Mời các bạn học sinh và quý giáo viên cùng tham khảo Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2011-2012 – Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương để phục vụ cho ôn luyện và đánh giá năng lực học sinh.
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MƠN THI : TỐN Vịng 1 Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu 1 (2 điểm) x−2 x +1 Cho hàm số có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M y= y = 9x + m x2 + Tìm m để hàm số có cực đại Câu 2 (2 điểm) sin 2012 x + cos 2012 x = Giải phương trình 21005 x + x2 + = y + y2 − x + y − xy = Giải hệ phương trình Câu 3 (2 điểm) � π 9� + sin π ),B∀+xsin� 0; � tan tan A +xtan B +x tan Cx + sin( A3+−sin C 2 � 2� Chứng minh . Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có y = x + + − x − 16 − x 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Câu 4 (3 điểm) a Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = và SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vng góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a ﾷ MAN = 450 M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN Câu 5 (1 điểm) a2 + b2 + c2 = Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh a + ab + b + bc + c + ca + + + 5(a + b + c) a + 3ab + c b + 3bc + a c + 3ca + b …………………Hết………………… Họ tên thí sinh:………………………………Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2: ……………………… ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung Điểm CM tam giác IAB có diện tích khơng phụ thuộc vị trí điểm M I 1,00 �y '(aa−) =2 � y '−= (� M C ) 2M�� a; ,a 0,25 ( x + 1) � a + � (a + 1) � (∆) a−2 y= ( x − a) + (a + 1) a +1 Tiếp tuyến của (C) tại M có pt x =∆1−1 Tiệm cận đứng có phương trình 0,25 y = 1� ∆ 2I (−1;1) Tiệm cận ngang có phương trình ∆ �∆ = B � B� (−21;a a+ −1;15)� ∆ �∆12= A � A � � 0,25 � a +1 � , 1 a −5 S IAB = IA.IB = − 2a + = a + = 2 a +1 a +1 0,25 (không phụ thuộc vào a, đpcm) 1,00 y = 9x + m x2 + Tìm m để hàm số có cực đại y' = + mx x2 + ﾷ , y '' = 9m ( x + 9) x + TXĐ: , y ' = � x + + mx = � x + = − mx mx < mx < � � � � 2 m ∀81 +81( > x���� −m=9m9x2 x2 2+ 9ﾷm+� (mx xm 9− 81) x x92 =x81.9 9( x) +9 9) � y' = > 0, ∀x x2 + TH 1. nên suy ra hàm số đồng biến trên , khơng có cực trị. m > �� (I ) TH 2. y ''( x1 ) = x1 = −27 0,25 m − 81 �9mm> ( x + 9) x + 0,25 >0 x1 0,25 là điểm cực tiểu loại m < −9 �� (I ) x2 = TH 3. y ''( x2 ) = là điểm cực đại Vậy hàm số có cực đại II 9m ( x22 + 9) x22 + 27 m − 81