Thông tin tài liệu
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bïi văn toan Bài toán biên thứ hai phơng tr×nh monge-ampere elliptic Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI - 2012 Học viên : Bùi Văn Toan -1- K19 Toán Gi¶i TÝch Mục lục Trang Mở đầu Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình det(uij ) g(x) R(Du) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ - 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi - 1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi 1.1.3 Nón tiệm cận - 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi 1.1.5 Phương trình Monge-Ampere 14 1.2 Bài toán biên thứ hai phương trình det(uij ) g ( x) - 17 R( Du ) 1.2.1 Các nghiệm yếu nghiệm suy rộng - 17 1.2.2 Bài toán biên thứ hai - 17 1.2.3 Bài toán biên thứ hai lớp đa diện lồi 20 Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình tổng qt - 26 2.1 Phát biểu định lý tồn nghiệm - 26 2.1.1 Những giả thiết 26 2.1.2 Định lý tồn nghiệm - 25 2.2 Xây dựng không gian nghiệm - 28 2.3 Chứng minh Định lý - 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Häc viên : Bùi Văn Toan -2- K19 Toán Giải TÝch Mở đầu Phương trình Monge-Ampere loại elliptic khơng gian R n có dạng: det(uij ) f ( x, u , Du ) , (*) x x1 , x2 , , xn Rn , u u x ẩn hàm, uij ux x f x, u, Du hàm i j số nhận giá trị dương cho trước Nghiệm cổ điển phương trình (*) hàm lồi u(x), thuộc lớp C Nhưng việc tìm lớp nghiệm cổ điển vấn đề khó Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho tốn biên thứ hai phương trình (*) mà xét tồn khơng gian R n dáng điệu nghiệm vô hạn cho trước Nghiệm dựa ứng dụng nguyên lý điểm bất động không gian hàm không tầm thường Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation tác giả Ilya J.Bakelman Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Bài tốn biên thứ hai phương trình det( uij ) g( x ) R( Du ) Chương 2: Bài tốn biên thứ hai cho phương trình tổng quát Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere det(uij ) g ( x) tập R( Du ) nghiệm suy rộng lồi Điều kiện định lý điều kiện cần đủ Những kết thực có ý nghĩa dùng cho việc nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij ) f ( x, u , Du ) Chương nghiên cứu tỉ mỉ toán biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere tổng quát lớp nghiệm suy rộng lồi, cụ thể định lý tn ti Học viên : Bùi Văn Toan -3- K19 Toán Giải Tích v nht nghim ca bi tốn Trong phần trình bày có đưa số giả thiết nón lồi chấp nhận được, cơng thức ước lượng…Bên cạnh đó, ta xét với hàm lồi khơng bị chặn tồn khơng gian E n nên ứng dụng nguyên lý điểm bất động yêu cầu xây dựng không gian hàm đặc biệt mà toán biên thứ hai nghiên cứu chi tiết Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Cơ-Tin học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 Tốn giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Tác giả Häc viªn : Bùi Văn Toan -4- K19 Toán Giải Tích Chng Bài tốn biên thứ hai phương trình det(u ) ij g(x) R(Du) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi Định nghĩa 1.1.1.1: Một tập K L gọi lồi a, b K , t 0;1 xt (1 t )a tb K Định nghĩa 1.1.1.2: Một tập lồi chứa hợp tia với đỉnh chung gọi nón lồi Đỉnh chung tất tia gọi đỉnh nón Định nghĩa 1.1.1.3: Một thể lồi F E n1 gọi (n+1)-khối đa diện lồi F giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nếu khối đa diện F tập bị chặn E n1 biên F chúng gọi khối đa diện lồi đóng Nếu F khối đa diện lồi hữu hạn F gọi đa diện lồi hữu hạn Định lý 1.1.1.4 Mọi đa diện lồi bị chặn bao lồi đỉnh Hơn nữa, đa diện với đỉnh cho trước Định lý 1.1.1.5 Mọi khối đa diện lồi hữu hạn bao lồi đỉnh góc đa diện lồi tiệm cận đặt đỉnh Định lý 1.1.1.6 Cho M hệ hữu hạn điểm A1 , A2 , , Am E n1 Nếu có (n+2) điểm vị trí tổng qt M, P Co M (n+1)-khối đa diện lồi bị chặn, đỉnh P điểm A1 , A2 , , Am Điểm Ai , ( i=1, 2,…, m) gốc P Ai không thuộc vào bao lồi tất điểm khác ca M Học viên : Bùi Văn Toan -5- K19 Toán Giải Tích nh lý 1.1.1.7 Cho A1 , A2 , , Am hệ điểm cho E n1 Khi tồn đa diện n-lồi đóng E n1 với đỉnh điểm A1 , A2 , , Am vị trí tổng quát điểm Ak không thuộc vào bao lồi điểm A1 , A2 , , Ak 1 , Ak 1 , , Am , (k=1,2,…,m) Hơn nữa, đa diện Định lý 1.1.1.8 Cho M hệ hữu hạn điểm E n1 , thỏa mãn điều kiện sau : i) có k+1 điểm vị trí tổng qt M ii) khơng có k+2 điểm vị trí tổng quát M , k = 0, 1, 2,…, n+1 Khi P Co M khối đa diện k-lồi bị chặn đỉnh P điểm thuộc tập M Một điểm A M gốc P A không thuộc bao lồi tất điểm khác tập M Định lý 1.1.1.9 Cho A1 , A2 , , Am hệ hữu hạn điểm, V góc đa diện (n+1)-lồi E n1 mà đỉnh điểm A1 , A2 , , Am Cho M A1 A2 Am V Khi P Co M khối đa diện vô hạn (n+1) lồi E n1 , V góc tiệm cận P đỉnh P điểm A1 , A2 , , Am Hơn nữa, điểm Ak , k 1, 2, , m gốc P Ak không thuộc vào Co A1 Ak 1 Ak 1 Am V 1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi Tập F gọi mặt lồi n-chiều (hoặc siêu mặt lồi) E n F miền gồm biên thể lồi (n+1)-chiều H E n1 nghĩa F tập mở, liên thông H tô pô H cảm sinh E n1 Tương tự, với miền G chứa biên thể lồi (k+1)-chiều H gọi mặt lồi k chiều Nếu k=1 G gọi đường cong lồi F gọi chóp lồi n-chiều F siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kin: Học viên : Bùi Văn Toan -6- K19 Toán Giải Tích i) F nm trờn mt siờu phng P E n1 ii) F có phép chiếu trực giao 1-1 P Cho H tập lồi E n1 Q H siêu mặt lồi hoàn toàn Ta cố định đường L kí hiệu U L tập đường song song với L, qua tất điểm H Các đường nằm U L thỏa mãn ba khả đây: Mọi đường cắt Q điểm Mọi đường cắt Q hai điểm phân biệt Khơng đường cắt Q Ta kí hiệu F tập tất điểm giao H với đường thẳng tập U L Trong trường hợp thứ F Ta xét trường hợp thứ nhất: Cho L tia của đường L mà giao với Q Ta kí hiệu UL tập gồm tia hướng với L xuất phát từ điểm H Khi F chứa tất điểm giao H với tia tập UL Cho P siêu phẳng trực giao với L Khi hình chiếu F P miền lồi, mở G Rõ ràng G hình chiếu tập IntH siêu phẳng P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn1 z tọa độ Đề E n1 cho siêu phẳng P có phương trình z Rõ ràng F đồ thị hàm f x1 , ,xn xác định G Bây ta chứng minh hàm f x1 , ,xn liên tục G Cho X o điểm G dãy điểm X m G hội tụ đến X o Ta kí hiệu Yi i 0,1,2, điểm F mà chiếu lên X i , thỏa mãn Yo lim Ym Ta m thấy Ym bị chặn Do Ym H , giới hạn dãy hội tụ dãy điểm Ym thuộc vào H Hơn nữa, phải nằm tia tập UL Rõ ràng Yo điểm thỏa mãn điều kiện Vì vậy, Yo lim Ym hàm f x1 , ,xn liờn tc m Học viên : Bùi Văn Toan -7- K19 Toán Giải Tích G Do F l đồ thị hàm liên tục f x1 , ,xn xác định miền lồi, mở G F H , F siêu phẳng lồi Bây ta xét trường hợp thứ hai: Khi F phân tích thành hai thành phần Phần thứ gồm điểm giao H với tia tập UL , phần thứ hai gồm điểm giao H với tia xuất phát từ điểm H có hướng ngược với tia L Vì vậy, điểm A H có lân cận U H mà chiếu tương ứng 1-1 lên siêu phẳng Cho W G tập siêu phẳng lồi E n1 mà chiếu trực giao tương ứng 1-1 lên miền lồi, mở G P Cho x1 ,x2 , ,xn ,xn1 z tọa độ Đề E n1 cho siêu phẳng P có phương trình z Khi siêu phẳng lồi F W G xác định phương trình z f X , X x1 ,x2 , ,xn G Ta kí hiệu X ,z x1 ,x2 , ,xn ,z E n1 Rõ ràng X hình chiếu trực giao (X,z) lên siêu phẳng P Cho X , f X điểm F Khi tồn siêu phẳng tựa Q qua điểm đó, X x1 ,x2 , ,xn G Nếu X ,z x1 ,x2 , ,xn ,z Q , z f X f x1 ,x2 , ,xn z f X f x1 ,x2 , ,xn với X G Trong trường hợp thứ nhất, hàm f x1 ,x2 , ,xn gọi lồi, trường hợp thứ hai lõm Với X o , X hai điểm miền lồi G Khi đó, với t 0,1 điểm X t 1 t X o tX1 G cho zt 1 t f X o tf X1 Ta thu kết luận sau: a) Nếu f X hàm lồi G, với t 0,1 bất đẳng thức : f 1 t X o tX1 f X t zt 1 t f X o tf X1 với X o , X G Häc viªn : Bùi Văn Toan -8- K19 Toán Giải Tích b) Nếu f X hàm lõm G, với t 0,1 bất đẳng thức : f 1 t X o tX1 f X t zt 1 t f X o tf X1 với X o , X G 1.1.3 Nón tiệm cận Ta kí hiệu K A M tập hợp điểm nằm tia xuất phát từ điểm A M chứa M Nếu khơng có tia ta đặt K A M A Định lý 1.1.3.1 Nếu M tập lồi tập K A M tập lồi Hơn nữa, K A M A K A M nón lồi Chứng minh : Cho B C điểm thuộc KM A Với t 1; , ta chứng minh X t A nằm M, X t 1 t B tC Cho t ; cố định Do B, C KM A B A , C AM Do M tập lồi X t A 1 t B tC A 1 t B A t C A nên X t A M Định lý 1.1.3.2 Cho M tập lồi đóng E n LA , LB hai tia xuất phát từ hai điểm phân biệt A, B tập M Nếu LA M LA LB LB M Chứng minh: Cho C điểm thuộc LA Do M tập lồi nên đoạn thẳng BC nằm M Với điểm X LB , X giới hạn dãy điểm nằm đoạn BCn , Cn L A Do M tập đóng nên X M Do LB M Học viên : Bùi Văn Toan -9- K19 Toán Giải Tích nh ngha : Nu M tập lồi, đóng E n nón K B M thu cách tịnh tiến song song nón K A M , A B hai điểm thuộc vào M Từ đó, nón K X M gọi nón tiệm cận tập lồi đóng M, với X điểm M Nếu M tập lồi, đóng E n chứa đường L M hình trụ sinh đường thẳng song song với L Định lý 1.1.3.3 Cho A điểm thuộc tập lồi đóng M Nếu K A M A M tập bị chặn Chứng minh : Giả sử định lý khơng Khi tồn dãy điểm X n M cho độ dài đoạn thẳng AX n tăng vơ hạn Do ta chọn dãy từ dãy AX n mà hội tụ đến tia L M lồi AX n M Do M tập đóng L M , nghĩa K A M chứa tia L Vô lý K A M A 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi 1.1.4.1 Một số kí hiệu Cho x1 , x2 , , xn , xn1 tọa độ Đề không gian Ơclit (n+1)-chiều E n1 cho E n siêu phẳng xn1 Ta kí hiệu xn1 z gọi x x1 , x2 , , xn , x, z x1 , x2 , , xn , z điểm thuộc E n E n1 Cho G miền lồi mở, bị chặn E n , ta kí hiệu S z đồ thị hàm z : G R Cuối cùng, W G W G lớp riêng biệt tất cỏc hm li v Học viên : Bùi Văn Toan - 10 - K19 Toán Giải Tích Vi mi hàm lồi u(x) xác định E n mà đồ thị có nón tiệm cận chấp nhận phần tử A1 Do u x A Phần trình bày rút từ tính compact u E n không gian n Cho Tk tập B bao gồm tất các phần tử B cho u , u(x) hàm lồi xác định E n thoả mãn hai điều kiện : a) u 0, b) Nón tiệm cận u(x) nón cố định chấp nhận K, xét tốn biên thứ hai phương trình (2.1) Bổ đề 2.2.1 Tk tập lồi B Chứng minh Bổ đề 2.2.1 Cho hai số dương cho Nếu f g phần tử Tk sinh biểu diễn sở f(x) g(x) , hàm f(x) g(x) hàm lồi E n , có nón tiệm cận chấp nhận K, f g Rõ ràng phần tử f g sinh hàm f x g x Do f x g x lồi f g Suy : f g f g (2.2) Nếu ta chứng minh K nón tiệm cận f x g x , từ việc từ đẳng thức (2.2) suy Tk tập lồi B Rõ ràng phần trình bày liên quan đến nón tiệm cận f x g x cần thiết lập C hàm lồi f(x) g(x), trường hợp hàm lồi tổng quát thu việc xấp xỉ đơn giản hàm lồi C tương ứng Do hàm lồi f(x) g(x) ta, giới thiệu phần đầu phần chứng minh Bổ đề 2.2.1, vi phân cấp hai E n Häc viªn : Bïi Văn Toan - 31 - K19 Toán Giải Tích Rõ ràng grad f g grad f grad g điểm x0 E n Do : , , , tương ứng ánh xạ chuẩn tắc siêu diện tiếp xúc đồ thị hàm f x g x , f(x) g(x) điểm x, f x g x , x, f x , x, g x E , Do , điểm tập lồi k E n , ta có : k n (2.3) Nếu K’ nón tiệm cận hàm lồi f x g x , từ (2.3) suy rằng: k ' E n k E n , (2.4) z k ' x phương trình nón tiệm cận K ' , mà đỉnh điểm En Từ (2.4) ta thu k ' x k x với x E n Bây ta chứng minh : k ' x k x với x E n Cho trục E n ,đi qua điểm , s tọa độ Đề s x x x Cho 2 n cho với điểm s x1, x2 , , xn k ' x , k x , f x , g x hàm mà sinh k ' x , k x , f x , g x trục Khi : ' k1s k 'x ' k 2s nÕu s nÕu s k s k x k 2s nÕu s nÕu s , k1' k1 k2' k2 Do thu đẳng thức dây chuyền sau : 2 d f d g d2 f d 2g k1' k2' ds ds ds ds ds ds ds k2 k1 k2 k1 k2 k1 , 0; Do k1' k2' k2 k1 Từ k1' k1 k2' k2 , ú: Học viên : Bùi Văn Toan - 32 - K19 Toán Giải Tích k2' k2 v k1' k1 Như : k ' x k x với x E n , (2.5) trục tuỳ ý E n qua Từ (2.5) suy K ' K Phần chứng minh Bổ đề 2.2.1 hoàn thành Bổ đề 2.2.2 Tk tập đóng B Chứng minh Bổ đề 18.2 Cho Tk bao đóng Tk không gian B Nếu Tk , tồn phần tử 1,2 , ,q , tập Tk cho : lim q q B Biểu diễn sở uq x q hàm lồi E n với nón tiệm cận K , mà chấp nhận , uq , q = 1,2,3,… Rõ ràng , lim uq x u x q A , u(x) biểu diễn sở Tk Như uq x hội tụ tới u(x) hình cầu đóng U m : x M Do u(x) hàm lồi với nón tiệm cận K Tk Phần chứng minh Bổ đề 2.2.2 hoàn thành Bổ đề 2.2.3 Tk tập compact B Chứng minh Bổ đề 2.2.3 Cho phần tử Tk u(x) biểu diễn sở Khi u hàm lồi u(x) thoả mãn điều kiện Lipschitz E n với số d diam K * Do đó: B u x A m1 u x m 2 m const 1 m1 m d0 Cho u x tập hợp biểu diễn sở u x Từ ước lượng cuối dẫn đến tồn dãy hàm lồi u q x mà dãy u x hội tụ đến hàm lồi u0 x hình cầu U m : x m Rõ ràng u0 K nón tiệm cận u0 Như vậy: Häc viªn : Bùi Văn Toan - 33 - K19 Toán Giải TÝch u Tk Nếu thiết lập lim u q x u x q A Khi phần chứng minh Bổ đề 2.2.3 hoàn thành Cho số Ta cố định số nguyên dương m0 cho m 1 m m0 diam K * Khi u q u0 m0 1 A m1 u u0 m 2 m m0 1 u q u0 m m mm0 m1 1 u q u0 Từ lim u q u0 u q u0 2 diam K m m * 1 mm0 m m , có số dương Q0 cho m0 1 u q u0 m , với q q0 Vì u q u0 với q q0 , số cho trước 2.3 Chứng minh định lý Bây ta trở lại phần chứng minh Định lý 2.1.2.1, mà định lý tồn chương Cho phần tử tập Tk u(x) biểu diễn sở Ta xét tập hợp hàm lồi ua x u x a, a , Hàm Fua x f x, ua x , Dua x f x, ua x a, Du x , không âm với x E n Cho z = k(x) phương trình nón K Häc viªn : Bùi Văn Toan - 34 - K19 Toán Giải TÝch Khi ua x u x a k x a, với x E n Từ Giả thiết 2.1.1.3 suy Fua x k x, u x a k x, k x a , với x E n giá trị thực a Từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 ta suy : En Fua x dx n k x, k x a dx , với a ak , bk E Từ Giả thiết 2.1.1.3 thiết lập bất đẳng thức : Fua x inf* k x, x, a với x E n với x R K Bây ta giới thệu hàm x Từ x En En Fua x dx , với a ak , bk f x, u x a, Du x dx , với a ak , bk Khi từ Giả thiết 2.1.1.2, 2.1.1.3 từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 suy a liên tục, ' a tồn ak , bk có bất đẳng thức ak k x, k x ak dx meas K * , (2.6) bk inf k x, x, bk dx meas K * (2.7) En En K* Từ : ' a f x, u x a, Du x u En dx 0, Khi , từ (2.6), (2.7) suy tồn số a* ak , bk cho a* F u En a* x dx meas K * Bây với nón tiệm cận cho trước K ta xét tốn biên thứ hai phương trình: det zij Fua* x (2.8) Từ tất điều kiện Định lý 2.1.2.1 thoả mãn, tốn biên có nghiệm suy rộng lồi z(x) thoả mãn điều kiện z a * có K nón tiệm cận đồ thị Häc viªn : Bùi Văn Toan - 35 - K19 Toán Giải TÝch Cho u x ua* x a * z x z x z biểu diễn sở phần tử u x , u x phần tử tập lồi compact Tk Rõ ràng toán biên thứ hai phương trình (2.8) nón lồi chấp nhận cho trước K sinh toán tử : G : Tk Tk cho x G u Trong phần cuối tiểu mục thiết lập tính liên tục tính compact toán tử G tập lồi K Những điều cho phép áp dụng định lý Schauder điểm bất động với toán tử G : Tk Tk Sự tồn Định lý 2.1.2.1 kết cuối nghiên cứu Bổ đề 2.3.1 Hàm a*: Tk R hàm liên tục Chứng minh : Cho phần tử Tk u x A1 A biểu diễn sở Khi u(x) hàm lồi mà đồ thị chúng có K nón tiệm cận chúng, u Số thực a* a * u nghiệm phương trình En f x, u x a, Du x dx meas K * (2.9) Ở chứng minh phương trình có nghiệm a* a * u ak , bk Bây ta phải chứng minh a * uq hội tụ tới a * u nếu: lim uq u q A uq ,u Tk Từ (2.9) suy rằng: En f x, u x a * u , Du x dx n f x, uq x a * uq , Duq x dx meas K * E Nh vy : Học viên : Bùi Văn Toan - 36 - K19 Toán Giải Tích f E n u x uq x a * u a * uq 0 u v dx t n u x uq x f dx , n dt E xi 0 ui v i 1 xi t (2.10) vt x 1 t uq x tu x 1 t a * uq ta * u , u x vt x u x 1 t q t xi xi xi , t , i 1,2, , n Từ a * u a * uq không phụ thuộc vào x, từ (2.10) ta thu : f u x u x dt 0 u dx q En vt a * u a * uq f dt En 0 u v dx t u x uq x f dt dx En x1 xi 0 u vt f En 0 u v dt dx t Từ f dương liên tục E n R R K * ( xem Giả thiết 2.1.1.2) ,đối với u tập compact Q E n R K * có số h(Q) > cho: f x, u, p h Q u Với mục đích ta thế, ta cần xét tập compact Q0 U1 1, K * , U hình cầu đơn vị x E n số 1 , xác định điều kiện 1 v1 x Giá trị hữu hạn 1 , phụ thuộc vào u x cho uq x u x A A , số ak , bk N1 q N1 Học viên : Bùi Văn Toan - 37 - K19 Toán Giải Tích Nu x U thỡ v x , v x , K * t t với t 0,1 , vt x 1 t u x tuq x K * Ở ta phải nói đến u x uq x điểm tập lồi K* Do ta thu bất đẳng thức: f dt En 0 u v dx h Q0 meas Q0 , t (2.11) với q N1 Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : với x E n , với f C n02 , u x x m0 , u R, p K * , const m0 const ; Khơng tính tổng qt ta giả sử m0 số nguyên dương 1 21 lớn 1 Cho I1 f u x u x dt dx , : q En 0 u vt I1 f u x uq x dt dx x m0 u vt f u x u x dt q 0 u v dx x m0 t f x m0 u vt Cho C2 sup 2.12 (2.13) Rõ ràng C2 phụ thuộc vào u x m0 , K* số ak , bk Từ u x uq x biểu diễn sở phần tử tập Tk , u uq , Học viên : Bùi Văn Toan - 38 - (2.14) K19 Toán Giải Tích v: u x x diam K * ; uq x x diam K * (2.15) Từ (2.12-2.15) suy I1 C2 u x uq x m0 C0 n1 u x uq x mm0 1 2 2 m m 1 m 1 , n 1 diện tích mặt cầu đơn vị S n 1 Từ u x uq x m02 u x uq x , A 1 m 1 m0 21 1 2 , với m m0 1 , m m 1 C I1 C2 m02 n1 u x uq x A , (2.16) 1 m0 số nguyên thoả mã bất đẳng thức m0 2 1 , 2 số C0 C2 không phụ thuộc vào q Cho I n u x uq x f 0 En x x i i ui i 1 dt dx , vt Rõ ràng n u x uq x I2 n R x xi i 1 i f ui dt dx vt (2.17) Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : f C n1 ui x , i 1, 2, , n , (2.18) với x E n , với x m0 , u R, p K * Học viên : Bùi Văn Toan - 39 - K19 Toán Giải Tích Hm u g x hội tụ đến hàm xi u x hầu khắp nơi E n với xi x K *, ta có: uq x K *, u x K * , (2.19) Từ (2.17-19) suy f u x uq x m dt 0 u x m x x dx i 1 x m i v i i t dx 2C1n diam K * , n x m x n I2 m m0 số nguyên dương tuỳ ý Từ : dx x m x n n1 , m Ta tìm m* cho với số nguyên m max m0 , m * ta có bất đẳng thức : 2C1n diam K * n1 , m số dương tuỳ ý cho trước Ta cố định số nguyên m max m0 , m * Khi : sup x m f dt Cm , ui v t ( i = 1,2, … ,n ), số Cm phụ thuộc vào m, ak , bk diam K * Thực f f hàm liên tục theo Giả thiết 2.1.1.2 xét supermum u i ui tập compact : x m, ak x diam K * u bk x diam K * pK * Từ u x uq x hàm lồi, lim q Học viên : Bùi Văn Toan - 40 - x m u x uq x dx xi xi K19 – To¸n Gi¶i TÝch Do ta tìm số N cho với q N : f 0 u i 1 x m i u x uq x dt dx x m xi xi n vt (2.20) Như , với q N : I2 (2.21) Bây từ (2.11) , (2.16) , (2.21) ta suy lim a * uq a * u uq u A 0 Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.2 Toán tử G : Tk Tk liên tục Chứng minh Cho dãy q Tk hội tụ tới phần tử Tk không gian B Ta chứng minh lim q 0 q B 0 , (2.22) 2 G q 0 G 0 Từ Tk tập compact B ( xem Bổ đề 2.2.3) , có dãy qi hội tụ tới phần tử B , nghĩa lim q j j 0 B Từ Tk tập đóng B , Tk Thật may mắn biết hàm tập , v q , e hội tụ yếu tới hàm tập , v, e E n , vq j x v x j biểu diễn đại diện q j thoả mãn điều kiện : vqi a * uqi , v a * u0 Mặt khác tất hàm Fuq j a* x f x, uq j a * uq j , uq j , không âm thoả mãn bất ng thc Fuq Học viên : Bùi Văn Toan j a* x k x, k x bk , - 41 - K19 Toán Giải Tích vi mi x E n , z = k(x) phương trình nón lồi chấp nhận K cho trước với hàm uq j x Chú ý ta có điều sau: a) lim uq j u0 j 0; A b) uq j x K * với x E n số nguyên q j ; c) uq j x j hội tụ đến u0 hầu khắp nơi E n , ( i = 1,2,…, n ); x j d) M x, k x bk hàm khả tích khơng âm E n ; e) Đánh giá ( 2.11 ) với hàm uq , u0 Bây ta sử dụng định lý Lebesgue thu , v, e lim , uq , e lim Fu q j j q j e qj x dx Fu a*u x dx e a* uq j 0 e tập Borel E n Chú ý ta sử dụng tính liên tục hàm a*: Tk R đẳng thức xuất phát Vì v x nghiệm suy rộng lồi phương trình 2 v det x x i j Fu0 a*u0 x hàm v0 x nghiệm suy rộng lồi phương trình 2v0 det x x i j Fu0 a*u0 x Từ v 0 v0 a * u0 nón lồi chấp nhận K nón tiệm cận hai hàm v x v0 x , ta có v x = v0 x với x E n Như (2.22 ) Bây ta kết thúc phần chứng minh Định lý 2.1.2.1 Từ Tk tập compact B, G( Tk ) compact B Hơn , Tk = G( Tk ) Do tốn tử G có điểm bất động Tk Nhưng hàm u x a * u x Häc viên : Bùi Văn Toan - 42 - K19 Toán Giải Tích biu din i din vi c hai G Do u(x) nghiệm mong muốn toán biên thứ hai phương trình det(uij ) f ( x, u, Du) Học viên : Bùi Văn Toan - 43 - K19 Toán Giải Tích KT LUN Lun trình bày hợp lý kết đạt Trong luận văn tìm điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm suy rộng lồi cho toán biên thứ hai cho phương trình det(uij ) g ( x) R( Du ) Hơn luận văn chủ yếu tìm điều kiện đủ vế phải phương trình tổng quát det(uij ) f ( x, u, Du) để nghiệm tốn biên thứ hai tồn tồn khơng gian Häc viên : Bùi Văn Toan - 44 - K19 Toán Giải Tích TI LIU THAM KHO [1] Trn c Vân (2008) , Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Ilya J.Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation, Springer-Verlag Berlin New York [3] Rokafeler R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J [4] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen, Noordhoff, Groningen Học viên : Bùi Văn Toan - 45 - K19 Toán Giải Tích ... - 17 1.2.2 Bài toán biên thứ hai - 17 1.2.3 Bài toán biên thứ hai lớp đa diện lồi 20 Ch-¬ng Bài tốn biên thứ hai phương trình tổng quát... nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij ) f ( x, u , Du ) Chương nghiên cứu tỉ mỉ toán biên thứ hai cho phương trình Monge- Ampere tổng quát lớp... ) g( x ) R( Du ) Chương 2: Bài tốn biên thứ hai cho phương trình tổng qt Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán biên thứ hai cho phương trình Monge- Ampere det(uij ) g ( x) tập
Ngày đăng: 05/12/2020, 19:24
Xem thêm:
