61 SKKN 7 vẽ đường phụ để giải một số bài toán hình học 7

PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ I Cơ sở lí luận - Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho nguời học lực tự học, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên’’ - Mục đích việc đổi phương pháp dạy học trường phổ thông thay đổi lối dạy học truyền thụ chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp học sinh :  Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen khả tự học, tinh thần hợp tác, kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn;  Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú học tập; làm cho ‘‘việc học’’ trình kiến tạo, tìm tịi, khám phá, luyện tập, khai thác xử lí thơng tin Học sinh tự hình thành hiểu biết, lực phẩm chất  Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm chân lí Chú trọng hình thành lực (tự học, sáng tạo, hợp tác, ) dạy phương pháp kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học - Làm để đạt mục đích trên? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên người giáo viên cần phải khơng ngừng tìm tịi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phương pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, sáng tạo II Cơ sở thựctế - Trong môn học trường THCS mơn Tốn mơn phục vụ cho mơn học khác nói khó Ở trường THCS, học sinh học ba phân mơn tốn học, Số học, Đại số Hình học Trong ba phân mơn học sinh thường gặp khó khăn việc giải tốn Hình học - Trong tìm phương pháp giải tốn hình học, ta gặp số tốn mà khơng vẽ thêm đường phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố cho việc giải tốn trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ để có lợi cho việc giải tốn điều khó khăn phức tạp - Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo giải toán, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn khơng phải công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình bản, nhiều người giáo viên tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ khơng thể giải thích rõ cho học sinh hiểu lại phải vẽ vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ cách vẽ đường phụ vậy, ngồi cách vẽ cịn có cách khác không? hay: vẽ thêm giải tốn? Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp tốn tương em chưa biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em sở việc vẽ thêm đường phụ số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết tốn hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với toán, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho tốn, hiệu cao Vì vậy, chúng tơi viết chuyên đề “Vẽ đường phụ để giải số tốn Hình học 7” nhằm giải vấn đề đặt PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I THỰC TRẠNG - Trong trình dạy học sinh giải tốn Hình học lớp 7, chúng tơi thấy học sinh thường gặp số khó khăn sau đây:  Vẽ hình khơng làm  Khó khăn việc giải tập đòi hỏi phải vẽ thêm đườngphụ  Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đườngphụ  Vẽ đường phụ tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải toán  Sau vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải tốn mà khơng tìm hiểu xem người ta lại kẻ thêm đường phụ - Ta biết hai tam giác suy cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thường làm theo cách gồm bước sau:  Bước1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?  Bước 2: Chứng minh hai tam giác bằngnhau  Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng Tuy nhiên thực tế giải tốn khơng phải lúc hai tam giác cần có cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất tam giác cần thiết có lợi cho việc giải tốn Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm yếu tố phụ để giải tốn hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy chúng tơi tích luỹ số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNGPHỤ Kẻ thêm đoạnthẳng 1.1 Mục đích Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác 1.2 Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng a Kẻ thêm đoạn thẳng cách nối hai điểm có hình vẽ Ví dụ Cho hình vẽ 1, AB // CD, AD // BC Chứng minh : AB = CD, AD = BC Phân tích : - Để chứng minh AB= CD, AD=BC ta cần tìm hai tam giác chứa cạnh Nhưng D hình vẽ lại khơng có hai tam giác (H.1a) Như vậy, ta cần tạo hai tam giác chứa cặp cạnh A A B a) 12 D C B 21 b) Hình - Đường phụ cần vẽ đoạn thẳng nối A với C nối B với D (H.1b) b Kẻ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng khác C Chúng ta thường dùng cách sau : - Lấy trung điểm đoạn thẳng; - Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng có hìnhvẽ Ví dụ Cho O trung điểm đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax By vng góc với AB Gọi C điểm thuộc tia Ax Đường vng góc với OC O cắt tia By D Chứng minh CD = AC + BD Giải : (H.2) Trên tia đối tia BD lấy điểm E cho BE = AC Xét ∆OAC ∆OBE có : OA = OB (gt) = 900 AC = BE (cáchdựng) Nên ∆OAC = ∆OBE (c.g.c), suy OC = OE y D x C A Hình E Ta có ++ = = 1800 - = 1800 – 900 = 900 Xét ∆OCD ∆OED có : O OC = OE (chứng minh trên) = 900 OD cạnh chung Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy CD = DE Mà DE = BD + BE BE = AC Vậy CD = AC + BD B Ví dụ 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vng, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK tốn tập 2) Phân tích: Ta cần tạo đoạn thẳng 2AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm điểm D cho M trung điểm AD Vẽ thêm đường phângiác 2.1 Mục đích Kẻ thêm đường phân giác nhằm làm xuất hai góc nhau, hai tam giác nhau, tam giác cân, tam giác đều, … 2.2 Sử dụng khinào? Ta thường dùng cách vẽ muốn gắn hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, … ) vào hai tam giác có mối liên hệ góc, cạnh Ví dụ Cho ∆ABC có Chứng minh AB=AC Phân tích : - Để chứng minh AB = AC, ta phải chứng minh hai tam giác chứa cặp cạnh hình vẽ khơng có hai tam giác Nhưng (H.4a) Như vậy, ta nghĩ đến M việc tạo hai tam giác có chứa hai cạnh AB AC D C - Đường phụ cần vẽ tia phân giác A A góc A (H.4b) B C B a) 12 M C b)) Hình Nhận xét : A- Vẽ tia phân giác AM ta tạo cặp góc () cạnh chung (AM) hai tam giác (∆AMB ∆AMC) Kết hợp với giả thiết ta dễ dàng tìm lời giải tốn - Có hai cách vẽ khác : dựng AM BC dựng M trung điểm BC Ví dụ Cho ∆ABC có 600.Tia phân giác góc B cắt AC D, tia phân giác góc C cắt AB E Chứng minh BC = BE + CD Phân tích : B - Gọi I giao điểm BD CE (H 5a), ta dễ dàng tính được: 1200 ; = 600 - Để chứng minh BC = BE + CD ta thấy có hai hướng giải sau: + Trên cạnh BC lấy điểm M cho BE = BM (H 5b) Từ cần chứng minh CD = CM + Vì 1200 ; = 600 nên gọi M giao điểm tia phân giác với cạnh BC (H.5c) = 600, suy ; Từ ta dễ dàng tìm lời giải Ở chúng tơi trình bày cách thứ hai Nhận xét : Vì1200 ; = 600 nên việc kẻ tia phân giác góc BIC ta thấy xuất cặp góc Từ xuất tam giác A E B A D I A E a) C B D I 23 Mb) Hình E 1 C B I 23 M c) D C Kẻ thêm đường thẳng songsong 3.1 Mục đích Kẻ thêm đường song song nhằm làm xuất hai góc so le nhau, hai góc đồng vị nhau, hai góc phía bù đặc biệt hai tam giác 3.2 Sử dụng khinào? Ta thường dùng cách có đường thẳng song song hình vẽ Ví dụ Cho hình 6a, Chứng minh Ax//By Phân tích : - Để chứng minh Ax // By, ta phải tìm cặp góc so le trong, cặp góc đồng vị hai góc phía bù Nhưng hình vẽ ta thấy khơng có cặp góc (H 6a) Ta nghĩ đến việc kẻ thêm đườngphụ - Từ giả thiết , ta kẻCz//Ax(H.6b).Từ tìm lời giải toán x A A C B a) B x z1 A Cz x C y z C y b) x A B B y d) Dy c) Hình Nhận xét : - Việc kẻ tia Cz // Ax, ta làm xuất cặp góc so le - Ta kẻ tia Cz hướng với tia Ax (và By) (H.6c),nhưng lời giải phức tạp - Ta kéo dài AC cắt tia By D (H.6d) áp dụng định lí tổng ba góc góc ngồi tam giác Ví dụ Cho ∆ABC Gọi D trung điểm AB Kẻ DE // BC (E AC) Chứng minh EA =EC Phân tích : - Để chứng minh EA = EC, ta phải tìm hai tam giác có chứa hai cạnh Nhìn hình vẽ ta thấy khơng thể tìm hai tam giác (H 7a) Ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường phụ Nhưng kẻ thêm đường cho hợp lí? A A E D B D13E2 12 12 a) B C Hình F b) C - Căn vào giả thiết, DE//BC, DA=DB, ta kẻ thêm DF//AC (FBC) (H.7b) Dễ chứng minh ∆ADE = ∆DBF (g.c.g) AE = DF - Ta cần chứng minh DF=CE Theo giả thiết theo cách dựng ta có DE//FC, DF//EC Do DF = EC (xem Ví dụ 1) Từ ta có điều phải chứng minh Kẻ thêm đường vng góc 4.1 Mục đích Kẻ đường vng góc nhằm tạo tam giác vng tạo hai tam giác vuông 4.2 Sử dụng nào? Ta thường vẽ đường vng góc hình vẽ có góc với số đo cụ thể (chẳng hạn góc 300, 600, 450, …), có đường phân giác, … Kẻ thêm đường vng góc Tạo nửa tam giác Tạo tam giác vuông Tạo hai tam giác vuông Tạo tam giác vng cân Ví dụ Cho ∆ABC có 1200, AB = 10 cm, AC = 15 cm Tính BC Phân tích: B B - Dễ thấy: 1800 – 1200 = 600 (H 8a) nên ta nghĩ đến việc kẻ đường vng góc với AC nhằm tạo “nửa tam giác đều” 10 10 1200 - Kẻ BH Ax (H.8b), 1200 x A a) C H Hình A 15 b) C ∆ABH vng H có =60 nên AH=AB:2=5(cm) Từ ta dễ dàng tìm lời giải Ví dụ 9: Tam giác ABC có đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành ba góc Chứng minh ∆ABC tam giác vuông ∆ABM tam giác đều? 31 Phân tích: A Muốn chứng minh tam giác ABC vng A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC chứng minh I đường thẳng song song với AB, từ suy B AB ⊥ AC suy = 900 C M H Ví dụ 10 Cho ∆ABC có AB = 16cm, BC=20cm, =450 Tính AC Phân tích: - Theo giả thiết AB = 16 cm, = 450 nên ta nghĩ đến việc tạo tam giác vng cân có AB cạnh huyền - Kẻ AH ⊥ BC, ta thấy ∆AHB vng cân H Từ ta dễ dàng tìm lời giải 450 BBAx) - Rõ ràng theo hình 11a khơng thể tính BC ta khơng vẽ đường phụ Nhưng vẽ xuất phát từ đâu? HBAx) CBAx) C Ví dụ 11 Cho hình 11a Biết AB = cm, AD = cm, CD = 11 cm Tính BC Phântích: ABAx) 11 B C B H A D A - Căn vào giả thiết, = = 90 , từ ta kẻ đường vng góc từ B (hoặc C) hợp lý D a a b Hình 11 b Ví dụ 12 Cho tam giác ABC Dựng điểm D nằm khác phía với điểm C AB cho AD ⊥ AB, AD = AB; dựng điểm E nằm khác phía với điểm B AC cho AE ⊥ AC, AE = AC Kẻ đường thẳng d qua A, vng góc với DE H cắt BC I Chứng minh I trung điểm củaBC Phân tích:(H.12a) - Ta nhận thấy hình vẽ có cặp góc : E D E H D H A = (cùng phụ với ) A = (cùng phụ với ) Hơn nữa, lại có AD=AB(gt), AE=AC(gt) F B C I B I Hình 12 C G Điều ta nghĩ đến tạo tam giác vuông với tam giác vuông AHD AHE? Kết hợp với kết trên, ta thấy từ B C kẻ đường vng góc đến đường thẳng AI hợp lí Ví dụ 13 Trên đường Nguyễn Văn Thoại tìm vị trí đặt đại lý tiết kiệm tối đa thời gian nhiên liệu vận chuyển xăng từ nhà máy sản xuất xăng đến trạm xăng Cách xác định vị trí đại lý: Đặt A: Trạm xăng C C: Nhà máy sản xuất xăng A D: Vị trí đặt đại lý d: đường Nguyễn Văn Thoại B1: Xác định B cho d đường trung trực đoạn thẳng AB d D B2: Tìm giao điểm D BC đường thẳng d B Phương pháp tam giácđều 5.1 Mục đích Đây phương pháp đặc biệt, tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc giúp cho việc giải toán thuận lợi Để tạo thêm vào hình vẽ cạnh nhau, góc ta vẽ tam giác cân, đặc biệt tam giác 5.2 Sử dụng khinào? Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác hình vẽ có tam giác cân với góc có số đo cho trước Đối với tập tính số đo góc, trước tiên ta cần ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định : - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam giác vng cân - Tam giác vng có góc nhọn biết hay cạnh góc vng nửa cạnh huyền PHẦN C – KẾT LUẬN Trên số toán minh hoạ số dạng thường gặp vẽ hình phụ, chưa đầy đủ phong phú ví dụ tiêu biểu thể cách dẫn dắt hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ chứng minh hình học Với kinh nghiệm nhỏ bé q trình dạy tốn nói chung, dạy mơn hình học nói riêng việc hướng cho học sinh tới việc tự tìm tịi nghiên cứu, sáng tạo, tư lơgíc tìm hướng đắn việc chứng minh hình Từ học sinh tự giải nhiều tốn khó Từ học sinh ham mê thích thú với mơn hình học địi hỏi đầy tính sáng tạo, tính kiên trì Ở phạm vi đề tài rộng, đa dạng phong phú Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ đường phụ chứng minh hình học THCS phần nhỏ khơng thể lại khơng thiếu sót chắn chắn nhiều hạn chế Để kinh nghiệm thêm phong phú để phục vụ tốt công tác giảng dạy sau này, kính mong đóng góp ý kiến thầy cô, đồng nghiệp Sơn Trà, ngày 20 tháng 02 năm 2018 Tổ Toán – Tin Trường THCS Phan Bội Châu ... vẽ thêm đườngphụ  Chưa biết suy luận để thấy cần thiết phải vẽ thêm đườngphụ  Vẽ đường phụ cịn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải tốn  Sau vẽ đường phụ, học sinh... thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với tốn, em chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho toán, hiệu cao Vì vậy, chúng tơi viết chun đề ? ?Vẽ đường phụ để giải số tốn Hình học 7? ?? nhằm giải vấn... phụ để giải tốn hình học nói chung tốn hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy chúng tơi tích luỹ số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu II MỘT SỐ PHƯƠNG