giáo án toán học hệ thức vi ét và ứng dụng của hệ thức vi ét

ĐỔI MỚI; HỆ THỨC VI- ÉT VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI- ÉT Năm học 2018- 2019 A MỞ ĐẦU Trong vài năm trở lại đề thi vào lớp 10 trung học phổ thông , tốn phương trình bậc hai có sử dụng tới hệ thức Vi- et xuất phổ biến Trong nội dung thời lượng phần sách giáo khoa lại ít, lượng tập chưa đa dạng Ta thấy để giải tốn có liên qua đến hệ thức Vi - et học sinh cần tích hợp nhiều kiến thức đại số , thơng qua học sinh có cách nhìn tổng qt hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số Vậy nên nhóm tốn chúng tơi xây dựng chun đề ngồi mục đích giúp học sinh nâng cao kiến thức giúp em làm quen với số dạng tốn có đề thi vào lớp 10 trung học phổ thơng Nội dung chun đề gồm : I Ứng dụng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai ẩn II Ứng dụng Lập phương trình bậc hai III Ứng dụng Tìm hai số biết tổng tích chúng IV Ứng dụng Tính giá trị biểu thức nghiệm phương trình V Ứng dụng VI Ứng dụng VII Ứng dụng Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình cho hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số Tìm giá trị tham số phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm Xác định dấu nghiệm phương trình bậc hai VIII Ứng dụng Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nghiệm B NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0) Có hai nghiệm x2  x1  b   2a b   2a (*) ; Suy ra: Vậy đặt : b    b   2b b   2a 2a a ( b   )(b   ) b   4ac c x1 x2     4a 4a 4a a x1  x2  S = x1  x2  - Tổng nghiệm S : - Tích nghiệm P : P = x1 x2  b a c a Như ta thấy hai nghiệm phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với hệ số a,b,c Đây nội dung Định lí Vi-et, sau ta tìm hiểu số ứng dụng định lí giải tốn I NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = hay a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm x1  nghiệm lại x2  b) Nếu cho x =  ta có (*) a.(  1)2 + b(  1) + c = hay a  b + c = Như phương trình có nghiệm x1  1 nghiệm cịn lại x2  c a c a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: 1) x  x   (1) 2) x  x  11  (2) Ta thấy : 3 Phương trình (1) có dạng a  b + c = nên có nghiệm x1  1 x2  Phương trình (2) có dạng a + b + c = nên có nghiệm x1  x2  11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: 35 x  37 x   x  500 x  507  x  49 x  50  4321x  21x  4300  x2 – mx + m – 1= ( m tham số) ax2 +bx – (a +b ) = ( a, b tham số; a �0) Cho phương trình, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm tìm nghiệm cịn lại hệ số phương trình : Ví dụ: a) Phương trình x  px   Có nghiệm 2, tìm p nghiệm thứ hai b) Phương trình x  x  q  có nghiệm 5, tìm q nghiệm thứ hai c) Cho phương trình : x  x  q  , biết hiệu nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Tìm q hai nghiệm phương trình : x  qx  50  , biết phương trình có nghiệm có nghiệm lần nghiệm Bài giải: a) Thay x1  vào phương trình ban đầu ta : 44p 5  � p  T x1 x2  suy x2  5  x1 b) Thay x1  v phương trình ban đầu ta được: 25  25  q  � q  50 T x1 x2  50 suy x2  50 50   10 x1 c) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2  11 theo Vi-et ta có x1  x2  , ta giải hệ sau: �x1  x2  11 �x1  �� � x  x  �1 �x2  2 Suy q  x1 x2  18 d) Vì vai trị x1 x2 bình đẳng nên theo đề giả sử x1  x2 theo Vi-et ta có x1 x2  50 Suy x  5 � x22  50 � x22  (�5) � �2 x2  � Với x2  5 x1  10 Với x2  x1  10 Bài tập áp dụng: Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x +m2 -2 = có nghiệm Tìm m tìm nghiệm thứ hai 2.Cho phương trình: x2 –mx + 27 = có nghiệm Tìm m tìm nghiệm phương trình biết nghiệm ba lần nghiệm Cho phương trình: x2 –x - 2m +5 = Biết hiệu hai nghiệm Tìm m tìm nghiệm phương trình Tìm nghiệm phương trình: a) x  24 x  19 0 b) x  ( m  5) x  m  0 II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ1: Cho x1  ; x2  lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm �S  x1  x2  x1 ; x2 nghiệm phương trình có P  x x  � Theo hệ thức Vi-et ta có � dạng: x  Sx  P  0hayx  x   \Ví dụ 2: Cho x1 = 1 ; x2 = 1 Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 Giải: Ta có x1 = 1 ; x2 = 1 = 1 1  1    3 1 1 = 1 3 1 1 3  x1 + x2 = + = = 1 2 Nên x1.x2 = Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 : x2 - x + = hay 2x2 - x + = Bài tập áp dụng: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm chúng x ; x2 thỏa mãn : x1 = vµ x2 = -3 x1 = 3a vµ x2 = a x1 = 36 vµ x2 = -104 x1 =  vµ x2 =  2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x  x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1  x2  y2  x1  x1 x2 Cách 1: + Tính trực tiếp y1 ; y cách: Tìm nghiệm x1 ; x phương trình cho thay vào biểu thức tính y1 ; y Phương trình x  x  0 có a  b  c 1  ( 3)  0 nên phương trình có hai nghiệm x1 1; x 2 Ta có y1  x  1 1 2  3; y  x1  1   x1 x2 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y (dạng 2.1)  2 P  y1 y 3  2 S  y1  y 3  Phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P 0 hay y  9 y  0 ( 2 y  y  0 ) Cách 2: Không tính y1 ; y mà áp dụng Định lí Vi-et tính S  y1  y ; P  y1 y sau lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y Theo Định lí Vi-et ta có: S  y1  y  x  ( x2  1 x  x2 1   x1  ( x1  x )     ( x1  x )  3   x1 x2 x1 x 2  x1 x2  1 1 ).( x1  )  x1 x    2     x1 x2 x1 x 2 Phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P 0 hay y  9 y  0 ( 2 y  y  0 ) Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình x  x  0 có  5  4.3.( 6) 97 nên có hai nghiệm vô tỉ là:   97   97 ;x  6 Việc tính y1 ; y , S, P phức tạp nhiều thời gian x1  y1  x1  6  ; y  x2   x  97 x1  97 S  y1  y  ; P  y1 y  2 Phương trình cần lập: y  Sy  P 0 hay y  y  y  0 ) 5 y  0 ( hay - Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x hữu tỉ nên chọn Cách để việc tính tốn đơn giản nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: S  y1  y  x1   1 1  x2  ( x1  x )    x2 x1  x1 x    x  x2 5 ( x1  x )     x1 x   P  y1 y  ( x1  1 1 ).( x  )  x1 x         x2 x1 x1 x  2 Phương trình cần lập: y  Sy  P 0 hay y  y  0 (hay y  y  0 ) VÝ dơ 3: T×m hệ số p q phơng trình: x2 + px + q =  x1  x2 5 3  x1  x2 35 cho hai nghiệm x1; x2 phơng trình thoả mÃn hệ: Giải: Điều kiện = p2 - 4q (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn:  x1  x2 5  3  x1  x2 35    x1  x2  25  2   x1  x2  x1  x1 x  x 35      x1  x2   4x1x2 25     x1  x2   x1 x  x1 x 35    p2  4.q 25   p  q Giải hệ tìm đợc: p = 1; q = - vµ p = - 1; q = - Cả hai cặp giá trị tho¶ m·n (*) Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x  x   có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  y2  x2  x1 x2 Đáp số: y  y   hay y  y   2/ Cho phương trình : x  x   có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc 4 có ẩn y thoả mãn y1  x1 y2  x2 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y  727 y   ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x  x  m  có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : a) y1  x1  y2  x2  b) a) y  y   m  b) y1  x1  y2  x2  Đáp số : y  y  (4m  3)  4/: Lập phương trình bậc hai có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương 2 x  mx  = trình 5/ Cho phương trình x  x  m 0 có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 2 x1  1; y 2 x  6/Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn  x1  x 2  3  x1  x 26 Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x tìm III TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình : (điều kiện để có hai số S2  4P  ) x  Sx  P  Ví dụ1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  tích P = ab =  Vì a + b =  ab =  nên a , b nghiệm phương trình : x  3x   giải phương trình ta x  x2  4 Vậy a = b =  a =  b = * Lưu ý: khơng phải lúc ta tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 2: Tìm hai số a b biết S = a + b = 3, P = ab = Giải: Hai số a b nghiệm phương trình x  x  0  3  4.1.6 9  24  15  Phương trình vơ nghiệm nên khơng tồn hai số a b thỏa mãn đề * Lưu ý: Với trường hợp ta nhận xét S  P 3  4.6 9  24  15  nên không tồn hai số a b thỏa mãn yêu cầu đề mà chưa cần lập phương trình Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết tổng S tích P S = P=2 S =  P=6 S = P = 20 S = 2x P = x  y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a  b = ab = 36 a2 + b2 = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức Vi- et cần tìm tích a b Từ a  b  �  a  b   81 � a  2ab  b  81 � ab  2 81   a  b  Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x1  � x  x  20  � � x2  � Vậy: Nếu a = b = Nếu a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đặt c =  b ta có: a + c = a.c =  36 Suy a,c nghiệm phương trình : x1  4 � x  x  36  � � x2  � Do a =  c = nên b =  a = c =  nên b = Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169 2 2 a  b  13 �  132 � � a  b  13 � *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x1  4 � x  13 x  36  � � x2  9 � Vậy a = 4 b = 9 �  a  b  20 *) Với a  b  13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x1  � x  13x  36  � � x2  � Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a  b  11 � T ừ: a2 + b2 = 61 �  a  b   a  b  2ab  61  2.30  121  112 � � a  b  11 � *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: �x  5 x  11x  30  � �1 �x2  6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a  b  11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x1  � x  11x  30  � � x2  � Vậy a = b = ; a = b = IV TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm S tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị biểu thức Biến đổi biểu thức để làm xuất : ( x1  x2 ) x1 x2 a) x1  x2  ( x1  x1 x2  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 Ví dụ 2    x x  3 2 b) x1  x2   x1  x2  x1  x1 x2  x2   x1  x2  �  x1  x2   3x1x2 � c) x14  x24  ( x12 )  ( x22 )2 d) � 2 2 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 � 2  x12 x22  � ( x1  x2 )  x1 x2 � � � x1 x2 x1  x2  ? Ví dụ Ta biết  x1  x2    x1  x2   x1 x2 � x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 2 Bài tập áp dụng:Từ biểu thức biến đổi biến đổi biểu thức sau để làm xuất : ( x1  x2 ) x1 x2 :   x1  x2   x1  x2  =…….) x12  x22 ( x13  x23 2 ( =  x1  x2  x1  x1 x2  x2   x1  x2  �  x1  x2   x1 x2 �  =…… )  x1  x2 4 ( = x1  x2 x 2 x1  x2  x1  x2 �  x22  =…… ) ( = ( x1 )  ( x2 )  x1  x2 x16  x26  x �  x12 x22  x24  = …… ) x17  x27 1  x1  x2  x1  x2 10 x1  x2 Khơng giải phương trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x  x  15  Khơng giải phương trình, tính x12  x22 x1 x2  x2 x1 1  x1 x2  x1  x2  b) Cho phương trình : x  72 x  64  Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2 x12  x22 c) Cho phương trình : x  14 x  29  Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2 x12  x22 d) Cho phương trình : x  3x   Khơng giải phương trình, tính: 1  x1 x2  x1  x2  x1 x2 x12  x22 x1 x  x2  x1  e) Cho phương trình x  x   có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính x12  10 x1 x2  x22 Q x1 x23  x13 x2 Hướng dẫn: Ta có x1  x2   b c  8; x1 x2   15 a a 2 2 x1  x2  ( x1  x2 )  x1 x2   2.15  64  30  34 x  x2 1    x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x12  x2 34    x x x x 15 1 4.Đáp số : 46 e)HD: 10 x12  10 x1 x2  x22 6( x1  x2 )2  x1 x2 6.(4 3)  2.8 17 Q    3 x1 x2  x1 x2 80 5.8 � (4 3)  2.8� x1 x2 � �x1  x2   x1x2 � � � � Đáp số : �9 � �� �14 � � � �5 � �� b1 = � �; b2 = (65) ; c1 = � �; c2 = 138 ; d1 = ; d2 = 1; d3 = ; d4= � � 29 Nhận xét: Với dạng ta khơng cần giải phương trình để tìm nghiệm V TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm toán loại này, ta làm theo bước sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) - Áp dụng hệ thức Vi-et viết S = x1 + x2 v P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng để tính tham số theo x1 x2 Từ đưa hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 Ví dụ 1: Cho phương trình :  m  1 x  2mx  m   có nghiệm thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m Để phương trình có nghiệm x1 x2 th ì : m �1 � m �1 m  �0 � � �m �1 � ��2 �� �� �  ' �0 5m  �0 m� m  (m  1)(m  4) �0 � � � � � Theo hệ thức Vi- et ta có : 2m � � x1  x2  x1  x2   (1) � � � � m 1 m 1 �� � m  �x x  �x x   (2) 2 m 1 m 1 � � Rút m từ (1) ta có : 2  x1  x2  � m   m 1 x1  x2  (3) Rút m từ (2) ta có : 3   x1 x2 � m   m 1  x1 x2 (4) Đồng vế (3) (4) ta có: 11 x1 ; x2 Lập hệ  �   x1 x2    x1  x2   �  x1  x2   x1 x2   x1  x2   x1 x2 Vậy A = với m �1 m � Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình :  m  1 x  2mx  m   Chứng minh biểu thức A   x1  x2   x1 x2  không phụ thuộc giá trị m Để phương trình có nghiệm x1 x2 : �m �1 �m  �0 �m �1 �m �1 � ��2 �� �� � 5m  �0 �m � � ' �0 �m  (m  1)(m  4) �0 � � Theo hệ thức Vi- et ta c ó : 2m � x1  x2  � � m 1 � �x x  m  �1 m  thay vào A ta có: A   x1  x2   x1 x2   2m m4 6m  2m   8(m  1)  8   0 m 1 m 1 m 1 m 1 Ví dụ 3: Cho Phương trình mx  (2m  3) x  m   ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 �m �0 �a �0 �m �0 � �� �� � m � � �0 �28m  �0 � 28 � b) Theo định lí Vi-et ta có: 2m  3 � x1  x2    (1) � � m m � �x x  m    (2) �1 m m 12  x1  x2  �  4( x1  x2 )  8(3) m m 12 (2) �   x1 x2 �   3x1 x2 (4) m m (1) � 12 Từ (3) (4) ta được: 4( x1  x2 )    3x1 x2 hay 4( x1  x2 )  x1 x2  11 Nhận xét: - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình cho có nghiệm - Sau dựa vào hệ thức Vi-et rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số Bài tập áp dụng: Cho phương trình : x   m   x   2m  1  có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m Hướng dẫn: Dễ thấy    m     2m  1  m  4m    m     2 phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức Vi- et ta có �m  x1  x2  2(1) �x1  x2  m  � � � x1 x2  � m (2) �x1.x2  2m  � � Từ (1) (2) ta có: x1  x2   x1 x2  �  x1  x2   x1 x2   2 Cho phương trình : x   4m  1 x   m    có nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Dễ thấy   (4m  1)  4.2( m  4)  16 m2  33  phương trình cho ln có nghiệm phân biệt x1 x2 Theo hệ thức Vi- et ta có �x1  x2  (4m  1) �4m  ( x1  x2 )  1(1) �� � x x  2( m  4) �1 �4m  x1 x2  16(2) Từ (1) (2) ta có: ( x1  x2 )   x1 x2  16 � x1 x2  ( x1  x2 )  17  3.Cho phương trình : 2x2 + (2m -1 )x +m -1 =0 Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: Khi m �1 phương trình cho có nghiệm x1 x2 Theo hệ thức Vi- et ta có �x1  x2  2m  2(1) � �x1.x2  m  3m(2) 13 Từ (1) ta có: m= x1  x2  2 x1  x2  2 x1  x2  )  ( ) 2 Cho phương trình: (m- 1).x2 -2mx +m+1 = Do : x1 x2  ( Tìm hệ thức liên hệ nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn: + m=1 PT có dạng: -2x +2 = Với m=1 , pt ln có nghiệm + m ≠ Pt ln có nghiệm Phương trình cho ln có nghiệm x1 x2 với m Theo hệ thức Vi- et ta có �x1  x2  2m  2(1) � �x1.x2  m  3m(2) VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM Đà CHO Đối với toán dạng này, ta làm sau: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a    0) - Từ biểu thức nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình (có ẩn tham số) - Đối chiếu với điều kiện xác định tham số để xác định giá trị cần tìm Ví dụ 1: Cho phương trình : mx   m  1 x   m  3  Tìm giá trị tham số m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Bàigiải:Điều kiện để phương trình c ó nghiệm x1 x2 � � �m �0 �m �0 �m �0 �m �0 � �� �� � � 2  m  21 � � '  � � � 9( m  3)m �0 � '   m  2m  1  9m  27 �0 � '   m  1 �0 �m �1 6(m  1) � x1  x2  � � m Theo h ệ th ức Vi- et ta c ó: � v từ giả thiết: x1  x2  x1 x2 Suy ra: �x x  9(m  3) �1 m 6(m  1) 9(m  3)  � 6(m  1)  9(m  3) � 6m   9m  27 � 3m  21 � m  m m (t/mãnđiều kiện xác định ) 14 Vậy với m = phương trình cho có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  x1.x2 Ví dụ 2: Cho phương trình mx  2(m  4) x  m   Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Nhận xét: Ví dụ khác ví dụ 11 chỗ hệ thức không chứa sẵn x1  x2 x1 x2 nên ta áp dụng hệ thức Vi –et để tìm tham số m Vấn đề đặt ta phải biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa x1  x2 x1 x2 tìm m ví dụ m �0 � � Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 là: � 16 m� � � 15 (m  4) � x  x  � � m Theo định lí Vi-et ta có: � (1) m  �x x  �1 m 2 Ví dụ 3: Cho phương trình : x   2m  1 x  m   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2   x1  x2    Bài giải: Điều kiện để phương trình có nghiệm x1 & x2 :  '  (2m  1)  4(m  2) �0 � 4m2  4m   4m  �0 �4�۳ m m �x1  x2  2m  Theo hệ thức Vi-et ta có: � �x1 x2  m  Suy 3( m  2)  5(2m  1)   � 3m   10m    m  2(TM ) � � 3m  10m   � � � m  ( KTM ) � 15 từ giả thiết 3x1 x2   x1  x2    Vậy với m = phương trình có nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : 3x1 x2   x1  x2    Ví dụ 4: Cho phương trình x  2( m  1) x  2m   a)Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 với m b)Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: ( x12  2mx1  2m  1)( x22  2mx2  2m  1)  Giải: a)  '= m2 – 4m + = (m – 2)2 + > 0,  m � pt ln có nghiệm phân biệt với m �x12  2(m  1)x1  2m   � b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên: � �x  2(m  1)x  2m   � �x1  2mx1  2m    2x1 � �2 �x  2mx  2m    2x �x1  x  2m  �x1.x  2m  Theo định lí Vi-et ta có : � Theo ta có : (x12  2mx1  2m  1)(x 22  2mx  2m  1)  �   2x1    2x   � 16   x1  x   4x1x  � 16   2m     2m    � m  Bài tập áp dụng Cho phương trình : x   m  1 x  5m   Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức: x1  x2  2 Cho phương trình : 3x   3m   x   3m  1  Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  Cho phương trình : mx   m   x  m   Tìm m để phương trình có nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm Cho phương trình x  x  m   (*) (x ẩn số) Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: x14  x24  x13  x23 Cho phương trình x – (m+1)x + m – = 16 Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn �x1  x2  �3 �x1  x2  32 Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạng huyền Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 Cho phương trình x  3x  m  (1) (x ẩn) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12   x22   3 Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 +2mx2 =9 Hướng dẫn cách giải: Đối với tập dạng ta thấy có điều khác biệt so với tập Ví dụ ví dụ chỗ + Trong ví dụ biểu thức nghiệm chứa sẵn tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 nên ta vận dụng trực tiếp hệ thức Vi-et để tìm tham số m + Cịn tập biểu thức nghiệm lại khơng cho sẵn vậy, vấn đề đặt làm để từ biểu thức cho biến đổi biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 tích nghiệm x1 x2 từ vận dụng tương tự cách làm trình bày Ví dụ ví dụ BT1: - ĐK:   m  22m  25 �0 � 11  96 �m �11  96 �x1  x2   m (1) x x  m  �1 - Theo Vi-et: � �x1   3( x1  x2 ) � x1 x2    3( x1  x2 )   4( x1  x2 )  1 � - Từ : x1  x2  Suy ra: �x2  4( x1  x2 )  � x1 x2  7( x1  x2 )  12( x1  x2 )  (2) m0 � - Thế (1) vào (2) ta có phương trình : 12m(m  1)  � � (thoả mãn ĐKXĐ) m 1 � BT2: - Vì   (3m  2)  4.3(3m  1)  9m  24m  16  (3m  4) �0 với số thực m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt 17 3m  � x  x  � � (1) - -Theo Vi-et: �  (3 m  1) �x x  �1 - Từ giả thiết: x1  x2  Suy ra: x1  5( x1  x2 )  � � 64 x1 x2   5( x1  x2 )    3( x1  x2 )  6 � x  3( x  x )  (2) � 2 � 64 x1 x2  15( x1  x2 )  12( x1  x2 )  36 m0 � � - Thế (1) vào (2) ta phương trình: m(45m  96)  � 32 � m 15 � 16 BT3: - ĐK: m �0 & m � 15 Do x1 , x2 có vai trò Giả sử x1  x2 � x1  x2  (thoả mãn ) (m  4) � x  x  � � m (1) -Theo Vi-et: � m  �x x  �1 m �x1  x2  3x2 � 2( x1  x2 )2  x1 x2 (2) - Từ x1  x2  Suy ra: � 2( x1  x2 )  3x1 � - Thế (1) vào (2) ta đưa phương trình sau: m  127 m  128  � m1  1; m2  128 BT 4: ∆’ = 16  8m   8(1  m ) Khi m = �1 ta có ∆’ = tức : x1  x2 x14  x24  x13  x23 thỏa Điều kiện cần để phương trình sau có nghiệm phân biệt là: m  hay   m  Khi m  hay   m  ta có 2 2 2 x14  x24  x13  x23 �  x1  x2   x1  x2    x1  x2   x1  x2  x1.x2  �  x1  x2   x12  x22    x12  x22  x1.x2  (Do x1 khác x2) �  x1  x2  �  ( x1  x2 )  x1 x2 � S ( S  P)  S  P �x1  x2   x1x2 � � 2 � 1(1  P )   P (Vì S = 1) � P  � m   (vơ nghiệm) Do u cầu toán � m  �1 2 BT5 H D:   (m  1)  4( m  5)  (m  1)  20  0m Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – 3 Theo giả thiết: x1- x2 = x1 –x2 = 32 nên ta biến đổi: 18 3 2 2 x1 –x2 = (x1- x2)(x1 + x1x2 + x2 ) =4((x1+x2) – x1x2) = 4((m+1) – (m-5)) = 32 m 1 � �m +m+6=8 � � m  2 � Cả hai giá trị m=1 m=-2 thỏa mãn BT HD: (x12 + x22 = 5) BT HD: Ta có  '   m  1  4m   m  1 �0 phương trình ln có nghiệm 2 với m �S   m  1 �P  4m Áp dụng định lí Vi-et ta có: � Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 x1x2 + (x1 + x2) m - m2 – 12 = 0, : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 6m = 12 m= BT8 HD: Tìm m để x1 , x2 thỏa mãn x12   x22   3 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt �    4m  � m  (1) Theo định lí Viet x1  x2  3, x1 x2  m Bình phương ta x12  x22   ( x12  1)( x22  1)  27 � x12  x22  x12 x22  x12  x22   25 Tính x12  x22  ( x1  x2 )2  x1 x2   2m đưa hệ thức dạng m2  2m  10  m  (2) � m2  2m  10  m  16m  64 � 18m  54 � m  3 Thử lại thấy m  3 thỏa mãn pt (2) điều kiện (1) BT9 Đ/a: Vậy m = phương trình cho có nghiệm x1, x2 : x1 +2mx2 =9 VII XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax  bx  c  (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: trái dấu, dấu, dương, âm … Ta lập bảng xét dấu sau: Dấu nghiệm x1 x2 S  x1  x2 P  x1 x2 m � trái dấu P0 dương, + + S>0 P>0   âm S0 Ví dụ 1: Xác định tham số m cho phương trình: 19  Điều kiện chung 0 0 0 0   ; P < 0 ;P>0 0 ;P>0;S>0   ; P > ; S < 2 x   3m  1 x  m  m   có nghiệm trái dấu Giải Để phương trình có nghiệm trái dấu �   (3m  1)  4.2.( m  m  6) �0  �0 �   (m  7) �0m � � � � m2  m  �� � 2  m  � P  ( m  3)( m  2)  P   �P  � � � Vậy với 2  m  phương trình có nghi ệm trái dấu Ví dụ 2: Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x +6m +1 =0 Tìm m để phương trình có nghiệm lớn Giải Đặt x = t+2 ( t>0) Khi phương trình cho trở thành: t2 – 2mt +2m- 3=0 (*) Phương trình dã cho có nghiệm lớn phương trình (*) có nghiệm dương �  ' �0 m  (2m  3) �0 � � � � �P  � � 2m   �m �S  �2m  � � Vậy với m  phương trình cho có nghiệm lớn 2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm m để phương trình: mx   m   x   m    có nghiệm dấu 2 3mx   2m  1 x  m  có nghiệm âm  m  1 x  x  m  có nghiệm không âm x2- (2m-3)x +m2 -3m = có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1< x1  x2  Bài Cho phương trình bậc hai : 2x2+(2m−1)x+m−1=0 a) Chứng minh phương trình ln ln có nghiệm với m b) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thõa mãn −1