Bài 2 mũ loga bản dọc

TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 34 MŨ VÀ LOGARIT CÔNG THỨC Cho n số nguyên dương Với a số thực tùy ý, lũy thừa bậc n a tích n thừa số a a n  a.a a ( n thừa số) n Ta gọi a số, m mũ số Và ý 00 0 n khơng có nghĩa Cơng thức hay dùng :   a 1 an a.a a với n  *  n thừa số  (a m )n  a mn  (a n )m a n a  n;   a b   b    a am  a mn  n a  a m a n  a mn a a   n b b n  a nb n  (ab) n  Với a, b  ; n  * 2n a n  a a   2n ab   a  b , ab    n 2n a m   n a  , a  , n n m n 1 an  a 2n a 2n1  aa a n a  , ab  0, b  b n b  a  a2  a a (m, n  * )  n 1 ab  2n1 a  2n1 b a, b  n 1 a  b  Nếu m nguyên dương, m nguyên   n m , ta có:  2n n  a  m n a m n m a  nm a , a  , n , m nguyên dương n n 1 a a, b  n 1 b p q  n m a p  m a q , a  0, m, n nguyên dương p, q nguyên + Một số tính chất lũy thừa  Nếu a  a  a      ; Nếu  a  a  a       Với  a  b , ta có: a m  bm  m  ; a m  bm  m   Chú ý: + Các tính chất trường hợp số mũ nguyên không nguyên + Khi xét lũy thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên số a phải dương LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 35  Phương trình x  b n  Trường hợp n lẻ: Với số thực b , phương trình có nghiệm  Trường hợp n chẵn: + Với b  , phương trình vơ nghiệm + Với b  , phương trình có nghiệm x  + Với b  , phương trình có hai nghiệm trái dấu, kí hiệu giá trị dương n b , giá trị âm  n b HÀM SỐ LŨY THỪA  y  x a) Dạng:  với u  f  x  đa thức đại số  y  u  Tập xác định: + Nếu     u  DK    DK  u  + Nếu    DK u  + Nếu     y  x   y   x 1  Đạo hàm:    y   u 1.u  y  u   y  ax a  b) Dạng:  với  u a  y  a  Tập xác định: D   y  a x   y  a x ln a  Đạo hàm:  u  y  au ln a u  y  a  (e x )  e x Đặc biệt:  u với e u (e )  e u 2,71828  Sự biến thiên: y  a x Nếu a  hàm đồng biến Nếu  a  hàm nghịch biến c) Khảo sát hàm số lũy thừa  Tập xác định hàm số lũy thừa y  x chứa khoảng  0;   với   Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  x khoảng LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC y  x ,   Trang 36 y  x ,     Tập xác định:  0;   Tập xác định:  0;   Sự biến thiên Sự biến thiên: y '   x 1  y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x  0, x 0 lim x   , x 0 lim x   lim x  x  Tiệm cận: x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Khơng có Oy tiệm cận đứng Bảng biến thiên x Bảng biến thiên  y x  x y   y  y   0 Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số lũy thừa y  x qua điểm I 1;1  Khảo sát hàm số mũ y  a x ,  a  0, a  1 y  a x ,  a  1 y  a x ,  a  1 Tập xác định: Sự biến thiên y '  a x ln a  0, x Giới hạn đặc biệt: Tập xác định: Sự biến thiên y '  a x ln a  0, x Giới hạn đặc biệt: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC lim a  0, lim a  , lim a   x x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Bảng biến thiên   y'  x   a y x  Tiệm cận: Ox tiệm cận ngang Bảng biến thiên x x x  x  Trang 37 lim a  x   y'  1     y a 0 Đồ thị hình sau Đồ thị hình sau So sánh số dựa vào đồ thị  Ta thấy: a x   a  1; b x   b   Ta thấy: c x  c  1; d x  d   So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d Vậy  b  a   d  c LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 38 LOGARIT VÀ HÀM SỐ LOGARIT CÔNG THỨC Cho hai số dương a, b với a  Số  thỏa mãn đẳng thức a  b gọi logarit số a b kí hiệu log a b Ta có:   loga b  a  b Khơng có logarit số âm số Bảng tóm tắt cơng thức loarrit thường gặp: Cho số a, b  0, a  m, n  Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  log e b  log a   log a a   loga an  n  log a bn  n log a b  log am bn  b  log a    log a b  log a c c log b  a a  b   log c b  c logb a  a  log am b  log a b m  log a (bc)  log a b  log a c  log a b.logb c  log a c ,  b  1  lg b    10  b  log a  log b   log a b b a  log a c  log b c ,  b  1 log a b  ln b    e  b  log a b   log a b; ln x  log e x  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a   a   log a b  log a c   b  c  log a b  log c b ln b    b  1 log c a log b a ln a  log a n b  log a b n  n  ln10n  log10n  ln en  log na x   log a x  ; lg x  log x  log10 x  log a x n  2n log a x  log a2 n x  2n log a x  a   log a b  log a c  b  c  n HÀM SỐ LOGARIT a) Hàm số y  log a x ,  a  * Tập xác định : D  (0; ) ln(1  x) 1 x 0 x  Giới hạn: lim * Tập giá trị: T   Đạo hàm:  log a x  '  x ln a * Tính đơn điệu: Hàm đồng biến a  nghịch biến  a  Tiệm cận đứng: Oy LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Đồ thị: a  Đồ thị  a  b) Hàm số y  log g  x  f  x   g  x   0; g  x   Điều kiện – TXĐ: Hàm số xác định   f  x   f ' x u' Đạo hàm: log g  x  f  x   '  Hoặc  log a u  '  f  x  ln g  x  u ln a n u'  1 Đặc biệt:  ln u  '    ln x  '  e  lim 1    2, 718281  n u x c) So sánh hệ số  Ta thấy: loga x   a  1; logb x   b   Ta thấy: logc x  c  1; logd x  d   So sánh a với b: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log b x trước: b  a  So sánh c với d: Đứng cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Trang 39 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 40 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT a) Phương trình mũ Dạng 1: bản: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) Dạng 2: logarit hóa: a f ( x )  b  f ( x)  log a b a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b (a, b  0, a  1) Dạng 3: m.a f ( x )  n.a f ( x )  p  • Đặt t  a f ( x )  • PT: mt  nt  p  Dạng 4: m.a g ( x )  n.b g ( x )  p.c g ( x )  Nhận dạng: ma f ( x )  n(a.b) f ( x )  p.b f ( x )  • Chia hai vế PT cho b f ( x) a  , ta m   b f ( x) a  n  b f ( x)  p  (Xem a)) Chú ý: Ta chia PT cho hàm mũ ba hàm a g ( x ) ; b g ( x ) ; c g ( x )  , kết không thay đổi Dạng 5: m.(a  b ) f ( x )  n(a  b ) f ( x )  p Nhận dạng: (a  b )(a  b )  a  b  1 • Đặt t  (a  b ) f ( x ) , t    (a  b ) f ( x ) t Dạng 6: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn: x   x  3 3x  x   Đặt t  3x 2  t   x2  3 t  x2       x2  1  t Dạng 7: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f  x   g  x  ra: f  x  đơn điệu g  x  hàm f  x  đồng biến g  x  nghịch biến mà f  x0   g  x0   x0 nghiệm + Nếu f  x  đơn điệu f U   f V   U  V A  A  Dạng 8: Đưa dạng đặc biệt: A.B    ; A2  B    B  B  Dạng 9: Phương pháp đối lập:  f ( x)  M  f ( x)  M n f  x   g  x  mà  Thì  : mt   p  mt  pt  n  t  g ( x)  M  g ( x)  M b) Phương trình mũ chứa tham số Dạng 1:Tìm điều kiện để phương trình a.u x  b.u x  c  0(1) có n nghiệm thực phân biệt Đặt t  u x , t  Khi phương trình có dạng: f  t   at  bt  c  (2) Tùy vào số nghiệm phương trình (1) mà ta biện luận để tìm giá trị m  D1 Cụ thể: LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 41 Cách 1: TH1: Để (1) có nghiệm phân biệt     (2) có nghiệm t1 , t2 dương  t1  t2  S   m  D1 P   TH2: Để (1) có nghiệm c      m  D1  (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa:  t1  t2   b  a   ac   (2) có 2n trái dấu có nghiệm kép dương      m  D1   S  TH2: Để (1) vô nghiệm c    t1       b  m  D1  (2) có nghiệm kép   c    t2   a      (2) có hai nghiệm âm t1  t2    S   m  D1 P   Bước Biến đổi điều kiện K dạng có chứa tổng tích t1 , t2 (3) Thế biểu thức tổng, tích vào (3) thu phương trình bất phương trình với biến số m Giải tìm m  D2 Kết luận: m  D1  D2 Dạng 2: Tìm điều kiện để phương trình a.u x  b.u x  c  0(1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thõa x1  k  l  x2 hay t1  u k  u l  t2 Đặt t  u x , t  Khi phương trình có dạng: at  bt  c  (2) x1  k  l  x2  u x1  u k  u l  u x2 Khi (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t thỏa mãn    a f  u k     k k k l t1  u  u  t2 (**)   t1  u  t2  u     l   a f  u   l l  t1  u  t2  u   Chú ý : (1) có nghiệm đẹp ta giải phương trình thõa o điều kiện t1  u k  ul  t2 (**) LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 42 hai cách phức tạp ta xét hàm số f (t )  mt  nt  p, t  Có f (t )  2mt  n  dùng phương pháp lập bảng biến thiên ( dùng phương pháp lập tham số) Dạng 3: Tìm điều kiện để phương trình a.u x  b.u x  c  0(1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thõa x1  k  x2  l Đặt t  u x , t  Khi phương trình có dạng: at  bt  c  (2) x x k l x1  k  x2  l  u x1  u k  u x2  u l hay u  u  u  u Khi (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t thỏa mãn    a f  u k     k k x1 x2 k l u  t1  u  u  t2  u (**)   t1  u  t2  u     l   a f  u   l l  t1  u  t2  u   Dạng 4: Tìm điều kiện để phương trình a.u x  b.u x  c  0(1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thõa k  x1  l  x2 Đặt t  u x , t  Khi phương trình có dạng: at  bt  c  (2) k  x1  l  x2  u k  u x1  u l  u x2 Khi (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t thỏa mãn  '   a f  u l     l l x1 x2 k l u  u  t1  u  u  t (**)   t1  u  t2  u     k  a f  u   k k  t1  u  t2  u   Dạng 5:Tìm điều kiện để phương trình a.u x  b.u x  c  0(1) có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thõa k  x1  x2  l hay Đặt t  u x , t  Khi phương trình có dạng: at  bt  c  (2) k  x1  x2  l  u k  u x1  u x2  u l Khi (*) có hai nghiệm phân biệt t1 , t thỏa mãn :      u k  t1  t2  u l    u k  u x1  t1  u x2  t2  u l (**)   t1  u l  t2  u l     k  a f  u   k k  t1  u  t2  u    a f  u l   Dạng 6: Tìm điều kiện để phương trình ma2 f  x  n.a f  x  p  có hai nghiệm thực phân biệt f x Đặt t  a   suy điều kiện P  t  t Khi phương trình có dạng: mt  nt  p  (*) thõa mãn P  t  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TOÁN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 43 c) Phương trình logarit  g ( x)  Dạng 1: Cơ bản: log a f ( x)  log a g( x)    f ( x)  g ( x) Dạng 2: Mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  ab (không cần điều kiện) Dạng 3: m loga f ( x)  n loga f ( x)  p  • Đặt t  log a f ( x) • PT: mt  nt  p  Dạng 4: m.log a f ( x)  n.log f ( x ) a  p  • ĐK: f ( x)  0, f ( x)  1 • Đặt t  log a f ( x)   log f ( x ) a t n • PT: mt   p   mt  pt  n  t Dạng 5: Phương trình đơn giản chứa log a f ( x) log b g ( x) • Đặt t  loga f ( x)  f ( x)  at • Thay trở lại phương trình, ta có phương trình đơn giản (chứa logarit hơn) Dạng 6: Sử dụng tính đơn điệu: Nhẩm nghiệm pt f  x   g  x  ra: f  x  đơn điệu g  x  hàm f  x  đồng biến g  x  nghịch biến mà f  x0   g  x0   x0 nghiệm + Nếu f  x  đơn điệu f U   f V   U  V A  A  Dạng 7: Đưa dạng đặc biệt: A.B    ; A2  B    B  B   f ( x)  M  f ( x)  M Dạng 8: Phương pháp đối lập: f  x   g  x  mà  Thì   g ( x)  M  g ( x)  M d) Phương trình logarit chứa tham số Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình lơgarit có nghiệm, có nghiệm nhất, có hai nghiệm,…,có n nghiệm Ta thường sử dụng số phép biến đổi sau để biến đổi phương trình chứa ẩn lơgarit đưa phương trình bậc hai LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 44  0  a  Cách 1: Biến đổi, quy số: log a f  x   log a g  x    f x  g x        Cách 2: Đặt ẩn phụ: f log a g  x      a  1  t  log a g  x    f t      Cách 3: Sử dụng tính đơn điệu hàm số Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến)  a; b  số nghiệm phương trình f  x   k  a; b  không nhiều f  u   f  v   u  v, u, v   a; b  Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình lơgarít có nghiệm, có hai nghiệm, , có n nghiệm thuộc  a; b  ,  a; b  Phương pháp đưa số   f  x  g  x , với  a  log a f  x   log b g  x    f x  g x          Số nghiệm phân biệt phương trình f  x   g  x  số giao điểm đồ f  x  g  x  (kiến thức lớp 12), biện luận số nghiệm phương trình (kiến thức lớp 10) Phương pháp đặt ẩn phụ + Tìm điều kiện phương trình + Đặt t  h  x  , ( h  x  biểu thức chứa lơgarít) + Dựa vào điều kiện x tìm xác điều kiện t + Đưa phương trình ẩn t sau sử dụng phương pháp đồ thị biện luận số nghiệm phương trình để giải tốn Dạng 8: Tìm điều kiện tham số để phương trình logarit có nghiệm, hai nghiệm, , có n nghiệm thỏa mãn điều kiện dạng: a  x1  b  x2 , x1  a  b  x2 , x1  a  x2  b Phương pháp: Cho phương trình logarit f  log a x, m   1 Tìm m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước Bước 1: Tìm điều kiện cho phương trình có nghĩa Bước 2: Đặt ẩn phụ t  log a x , đưa phương trình logarit phương trình ẩn t Bước 3: Đặt điều kiện cho t có Bước 4: Đưa toán ban đầu toán ẩn t Biểu diễn điều kiện x thành điều kiện theo t LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 45 Bước 5: Cô lập tham số m đưa toán dạng g  t   h  m  Xét tương giao hai hàm số thỏa mãn điều kiện t vừa tìm từ suy giá trị m cần tìm Lưu ý: Ngồi phương trình ẩn t phương trình bậc hai ta sử dụng viet để giải BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT a) Bất phương trình mũ: Việc biến đổi để giải bất phương trình mũ gần giống giải phương trình mũ Các em cần ý công thức sau: a 1 + a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x) 0 a 1 + a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)  a  + Công thức tổng quát: a f  x   a g  x      a  1  f  x   g  x   + a f  x 0  a   b *  * ln b  b) Bất phương trình Logarit Bước 1: Tìm điều kiện xác định Bước 2: Giải bất phương trình đưa bất phương trình Chú ý: a 1  log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0a1  log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x)  g ( x)  a    f ( x)  g ( x)  Tổng quát: log a f ( x)  log a g ( x)    0  a    0  f ( x)  g ( x) 0  a    f  x  Hoặc giải sau: log a f ( x)  log a g ( x)   g  x   a  1  f  x   g  x       BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh ra, tức tiền lãi kì hạn trước khơng tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì hạn người gửi khơng đến gửi tiền Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 46 Sn  A  nAr  A 1  nr  vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n  * ) là: Chú ý: tính tốn tốn lãi suất toán liên quan, ta nhớ r % r 100 Lãi kép: tiền lãi kì hạn trước người gửi khơng rút tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Cơng thức tính: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /kì hạn số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n kì hạn ( n  * ) là: S n  A 1  r  S n  A 1  r  n n   r %  n Sn   A    Sn  A n  1 r        Sn   n  log 1 r   A     Tiền gửi hàng tháng: Mỗi tháng gửi số tiền vào thời gian cố định Công thức tính: Đầu tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng số tiền khách hàng nhận vốn lẫn lãi sau n tháng ( n  * ) ( nhận tiền cuối tháng, ngân hàng tính lãi) S n     n  log 1 r  Sn r  1      A 1  r    A n Sn  1  r   1 1  r     r  Sn r  A n  1  r  1  r   1  Gửi ngân hàng rút tiền gửi hàng tháng: Cơng thức tính: Gửi ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền X đồng Tính số tiền lại sau n tháng bao nhiêu? Sn  A 1  r  n 1  r  X r n 1 r n  X   A 1  r   Sn    1  r n  LỚP TOÁN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 TUYỂN TẬP CƠNG THỨC TỐN – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Trang 47 Vay vốn trả góp: Vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Sau tháng kể từ ngày vay, bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ cách tháng, hoàn nợ số tiền X đồng trả hết tiền nợ sau n tháng Công thức tính: Cách tính số tiền cịn lại sau n tháng giống hồn tồn cơng thức tính gửi ngân hàng rút tiền hàng tháng nên ta có: Sn  A 1  r   X n 1  r  n 1 r Để sau n tháng trả hết nợ Sn  nên A 1  r  n 1  r  X n 1 r 0 A 1  r  r n X 1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng thêm r % /tháng Hỏi sau kn tháng người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận sau kn tháng Skn 1  r   Ak k 1 r Bài tốn tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số X m  X n 1  r  mn ,  m, n   , m  n Trong đó: r % tỉ lệ tăng dân số từ năm n đến năm m X m dân số năm m , X n dân số năm n Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số r %  m n Xm 1 Xn Lãi kép liên tục:  Gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r % /năm số tiền nhận vốn lẫn lãi sau n năm n  là: S n  A 1  r  Giả sử ta chia năm thành m kì hạn để tính lãi lãi suất kì hạn n r  số tiền thu sau n năm là: Sn  A 1    m *  r % m m n Khi tăng số kì hạn năm lên vô cực, tức m   , gọi hình thức lãi kép tiên tục người ta chứng minh số tiền nhận gốc lẫn lãi là: S  Aen.r ( công thức tăng trưởng mũ) LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 ... Hoặc giải sau: log a f ( x)  log a g ( x)   g  x   a  1  f  x   g  x       BÀI TOÁN LÃI SUẤT NGÂN HÀNG Lãi đơn: số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền... n tháng trả hết nợ Sn  nên A 1  r  n 1  r  X n 1 r 0 A 1  r  r n X 1  r  n 1 Bài toán tăng lương: Một người lãnh lương khởi điểm A đồng/tháng Cứ sau n tháng lương người tăng... tháng người lĩnh tiền? Cơng thức tính: Tổng số tiền nhận sau kn tháng Skn 1  r   Ak k 1 r Bài tốn tăng trưởng dân số: Cơng thức tính tăng trưởng dân số X m  X n 1  r  mn ,  m, n 