(Luận văn thạc sĩ) bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế001

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ VÂN ANH BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO THỊ VÂN ANH BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã ngành: 604401 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội -2011 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Error! Bookmark not defined CHƯƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬError! Bookmark not defined 1.1 Thành lập công thức toán tán xạ Error! Bookmark not defined 1.2 Biểu diễn Eikonal biên độ tán xạ học lượng tử Error! Bookmark not defined CHƯƠNG KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ Error! Bookmark not defined 2.1 Phương trình chuẩn Error! Bookmark not defined 2.2 Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ Error! Bookmark not defined CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN Error! Bookmark not defined 3.1 Phép gần Born Error! Bookmark not defined 3.2 Vùng lượng cao Error! Bookmark not defined 3.3 Thế Yukawa Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO Error! Bookmark not defined PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn Error! Bookmark not defined Phụ lục B: Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ Error! Bookmark not defined Phụ lục C : Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ Error! Bookmark not defined Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng chương Error! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh MỞ ĐẦU Phép gần eikonal sử dụng để tìm biên độ tán xạ hạt học lượng tử phi tương đối tính sử dụng từ lâu biểu diễn eikonal thu cho biên độ tán xạ dùng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm vật lý lượng cao [3-6] Sử dụng phép gần sở phương trình chuẩn LogunovTavkhelidze lý thuyết trường lượng tử, lần người ta thu biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ (góc tán xạ nhỏ) Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ nay, thu người ta tiến hành lấy tổng giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền hạt tán xạ theo xung lượng hạt trao đổi [11,12] sau: 1 1     2  p   ki   m    p  ki   ki  , i i i      (0.1) p xung lượng hạt tán xạ, ki – xung lượng hạt trao đổi công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j  Phép gần sử dụng để nghiên cứu trình tán xạ lượng cao gọi phép gần quỹ đạo thẳng hay gần eikonal Bức tranh vật lý sau: Các hạt lượng cao bị tán xạ cách trao đổi liên tiếp độc lập lượng tử ảo, đồng thời khơng có liên kết tương thích q trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan ki k j mặt hàm truyền (0.1) Các số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt vùng lượng cao, gần giới khoa học quan tâm nghiên cứu, tương tác hạt tương tác hấp dẫn số hạng bổ liên quan đến lực hấp dẫn mạnh gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn loạt hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /11-13/ Việc xác định số hạng bổ cho biểu diễn tán xạ eikonal lý Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh thuyết hấp dẫn cần thiết , song vấn đề bỏ ngỏ, lượng hạt tăng, số hạng bổ tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh số hạng trước Mục đích Ban luận văn Thạc sĩ tìm bổ bậc cho biên độ tán xạ eikonal hạt dựa sở phương trình chuẩn vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ lý thuyết trường lượng tử Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn bốn phụ lục Chƣơng 1.Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ học lượng tử Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger hạt trường ngồi theo định nghĩa ta tìm cơng thức eikonal cho biên độ tán xạ vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ với điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần trình bầy mục Chƣơng 2.Biểu diễn eikonal bổ bậc Trong mục 2.1 giới thiệu phương trình chuẩn cho biên độ tán xạ, cho hàm sóng Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ, thực khai triển hàm sóng  phương trình theo xung lượng hạt p  p Sử dụng phép khai triển ta thu biểu diễn eikonal số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ Chƣơng Bài tốn dựa phương trình chuẩn giải phương pháp lặp theo gần Born (lý thuyết nhiễu loạn theo tương tác) Ở mục 2.1 chuẩn dạng Gauss sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ bổ bậc bậc gần Born thấp Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần Born khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa 1/p, tương tự phân tích chương II, kết số hạng số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ tìm mục 2.2 Trường Yukawa tương ứng với trao đổi hạt lượng tử với spin khác nhau, sử dụng để minh hoa phụ thuộc vào lượng số hạng bổ cho biên độ tán xạ eikonal Cuối kết luận chung, tài liệu tham khảo phụ lục liên quan tới luận văn Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  metric Pauli: x  x   ( x1  x, x2  y, x3  z, x4  ict  it )  x  ; Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh   ab  a b  ab  a0b0  ab  a4b4  ak bk  a4b4 ;  k  1, 2,3 ,   1   0  0 0 0  0 0  0 1 Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Khoa Vật lý Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh CHƢƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ Bài toán tán xạ học lượng tử nghiên cứu sở phương trình Schrodinger Giả sử có hạt tán xạ trường ngồi, dáng điệu hàm sóng hạt bị tán xạ tìm dạng   tán xa eikr   toi  f ( ,  ) r Trong f ( ,  ) biên độ tán xạ cần tìm Nếu lượng hạt lớn, góc tán xạ nhỏ, ta tìm biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ- hay người ta gọi biểu diễn Glaubert /9/ , người thu công thức học lượng tử 1.1 Thành lập công thức tốn tán xạ Q trình tán xạ học lượng tử mô tả phương trình Schrodinger:    2  k  (r )  U(r) (r) , (1.1.1)   2mE mV ( r ) sử dụng ký hiệu k  U (r )  Nghiệm   phương trình vi phân (1.1.1) viết lại dạng phương trình tích phân:       (r )  (r)   d 3r ' G0 (r, r ')U(r ')(r ') , (1.1.2)  hàm (r ) thoả mãn phương trình cho hàm tự do:  2  k  (r )  , (1.1.3) Phương trình (1.1.3) phương trình vi phân cấp nên nghiệm có dạng:      (r )  A0eik r  B0eik r hàm Green G0 (r, r ') nghiệm phương trình:     2  k  G0 (r, r ')  (3) (r  r ')   Chúng ta tìm G0  r , r '  theo công thức:        G0  r , r /    G  r  r /  3  r  r /  d 3 r / Khoa Vật lý (1.1.4) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Chuyển phổ Fourier ta có:   G0  r , r '    2  e     is r  r /  g s d 3s   (1.1.4a) Vậy : 2  k  G0 (r, r / )   2  2    k  e     is r  r /  g s d 3 s         is r  r is r  r Nhưng : 2e    s 2e   / / Sử dụng:  3  r  r /      2  e     is r  r /  d s Thay vào phương trình (1.1.4a) có:  2    s   g s    k e     is r  r /   3 g  s  d  s   2   2  k  s2  Đặt vào (1.1.4a) ta có:   G0  r , r /    2  e     is r  r /  d 3s k  s2  Chuyển sang tọa độ cầu  s, ,   dọc theo trục r Vì s  r  r /   s r  r / cos     e   is r  r / cos      is r  r / cos sin  d      sin s r  r / 2   s r r/ e   is r  r /  Vì vậy:   G0  r , r /     (2 ) r  r /   / 4 r  r         s sin s r  r / k s    s sin s r  r / k s 2  ds Chuyển sang tích phân phức : Khoa Vật lý ds e     is r  r /  3 d s Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh     G0  r , r /    i   8 r  r /   is r  r / -is r  r /     se se ds   ds    s  k  s  k        s  k  s  k   i   /  I1  I  8 r  r Sử dụng dạng tích phân Cauchy :     z  z   2 f  z  f z 0    seis r  r / I1     s  k      seis r  r /  ds  2 i   sk  sk      se-is r  r / I2     s  k     G0  r , r /      / 4 r  r     se-is r  r /    ik r  r /   ds  2 i   i e  sk  sk     s  k  /  / i  ik r  r  e ik r  r     / e  8 r  r      eik r  r /  e  ik r  r /       ik r  r /   i e   s k      Aeik r  r / Be ik r  r /    /   /  r r   r r      Các điều kiện biên hàm (r ) G0 (r, r ') xác định từ điều kiện biên hàm  (r ) Phương trình tích phân (1.1.2) gọi phương trình Lippman-Schwinger  4 Các nghiệm phương trình (1.1.3) (1.1.4) là:    (r )  A0eik r  B0eik r ,   (1.1.5)    ik r  r '  ik r r '   e e G0 (r, r ')   A   B   4  r  r ' r r'    ,   (1.1.6) (1.1.6) ý A+B =1 Sử dụng phương trình (1.1.5) (1.1.6), nghiệm phương trình Lippman-Schwinger (1.1.7) viết lại dạng:     ik r r '  ik r r '    e e ik r  ik r  (r )  A0 e  B0 e  d r' A    B    r r' 4  r r'  Khoa Vật lý     U (r )(r ')   (1.1.7) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh  Theo điều kiện biên hàm sóng (r ) phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới sóng phẳng truyền theo chiều dương trục z thành phần cịn lại sóng cầu tán xạ Vì B0= B = (1.1.7) viết lại dạng:   ik r  r '     e ik r (r )  A0 e  d r ' U ( r )(r ')   4  r r' (1.1.8) Như phân tích trên, biên độ tán xạ thu miền tiệm cận hàm sóng Trong phần lớn toán mà xem xét, U(r) xác định thể tích hữu hạn khơng gian máy đo (detectors) hiệu ứng tán xạ đặt xa vùng có chứa U(r) Từ đó, kết luận r '  r suy gần sau:    r '   r.r ' r r'  r   O    r  r   (1.1.9) Từ (1.1.9), viết lại biểu thức (1.1.8) dạng:      1 ik ( r  r rr ' )   r  (r )  A0 eik r  d r ' e U ( r ')  ( r ') 4  r (1.1.10) Đặt Ao = 1, suy ra:    r   r   eik r  f ( ,  ) eikr , r (1.1.11) với f (, )       ik r d r ' e U ( r ')  ( r ') , 4  (1.1.12)   r hiểu biên độ tán xạ hạt trường V(r), k  k Bức tranh r minh hoạ cho biến đổi phức tạp rõ hình vẽ 1: y  b' x   r k'k r '   k, z Khoa Vật lý  r   r sin  cos  , r sin  sin  , r cos   k '   k sin  cos  , k sin  sin  , k cos   k   0,0, k   r '   b 'cos  ', b 'sin  ', z '  Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh KẾT LUẬN Trong Luận văn nghiên cứu phương trình chuẩn Logunov Tavkhelidze cho tốn tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ lượng cao, kết thu Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn Logunov - Tavkhelidze cho tốn tán xạ ta thu số hạng chính-biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ số hạng bổ bậc vùng lượng cao xung lượng truyền nhỏ 2/ Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cho biên độ tán xạ lượng cao xung lượng truyền nhỏ qua Yukawa,tương ứng với trao đổi hạt vơ hướng ,thì số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ nhỏ số hạng –biểu diễn tán xạ eikonal,xấp xỉ  s 3/ Khi tương tác hai nucleon qua việc trao đổi hạt với spin khác nhau, meson vô hướng (spin không), meson vector (spin 1) graviton (spin 2) - hạt tenxơ ta thu công thức, trùng với kết tính tốn phương pháp khác, phương pháp tích phân phiếm hàm với cải biến lý thuyết nhiễu loạn Tùy thuộc vào spin khác tiết diện tán xạ tồn phần  tot giảm, khơng đổi tăng theo tăng lượng Các kết lý thuyết nhận dựa sở phương trình chuẩn Gauss sử dụng để phân tích số liệu từ thực nghiệm tán xạ hadron Phương pháp nghiên cứu luận án Thạc sỹ sử dụng để nghiên cứu cho toán tán xạ phức tạp trường hấp dẫn lượng tử Các vấn đề dành cho việc nghiên cứu tới Khoa Vật lý 32 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Nguyễn Xuân Hãn (2002), Các giảng tích phân quỹ đạo lý thuyết lượng tử, Giáo trình ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ học lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Nguyễn Xuân Hãn (1998), Cơ sở lý thuyết trường lượng tử, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh Efremov A.A (1971) ,Short Distance Scala Invariance and High Energy Process in Field Theory , TMF 6, 55 Filipov A.T (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.80-107 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A., Slepchenko L.A, Tavkhelidze A.N (1969), Coral Gables Conference on Fundamental Interactions at High Energy, Gordon and Breach Science Publishers, p 74 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), “Relativistic quasipotential model of particle scattering at high energies” Phys.Lett 29B, No 3, 191 Garsevanishvili V.R, Matveev V.A, Slepchenko L.A and Tavkhelidze (1969), ICTP – Preprint IC/69/87, Trieste Glauber R.J (1959), Lectures in Theorical Physics, New York, 315p 10 Logunov A.A and Tavkhelidze A.N (1963), “Quasipotential approach in quantum field theory”, Nuovo Cimento 29 (2), pp 380 11 Nguyen Suan Han and Eap Ponna (1997), “Straight-Line Path Aprroximation for the Studying Planckian- Energy Scattering in Quantum Gravity”, ICTP, IC/IR/96/36, Trieste, pp.1-15; IL Nuovo Cimento A, Vol 110A(5), pp 459 Khoa Vật lý 33 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh 12 Nguyen Suan Han (2000), “Straight-Line Paths Approximation for the HighEnergy Elastic and Inelastic Scattering in Quantum Gravity”, European Physical Journal C, vol.16(3), pp 547-553 13 Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”, NXB Giáo dục, pp.393-401 14 Salpeter E.E and Bethe H.A (1951), “A Relativistic Equation for Bound-State Problems”, Phys Rev 84, pp 1231 15 Tavkelidze A.N (1964), Các giảng lớp học vật lý lý thuyết Quốc tế mùa Đông Viện nghiên cứu liên hợp hạt nhân Dubna, NXB JINR-Liên Xô, pp.66-78 16 Verlinde E and Verlinde H (1992), “Scattering at Planckian energies”, Nucl Phys B.371, pp 246 PHỤ LỤC Khoa Vật lý 34 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC A: GIẢI PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƢƠNG PHÁP LẶP Dạng phương trình chuẩn cho tán xạ hạt khơng có spin có khối lượng nhau: T ( p, k , E )  V ( p  k ) ; E    dq V ( p  q)2 ; E  T (q, k ; E ) m2  q q  m2  E  i (A.1) Phương trình (A.1) giải phương pháp lặp T (2 ; E )  V (2 ; E )   T (2 ; E )  ; 2  t (A.2) Phần bổ cho gần theo Born có dạng:  T ( ; E )   dq V ( p  q) ; E  V ( p  k ) ; E  m2  q q  m2  E  i (A.3)  (isg0 ) eat A( ; E ), đó: e2 a ( q  ) pk ;  2 2 m2  q q  m  E  i dq A( ; E )   (A.4) Lấy tích phân theo góc, ta có: A( ; E )       2a  e2 a ( q  ) , 2 m2  q q  m  E  i qdq (A.5) pq , hay mặt lượng    p  t  p cos (A.6) A  R  iJ , (A.7) Viết lại (A.5) dạng: đó: J Khoa Vật lý 2 4a p  m2 35 e 2 a ( p   )2  e2 a ( p  ) ; (A.8) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh R xác định giá trị tích phân (A.5) Trong giới hạn lượng cao, xung lượng truyền nhỏ 2 1  O  ; as s  J 2 R as (A.9a) 1  O  2 as s  (A.9b) Như vậy, hai số hạng đầu chuỗi (A.2) cho T ( ; E )  isg0eat  isg0 đó:  g0 a (1  i )eat  ,  (A.10) 2 as Điều kiện ứng dụng phép gần Born  g0 a Khoa Vật lý  1; a t  ln 36 a  g0 (A.11) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC B: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GĨC TÁN XẠ NHỎ Tính đóng góp phép lặp (n+1) vào biên độ tán xạ (A.1) T ( p, k ; E ) vùng lượng cao góc tán xạ nhỏ: T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1     dq1 dqn  1  n n 1    exp a ( p  q1 )   (ql  ql 1 )  (qn  k )   l 1    n  (q l 1 l (B.1)  p  i 0) đó: 1  ql  m2 , l  1, 2, , n Làm phép l  ql  l , l  1, 2, , n ; đây: l  qlexteme  (n   l ) p  lk ; l  1, 2, , n n 1 (B.2) giá trị xung lượng dạng toàn phương lũy thừa hàm mũ (B.1) Đưa vào véctơ trực giao l  pk pk ; r ; (lr  0) viết lại biểu thức (B.2) 2 dạng: l  l  rl  n  2l  r  l  rl ; l  1, 2, , n ; n 1 n  2l  r Khi số lũy thừa chia đóng góp điểm cực n 1 trị phần lại: n 1 ( p  ql )  (qn  k )   (ql  ql 1 )  l 1 n 1 ( p  k )2  n      l2    l  l 1  n 1 l 1  l 1  n 1 ( p  k) 2    l   n   ( l   l 1 ) n 1 l 1 Khoa Vật lý (B.3) 37 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Trong biến số (B.1) có dạng:   n n 1  exp  a        l l l    at d 1 d  n l 1  l 1   ( n 1) n 1 n 1 T ( p, k ; E )  (isg ) e     n 1  n  (l  l )2  p  i0 l 1 Chia phép lấy tích phân theo  thành thành phần dọc ngang véctơ l   ( ; ) , ( l )  ; at T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e n 1    (n) d  (1)  d    1  n (B.4) n 1   n   exp 2a    (l )    (l )  (l 1)   I n ; l 1  l 1   I n     d 1 d  n  1  n n 1   n  exp 2a   l2    l  l 1   l 1  l 1   n   l 1 l  2 l l  (  r )  i  (l )  ; Biểu diễn số mẫu dạng tích phân chia thành hai cực điểm:     1     (r   k ) (r   k ) 2l   i  k  2l   i0   k  2l 2l   i  k Ở vùng lượng lớn góc tán xạ nhỏ ta chứng minh được: In   2l  n n 1     n    exp 2a    l2    l  l 1    l  l     J      d 1 d  n  n , n    (l )    i0  l     2l l 1      sử dụng giả thiết  k  l (k  1, 2,3, n) J n có đóng góp cực điểm khơng Biểu diễn thừa số Gauss dạng phổ e  a   e   (l ) Lưu ý định nghĩa hàm  giới hạn   , dễ dàng nhận được: 2l In  Khoa Vật lý (2l )  (2 i)   Jn    (n  1)!  38 iz v( z )dz Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Như vậy, đóng góp chủ yếu vào biên độ tán xạ vùng là: T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e at n 1  2 i  (n)  d  (1)  d     2    2l  (n  1)! n n 1   n   exp 2a    (l )    (l )  (l 1)   l 1  l 1   Sử dụng công thức biết: n    d  d  exp  a C   ,    n         a DetC 2 (B.5) lưu ý trường hợp DetC  n  kết cuối nhận được: T ( n1) ( p, k ; E )  (isg0 ) n1 Khoa Vật lý at n 1 at n 1 e e  4 g0   2 i      isg0    2    (n  1)!  2l   a  (n  1) a  (n  1)(n  1)!  n n 39 n Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC C: TÍNH ĐĨNG GĨP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ Dẫn tính tốn T ( n1) ( p, k ; E ) vùng (3.1), sau ta sử dụng số ký hiệu phụ lục B Xét biểu thức: at T ( n 1) ( p, k ; E )  (isg ) n 1 e n 1    d 31 d 3 n  1  n n 1   n  exp 2a  l2   l 1   l 1  l 1   n  (l  l )2  p  i0 (C.1) l 1 Tại vùng lượng cao, không giả thiết góc tán xạ nhỏ  l  (l  l )2  m2  l  p  4sin  (n   l )l (n  1) ; (C.2) l  1, 2, , n ; l - xác định (B.2),  - góc tán xạ hệ khối tâm l2  p  4 p sin  l (n   l ) (n  1) n ; n  (l2  2l l  l2  p  i0)   (l2  p  i0) l 1 l 1 (4 p sin  2)  (n  1) n 2 n (C.3) t n (n !) l (n   l )   (n  1) n l 1 n Chú ý (C.2), (C.3) từ (C.1) ta thu được: (isg ) n 1 (n  1) n T ( n 1) ( p, k ; E )  p nt n (n !) at e n 1   4sin  (n   l )l  (n  1) (C.4)   n n 1      d 1 d  n exp 2a    l    l  l 1   l 1  l 1   Lấy tích phân (C.4) tiến hành theo xung lượng - chiều  Sử dụng tương tự - chiều (B.5), biểu thức cho T ( n1) : n at  isg0   (n  1) n e n 1 ( n 1) T ( p, k ; E )  isg0    3/2  pta a  (n !) (n  1) n  l 1 Khoa Vật lý 40  4sin  (n   l )l (n  1) (C.5) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh Xét hàm số: n l   f n ( )   1   , n 1  l 1  n f n ( )    4sin  (n   l )l l 1 (n  1)2    2sin ei / ; , tính ln f n ( ) n  n n   1    l  ln f n ( )   ln 1    ln(1   )    ln 1    dl  n 1  (n  1)   n  l 1    Như vậy: n   4sin l 1  (n   l )l (n  1)  e n (0) , n , đó:  (0)   Re 1   ln(1   )    2tg  Thay biểu thức vào (C.5) Ta thu đóng góp vào T ( n1) vùng (3.1) n at n 1  isg  (0)   (n  1) e T ( n 1) ( p, k ; E )  isg0   3/ pta a   [(n+1)!] (n  1) Khoa Vật lý 41 2( n 1) (C.6) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƢƠNG Tính tích phân I1   d x ei x K   | x |   2   d | x || x |J  0    | x | K   | x |  (D.1) 2 2     t  Tính tích phân  eiqx  I   d x ei x K 02   | x |   d x ei x  d q  q    K   | x |  2 1 i q  x  d 2q d x e     K   | x | (D.2)   2 q  1  ,  2   d q 2 q    q    2    2  biến đổi công thức (D.2) ta sử dụng kết tính tích phân I1 Sử dụng tích phân Feynman: Khoa Vật lý dx  , ta có: ab  ax  b 1  x     42 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh I   dx  d q  q 2   dx  d q     x   q        1  x     q  2q  1  x    2 1  x     i ( )(1)   2 1  x      2 1  x 2  (2)     dx  (i )  dx 2 1  (i )  dx 2      x 1  x      tx 1  x   4 1 1 t  (i )  F (t ) ,  (i )  ln 4 4 t 1 1 1 t t (D.3) 4 1 1 t ln đó: F1 (t )  4 4 t 1 1 1 t t Tính tích phân I   d x ei x K 03 (  | x |)  eiq1x  eiq2 x  2   d x ei x  d q d q K (  | x |) 2  2     q    q      2 (D.4) d q1d q2  d x exp i  q1  q2     x  K (  | x |)  2 2  (2 ) (q1   )(q2   )  (2 ) d q d 2 q2 (q   )(q   ) (q1  q2    )    2 2 Áp dụng kết tích phân tính biểu thức I2, ta có: 1  d q1 (q12   ) (q1  q2   )     (i )0 dx     q    x(1  x)      Như vậy: 1 I3  (i )  dx  d q2 2 (2 ) (q2   )    (q2    )2 x(1  x)  Lại sử dụng tích phân Feynman: Khoa Vật lý dx  thì: ab  ax  b 1  x     43 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh i I3   4 dx 0 x(1  x) 0 dy  d q2  2 (q2    )  B  y  (q2   )(1  y )  i  4  dx 0 x(1  x) 0 dy  d q2 q  2q  y  C 2   1 (D.5) 1 i dx 1 dx   (i )  dy   dy ,   4 x(1  x) C     y   x(1  x) C     y 2      2     ; C  ( 2  B) y   (1  y )    t  y   (1  y ) B  x(1  x)  x(1  x)  Vì thế: 1 dx I3    dy  x(1  x)    2  x(1  x)  t  y   (1  y )  ty   1 1 1 1 1    dy  dx    dy  dx 2 0 (1  y)(ty   ) x(1  x)   0 Dx  Dx   dy    40 D0 dx 1 dy dx     D ( x  x1 )( x  x2 ) x2  x  D 1  (1  x1 ) x2 dy  1 dy I     dx     ln ,  D  x  x1 x  x2  x1  x2 D x1  x2 (1  x2 ) x1 (D.6) với D  (1  y)(ty   )  ty2  (  t ) y   ; x1 x2 hai nghiệm phương trình: x x 2 D  Chú ý rằng: x1  x2    x1  x2 ;1  x2  x1 x1  x2   4 2  1 , D D (D.7) ta có:  2  4  1 1 1   D  (1  x1 ) x2 x22 2 D  ln  ln  ln  ln  ln (1  x2 ) x1 x1 D  2  2  4  1  1 1  D  D  Thay kết vào (D.6), ta thu kết cuối cùng: Khoa Vật lý 44 Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh 1 2 I    dy ln D  2 D  2 1 2    dy ln   F2 (t ) 2 (ty   )( y  1) y (ty    t ) 1 đó: F2 (t )   dy Khoa Vật lý 2 ln (ty   )( y  1) y(ty    t ) 45 , (D.8) Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRONG CƠ HỌC LƢỢNG TỬ 1.1 Thành lập cơng thức tốn tán xạ 1.2 Biểu diễn Eikonal biên độ tán xạ học lượng tử CHƢƠNG KỂ THÊM BỔ CHÍNH CHO GẦN ĐÚNG EIKONAL TRONG PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ 16 2.1 Phương trình chuẩn 16 2.2 Phương trình chuẩn biểu diễn tọa độ 17 CHƢƠNG PHƢƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN 23 3.1 Phép gần Born 23 3.2 Vùng lượng cao 24 3.3 Thế Yukawa 27 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 PHỤ LỤC 34 Phụ lục A :Giải phương trình chuẩn 35 Phụ lục B: Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ nhỏ 37 Phụ lục C : Tính đóng góp phép lặp ( N+1) cho biên độ tán xạ với góc tán xạ 40 Phụ lục D: Một số tích phân sử dụng chương 42 Khoa Vật lý 46 ... Luận văn thạc sĩ Cao Thị Vân Anh CHƢƠNG BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ Trong lý thuyết trường lượng tử biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vùng lượng cao xung... Tavkhelidze cho tốn tán xạ, đồng thời tính số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ lượng cao, kết thu Luận văn bao gồm: 1/ Giải phương trình chuẩn Logunov - Tavkhelidze cho toán tán xạ ta thu số hạng chính- biểu... xạ số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ sở phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze /4-10/ 2.1 Phương trình chuẩn Ta xét trường hợp đơn giản tán xạ hai hạt vô hướng khối lượng phương trình chuẩn có