(Luận văn thạc sĩ) ma trận và hệ truy hồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————o0o——————– NGÔ THỊ HƯỜNG MA TRẬN VÀ HỆ TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ HÀ NỘI - 2014 Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số kiến thức ma trận 1.1 Khái niệm 1.2 Các phép toán ma trận 1.2.1 Phép cộng hai ma trận 1.2.2 Phép nhân phần tử trường K với ma trận 1.2.3 Phép nhân hai ma trận 1.3 Vành ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.5 Phương trình đặc trưng ma trận 1.5.1 Giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến 1.5.2 Đa thức đặc trưng 1.6 Chéo hóa ma trận 1.7 Giá trị riêng hàm ma trận Ma 2.1 2.2 2.3 10 tính 10 11 15 16 trận hệ truy hồi Xét dãy số qua phép nhân ma trận Ứng dụng định lí Cayley - Hamilton vào dãy số Xét dãy số qua chéo hóa ma trận 20 20 27 31 Xây dựng toán cho dãy số 3.1 Đặt vấn đề 3.2 Xây dựng toán dãy số 46 46 47 Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi 4.1 Hệ truy hồi qua cấp số nhân 4.1.1 Phương pháp cấp số nhân để xét dãy số 4.1.2 Chuyển dãy truy hồi phức tạp dãy đơn 4.2 Xét dãy số qua đồng cấu Kết luận Tài liệu tham khảo 53 53 53 62 69 74 75 giản Ma trận hệ truy hồi LỜI NÓI ĐẦU Các vấn đề liên quan đến dãy số phận quan trọng giải tích đại số, đặc biệt phần quan trọng thiếu tốn học phổ thơng Nhiều dạng tốn hình học, lượng giác nhiều mơn học khác địi hỏi giải vấn đề dãy số Các học sinh sinh viên thường xuyên phải đối mặt với nhiều tốn khó liên quan đến dãy số Các toán liên quan đến dãy số phong phú đa dạng, thường gặp kì thi học sinh giỏi toán cấp quốc gia, khu vực, quốc tế kì Olympic Trong khn khổ luận văn này, tác giả đề cập đến phần nhỏ lý thuyết dãy số dãy hệ dãy dạng truy hồi tuyến tính Một hệ truy hồi dù tuyến tính, để giải bước biến đổi sơ cấp phức tạp, chí đưa tốn việc giải phương trình bậc cao khơng đơn giản Bằng việc biểu diễn hệ truy hồi tuyến tính dạng phương trình ma trận, ta làm đơn giản hóa đáng kể tốn, đưa đến việc tính tốn ma trận Luận văn tác giả nhằm đáp ứng nhu cầu tự bồi dưỡng, học cách lý luận, cách mở rộng tự nhiên vấn đề từ đơn giản đến phức tạp, để từ hiểu ứng dụng vấn đề sâu sắc, mạch lạc có trình tự Bố cục luận văn gồm bốn chương: - Chương 1: Một số kiến thức ma trận Nội dung chương nhắc lại số kiến thức ma trận: Khái niệm, phép toán ma trận, vành ma trận, ma trận nghịch đảo, giá trị riêng vectơ riêng ma trận; hàm ma trận giá trị riêng hàm ma trận - Chương 2: Ma trận hệ truy hồi Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn hệ truy hồi tuyến tính dạng ma trận, sử dụng phép biến đổi ma trận để giải toán Luận văn đề cập thêm đến hệ thức truy hồi phi tuyến ma dùng ma trận để giải - Chương 3: Xây dựng toán cho dãy số Chương này, luận văn đề cập đến việc xây dựng toán dãy số từ toán Ma trận hệ truy hồi biết nhờ kiến thức hàm ma trận - Chương 4: Một số phương pháp khác giải hệ truy hồi Phần này, luận văn đề cập đến hai phương pháp: giải hệ truy hồi qua cấp số nhân xét dãy số qua đồng cấu Ma trận hệ truy hồi LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Thầy giành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, bạn học viên nhận xét đóng góp ý kiến cho luận văn Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè quan tâm, đông viên cổ vũ tạo diều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Chương Một số kiến thức ma trận 1.1 Khái niệm Giả sử X tập, m n số nguyên dương Ma trận A cỡ m × n với phần tử thuộc tập X họ m × n phần tử aij ∈ X, i = 1, 2, , m gọi số hàng; j = 1, 2, , n gọi số cột Ma trận A thường ký hiệu   a11  a21 a12 a22 am1 am2 A =  a1n a2n   amn hay viết gọn dạng A = (aij )m×n Ma trận cỡ × n gọi ma trận hàng, ma trận cỡ m × gọi ma trận cột Ma trận cỡ n × n gọi ma trận vuông cấp n hay ma trận cấp n Trong ma trận vng A = (aij )n×n dãy phần tử a11 , a22 , , ann gọi đường chéo ma trận A Ma trận đơn vị ma trận vng có phần tử đường chéo 1, cịn phần tử ngồi đường chéo Ma trận đơn vị thường ký hiệu E  0 E= 0  0  Ma trận chuyển vị ma trận A = (aij )m×n ma trận A = (aij )m×n aij = aij với i = 1,2, ,m j=1,2, ,n Ma trận hệ truy hồi Ma trận chuyển vị At nhận từ ma trận A cách chuyển cột thành hàng chuyển hàng thành cột Ma trận vuông A = (aij )n×n gọi ma trận đối xứng At = A, tức aij = aji với i = 1,2, ,m j=1,2, ,n 1.2 Các phép toán ma trận Cho K trường, Ký hiệu tập Mm×n [K] tập ma trận cỡ m × n với phần tử thuộc trường K Trong tập Mm×n [K] ta định nghĩa phép tốn sau 1.2.1 Phép cộng hai ma trận Giả sử hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )m×n , ta định nghĩa A + B = (aij + bij )m×n 1.2.2 Phép nhân phần tử trường K với ma trận Giả sử λ ∈ K, A = (aij )m×n , ta định nghĩa λA = (λaij )m×n 1.2.3 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A = (aij )m×n , B = (bij )n×l , ta định nghĩa tích hai ma trận A B ma trận C = AB = (cij )m×l cij = nk=1 aik bkj Như tich hai ma trận AB tồn số cột ma trận A số hàng ma trận B Đối với ma trận có cỡ thích hợp, ta dễ dàng chứng minh tính chất sau • A + B = B + A • λ(A + B) = λA + λB • A + O = A (O ma trận không) Ma trận hệ truy hồi • OA=O, AO = O • A(B+C) = AB + AC, (B+C)A = BA + CA • (AB)C = A(BC) • (At )t = A, kí hiệu At ma trận chuyển vị A • (A + B)t = At + B t • (AB)t = B t At • AE = EA = A; Ar E = EAr = Ar • Ar As = As Ar = Ar+s • Ar (αAs + βAp ) = αAr+s + βAr+p với α, β ∈ K Ký hiệu Mn [K] tập ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc trường K Từ tính chất ta thấy Mn [K] với phép cộng phép nhân ma trận vành có đơn vị E, gọi vành ma trận vuông cấp n trường K Với n ≥ vành Mn [K] khơng giao hốn 1.3 Vành ma trận Xét vành đa thức biến K[x] trường K Giả sử đa thức f (x) thuộc vành K[x] có dạng f (x) = as xs + as−1 xs−1 + + a1 x + a0 , cho A ma trận vuông cấp n Ta định nghĩa f (A) = as As + as−1 As−1 + + a1 A + a0 E E ma trận đơn vị cấp với ma trận vuông A Từ phép toán ma trận ta suy kết sau Định lý 1.3.1 Với hai đa thức f g thuộc vành đa thức K[x] ma trận vng A ta ln có Nếu f = g f(A) = g(A) (f+g)(A) = f(A)+g(A) (fg)(A) = f(A)g(A) = g(A)f(A) = (gf)(A) (αf )(A) = αf (A) với α thuộc trường K Ma trận hệ truy hồi Ký hiệu K[A] = f (A)|f ∈ K[x], A ∈ Mn [K] Từ định lí (1.3.1) ta suy kết sau Định lý 1.3.2 Tập ma trận K[A] tương ứng với hàm f ∈ K[x] với phép cộng, nhân ma trận nhân ma trận với sơ lập thành vành giao hốn có đơn vị E Mệnh đề 1.3.1 Tương ứng φ : K[x] → K[A], f (x) → f (A) toàn cấu với Ker(φ) = Chứng minh Theo định lí (1.3.1), ta có φ(f + g) = (f + g)(A) = f (A) + g(A) = φ(f ) + φ(g) φ(f g) = (f g)(A) = f (A)g(A) = φ(f )φ(g) Do φ đồng cấu Và với ma trận vng A ∈ Mn [K] ma trận f (A) = as As + as−1 As−1 + +a1 A+a0 E có tương ứng đa thức f (x) = as xs +as−1 xs−1 + +a1 x+a0 ∈ K[x] để φ(f ) = f (A) Do φ tồn cấu Vì tập tất ma trận vuông cấp n Mn [K] trường K không gian vectơ n2 chiều nên tất tập có nhiều n2 ma trận vng cấp n phụ thuộc tuyến tính Như mơt hệ gồm s + ma trận As , As−1 , , A, E với s ≥ n2 + hệ phụ thuộc tuyến tính Tức tồn số as , as−1 , , s1 , s0 không đồng thời để as As + as−1 As−1 + + a1 A + a0 E = Vậy tồn đa thức khác không f (x) = as xs + as−1 xs−1 + + a1 x + a0 với s ≥ n2 + mà f (A) = Từ suy Ker(φ) = Hệ 1.3.1 Ta có K[A] ∼ = K[x]/(F ) Chứng minh Vì φ : K[x] → K[A], f (x) → f (A) toàn cấu với Ker(φ) = (F ) = nên ta có K[A] ∼ = K[x]/Ker(φ) = K[x]/(F ) Vì K[x] vành iđêan nên có đa thức bậc thấp m(x) = xd + a1 xd−1 + + √ (1 + ux + u2 x2 + u3 x3 + ) − √ (1 + vx + v x2 + v x3 + ) 5 2 u−v u −v = x + √ x2 + √ x3 + 5 Vậy ta có un−1 − v n−1 √ an = = (−1)n−1 √ 1+ √ 1− 2n−2 − √ 2n−2 Như vây an = (−1)n−1 F2n−1 với n ≥ (4) Ta có a2 = −1, a3 = an+2 = −3an+1 − an , n ≥ Xét dãy (bn ) với bn+1 = an , n ≥ Khi  a3 = 3, b3 = −1  an+1 = −3an − bn bn+1 = an , n ≥ Xét an+1 + tbn+1 = (−3 + t)an − bn , t chọn thỏa mãn phương trình √ (−3 + t)t = −1 hay t = 3± Ta an+1 + tbn+1 = (−3 + t)(an + tbn ) = = (−3 + t)n−2 (a3 + tb3 ) Vậy     an+1 +    an+1 + √ 3+ √ 3− an = an = √ 3+ −3 + √ 3− −3 + n−2 n−2 √ 3+ 3− √ 3− 3− Nhân vế với vế hai phương trình trên, ta nhận a2n+1 + 3an an+1 + a2n − = với n ≥ 64 Ma trận hệ truy hồi Tương tự ta có a2n+1 + 3an an+1 + a2n − = với n ≥ Ta suy an+1 an−1 hai nghiệm phương trình x2 + 3an x + a2n − = Từ đó, ta nhận an+1 an−1 = a2n − với n ≥ Ví dụ 4.1.8 Cho dãy (an ) sau a1 = an = 1an−1 + 2an−2 + + (n − 1)a1 với số nguyên n ≥ Chứng minh a3 = 3a2 an+2 − 3an+1 + an = 0, với n ≥ Hãy xác định an theo n Từ suy a2k+1 chia hết cho k ≥ an = F2n−1 , Fn dãy Fibonacci 2n k a n C2n k+1 chia hết cho k=1 n (a1 a3 + 1)(a2 a4 + 1)(a3 a5 + 1) (an−1 an+1 + 1) = i=1 a2i Lời giải (1) Đặt f (x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + Khi đó, ta có F (x) = f (x)(1x + 2x2 + 3x3 + ) = 1a1 x2 + (1a2 + 2a1 )x3 + (1a3 + 2a2 + 3a1 )x4 + = a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + a5 x5 + = f (x) − x Từ 1−x = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + ta suy chuỗi lũy thừa sau = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + (1 − x)2 Do ta x = 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + (x − 1)2 Từ đó, suy F (x) = f (x) x = f (x) − x (x − 1)2 Hay f (x)(x2 − 3x + 1) = x3 − 2x2 + x (a1 x + a2 x2 − 3x3 + )(x2 − 3x + 1) = x3 − 2x2 + x 65 ... 73 Ma trận hệ truy hồi KẾT LUẬN cứu vấn đề sau: Luận văn "Ma trận hệ truy hồi" tập trung nghiên (1) Giải hệ dãy truy hồi qua phép biến đổi ma trận: tích ma trận, chéo hóa ma trận (2) Giải hệ truy. .. riêng vectơ riêng ma trận; hàm ma trận giá trị riêng hàm ma trận - Chương 2: Ma trận hệ truy hồi Trong chương này, luận văn đề cập đến việc biểu diễn hệ truy hồi tuyến tính dạng ma trận, sử dụng... đường chéo Ma trận đơn vị thường ký hiệu E  0 E= 0  0  Ma trận chuyển vị ma trận A = (aij )m×n ma trận A = (aij )m×n aij = aij với i = 1,2, ,m j=1,2, ,n Ma trận hệ truy hồi Ma trận chuyển