(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương

(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương(Luận văn thạc sĩ) Tập IĐêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của Môđun đối đồng điều địa phương

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ MAI LOAN TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ TÍNH COFINITE CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HỒNG THÁI NGUN - 2016 Lời cam đoan Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày tháng năm Người viết Luận văn Hà Mai Loan i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Tốn học Đại học Thái Nguyên, người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ để hồn thành tốt khóa học Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Người viết luận văn Hà Mai Loan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 1.2 Biểu diễn thứ cấp 1.3 Môđun Ext môđun Tor 1.4 Môđun đối đồng điều địa phương 10 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương 2.1 13 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương iii 13 2.2 Tính cofinite môđun đối đồng điều địa phương 25 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 iv Mở đầu Cho R vành Noether, a iđêan R, M R−môđun Một vấn đề quan trọng đại số giao hoán xác định tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương thứ i, Hai (M ) M ứng với iđêan a hữu hạn Nếu R vành địa phương quy chứa trường, Hai (R) có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết với i ≥ (trong [10] [13]) Trong [20] Singh đưa ví dụ vành Noether R khơng địa phương iđêan a cho Ha3 (R) có vơ hạn iđêan ngun tố liên kết Cũng [11] Katzman đưa ví dụ vành địa phương Noether R với đặc số dương iđêan a cho Ha2 (R) có vơ hạn iđêan nguyên tố liên kết Trong [2, Định lý 2.2] Brodmann Lashgari môđun đối đồng điều địa phương không hữu hạn sinh Hai (M ) môđun hữu hạn sinh M ứng với iđêan a có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Một R−môđun M gọi a-cofinite SuppR (M ) ⊆ V(a) ExtiR (R/a, M ) hữu hạn sinh với i ≥ Gần M T Dibaei S Yassemi mở rộng kết Brodmann Lashgari, cụ thể định lý sau: Định Lý ([6, Định lý 2.1]) Cho a iđêan vành Noether R Cho s số nguyên không âm Cho M R−môđun cho ExtsR (R/a, M ) R−môđun hữu hạn sinh Nếu Hai (M ) a−cofinite với i < s, HomR (R/a, Has (M )) hữu hạn sinh Mặt khác, [12] Khashyarmanesh Salarian môđun đối đồng điều địa phương thứ t, Hat (M ) môđun hữu hạn sinh M ứng với iđêan a có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết SuppR (Hai (M )) hữu hạn với i < t Gần đây, P H Quý kết hợp kết Brodmann-Lashgari kết KhashyarmaneshSalarian, cụ thể định lý sau: Định lý ([18, Định lý 3.2]) Cho a iđêan vành Noether R, cho M R−môđun hữu hạn sinh Cho t ∈ N cho Hai (M ) hữu hạn sinh SuppR (Hai (M )) hữu hạn với i < t Khi AssR (Hat (M )) tập hữu hạn Trong phần ta tìm hiểu số kiến thức tính chất cofinite mơđun Cho (R, m) vành địa phương Noether, cho M R−môđun hữu hạn sinh a iđêan R, [6] Dibaei Yassemi định nghĩa q(a, M ) số nguyên nhỏ n ≥ −1 cho môđun Hai (M ) m-cofinite với i > n, đưa kết số nguyên q(a, M ), cụ thể định lý sau: Định lý ([6, Định lý 3.9]) Cho a iđêan R i ≥ số nguyên cho trước cho Hai (R/b) m−cofinite với iđêan b R Khi q(a, R/p) < i với p ∈ Spec R Đặc biệt, q(a, M ) < i với R−môđun hữu hạn sinh M Mục đích luận văn trình bày lại chi tiết chứng minh Định lý 1, 2, nêu trên, chứng minh dựa ba báo [6], [17], [18] Luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext Tor, môđun đối đồng điều địa phương, bao đầy đủ môđun Chương chương luận văn dành để chứng minh chi tiết Định lý 1, Định lý 2, Định lý nêu trên, bên cạnh số hệ định lý số kiến thức tính chất cofinite mơđun trình bày Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương ta giả thiết R vành giao hốn Noether, M R−mơđun a iđêan R 1.1 Iđêan nguyên tố liên kết Các kiến thức mục trích theo sách [14] Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M có phần tử = x ∈ M cho AnnR (x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M ) (hoặc Ass(M )) Định nghĩa 1.1.2 (Tập giá môđun) Đặt SuppR (M ) = {p ∈ Spec(R) | Mp = 0} Khi SuppR (M ) gọi tập giá M Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết với m, n ≥ n0 Do ta có (xn − xm )u = với m, n ≥ n0 Suy xn u không đổi n ≥ n0 Do ta định nghĩa xu = xn u với n ≥ n0 Đây tích vơ hướng M Do M có cấu trúc R−mơđun Định lý 2.2.10 Cho M môđun artin vành địa phương (R, m) cho a iđêan thực R Khi điều kiện sau tương đương M (i) M a−cofinite, (ii) (0 :M a) có độ dài hữu hạn; và, R đầy đủ, (iii) với p ∈ AttR M , iđêan a + p m−nguyên sơ Chứng minh Từ M Artin nên có cấu trúc tự nhiên môđun đầy đủ R R có đẳng cấu tự nhiên M ∼ = M ⊗R R mơđun R Bởi theo tính phẳng trung thành ánh xạ tự nhiên R → R, ta giả sử từ đầu R đầy đủ Cho p1 , , pr AnnR (M ) = ∩ri=1 pi (xem [3, Mệnh iđêan nguyên tố gắn kết M Từ đề 7.2.11]), nên iđêan a + pi m−nguyên sơ với i có số n, cho mn ⊆ a + AnnR (M ) thật vậy, từ a + pi m−nguyên sơ, suy m ⊇ a + AnnR (M ) ta có m ∈ min(a + AnnR (M )), m ∈ / min(a + AnnR (M )) tồn m q ⊇ a + AnnR (M ), suy √ tồn ≤ j ≤ r để q ⊇ a + pj , q ⊇ a + pj = m, suy q = m, điều mâu thuẫn Vậy m ∈ min(a + AnnR (M )), suy m= a + AnnR (M ) Do tồn n > cho mn ⊆ a + AnnR (M ) (i) ⇒ (ii) Giả sử M a−cofinite, ta có (0 :M a) ∼ = HomR (R/a, M ) 31 hữu hạn sinh Suy (0 :M a) Noether M Artin nên (0 :M a) Artin Do (0 :M a) có độ dài hữu hạn (ii) ⇒ (iii) Giả sử M thỏa mãn điều kiện (ii) Cho N = D(M ) đối ngẫu Matlis M Từ M artin R đầy đủ, ta có N R−môđun hữu hạn sinh AnnR (N ) = AnnR (M ) Ta có D(0 :M a) ∼ = N/aN có độ dài hữu hạn, từ giả thuyết (0 :M a) có độ dài hữu hạn Bởi SuppR (N/aN ) ⊆ {m} Bây ta có SuppR (N/aN ) = V(a + AnnR (N )) có số n cho mn ⊆ a + AnnR (N ), suy a + p m−nguyên sơ với iđêan nguyên tố gắn kết p M (iii) ⇒ (i) Giả sử M thỏa mãn điều kiện (iii) Nếu ta lấy n cho mn ⊆ a +AnnR (M ), với j , môđun artin ExtjR (R/a, M ) bị triệt tiêu mn có độ dài hữu hạn Do M a−cofinite Hệ 2.2.11 Mỗi môđun thương môđun artin a−cofinite a−cofinite Chứng minh Theo [14, Định lý 6.10], iđêan nguyên tố gắn kết ảnh môđun artin M qua đồng cấu, iđêan nguyên tố gắn kết của M Do mơđun mơđun thương mơđun artin a−cofinite M a−cofinite Hệ 2.2.12 Cho M a−cofinite Khi với iđêan tối đại m R, Γm (M ) artin a−cofinite Chứng minh Đặt L = Γm (M ) Ta có (0 :L a) môđun (0 :M a), mơđun hữu hạn có 32 độ dài hữu hạn SuppR (0 :L a) ⊆ SuppR (L) ⊆ V(m), mặt khác SuppR (0 :L a) = V(AnnR (0 :L a)), suy V(AnnR (0 :L a)) ⊆ V(m), √ m ⊆ AnnR (0 :L a), suy tồn n ∈ N cho mn (0 :L a) = 0, suy (0 :L a) Artin Chú ý SuppR (0 :L a) ⊆ {m} Khi theo [16, 1.3] ta có L artin, suy L = Γm (M ) a−cofinite (theo định lý 2.2.10) Định lý 2.2.13 Nếu M a−cofinite với iđêan a, tất số Bass µi (p, M ) tất số Betti βi (p, M ) M hữu hạn; hay với iđêan nguyên tố p R số nguyên j , ExtjRp (k(p), Mp ) R Torj p (k(p), Mp ) không gian vectơ hữu hạn chiều trường thặng dư k(p) vành địa phương Rp Chứng minh Theo tính chất phẳng R → Rp , nên ta có Mp aRp −cofinite với iđêan nguyên tố p R Do ta giả sử (R, m) vành địa phương ta phải ExtiR (k, M ) TorR i (k, M ) không gian vectơ hữu hạn chiều với i trường thặng dư k = R/m R Ta chứng minh điều phương pháp quy nạp dim (SuppR (M )) Nếu dim(SuppR (M )) = 0, SuppR (M ) ⊆ V(m) Do với x ∈ M bất kì, ta có SuppR (Rx) ⊆ V(m) Nên tồn n để mn x = 0, tức x ∈ (0 :M mn ) ⊆ Γm (M ) Do Γm (M ) = M Từ theo hệ 2.2.12 ta suy M = Γm (M ) Artin a−cofinite Mặt khác, lấy F• → R/m giải tự R/m (ở F• gồm R−mơđun tự hữu hạn sinh) Khi phức HomR (F• , M ) F• ⊗R M gồm môđun Artin (do M Artin) Từ cách 33 tính mơđun Ext Tor ta ExtiR (k, M ) TorR i (k, M ) môđun thương môđun môđun Artin, nên ExtiR (k, M ) i TorR i (k, M ) môđun Artin Hơn rõ ràng m ExtR (k, M )) = i R m TorR i (k, M )) = Do ExtR (k, M ) Tori (k, M ) Noether Suy µi (m, M ) = dimk ExtiR (k, M ) < ∞, βi (m, M ) = dimk TorR i (k, M ) < ∞ với i Trong trường hợp dim(SuppR (M )) > 0, xét dãy khớp → L → M → M → 0, L = Γm (M ) M = M/L Theo hệ 2.2.12, môđun L artin a−cofinite Vì L M a−cofinite, suy M a−cofinite.Từ việc xét dãy khớp dài liên quan đến Ext Tor cảm sinh từ dãy khớp ngắn trên, ta cần điều khẳng định với M Mơđun khơng có m iđêan nguyên tố liên kết (vì M = M/Γm (M ), Γm (M ) = 0, suy m ∈ / AssR M ) Do ta giả sử m khơng iđêan nguyên tố liên kết với R−môđun a−cofinite M Từ hệ 2.2.7, M có hữu hạn iđêan nguyên tố liên kết Từ theo định lý tránh ngun tố ta có phần tử M −chính quy x ∈ m Từ tính chất khớp dãy x → M → M → M/xM → 0, ta suy M/xM a−cofinite Ta có dãy khớp x i−1 ExtR (k, M/xM ) → ExtiR (k, M ) → ExtiR (k, M ), x R R TorR i+1 (k, M/xM ) → Tori (k, M ) → Tori (k, M ) 34 Từ x ∈ m mà m ⊆ (0 :R ExtiR (k, M )) m ⊆ (0 :R TorR i (k, M )) , với i ta có toàn cấu i−1 ExtR (k, M/xM ) → ExtiR (k, M ) → 0, R TorR i+1 (k, M/xM ) → Tori (k, M ) → Bây ý dim (SuppR (M/xM )) < dim (SuppR (M )) Theo giả thuyết quy nạp ta có dimk (Exti−1 R (k, M/xM )) < ∞ i dimk (TorR i+1 (k, M/xM )) < ∞, dimk (ExtR (k, M )) < ∞ i dimk (TorR i (k, M )) < ∞ Suy µ (m, M ) < ∞ βi (m, M ) < ∞ với i Hệ 2.2.14 Cho a iđêan vành Noether R, cho dim R/a = Khi với R−mơđun hữu hạn sinh M , số Betti Hai (M ) hữu hạn với i Chứng minh Theo mệnh đề 2.2.8 ta giả sử R địa phương Khi mơđun Hai (M ) a−cofinite trường hợp (theo [5, định lý 1]) Suy số Betti Hai (M ) hữu hạn với i (theo định lý 2.2.13) Tiếp theo ta trình bày số kết gần tính chất cofinite mơđun đối đồng điều địa phương Dibaei Yassemi [6] Trong phần ta giả thiết (R, m) vành địa phương Noether, a iđêan R M R−môđun Trong [9] Hartshorne định nghĩa q(a, R) số nguyên nhỏ n ≥ −1 cho Hai (M ) Artin với 35 i ≥ n R−môđun hữu hạn sinh M Định nghĩa sau sinh từ định nghĩa Hartshorne Định nghĩa 2.2.15 Cho M R−môđun hữu hạn sinh a iđêan R Ta định nghĩa q(a, M ) cận số nguyên i cho môđun Hai (M ) không m−cofinite Chú ý R−môđun M m−cofinite SuppR (M ) ⊆ V(m) HomR (R/m, M ) không gian vectơ hữu hạn chiều (thật từ SuppR (M ) ⊆ V(m), suy M = Γm (M ), M m−xoắn Mặt khác từ HomR (R/m, M ) ∼ = (0 :M m) hữu hạn sinh, suy (0 :M m) Artin Từ suy M Artin, mơđun ExtiR (R/m, M ) hữu hạn sinh với i) Tập môđun m−cofinite phạm trù abel, tức ổn định tác động mơđun con, mơđun thương lấy mơđun mở rộng nó, với dãy khớp T1 → T → T2 R−môđun, T m−cofinite T1 T2 m−cofinite Do đối đồng điều địa phương cấp cao Hadim M (M ) Artin, nên ta có q(a, M ) < dim M Trong định lý sau bất biến q(a, M ) phụ thuộc vào giá M Định lý 2.2.16 Cho a iđêan thực R, M N R−môđun hữu hạn sinh cho SuppR (N ) ⊆ SuppR (M ) Khi q(a, N ) ≤ q(a, M ) Chứng minh Ta cần Hai (N ) m−cofinite với i > q(a, M ) Ta chứng minh phương pháp quy nạp lùi theo i với q(a, M ) < i ≤ dim(M ) + Với i = dim(M ) + ta khơng có để chứng minh (vì dim(N ) ≤ 36 dim(M ) suy i = dim(M ) + > dim(N ) nên Hai (N ) = 0) Bây giả sử q(a, M ) < i ≤ dim(M ) Theo định lý Gruson [21], có xích = N0 ⊆ N1 ⊆ · · · ⊆ Nt = N cho thương liên tiếp Nj /Nj−1 ảnh đồng cấu tổng trực tiếp hữu hạn M Bằng cách sử dụng dãy khớp ngắn, ta giảm xuống trường hợp t = Bởi tồn số nguyên dương n R−mơđun hữu hạn sinh L để có dãy khớp → L → M n → N → Do ta có dãy khớp dài sau · · · → Hai (L) → Hai (M n ) → Hai (N ) → Hai+1 (L) → Theo giả thuyết quy nạp Hai+1 (L) m−cofinite từ Hai (M n ) m−cofinite, ta có Hai (N ) m−cofinite Hệ đưa công thức cho q(a, −) dãy khớp ngắn Hệ 2.2.17 Cho → L → M → N → dãy khớp R−mơđun hữu hạn sinh Khi q(a, M ) = max{q(a, L), q(a, N )} Chứng minh Từ dãy khớp ta có SuppR (M ) = SuppR (L) ∪ SuppR (N ), 37 SuppR (L) ⊆ SuppR (M ) SuppR (N ) ⊆ SuppR (M ) Khi theo Định lý 2.2.16, ta có q(a, L) ≤ q(a, M ) q(a, N ) ≤ q(a, M ) Suy q(a, M ) ≥ max{q(a, L), q(a, N )} Ngược lại, từ việc môđun m−cofinite thuộc phạm trù abel từ dãy khớp dài chứng minh Định lý 2.2.16 (với n = 1) · · · → Hai (L) → Hai (M ) → Hai (N ) → Hai+1 (L) → Hai+1 (M ) → , suy Hai (M ) khơng m−cofinite Hai (N ) không m−cofinite Hai (L) không m−cofinite Suy q(a, M ) ≤ max{q(a, L), q(a, N )} Hệ 2.2.18 Với iđêan a R, ta có q(a, R) = sup{q(a, N ) | N R−môđun hữu hạn} Chứng minh Điều suy trực tiếp từ Định lý 2.2.16 Định lý 2.2.19 Cho M R−mơđun hữu hạn sinh Khi q(a, M ) = sup{q(a, R/p) | p ∈ SuppR M } Chứng minh Ta có SuppR (R/p) ⊆ SuppR (M ), suy q(a, R/p) ≤ q(a, M ) với p ∈ SuppR (M ) (theo Định lý 2.2.16) Bây giả sử dấu không xảy với p ∈ SuppR (M ) Có lọc nguyên tố = M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ Mn = M môđun M, cho với i, Mi /Mi−1 ∼ = R/pi pi ∈ SuppR (M ) Đặt t = q(a, M ) Khi Hat (R/pi ) m−cofinite với ≤ i ≤ n Từ dãy khớp → Mi−1 → Mi → R/pi → 38 Ta có dãy khớp Hat−1 (R/pi ) → Hat (Mi−1 ) → Hat (Mi ) → Hat (R/pi ) → Hat+1 (Mi−1 ), với i = 1, 2, , n, ta có Hat (Mn ) m−cofinite, điều mâu thuẫn Chú ý 2.2.20 Trong kết 2.2.16 - 2.2.19 vành R giả định địa phương Noether Bây giả sử R vành Noether (không thiết địa phương) có chiều hữu hạn, a iđêan R, M R−môđun hữu hạn sinh Với p ∈ SuppR M , xét bất biết q(aRp , Mp ) định nghĩa q(a, M ) = sup{q(aRp , Mp ) | p ∈ SuppR M } Có thể kiểm tra tất kết 2.2.16 - 2.2.19 Chú ý 2.2.21 Cho a b hai iđêan R Ta định nghĩa q(a, b, M ) cận số nguyên i cho môđun Hai (M ) không b−cofinite Mặt khác ta biết phạm trù môđun b−cofinite phạm trù Abel phạm trù R−môđun điều sau đúng: (1) R vành Noether b iđêan chiều (theo [1]) (2) R vành Noether có chiều không vượt hai (theo [15, Định lý 7.4]) Bởi vậy, với chứng minh, ta thấy kết 2.2.16 - 2.2.19 với q(a, b, M ) thay cho q(a, M ) với điều kiện (1) (2) 39 Chú ý 2.2.22 Cho R vành nửa địa phương với iđêan tối đại m1 , m2 , , mn Đặt J = ∩mi Khi phạm trù môđun J−cofinite phạm trù abel phạm trù R−môđun kết 2.2.16 - 2.2.20 với q(a, J, M ) thay cho q(a, M ) Kết thứ ba luận văn Định lý sau DibaeiYassemi [6, Định lý 3.9] Định lý 2.2.23 (Định lý 3) Cho a iđêan R i ≥ số nguyên cho trước cho Hai (R/b) m−cofinite với iđêan b R Khi q(a, R/p) < i với p ∈ Spec R Đặc biệt, q(a, M ) < i với R−môđun hữu hạn sinh M Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo j ≥ i + Haj (R/p) m−cofinite, với p ∈ Spec R Ta cần xét trường hợp j = i + Giả sử tồn p ∈ Spec R cho Hai+1 (R/p) không m−cofinite Khi rõ ràng a p (vì a ⊆ p R/p a−xoắn, nên Hai+1 (R/p) = 0) Đầu tiên ta SuppR (Hai+1 (R/p)) ⊆ V(m) Giả sử ngược lại SuppR (Hai+1 (R/p)) V(m) Khi có q ∈ SuppR (Hai+1 (R/p)) mà q = m Suy ra, có x = 0, tức là, sx = với s ∈ R \ q x ∈ Hai+1 (R/p) cho Do (0 :R x) ⊆ q, q ∈ SuppR (Rx) \ {m} Do x bị triệt tiêu lũy thừa a, nên tồn b ∈ a \ p cho bx = Bây ta xét dãy khớp b → R/p → R/p → R/(p + bR) → 40 Nó cảm sinh dãy khớp sau b Hai (R/(p + bR)) → Hai+1 (R/p) → Hai+1 (R/p), nên ta có dãy khớp Hai (R/(p + bR)) → (0 :Hai+1 (R/p) b) → Do bx = nên x ∈ (0 :Hai+1 (R/p) b), suy Rx ⊆ (0 :Hai+1 (R/p) b) Khi q ∈ SuppR (Rx) ⊆ SuppR (Hai (R/p + bR)) Điều Hai (R/p + bR) có giá khơng chứa V(m), nên Hai (R/p + bR) không m−cofinite, điều mâu thuẫn với giả thiết Do SuppR (Hai+1 (R/p)) ⊆ V(m) Vì y ∈ Hai+1 (R/p) có tính chất SuppR (Ry) ⊆ V(m), suy có lũy thừa m triệt tiêu y , tức Hai+1 (R/p) môđun m−xoắn Để Hai+1 (R/p) m−cofinite, ta cần chứng tỏ HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) có độ dài hữu hạn (ta áp dụng tiêu chuẩn Melkersson suy Hai+1 (R/p) Artin, sử dụng Định lý 2.2.10, Hai+1 (R/p) m−cofinite) Đặt K = (0 :Hai+1 (R/p) b) xét dãy khớp b → K → Hai+1 (R/p) → Hai+1 (R/p) Từ b ∈ m, ta thấy HomR (R/m, K) = HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) (vì từ b ∈ m từ dãy khớp ta có dãy khớp → HomR (R/m, K) → HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) → Lưu ý K thương Hai (R/p + bR) (nó m−cofinite theo giả thiết), K m−cofinite theo Hệ 2.2.11 Có nghĩa HomR (R/m, Hai+1 (R/p)) mơđun có độ dài hữu hạn 41 Kết luận Trong luận văn chúng tơi trình bày lại chứng minh chi tiết kết sau đây: ❼ Nhắc lại số kiến thức có liên quan đến luận văn: Iđêan nguyên tố liên kết, biểu diễn thứ cấp, môđun Ext Tor, môđun đối đồng điều địa phương, số chuẩn bị tính cofinite mơđun ❼ Chứng minh được: Cho a iđêan vành Noether R Cho s số nguyên không âm Cho M R−môđun cho ExtsR (R/a, M ) R−môđun hữu hạn sinh Nếu Hai (M ) a−cofinite với i < s, HomR (R/a, Has (M )) hữu hạn ❼ Chứng minh được: Cho a iđêan vành Noether R, cho M R−môđun hữu hạn sinh Cho t ∈ N cho Hai (M ) hữu hạn sinh SuppR (Hai (M )) hữu hạn với i < t Khi AssR (Hat (M )) hữu hạn ❼ Chứng minh được: Cho a iđêan R i ≥ số nguyên cho trước cho Hai (R/b) m−cofinite với iđêan b R Khi q(a, R/p) < i với p ∈ Spec R Đặc biệt, q(a, M ) < i với R−môđun hữu hạn sinh M 42 Tài liệu tham khảo [1] K Bahmanpour, R Naghipour (2009), "Cofiniteness of local cohomology modules for ideals of small dimension", J Algebra 321, 19972011 [2] M Brodmann, A Lashgari Faghani (2000), "A finiteness result for associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 128, 2851-2853 [3] M Brodmann, R Y Sharp, "Local Cohomology: An algebraic introduction with geometric applications", Cambridge University Press [4] M P Brodmann, Ch Rotthaus, R Y Sharp (2000), "On annihilators and associated primes of local cohomology modules", J Pure Appl Algebra 153, 197-227 [5] D Delfino, T Marley (1997), "Cofinite modules and local cohomology", J Pure and Applied Algebra 121, 45-52 [6] M T Dibaei, S Yassemi (2005), "Associated primes and cofiniteness of local cohomology mdules", Manuscripta math 117, 199-205 43 [7] K Divaani-Aazar, A.Mafi (2005), "Associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 133, 655-660 [8] R Hartshorne (1970), "Affine duality and cofiniteness", Invent Math 9, 145-164 [9] R Hartshorne (1968), "Cohomological dimension of algebraic varieties", Ann Math 88, 403-450 [10] C Huneke, R Sharp (1993), "Bass numbers of local cohomology modules", Trans Amer Math Soc 339, 765-779 [11] M Katzman (2002), "An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module", J Algebra 252, 161-166 [12] K Khashyarmanesh, Sh Salarian (1999), "On the associated primes of local modules", Comm Algebra 27, 6191-6198 [13] G Lyubeznik (1993), "Finiteness properties of local cohomology modules (an application of D−modules to commutative algebra)", Invent Math 113, 41-55 [14] H Matsumura (1986), "Commutative ring theory", Cambridge University Press [15] L Melkersson (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", Journal of Algebra 285, 649-668 [16] L Melkersson (1990), "On asymptotic stability for sets of prime ideals connected with the powers of an ideal", Math Proc Cambridge Philos Soc 107, 267-271 44 [17] L Melkersson (1999), "Properties of cofinite modules and applications to local cohomology", Math Proc Cambridge Philos Soc 125, 417-423 [18] P H Quy (2010), "On the finiteness of associated primes of local cohomology modules", Proc Amer Math Soc 138, 1965-1968 [19] J Rotman (1979), "An introduction to homological algebra", (Academic press, INC) [20] A K Singh (2000), "p-torsion elements in local cohomology modules", Math Res Lett 7, 165-176 [21] W Vasconcelos (1997), "Divisor theory in module categories", North-Holland, Amsterdam 45 ... hạn tập iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương 2.1 13 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương iii 13 2.2 Tính cofinite. .. hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết tính cofinite mơđun đối đồng điều địa phương 2.1 Tính hữu hạn tập iđêan nguyên tố liên kết môđun đối đồng điều địa phương Trong phần ta giả thiết R vành Noether,... [14] Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M có phần tử = x ∈ M cho AnnR (x) = p Tập tất iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR (M )