Về tính quy nghiệm của một lớp phương trình elliptic với dữ liệu độ đo

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic với liệu độ đo" tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực luận văn, tơi thừa kế kết nhiều báo công bố nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc phép công bố Học viên thực Trịnh Thị Ngọc Nga LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực luận văn, nhận nhiều giúp đỡ, động viên từ q cơ, gia đình bạn bè Vì vậy, trước tiên tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy TS Nguyễn Thành Nhân tận tình giảng dạy, hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Tốn - Tin học, Phịng Sau Đại học, Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt luận văn Tôi xin cảm ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn đọc góp ý giúp cho luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn q thầy Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh truyền đạt cho kiến thức quý báu suốt năm học vừa qua, tạo cho tảng vững để thực luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè tập thể lớp Tốn Giải tích K27 hết lịng ủng hộ động viên, giúp đỡ tơi trình học tập trình thực luận văn Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Chân thành cảm ơn Học viên thực Trịnh Thị Ngọc Nga MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Các kí hiệu Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Tốn tử tựa tuyến tính 1.2 Độ đo Radon hữu hạn 1.3 Điều kiện p-capacity 11 1.4 Nghiệm renormalized 12 1.5 Không gian Lorentz 14 1.6 Các toán tử cực đại 15 Chương Đánh giá gradient không gian Lorentz 20 2.1 Đánh giá địa phương bên 21 2.2 Đánh giá địa phương biên 30 2.3 Kết quy nghiệm 32 Chương Ứng dụng vào phương trình dạng Riccati 47 3.1 Định lý điểm bất động Schauder 48 3.2 Chuẩn không gian Lorentz 48 3.3 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati 51 Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 61 CÁC KÝ HIỆU Ω Miền mở, bị chặn Rn Ωc Phần bù miền Ω Rn ∂Ω Biên miền Ω diam(Ω) Đường kính miền Ω Br (x) Quả cầu mở tâm x, bán kính r Rn |E| Độ đo Lebesgue tập đo E ⊂ Rn ∇u Gradient hàm u : Rn → R div(F ) Divergence hàm F : Rn → Rn Mb (Ω) Không gian độ đo Radon với biến phân bị chặn Ω Lp (Ω) Không gian Lebesgue hàm đo được, có lũy thừa p khả tích Ω L∞ (Ω) Khơng gian hàm đo được, bị chặn hầu khắp nơi Ω ffl E f (x)dx Tích phân trung bình hàm f E ⊂ Rn W 1,p (Ω) Không gian Sobolev Ω 1,p Wloc (Ω) Không gian Sobolev địa phương Ω Chuẩn C n (Ω) Tập hàm khả vi liên tục cấp n Ω C ∞ (Ω) Tập hàm khả vi liên tục vô hạn lần Ω Kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Liên quan đến việc nghiên cứu số tính chất định tính nghiệm phương trình đạo hàm riêng, toán nghiên cứu ban đầu toán tồn tại, nghiệm tính quy nghiệm Với phát triển liên tục, có nhiều phương pháp sử dụng để khảo sát tính chất nghiệm phương trình đạo hàm riêng Trong số kỹ thuật gần đây, việc chứng minh tồn tại, nghiệm nghiên cứu tính quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường áp dụng từ cơng cụ hữu hiệu từ tính bị chặn toán tử cực đại lĩnh vực Giải tích điều hịa, kết đánh giá gradient cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng Các phương pháp dần chứng tỏ hiệu quả, chứng minh kết quy nghiệm cho lớp toán tổng quát với liệu độ đo Từ đó, nghiên cứu đánh giá gradient cho nghiệm bắt đầu nhiều nhà tốn học nghiên cứu sơi động, kéo theo nhiều kết cơng bố tạp chí tốn học uy tín Liên quan đến chủ đề này, kể đến cơng trình tiêu biểu nhà toán học lớn L.A Caffarelli, E DiBenedetto, L Boccardo, F Murat, G Mingione, F Duzaar, M Colombo, T Kuusi, L Grafakos, T Kilpelainen, J Maly, Y Sire, P Baroni, L Veron, S Byun, T Mengesha, Trong luận văn này, xét phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo, có dạng sau:   −div(A(x, ∇u)) = µ Ω,   u = ∂Ω, Ω miền mở, bị chặn Rn với n ≥ 2, µ độ đo Radon hữu hạn Ω, toán tử phi tuyến A hàm giá trị vector Carathédory thỏa: tồn p > hai số dương ζ , ν cho |A(x, ξ)| ≤ ζ|ξ|p−1 , A(x, ξ) − A(x, η), ξ − η ≥ ν |ξ|2 + |η|2 p−2 |ξ − η|2 , với (ξ, η) ∈ Rn × Rn \ {(0, 0)} Về tồn nghiệm phương trình này, kết đưa L Boccardo cộng [1, 2] Trong đó, tác giả tồn 49 Bổ đề 3.2.1 ([6]) Cho Ω ⊂ Rn E ⊂ Ω cho |E| > Với < r < s < ∞ f ∈ Ls,∞ (Ω), ta có ˆ r s |E|1− s f s−r |f (x)|r dx ≤ E r Ls,∞ (Ω) (3.1) Chứng minh Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với α > 0, ta có |{x ∈ Ω : |f (x)| > α}| ≤ s α ˆ |f (x)|s dx |{x∈Ω:|f (x)|>α}| Từ ta suy được: |{x ∈ E : |f (x)| > α}| ≤ min{|E|, α−s f s Ls,∞ (Ω) } Ta có đánh giá sau ˆ ˆ ∞ r αr−1 |{x ∈ E : |f (x)| > α}|dα |f (x)| dx = r E ˆ α0 αr−1 |{x ∈ E : |f (x)| > α}|dα ≤r ˆ ∞ αr−1 |{x ∈ E : |f (x)| > α}|dα +r ˆ α0 ˆ α0 ≤r α r−1 ∞ αr−s−1 f |E|dα + r s Ls,∞ (Ω) dα α0 = α0r |E| + r αr−s f r−s s Ls,∞ (Ω) Ta thu bất đẳng thức (3.1) cách chọn α0 = |E|− s f Ls,∞ (Ω) Trong không gian Lorentz Ls,∞ (Ω), ta chứng minh tựa chuẩn Ls,∞ (Ω) chuẩn |.| Ls,∞ (Ω) tương đương, thể qua bổ đề bên 50 Bổ đề 3.2.2 ([6]) Cho Ω ⊂ Rn , với s ∈ (1, ∞) f ∈ Ls,∞ (Ω), ta có f Ls,∞ (Ω) ≤ |f | Chứng minh Từ định nghĩa |.| Ls,∞ (Ω) Ls,∞ (Ω) , ≤ s f s−1 (3.2) Ls,∞ (Ω) với E ⊂ Ω cho |E| > 0, ta có ˆ |f | Ls,∞ (Ω) −1+ 1s |f (x)|dx ≥ |E| E Với α > 0, ta lấy E = {x ∈ Ω : |f (x)| > α} Áp dụng Bổ đề 1.6.2 với s = ta có |E| = |{x ∈ Ω : |f (x)| > α}| ≤ α ˆ |f (x)|dx E Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta được: |f | 1 Ls,∞ (Ω) ≥ |E|−1+ s α|E| ≥ α|E| s = α|{x ∈ Ω : |f (x)| > α}| s Lấy supremum với α > bất đẳng thức này, ta được: f Ls,∞ (Ω) ≤ |f | Ls,∞ (Ω) Mặt khác, áp dụng Bổ đề 3.2.1, ta có ˆ −1+ 1s |E| |f (x)|dx ≤ E s f s−1 Ls,∞ (Ω) Từ ta suy bất đẳng thức lại Bổ đề 3.2.2: |f | Ls,∞ (Ω) ≤ s f s−1 Ls,∞ (Ω) 51 3.3 Sự tồn nghiệm renormalized phương trình dạng Riccati Áp dụng kết đánh giá gradient nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính khơng gian Lorentz, chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình dạng Riccati   −div(A(x, ∇u)) = |∇u|q + µ Ω,   u = (3.3) ∂Ω Cụ thể, xây dựng ánh xạ liên tục T : V → V, T (v) = u, u nghiệm phương trình sau −div(A(x, ∇u)) = |∇v|q + µ, V tập lồi, đóng T (V ) tiền compact theo tơpơ mạnh W01,1 (Ω) Sau đó, chúng tơi sử dụng định lý điểm bất động Schauder để thu kết tồn nghiệm phương trình (3.3) không gian Lorentz Đầu tiên, áp dụng Định lý 2.3.3 Chương tính bị chặn toán tử cực đại M1 , ta thu hệ sau Hệ sử dụng để chứng minh xác định ánh xạ T Bổ đề 3.3.4 52 Hệ 3.3.1 ([17]) Giả sử sn s−n ≤ p Khi đó, tồn số C > cho, với u nghiệm phương trình (1.1) với liệu độ đo µ ∈ M0 (Ω) với q > 0, ta có |∇u|q s(p−1)n ,∞ L q(n−s) (Ω) ≤C µ q p−1 Ls,∞ (Ω) Kết tồn nghiệm chương thu với n ≥ tham số p, q thỏa mãn: + 0, tập hợp Vλ tập lồi đóng theo topo mạnh khơng gian Sobolev W01,1 (Ω) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh Vλ tập đóng theo topo mạnh W01,1 (Ω) Lấy dãy {uk }k∈N ⊂ Vλ cho uk → u ta cần chứng minh u ∈ Vλ 53 Lấy E ⊂ Ω cho |E| > 0, ta có −1+ n(q−p+1) ˆ |E| |∇uk |dx ≤ |∇uk | ≤ λ Ln(q−p+1),∞ (Ω) E Ta ý ∇uk → ∇u hầu khắp nơi Theo bổ đề Fatou ta có −1+ n(q−p+1) ˆ |E| |∇u|dx ≤ λ E nên |∇u| Ln(q−p+1),∞ (Ω) = −1+ n(q−p+1) ˆ |E| sup 0 b ≥ c > 0, tồn số δ0 > cho với a ∈ (0, δ0 ], hàm f : [0, ∞) → R định nghĩa f (t) = (bt + ca)r − t, có nghiệm t0 = t0 (r, a, b, c) > (3.4) 54 r Chứng minh Chọn δ0 = (r − 1)(br)− r−1 > Khi đó, với a ∈ (0, δ0 ], hàm f cho (3.4) thỏa f (0) > lim f (t) = ∞ t→∞ Hơn nữa, dễ thấy f (t) = br(bt + ca)r−1 − 1, ta suy f (t) = ⇔ t = t∗ , t∗ xác định bởi: r ca ca = δ0 − t∗ = (br)− r−1 − b b r−1 b Giá trị nhỏ f [0, ∞) f (t∗ ) = (bt∗ + ca) ca − t∗ = − δ0 ≤ a − δ0 ≤ br b Do đó, f có nghiệm t0 ∈ (0, t∗ ] Bổ đề 3.3.3 chứng minh Tiếp theo, ta định nghĩa ánh xạ T chứng minh ánh xạ có điểm bất động theo Định lý điểm bất động Schauder Với v ∈ Vλ , giả sử u nghiệm renormalized phương trình   −div(A(x, ∇u)) = |∇v|q + µ Ω,   u = (3.5) ∂Ω Ta định nghĩa ánh xạ T : Vλ → Vλ T (v) = u Với giả thiết µ ∈ M0 (Ω), phương trình (3.5) có nghiệm renormalized u Chứng minh tồn nghiệm phương trình tham khảo [7] 55 Bổ đề 3.3.4 ([17]) Tồn δ0 > λ0 > cho |µ| L n(q−p+1) ,∞ q (Ω) ≤ δ0 , (3.6) ánh xạ T : Vλ0 → Vλ0 định nghĩa xác định Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu s = n(q−p+1) q ý s > Áp dụng Hệ 3.3.1 Bổ đề 3.2.2, tồn số C > cho, với u nghiệm renormalized (1.1), ta có |∇u| Áp dụng Bổ đề 3.3.3 với r = p−1 Lqs,∞ (Ω) q p−1 ≤ C |µ| > 1, b = |µ| s s−1 C Ls,∞ (Ω) (3.7) Ls,∞ (Ω) c = C , tồn δ0 cho, ≤ δ0 , hàm f định nghĩa (3.4) có nghiệm t0 > Nghĩa s Ct0 + C |µ| s−1 p−1 Ls,∞ (Ω) = t0 q ta đặt λ0 = t0q Theo định nghĩa T , với v ∈ Vλ0 , u = T (v) ∈ W01,1 (Ω) nghiệm renormalized (3.5) Áp dụng (3.7) Bổ đề 3.2.2, ta có |∇u| p−1 Lqs,∞ (Ω) ≤ C ||∇v|q + µ| Ls,∞ (Ω) ≤C s |∇v| s−1 ≤C s λq0 + |µ| s−1 q Lqs,∞ (Ω) + |µ| Ls,∞ (Ω) Ls,∞ (Ω) 56 =C s t0 + |µ| s−1 Ls,∞ (Ω) p−1 = t0 q = λ0p−1 Điều dẫn đến T (v) = u ∈ Vλ0 Vậy ánh xạ T xác định Bổ đề 3.3.5 ([17]) T : Vλ0 → Vλ0 ánh xạ liên tục T (Vλ0 ) tập compact theo topo mạnh W01,1 (Ω) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh T liên tục theo topo mạnh W01,1 (Ω) Lấy dãy {vk }k∈N ⊂ Vλ0 cho vk → v ∈ Vλ0 Với k ∈ N, uk = T (vk ) nghiệm renormalized phương trình   −div(A(x, ∇uk )) = |∇vk |q + µ Ω,   uk (3.8) ∂Ω = Để ý vk ∈ Vλ0 với k ∈ N, nên ta có |∇vk | Ln(q−p+1),∞ (Ω) ≤ λ0 (3.9) Theo Bổ đề 3.2.1 Bổ đề 3.2.2 (3.9), ta có ∇vk Lr (Ω) ≤ λ0 , (3.10) với q < r < n(q − p + 1) Tồn dãy {vkj }j∈N {vk } cho ∇vkj → ∇v hầu khắp nơi Ω Từ (3.10) Mệnh đề 1.4.4, ta có ∇vkj → ∇v hầu khắp nơi Lq (Ω) Khi đó, ∇vk → ∇v Lq (Ω) Tồn dãy {ukj } cho {ukj } → u hầu khắp nơi Ω, với u nghiệm renormalized 57 (3.5) Hơn nữa, ∇ukj → ∇u hầu khắp nơi Ω Tương tự trên, sử dụng Mệnh đề 1.4.4 với ý n(q − p + 1) > |∇ukj | Ln(q−p+1),∞ (Ω) ≤ λ0 , ta có uk → u W01,1 (Ω) Vậy ánh xạ T liên tục Tập T (Vλ0 ) compact theo topo mạnh W01,1 (Ω) chứng minh tương tự Thật vậy, lấy {uk } = {T (vk )} dãy T (Vλ0 ) với {vk } ⊂ Vλ0 , ta có (3.9), (3.10) Tồn dãy {ukj } hàm u ∈ W01,1 (Ω) cho ∇ukj → ∇u hầu khắp nơi Ω Cuối cùng, theo Mệnh đề 1.4.4, ta có {ukj } → u W01,1 (Ω) Cuối cùng, kết chương định lý sau Định lý 3.3.6 ([17]) Cho n ≥ 3, số p, q thỏa + λ0 > cho, |µ| L n(q−p+1) ,∞ q (Ω) ≤ δ0 , ánh xạ T : Vλ0 → Vλ0 liên tục T (Vλ0 ) tập compact theo topo mạnh W01,1 (Ω), với Vλ0 tập lồi, đóng Ta dùng Định lý điểm bất động Schauder, T có điểm bất động Vλ0 Ta có nghiệm u (3.3) Hơn nữa, chứng minh Bổ đề 3.3.4, ta có |∇u| với s = n(q−p+1) q q Ln(q−p+1),∞ (Ω) ≤ q s−1 δ0 − |µ| q−p+1 s ≤ q(n + 1) δ0 − |µ| n(q − p + 1) Định lý chứng minh L L n(q−p+1) ,∞ q (Ω) n(q−p+1) ,∞ q (Ω) , 59 Kết luận Trong luận văn này, tác giả chứng minh lại kết đánh giá gradient cho nghiệm phương trình elliptic tựa tuyến tính với liệu độ đo không gian Lorentz, không gian tổng quát không gian Lebesgue cổ điển Chú ý tồn nghiệm phương trình với liệu độ đo cho định nghĩa loại nghiệm khác với nghiệm yếu, gọi nghiệm renormalized Luận văn trình bày lại vài khái niệm loại nghiệm Kết đánh giá gradient mang lại thơng tin tính quy nghiệm lớp phương trình Ngồi ra, luận văn này, chúng tơi khảo sát tốn trường hợp kỳ dị, tức tham số p thỏa mãn 3n−2 2n−1 < p ≤ − n1 , miền xác định thỏa mãn điều kiện p-capacity, điều kiện yếu so với điều kiện miền Reifenberg khảo sát nhiều báo trước Phương pháp chứng minh đánh giá gradient dựa kỹ thuật gần đây, gọi kỹ thuật good-λ, đưa tác giả Q.-H Nguyen ứng dụng nhiều tác giả M.-P Tran Cuối cùng, 60 trình bày lại chứng minh tồn nghiệm renormalized lớp phương trình dạng Riccati, ứng dụng kết đánh giá gradient giả thiết miền xác định toán tử phi tuyến A Mặc dù kết luận văn chưa phải kết mới, trình thực luận văn địi hỏi kiên trì cố gắng tác giả Bởi kết trình bày lại luận văn tham khảo nhiều báo có độ khó cao Tác giả cố gắng trình bày cách chặt chẽ chi tiết hầu hết chứng minh mấu chốt, để mang lại góc nhìn ban đầu kết quy nghiệm lớp phương trình elliptic phi tuyến với liệu độ đo 61 Tài liệu tham khảo [1] P Benilan, L Boccardo, T Gallouet, R Gariepy, M Pierre and J L Vazquez, An L1 theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations, Ann Scuola Norm Sup Pisa (IV) 22 (1995), 241–273 [2] L Boccardo, T Gallouet and L Orsina, Existence and uniqueness of entropy solutions for nonlinear elliptic equations with measure data, Ann Inst H Poincare Anal Non Lineaire 13 (1996), 539–551 [3] M Kardar, G Parisi, Y.-C Zhang, Dynamic scaling of growing interfaces, Phys Rev Lett 56 (1986) 889–892 [4] J Krug, H Spohn, Universality classes for deterministic surface growth, Phys Rev A (3) 38 (1988) 4271–4283 [5] D Gilbarg, N.S Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin, 2001 62 [6] L Grafakos, Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson/Prentice Hall, 2004 [7] G D Maso, F Murat, L Orsina and A Prignet, Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data, Ann Scuola Norm Super Pisa (IV) 28 (1999), 741–808 [8] G Mingione, The Calderón-Zygmund theory for elliptic problems with measure data, Ann Scu Norm Sup Pisa Cl Sci (5) (2007) 195–261 [9] G Mingione, Gradient estimates below the duality exponent, Math Ann 346 (2010), 571–627 [10] G Mingione, Gradient potential estimates, Journal of the European Mathematical Society 13 (2011), 459-486 [11] Q.-H Nguyen, N C Phuc, Good-λ and Muckenhoupt-Wheeden type bounds, with applications to quasilinear elliptic equations with gradient power source terms and measure data, Math Ann 374 (2019), 67-98 [12] Q.-H Nguyen, Gradient estimates for singular quasilinear elliptic equations with measure data, arXiv: 1705.07440v2 (submitted for publication) 63 [13] N C Phuc, Nonlinear Muckenhoupt-Wheeden type bounds on Reifenberg flat domains, with applications to quasilinear Riccati type equations, Adv Math 250 (2014), 387–419 [14] N C Phuc, Global integral gradient bounds for quasilinear equations below or near the natural exponent, Ark Mat 52 (2014), 329–354 [15] N C Phuc, Morrey global bounds and quasilinear Riccati type equations below the natural exponent, J Math Pures Appl (9) 102 (2014), 99–123 [16] M.-P Tran, Good-λ type bounds of quasilinear elliptic equations for the singular case, Nonlinear Anal 178 (2019), 266-281 [17] M.-P Tran, T.-N Nguyen, Existence of a renormalized solution to the quasilinear Riccati type equation in Lorentz spaces, C R Acad Sci Paris, Ser I 357 (2019), 59-65 [18] M.-P Tran, T.-N Nguyen, New gradient estimates for solutions to quasilinear divergence form elliptic equations with general Dirichlet boundary data, J Differential Equations 268(4) (2020), 1427-1462 ... LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài "Về tính quy nghiệm lớp phương trình elliptic với liệu độ đo" tơi thực Các kết luận văn trung thực không chép luận văn khác Trong q trình thực... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Trịnh Thị Ngọc Nga VỀ TÍNH CHÍNH QUY NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VỚI DỮ LIỆU ĐỘ ĐO Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN... loại nghiệm khác phương trình này, gọi nghiệm entropy, chứng minh tồn nghiệm entropy phương trình với liệu độ đo Sau đó, nhóm tác giả G Dal Maso [7] đưa tranh toàn cảnh đầy đủ tồn nghiệm phương trình