Đề thi chọn học sinh giỏi cấp cơ sở môn Toán lớp 12 năm học 2009-2010 – Sở Giáo dục và Đào tạo Điện Biên (Đề chính thức) được biên soạn với 5 bài tập giúp các em học sinh có thêm tư liệu tham khảo phục vụ cho học tập, ôn thi.
SỞ GD&ĐT ĐIỆN BIÊN Đề thi chính thức KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2009 2010 Mơn:Tốn Thời gian làm bài 180 phút, khơng kể thời gian giao đề Ngày thi: 07/01/2010 (Đề thi có 01 trang) ĐỀ BÀI Câu 1: (6 điểm) 21 + 2sin x − 3.21 + sin x = m − 1. Cho phương trình: (1) (m là tham số) a) Giải phương trình (1) với m = 0 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x6 + y = x5 + y = 2. Giải hệ phương trình: Câu 2: (5 điểm) y = − x +[ − 37;7 x +] 72 x − 90 1. Tìm GTLN của hàm số: trên đoạn y = x4 − 2x2 + 2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tính diện tích tam giác có các đỉnh là các điểm cực trị của đồ thị (C) Câu 3: (6 điểm) x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − = 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Chứng minh rằng với mọi giá trị của t đường thẳng (d) có phương trình: (t là tham số) ln tiếp xúc với một đường trịn cố định ﾷ 2a⊥= 120 o BAC 2. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = và . Gọi M là trung điểm của CC1. Chứng minh MB MA1 và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A1BM) Câu 4: (1.5 điểm) f ( x ) = x n + an−1 xfn−(1 2+) an−32nx n− + L + a1 x + Cho đa thức có các hệ số khơng âm và có n nghiệm thực. Chứng minh . Câu 5: (1.5 điểm) M 11n ) x ;=ny13n2−2009 y = (xxM 1n− Cho hàm số: có đồ thị là (C). là điểm trên (C) có hồnh độ . Tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại cắt (C) tại điểm khác , tiếp tuyến của (C) tại điểm cắt (C) tại điểm khác (n = 4; 5;…), gọi là tọa độ điểm . 2009 xn + yn + 22013 = Tìm n để : Hết ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 20092010 NỘI DUNG Câu 1 1+ 2sin x − 3.21+s inx = m − (4điểm ) 2t − 6t = m� −14 � 2s inx = t �� t � ;2 � � � Đặt ta có phương trình: (2) 2t − 6t + = � t = �t = a.Với m = 0 suy ra: t = � 2s inx = � sinx = � x = kπ t = � 2s inx = � sinx = � x = b.ycbt(2) có nghiệm 0.5 ( ) � 2t − 6t + = m =12t � − 6t + ( P) : y � ;2 � � � � (2) có nghiệm khi đường thẳng y = m cắt trên …… �1 � �3 � y � �= ; y � �= − ; y ( ) = �2 � �2 � − Suy ra thì (1) có nghiệm 0.5 π + k 2π � � ;2 � � � � t 6điểm 0.5 m 0.5 0.5 0.5 (2điểm ) Câu 2 0.75 x + y = (1) x5 + y = (2) Lập luận từ (1) và (2) suy ra và x, y không cùng d ấu x, y �[ −1;1] Vai trị của x, y bình đẳng , khơng làm mất tính tổng qt giả sử −1 < x < < y < Lập luận đưa ra hệ vô nghiệm ( 0;1) ; ( 1;0 ) Nhận thấy là các nghiệm của hệ y = − x +[ − 37;7 x +] 72 x − 90 trên đoạn (2điểm Xét hàm trên ) 0.75 0.5 4 điểm f ( x ) = − x3[ −+7;7 x 2] + 72 x − 90 0.5 y ' = −3x + x + 72 = � x = −4 �x = y ( −4 ) = −266; y ( ) = 234; y ( ) = 218; y ( −7 ) = −104 1.0 max y = y ( −4 ) = 266 0.5 [ −7;7] (2điểm ) y= 1.0 x − 2x2 + A ( −2; −1) ; B ( 0;3) ; C ( 2; −1) Các điểm cực trị: 1 S = BH AC = 4.4 = ( dvdt ) 2 NX: các điểm cực trị tạo thành tam giác cân tại C. Suy ra diện tích được tính: Câu 3 x cos t + y sin t + sin t − 2cos t − = � ( y + 1) sin t + ( x − ) cos t = (2điểm (*) 2 2 ) C �( y( + y 1+)1) + + ( x( −x −2 )2 ) =BΠ 0α �i =f 1( x ) = Π ( x + α i ) n n i =1 i =1 f ( ) = Π ( + αi ) = Π ( + + αi ) Ta có .Suy ra đpcm n 3n Π α i = 3n i =1 0.5 0.5 ... = Tìm n để : Hết ĐÁP ÁN ĐỀ? ?THI? ?CHÍNH THỨC HỌC? ?SINH? ?GIỎI MƠN TỐN? ?12 NĂM HỌC 20092010 NỘI DUNG Câu 1 1+ 2sin x − 3.21+s inx = m − (4điểm ) 2t −... AA ' M 3 S A ' BM = MB.MA ' MB = BC + CM = AB + AC − AC AB.cos1200 + AA '2 = 12a 2 2 MA ' = A ' C ' + C ' M = 9a � S A ' BM = 3a.a 12 = 3a a SAA ' M = 2a.2 5a = 2a 5; d ( B, ( AA ' M ) ) = BH... � t 6điểm 0.5 m 0.5 0.5 0.5 (2điểm ) Câu 2 0.75 x + y = (1) x5 + y = (2) Lập luận từ (1)? ?và? ?(2) suy ra ? ?và? ?x, y khơng cùng d ấu x, y �[ −1;1] Vai trị của x, y bình đẳng , khơng làm mất tính tổng qt giả sử