Số chính phương 2

Tác giả: Đặng Quảng Xuân Đăng Chuyên đề số phƣơng Một số tính chất: Số phƣơng có chữ số tận là: 0; 1; 4; 5; 6; Số phƣơng chia cho dƣ CM: Ta xét số tự nhiên chia cho chia hết dư dư Xét n = 3k n2 = 9k chia cho dư o N = 3k + n2 = 9k2 + 6k + chia cho dư N = 3k + n2 = 9k2 + 12k + chia cho dư Mọi số phƣơng chia hết cho p chia hết cho p2 CM: Xét a2 = a.a p Vì p nguyên tố nên a p => a2 p2 Nếu p = k hợp số liệu có khơng ? Giải sử a2 = a.a k Điều không suy a k nên không suy a2 k2 VD: 4.4 16 không suy 16 Số phƣơng chẵn chia hết cho Số CP lẻ chia cho dƣ CM: Số phương chẵn bình phương số chẵn nên: Xét n = 2k n2 = 4k chia hết cho Số phương lẻ bình phương hai số lẻ nên ta xét: Với n = 2k + n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + chia cho dư Xét 4k2 + 4k + = 4k(k + 1) + Vì k k + hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho => 4k2 + 4k chia hết 4k2 + 4k + chia cho dư 4* (n – 1)2; n2 (n + 1)2 số phƣơng liên tiếp Giữa hai số phƣơng (n – 1)2 (n + 1)2 có số phƣơng n2 Giữa hai số phƣơng liên tiếp khơng có số cp 5 Tích số phương với số khơng phương số khơng phương Tức là: M = a2.b Nếu a  M phương b phương Một lũy thừa n phân tích thành thừa số ngun tố thừa số ngun tố có lũy thừa bội n CM Ta xét số phương An = A.A.A A Giả sử phân tích A thành: A = p1k p2 k pn kn với p thừa số nguyên tố khác nhau, k số tự nhiên Thế An = A.A….A = p1nk p2 nk pn nkn có lũy thừa bội n => đpcm 6.1 Từ tính chất suy ra: Nếu A2 = B.C B, C nguyên tố B C phải phƣơng CM: Giả sử ta phân tích B C thành: B = p1k p2 k pn kn C = p '1k ' p '2 k '2 p 'n k ' n 1 => B.C = p1k p2 k pn kn p '1k ' p '2 k '2 p 'n k ' n 1 Vì UCNL B C nên thừa số p p’ trùng Nên thừa số phải số phương (theo tính chất 6) => B phương C phương Tương tự: A3 = B.C B C nguyên tố B = k3 C = q3 PHƢƠNG PHÁP GIẢI Phƣơng pháp phân tích thành nhân tử kết hợp với số tính chất số phƣơng Bài tập Bài 4: Dạng tốn tìm giá trị biến để biểu thức phƣơng Bài 1: Tìm số tự nhiên n để: a n2 – 2n + số phương b n2 + n – số phương c n + n + 30 số phương Bài 2: Cho biểu thức: M = k4 – 8k3 + 23k2 – 26k + 10 Tìm số tự nhiên k để M số phương Cách giải: Phân tích M thành nhân tử phương pháp nhẩm nghiệm M = (k – 1)2(k2 – 6k + 10) Để M phương k – = k2 – 6k + 10 số phương Bài 3: (2,5 điểm) Tốn Quảng Ninh 2016 – 2017 bảng B Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 1) n bội số 2) n  số phương 3) n  số phương Lời giải Ta tìm n thỏa mãn tính chất Đặt n + = k2 n – = q2 => (k – q)(k + q) = 11 với k q số tự nhiên => k + q = 11 k – q = => k = 6, q = => n = 28 Vậy n = 39 đáp số Ta tìm tiếp n thỏa mãn và n thỏa mãn (1) n bội => n có chữ số tận + Nếu n có chữ số tận n + có chữ số tận nên khơng thể số phương n – có chữ số tận nên không số cp + Nếu n có chữ số tận n + có chữ số tận khơng số phương n – có chữ số tận nên khơng số cp Tóm lại n = 39 thỏa mãn đề Bài 3: (2,5 điểm) Toán Quảng Ninh 2016 – 2017 bảng A Tìm số tự nhiên n cho n thỏa mãn hai ba tính chất sau: 1) n  số phương 2) n  số phương 3) n chia hết cho Ta tìm n thỏa mãn xem có thỏa mãn hay không n = 9k n – = 9k – chia hết cho không chia hết n – khơng phương CM: Có n – = k2 = k.k => k => k2 k2 không chia hết n – khơng thể có dạng k2 Vậy n – không cp n + = 9k + chia cho dư Mà theo tc2 số cp chia cho dư Do khơng có giá trị n thỏa mãn và Tìm n thỏa mãn dễ II Phương pháp đánh giá dựa vào tính chất 4* (n – 1)2; n2 (n + 1)2 số phƣơng liên tiếp Giữa hai số phƣơng (n – 1)2 (n + 1)2 có số phƣơng n2 Giữa hai số phƣơng liên tiếp khơng có số cp Bài 1: Chứng minh tích hai số tự nhiên liên tiếp lớn không phương CM Xét A = a(a + 1) = a2 + a Cách 1: Có thể nhân a với áp dụng cách phía Cách 2: Ta đánh giá: Vì a  Nên a2 < a2 + a < a2 + 2a + = (a + 1)2 Dấu hiệu nhận biết cách giải hệ số a2 ta phải đánh giá a2 + a lớn đẳng thức (a + m)2 mà khai triển có a2 nhỏ đẳng thức (a + m + 1)2 có hệ số a2 Cơng việc đánh giá khéo léo dựa theo điều kiện a Bài 2: Tìm số tự nhiên n để: A = n2 + 3n số CP Cách 1: Như trình bày trước cách nhân A với Cách 2: Nhận thấy n = đáp án Với n > ta đánh giá: n2 + 2n + = (n + 1)2 < n2 + 3n = n2 + 3n < n2 + 4n + = (n + 2)2 => không tồn số phương Bài 3: Cho x, y số nguyên lơn cho: 4x2y2 – 7x + 7y số phương Chứng minh x = y CM Gợi ý 4x2y2 nên ta biến đổi đẳng thức để chứng minh 4x2y2 – 7x + 7y số cp số cp liên tiếp Nhưng số CP ? Để ý thấy 4x2y2 – 7x + 7y = 4x2y2 – 7x + 7y = => x = y Nên số CP 4x2y2 hai số hai đầu (2xy – 1)2 (2xy + 1)2 Vậy ta bám vào giả thiết để chứng minh: (2xy – 1)2 < 4x2y2 – 7x + 7y  -4xy + < -7x + 7y  + 7x < 7y + 4xy (*) Ta có: 4xy  8x > 7x 7y > x y  => (*) CM Lại chứng minh: 4x2y2 – 7x + 7y < (2xy + 1)2  – 7x + 7y < 4xy +  7y < 4xy + 1+ 7x Vì x  => 4xy  8y > 7y => 4xy + 1+ 7x > y Vậy : (2xy – 1)2 < 4x2y2 – 7x + 7y < (2xy + 1)2 Vậy 4x2y2 – 7x + 7y số phương 4x2y2 – 7x + 7y = (2xy)2  x = y Bài 4: Cho n số tự nhiên lẻ CM: n3 + khơng phương Bổ đề: chứng minh hai số lẻ liên tiếp nguyên tố Xét: A = 2k+1 B = 2k + Gọi d UCLN A B => 2k+1 d 2k + d => (2k + – 2k – 1) d => d => d = d = Vì A B số lẻ nên không chia hết cho Vậy UCLN A B Lời giải Đặt n3 + = a2 => n3 = (a – 1)(a + 1) (1) Vì n3 lẻ nên a – a + lẻ liên tiếp nên ước chung lớn a – a + Do đó: a – = m3, a + = n3 Với m n lẻ, n > m)=> n3 – m3 = => (n – m)(n2 + nm + m2) = (*) Ta có: n – m  , n2 + nm + m2 > m2 + m2 + m2 = 3m2  3.1 = => (n – m)(n2 + nm + m2)  Vậy (*) khơng có giá trị m n => (1) không tồn Bài 5: Cho n2  tích hai số tự nhiên liên tiếp Chứng minh: a 2n – số cp b n tổng hai số phương liên tiếp Giải: n2    a  a  1  n    a  a   4n    4a  4a  1   4n    4a  4a  1   2n  1 2n  1   2a  1 Vì 2n – 2n + lẻ liên tiếp nên nguyên tố 2 2n   k 2n   3q =>   2 2n   3q 2n   k 2n   3q => k2 – 3q2 =  k2 = 3q2 + chia cho dư 2 2n   k Xét trường hợp thứ hai:  (loại số phương chia cho dư 0)  2n   k Xét trường hợp thứ nhất:  => 3q2 – k2 = => k2 = 3q2 – = (3q2 – 3) + 2 2n   3q chia cho dư nên chọn k2 Vậy 2n – phương b) Vì 2n – số phương lẻ nên 2n – = (2k + 1)2 => 2n – = 4k2 + 4k + => n = 2k2 + 2k + = k2 + (k + 1)2 => đpcm Bài 5: Cho n số tự nhiên lẻ chia hết cho Chứng minh: 2n – 1; 2n; 2n + khơng phương Giải: Ta cần xác định công thức n theo điều kiện đề Đặt n = 3k n lẻ nên k lẻ => k = 2q + => n = 6q + Khi đó: 2n – = 12q + chia cho dư => khơng cp 2n = 12q + khơng phương chia hết cho khơng chia hết cho 2n + = 12q + tương tự khơng cp chia cho dư Đó điều phải cm Bài 6: Tìm số nguyên dương nhỏ cho n + 1, 6n + 1, 20n + số phương LG: Ta phải tìm n bội số lớn tốt để chọn giá trị n nhanh Đánh sau: Nếu n + = 3k + => n = 3k – => 6n + 1= 18k - = 18k – +1 20n + = 60k - 19 = 60k – 21 + chia cho dư khơng phương Nếu n + = k3 + => n = 3k chia hết cho 6n + số phương lẻ nên chia cho dư nên 6n + = 8k + => 6n = 8k => 3n = 4k => n chia hết cho Vì nguyên tố nên n bội 12 Vậy chọn n = 12; 24; 36; 48 48 thích hợp Bài 7: Tìm số tự nhiên n cho n + 1; 2n + 5n + phƣơng Giải tương tự Bài 8: Cho  n  1 4n  3 phƣơng với n số tự nhiên Chứng minh 4n + khơng phƣơng Giải  n  1 4n  3  a2   n  1 4n  3  3a2 Ta có n + 4n + nguyên tố Thật vậy: gọi d UCLN n + 4n + => n  d  4n  d , 4n  d  d => d =  n  1  k  n  1  3q Do đó: Hoặc Loại chia cho dư  4n  3  3q  4n  3  k Bài 9: Tìm số nguyên tố p q để: p2 – 2q2 = LG p2 – 2q2 =  p2 – = 2q2  (p – 1)(p + 1) = 2q2 Vì số nguyên tố lẻ nên p – chẵn, p + chẵn => (p – 1)(p + 1) => 2q2 => q2 => q2 chẵn => q chẵn Số nguyên tố chẵn cố số nên q = => p2 = + 2q2 = => p = Bài 10: A = 44…44 ( 2n chữ số 4) B = 88…88 ( n chữ số 8) Chứng minh A + 2B + phương Lời giải: A = 4.11…11 = 102n  10n  B = 88…88 = A + 2B + = 102n  10n  + +4 9 4t  16t  16 36 4t  16t  16  2t       Đặt 10 = t ta A + 2B + = số 9 9 n phương Bài toán: Đề bảng A 2016 Cho , số nguyên dương Chứng minh không hai số lập phương a  3a  3b  k Giả sử:  3 b  3b  3a  q Từ (1) => k3 > a3 => k3  (a + 1)3 =>  (a + 1)  3b  3a + > 3a b>a Lập luận tương tự cho b < a Vậy ta có điều giả sử sai Khai thác toán: Bằng cách đánh giá tương tự ta cho toán chứng minh hai biểu thức khơng phương Chẳng hạn ta có đánh giá: k2 > a2 => k2  (a + 1)2 => A  a2 + 2a + => Biểu thức A chứa a2 + 2b Tức là: a2 + 2b  a2 + 2a +  2b  2a + > 2a => b > a Vậy biểu thức thứ phải là: a2 + 2b biểu thức thứ hai b2 + 2a Và ta có tốn: Đề bảng B năm 2016 Cho a, b hai số nguyên dương Chứng minh a2 + 2b b2 + 2a không đồng thời hai số phương  ... 3q2 – k2 = => k2 = 3q2 – = (3q2 – 3) + 2 2n   3q chia cho dư nên chọn k2 Vậy 2n – phương b) Vì 2n – số phương lẻ nên 2n – = (2k + 1 )2 => 2n – = 4k2 + 4k + => n = 2k2 + 2k + = k2 + (k + 1 )2. .. 9: Tìm số nguyên tố p q để: p2 – 2q2 = LG p2 – 2q2 =  p2 – = 2q2  (p – 1)(p + 1) = 2q2 Vì số nguyên tố lẻ nên p – chẵn, p + chẵn => (p – 1)(p + 1) => 2q2 => q2 => q2 chẵn => q chẵn Số nguyên... khơng phương Chẳng hạn ta có đánh giá: k2 > a2 => k2  (a + 1 )2 => A  a2 + 2a + => Biểu thức A chứa a2 + 2b Tức là: a2 + 2b  a2 + 2a +  2b  2a + > 2a => b > a Vậy biểu thức thứ phải là: a2 + 2b