặt cầu:

2;1;2

I (là trung điểm đoạn AC )

 Bán kính mặt cầu: 1 12 22 32 14

2 2

R AC

 Vậy, phương trình mặt cầu cần tìm là: 2

2

7

( ) ( 1) ( )

2

x y z

Câu Vb:



2

1 3 3

2 2 4 2

z i z i i i

2

3

670

2011 2010 670

1 3

2 2 2

1

2

z z z i i i

z z z z z z z i

 Vậy, với

2

z i 2011

2

z z i

Sưu tầm biên soạn: Cao Văn Tú Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Email: caotua5lg3@gmail.com

Bộ đề thi thử tốt nghiệp môn Toán có đáp án chi tiết

Thông tin tài liệu

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan