S CHNH PHNG I NH NGHA: S chớnh phng l s bng bỡnh phng ỳng ca mt s nguyờn II TNH CHT: S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, ; khụng th cú ch s tn cựng bng 2, 3, 7, Khi phõn tớch tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 4n hoc 4n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + hoc 4n + (n N) S chớnh phng ch cú th cú mt hai dng 3n hoc 3n + Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + (n N) S chớnh phng tn cựng bng hoc thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s chn S chớnh phng tn cựng bng thỡ ch s hng chc l ch s l S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 25 S chớnh phng chia ht cho thỡ chia ht cho 16 III MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A DNG1: CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 l s chớnh phng Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 t x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z x2 + 5xy + 5y2 Z Vy A l s chớnh phng Bi 2: Chng minh tớch ca s t nhiờn liờn tip cng luụn l s chớnh phng Gi s t nhiờn, liờn tiờp ú l n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta cú n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*) t n2 + 3n = t (t N) thỡ (*) = t( t + ) + = t2 + 2t + = ( t + )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vỡ n N nờn n2 + 3n + N Vy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + l s chớnh phng Bi 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2) Chng minh rng 4S + l s chớnh phng 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) (k-1)] 4 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 1 1 1 S = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 ++ k(k+1)(k+2)(k+3) k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 4 4 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1.Theo kt qu bi k(k+1)(k+2)(k+3) + l s chớnh ph ng Ta cú k(k+1)(k+2) = Bi 4: Cho dóy s 49; 4489; 444889; 44448889; Dóy s trờn c xõy dng bng cỏch thờm s 48 vo gia s ng trc nú Chng minh rng tt c cỏc s ca dóy trờn u l s chớnh phng Ta cú 4448889 = 44488 + = 444 10n + 111 + n ch s n-1 ch s n ch s n ch s = 10 10 4.10 10n + + 1= 9 n n 2n n ch s n ch s 2.10 n + 4.10 + 8.10 + 4.10 n + 4.10 n + = = 9 n n Ta thy 2.10n +1=20001 cú tng cỏc ch s chia ht cho nờn nú chia ht cho 2.10 + n n-1 ch s Z hay cỏc s cú dng 4448889 l s chớnh phng Bi 5: Chng minh rng cỏc s sau õy l s chớnh phng: A = 111 + 444 + 2n ch s n ch s B = 111 + 111 + 666 + 2n ch s n+1 ch s n ch s C = 444 + 222 + 888 + 2n ch s n+1 ch s n ch s 10 n + Kt qu: A = 10 n + B = ; ; 2.10 n + C = Bi 6: Chng minh rng cỏc s sau l s chớnh phng: a A = 22499910009 n-2 ch s n ch s b B = 1115556 n ch s n-1 ch s 2n a A = 224.10 + 999.10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + ( 10n-2 ) 10n+2 + 10n+1 + = 224.102n + 102n 10n+2 + 10n+1 + = 225.102n 90.10n + = ( 15.10n ) A l s chớnh phng b B = 11115555 + = 111.10n + 5.111 + n ch s n ch s n ch s n ch s 10 10 10 = 10n + +1= 9 n n 2n 10 n + 5.10 n + 9 = 10 2n 10 + + 4.10 + = n n l s chớnh phng ( iu phi chng minh) Bi 7: Chng minh rng tng cỏc bỡnh phng ca s t nhiờn liờn tip khụng th l mt s chớnh phng : Gi s t nhiờn liờn tip ú l n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ) Ta cú ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vỡ n2 khụng th tn cựng bi hoc ú n2+2 khụng th chia ht cho 5.( n2+2) khụng l s chớnh phng hay A khụng l s chớnh phng Bi 8: Chng minh rng s cú dng n6 n4 + 2n3 + 2n2 ú n N v n>1 khụng phi l s chớnh phng: n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n22n+2) Vi n N, n >1 thỡ n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n )2 v n2 2n + = n2 2(n - 1) < n2 Vy ( n 1)2 < n2 2n + < n2 n2 2n + khụng phi l mt s chớnh phng Bi 9: Cho s chớnh phng bt kỡ cú ch s hng chc khỏc cũn ch s hng n v u l Chng minh rng tng cỏc ch s hng chc ca s chớnh phng ú l mt s chớnh phng Cỏch 1: Ta bit mt s chớnh phng cú ch s hng n v l thỡ ch s hng chc ca nú l s l Vỡ vy ch s hng chc ca s chớnh phng ó cho l 1,3,5,7,9 ú tng ca chỳng bng + + + + = 25 = 52 l s chớnh phng Cỏch 2: Nu mt s chớnh phng M = a2 cú ch s hng n v l thỡ ch s tn cựng ca a l hoc a a2 Theo du hiu chia ht cho thỡ hai ch s tn cựng ca M ch cú th l 16, 36, 56, 76, 96 Ta cú: + + + + = 25 = 52 l s chớnh phng Bi 10: Chng minh rng tng bỡnh phng ca hai s l bt k khụng phi l mt s chớnh a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = phng a v b l nờn a = 2k+1, b = 2m+1 (Vi k, m N) 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Vi t N) Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4t + (t N) ú a2 + b2 khụng th l s chớnh phng Bi 11: Chng minh rng nu p l tớch ca n s nguyờn t u tiờn thỡ p-1 v p+1 khụng th l cỏc s chớnh phng Vỡ p l tớch ca n s nguyờn t u tiờn nờn p v p khụng chia ht cho (1) a Gi s p+1 l s chớnh phng t p+1 = m2 (m N) Vỡ p chn nờn p+1 l m2 l m l t m = 2k+1 (k N) Ta cú m2 = 4k2 + 4k + p+1 = 4k2 + 4k + p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) mõu thun vi (1) p+1 l s chớnh phng b p = 2.3.5 l s chia ht cho p-1 cú dng 3k+2 Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3k+2 p-1 khụng l s chớnh phng Vy nu p l tớch n s nguyờn t u tiờn thỡ p-1 v p+1 khụng l s chớnh phng Bi 12: Gi s N = 1.3.5.72007.Chng minh rng s nguyờn liờn tip 2N-1, 2N v 2N+1 khụng cú s no l s chớnh phng a 2N-1 = 2.1.3.5.72007 Cú 2N 2N-1 khụng chia ht cho v 2N-1 = 3k+2 (k N) 2N-1 khụng l s chớnh phng b 2N = 2.1.3.5.72007 Vỡ N l N khụng chia ht cho v 2N nhng 2N khụng chia ht cho 2N chn nờn 2N khụng chia cho d 2N khụng l s chớnh phng c 2N+1 = 2.1.3.5.72007 + 2N+1 l nờn 2N+1 khụng chia ht cho 2N khụng chia ht cho nờn 2N+1 khụng chia cho d 2N+1 khụng l s chớnh phng Bi 13: Cho a = 111 ; b = 10005 2008 ch s 2007 ch s Chng minh ab + l s t nhiờn 10 2008 Cỏch 1: Ta cú a = 111 = ; b = 10005 = 1000 + = 102008 + 2008 ch s ab+1 = (10 1)(10 2008 ab + = + 5) 10 +2 2008 2007 ch s 2008 = +1= (10 2008 ch s ) + 4.10 2008 2008 5+9 10 = + 2008 10 2008 + Ta thy 102008 + = 10002 nờn 10 2008 + N hay ab + l s t nhiờn 2007 ch s Cỏch 2: b = 10005 = 1000 + = 999 + = 9a +6 2007 ch s 2008 ch s 2008 ch s ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ab + = (3a + 1) = 3a + N B DNG 2: TèM GI TR CA BIN BIU THC L S CHNH PHNG Bi1: Tỡm s t nhiờn n cho cỏc s sau l s chớnh phng: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 ) ;c 13n + ; d n2 + n + 1589 Gii a Vỡ n2 + 2n + 12 l s chớnh phng nờn t n2 + 2n + 12 = k2 (k N) (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhn xột thy k+n+1 > k-n-1 v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = kn-1=1 n=4 b t n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + 2a) = Nhn xột thy 2n + + 2a > 2n + 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (2n + + 2a)(2n + 2a) = 9.1 2n + + 2a = n = 2n + 2a = a=2 c t 13n + = y2 ( y N) 13(n 1) = y2 16 13(n 1) = (y + 4)(y 4) (y + 4)(y 4) 13 m 13 l s nguyờn t nờn y + 13 hoc y 13 y = 13k (Vi k N) 13(n 1) = (13k )2 16 = 13k.(13k 8) n = 13k2 8k + Vy n = 13k2 8k + (Vi k N) thỡ 13n + l s chớnh phng d t n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 (2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355 Nhn xột thy 2m + 2n +1> 2m 2n -1 > v chỳng l nhng s l, nờn ta cú th vit (2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy n cú th cú cỏc giỏ tr sau: 1588; 316; 43; 28 Bi 2: Tỡm a cỏc s sau l nhng s chớnh phng: a a2 + a + 43 ; b) a2 + 81 ; c) a2 + 31a + 1984 Kt qu: a 2; 42; 13 ; b 0; 12; 40 ; c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bi 3: Tỡm s t nhiờn n cho tng 1! + 2! + 3! + + n! l mt s chớnh phng Vi n = thỡ 1! = = 12 l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! = khụng l s chớnh phng Vi n = thỡ 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 l s chớnh phng Vi n ta cú 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 cũn 5!; 6!; ; n! u tn cựng bi ú 1! + 2! + 3! + + n! cú tn cựng bi ch s nờn nú khụng phi l s chớnh phng Vy cú s t nhiờn n tha bi l n = 1; n = Bi 4: Tỡm n N cỏc s sau l s chớnh phng: a n2 + 2004 ( Kt qu: 500; 164) b (23 n)(n 3) ( Kt qu: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) c n2 + 4n + 97 ; d) 2n + 15 Bi 5: Cú hay khụng s t nhiờn n 2006 + n2 l s chớnh phng Gi s 2006 + n2 l s chớnh phng thỡ 2006 + n2 = m2 (m N) T ú suy m2 n2 = 2006 (m + n)(m - n) = 2006 Nh vy s m v n phi cú ớt nht s chn (1) Mt khỏc m + n + m n = 2m s m + n v m n cựng tớnh chn l (2) T (1) v (2) m + n v m n l s chn (m + n)(m - n) Nhng 2006 khụng chia ht cho iu gi s sai Vy khụng tn ti s t nhiờn n 2006 + n2 l s chớnh phng Bi 6: Bit x N v x>2 Tỡm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) ng thc ó cho c vit li nh sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do v trỏi l mt s chớnh phng nờn v phi cng l mt s chớnh phng Mt s chớnh phng ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 0; 1; 4; 5; 6; nờn x ch cú th tn cựng bi cỏc ch s 1; 2; 5; 6; 7; (1) Do x l ch s nờn x 9, kt hp vi iu kin bi ta cú x N v < x (2) T (1) v (2) x ch cú th nhn cỏc giỏ tr 5; 6; Bng phộp th ta thy ch cú x = tha bi, ú 762 = 5776 Bi 7: Tỡm s t nhiờn n cú ch s bit rng 2n+1 v 3n+1 u l cỏc s chớnh phng Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n+1 199 Tỡm s chớnh phng l khong trờn ta c 25; 49; 81; 121; 169 tng ng vi s n bng 12; 24; 40; 60; 84 S 3n+1 bng 37; 73; 121; 181; 253 Ch cú 121 l s chớnh phng.Vy n = 40 Bi 8: Chng minh rng nu n l s t nhiờn cho n+1 v 2n+1 u l cỏc s chớnh phng thỡ n l bi s ca 24 Vỡ n+1 v 2n+1 l cỏc s chớnh phng nờn t n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta cú m l s l m = 2a+1 m2 = 4a (a+1) + 4a(a + 1) m2 n= = = 2a(a+1) 2 n chn n+1 l k l t k = 2b+1 (Vi b N) k2 = 4b(b+1) +1 n = 4b(b+1) n (1) Ta cú k2 + m2 = 3n + (mod3) Mt khỏc k2 chia cho d hoc 1, m2 chia cho d hoc Nờn k2 + m2 (mod3) thỡ k2 (mod3) m2 (mod3) m2 k2 hay (2n+1) (n+1) n (2) M (8; 3) = (3) T (1), (2), (3) n 24 Bi 9: Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n cho s 28 + 211 + 2n l s chớnh phng Gi s 28 + 211 + 2n = a2 (a N) thỡ 2n = a2 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Vi p, q N ; p+q = n v p > q a+48 = 2p 2p 2q = 96 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q q = v p-q = p = n = 5+7 = 12 Th li ta cú: 28 + 211 + 2n = 802 C.DNG 3: TèM S CHNH PHNG Bi 1: Cho A l s chớnh phng gm ch s Nu ta thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta c s chớnh phng B Hóy tỡm cỏc s A v B Gi A = abcd = k2 Nu thờm vo mi ch s ca A mt n v thỡ ta cú s B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 vi k, m N v 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; a ; b, c, d Ta cú A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 m2 k2 = 1111 (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhn xột thy tớch (m-k)(m+k) > nờn m-k v m+k l s nguyờn dng V m-k < m+k < 200 nờn (*) cú th vit (m-k)(m+k) = 11.101 Do ú m k == 11 m = 56 A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bi 2: Tỡm s chớnh phng gm ch s bit rng s gm ch s u ln hn s gm ch s sau n v t abcd = k2 ta cú ab cd = v k N, 32 k < 100 Suy 101cd = k2 100 = (k-10)(k+10) k +10 101 hoc k-10 101 M (k-10; 101) = k +10 101 Vỡ 32 k < 100 nờn 42 k+10 < 110 k+10 = 101 k = 91 abcd = 912 = 8281 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú ch s bit rng ch s u ging nhau, ch s cui ging Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n2 vi a, b N, a 9; b Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhn xột thy aabb 11 a + b 11 M a ; b nờn a+b 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a+1) ú 9a+1 l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2; ; ta thy ch cú a = tha b = S cn tỡm l 7744 Bi 4: Tỡm mt s cú ch s va l s chớnh phng va l mt lp phng Gi s chớnh phng ú l abcd Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd = x2 = y3 Vi x, y N Vỡ y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng Ta cú 1000 abcd 9999 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 abcd = 4096 Bi 5: Tỡm mt s chớnh phng gm ch s cho ch s cui l s nguyờn t, cn bc hai ca s ú cú tng cỏc ch s l mt s chớnh phng Gi s phi tỡm l abcd vi a, b, c, d nguyờn v a ; b,c,d abcd chớnh phng d { 0,1,4,5,6,9}; d nguyờn t d = t abcd = k2 < 10000 32 k < 100 k l mt s cú hai ch s m k2 cú tn cựng bng k tn cựng bng Tng cỏc ch s ca k l mt s chớnh phng k = 45 abcd = 2025 Vy s phi tỡm l 2025 Bi 6: Tỡm s t nhiờn cú hai ch s bit rng hiu cỏc bỡnh phng ca s ú v vit s bi hai ch s ca s ú nhng theo th t ngc li l mt s chớnh phng Gi s t nhiờn cú hai ch s phi tỡm l ab ( a,b N, a,b ) S vit theo th2 t ngc li ba Ta cú ab - ba = ( 10a + b ) ( 10b + a )2 = 99 ( a2 b2 ) 11 a2 - b2 11 Hay ( a-b )(a+b ) 11 Vỡ < a - b2 , 22 a+b 18 nờn a+b 11 a + b = 11 Khi ú ab - ba = 32 112 (a - b) 2 ab - ba l s chớnh phng thỡ a - b phi l s chớnh phng ú a-b = hoc a - b = Nu a-b = kt hp vi a+b = 11 a = 6, b = 5, ab = 65 Khi ú 652 562 = 1089 = 332 Nu a - b = kt hp vi a+b = 11 a = 7,5 ( loi ) Vy s phi tỡm l 65 Bi 7: Cho mt s chớnh phng cú ch s Nu thờm vo mi ch s ú ta cng c mt s chớnh phng Tỡm s chớnh phng ban u ( Kt qu: 1156 ) Bi 8: Tỡm s cú ch s m bỡnh phng ca s y bng lp phng ca tng cỏc ch s ca nú Gi s phi tỡm l ab vi a,b N v a , b Theo gi thit ta cú : ab = ( a + b )3 (10a+b)2 = ( a + b )3 ab l mt lp phng v a+b l mt s chớnh phng t ab = t3 ( t N ) , a + b = l ( l N ) Vỡ 10 ab 99 ab = 27 hoc ab = 64 Nu ab = 27 a + b = l s chớnh phng Nu ab = 64 a + b = 10 khụng l s chớnh phng loi Vy s cn tỡm l ab = 27 Bi 9: Tỡm s l liờn tip m tng bỡnh phng l mt s cú ch s ging Gi s l liờn tip ú l 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N) Ta cú A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo bi ta t 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a vi a l v a 12n( n + ) = 11(101a ) 101a 2a Vỡ a nờn 2a-1 17 v 2a-1 l nờn 2a { 3; 9; 15 } a { 2; 5; } Vỡ a l a = n = 21 Vậy s cn tỡm l 41; 43; 45 Bi 10: Tỡm s cú ch s cho tớch ca s ú vi tng cỏc ch s ca nú bng tng lp phng cỏc ch s ca s ú ab (a + b ) = a3 + b3 10a + b = a2 ab + b2 = ( a + b )2 3ab 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b ) a + b v a + b nguyờn t cựng ú a + b = 3a hoc a + b = 3a a +b1=3+b a+b=3+b a=4,b=8 hoc a=3,b=7 Vy ab = 48 hoc ab = 37 11) Tìm n để n2 + 2006 số phơng 11) Giả sử n2 + 2006 số phơng ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ vế trái (*) số lẻ nên không thỏa mãn (*) + Nếu a,n tính chẵn lẻ (a-n) (a+n) nên vế trái chia hết cho vế phải không chia hết không thỏa mãn (*) Vậy không tồn n để n2 + 2006 số phơng 12) Cho n số nguyên tố lớn Hỏi n2 + 2006 số nguyên tố hợp số 12) n số nguyên tố > nên không chia hết cho Vậy n2 chia hết cho d n2 + 2006 = 3m + + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3.Vậy n2 + 2006 hợp số 13) Tìm số tự nhiên n cho : 1! +2! +3! + +n! số phơng? 13) Tìm số tự nhiên n Mà 1! +2!+3! + +n! bình phơng số tự nhiên Xét : n = 1! = 12 n = 1! +2! = n=3 1! + 2! + 3! = =32 n = 1!+ 2! +3! + 4! =33 Với n >4 n! = 1.2.3 .n mội số chẳn Nên 1!+2!+ +n! =33 cộng với số chẳn sốcó chữ số tận tổng chữ số Nên số phơng Vậy có hai giá trị n=1 n=3 1! +2! + 3! +4! + .+n!là số phơng ... (n3+1) (n2-1) ]= n2( n+1 )2. ( n22n +2) Vi n N, n >1 thỡ n2-2n +2 = (n - 1 )2 + > ( n )2 v n2 2n + = n2 2( n - 1) < n2 Vy ( n 1 )2 < n2 2n + < n2 n2 2n + khụng phi l mt s chớnh phng Bi 9: Cho... Bi 8: Chng minh rng s cú dng n6 n4 + 2n3 + 2n2 ú n N v n>1 khụng phi l s chớnh phng: n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2( n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[... = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) = 4a2 (2n + 3) - 4a2 = (2n + + 2a)(2n + 2a) = Nhn xột thy 2n + + 2a > 2n + 2a v chỳng l nhng s nguyờn dng, nờn ta cú th vit (2n