Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
1,46 MB
Nội dung
Câu 1: Cho hai mặt phẳng ( P) ( Q ) song song với cắt mặt cầu tâm O bán kính R tạo thành hai đường trịn có bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai đường tròn đáy trùng với đường trịn cịn lại Tính khoảng cách ( P) ( Q ) để diện tích xung quanh hính nón lớn A 2R C R B R D R Hướng dẫn giải Chọn A l R h r Ta có r = R2 − 2 h 3h , l = r + h2 = R2 + 4 h2 3h2 R2 R2 + = − h4 + h2 + R4 4 16 2 R Xét f ( h) = − h4 + h + R4 ( h 2R) 16 2R Ta có f ( h ) = − h3 + R2 h, f ( h ) = h = Bảng biến thiên: Sxq = rl = R2 − 2R 2R Do Sxq đạt giá trị lớn h = 3 Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là: Khi f ( h ) đạt giá trị lớn h = Câu 2: A r 36 2 B r 36 2 C r 38 2 D r Hướng dẫn giải Chọn C HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 38 2 Thể tích cốc: V r 2h 27 81 r 2h 81 r h Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ S xq rl r 812 2 r2 h2 812 2 r2 812 r4 r r2 2 r4 812 r2 812 812 r 2 2 r r 814 (theo BĐT Cauchy) 4 S xq nhỏ Câu 3: r r2 r4 812 2 r2 r6 38 2 r 38 2 Bạn Hồn có bìa hình trịn hình vẽ, Hồn muốn biến hình trịn thành hình phễu hình nón Khi Hồn phải cắt bỏ hình quạt trịn AOB dán hai bán kính OA OB lại với (diện tích chỗ dán nhỏ khơng đáng kể) Gọi x góc tâm hình quạt trịn dùng làm phễu Tìm x để thể tích phễu lớn nhất? A B Hướng dẫn giải C D Chọn B Dựa vào hình vẽ, độ dài cung AB lớn Rx , bán kính hình nón r = Rx 2 R R2 x2 = 4 − x 2 4 2 Rx R R3 2 Thể tích khối nón (phễu) V = r h = 4 − x = 3 4 2 24 Đường cao hình nón h = R2 −r2 = R2 − x4 ( 4 − x2 ) 4 ) ( 3 R3 x2 x2 2 V Theo Cauchy ta có ( 4 − x ) 27 2 27 6 x2 Vậy thể tích phễu lớn x = Dấu xảy = 4 − x x = 3 Câu 4: Cho mặt nón trịn xoay đỉnh S đáy đường trịn tâm O có thiết diện qua trục tam giác cạnh a A , B hai điểm ( O ) Thể tích khối chóp S OAB đạt giá trị lớn HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG A a3 48 B a3 96 C a3 24 D a3 96 Hướng dẫn giải Chọn A S h B a/2 O A Ta có VS OAB = 1 SAOB SO Lại có SAOB = OA.OB.sin AOB Mặt khác OA = OB = a a , SO = h = 2 Do thể tích khối chóp S OAB đạt giá trị lớn sin AOB = OA ⊥ OB 1 a a a a3 = 2 2 48 Khi Vmax = Câu 5: Trong hình nón nội tiếp hình cầu có bán kính 3, tính bán kính mặt đáy hình nón tích lớn A Đáp án khác B R = C R = D R = 2 Hướng dẫn giải Chọn D M K I O A Giả sử chóp đỉnh A hình vẽ hình chóp tích lớn AKM vng K Ta thấy IK = r bán kính đáy chóp, AI = h chiều cao chóp IK = AI IM r = h (6 − h) 1 V = r h = h2 ( − h ) ( h ) 3 Vmax h ( − h ) max y = −h3 + 6h max ( 0; ) h = r = ( − ) = r = 2 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG Câu 6: Hình nón gọi nội tiếp mặt cầu đỉnh đường trịn đáy hình nón nằm mặt cầu Tìm chiều cao h hình nón tích lớn nội tiếp mặt cầu có bán kính R cho trước 3R 5R 5R 4R A h = B h = C h = D 2 Hướng dẫn giải Chọn D S O M H Gọi chiều cao hình nón x , ( x 2R) Gọi bán kính đáy hình nón r ta có r2 = OM2 −OH2 = R2 −( x − R) = 2Rx − x2 = x ( 2R − x) 1 Thể tích hình nón V = r x = x ( R − x ) 3 x x + + 2R − x x x x2 8R3 Mặt khác ta lại có ( R − x ) R − x ( ) 2 27 x 32 R3 32 R3 Vậy max V = Dấu " = " xảy = 2R − x V = x ( 2R − x ) 27 27 4R Giá trị lớn thể tích khối nón nội tiếp khối cầu có bán kính R 32 3 R3 R A B C R 81 Hướng dẫn giải Chọn B x= Câu 7: D R 3 Rõ ràng hai khối nón bán kính đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thể tích lớn hơn, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nón HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG Giả sử khối nón có đáy hình trịn (C ) bán kính r Gọi x với x R khoảng cách tâm khối cầu đến đáy khối nón Khi chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hình trịn (C ) h = R + x Khi bán kính đáy nón r = R2 − x2 , suy thể tích khối nón 1 1 V = r h = ( R + x ) ( R − x ) = ( R + x )( R + x )( R − x ) = ( R + x )( R + x )( 2R − 2x ) 3 ( R + x + R + x + 2R − 2x ) 32 R3 Áp dụng BĐT Cơ-si ta có V = 27 81 Cho hình nón ( N ) có đường cao SO = h bán kính đáy R , gọi M điểm đoạn SO , đặt Câu 8: OM = x , x h (C ) thiết diện mặt phẳng ( P) vng góc với trục SO M , với hình nón ( N ) Tìm A x để thể tích khối nón đỉnh O đáy (C ) lớn h B h C h D h Hướng dẫn giải Chọn A S M B A O C D Ta có BM bán kính đường tròn (C ) R ( h − x) BM SM AO.SM = BM = BM = AO SO SO h Thể tích khối nón đỉnh O đáy (C ) là: Do tam giác SBM ∽ SAO nên 1 R ( h − x) V = BM OM = x= 3 h R2 h (h − x)2 x R (h − x)2 x, (0 x h) ta có h R2 R2 h Ta có f ( x) = (h − x)(h − 3x) ; f ( x) = (h − x)(h −3x) x = h h Xét hàm số f ( x) = Lập bảng biến thiên ta có HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG h Cho hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O , góc đỉnh 120 Trên đường tròn đáy, lấy điểm A cố định điểm M di động Có vị trí điểm điểm M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất? A Có vơ số vị trí B Có vị trí C Có vị trí D Có vị trí Hướng dẫn giải Chọn D Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O đáy (C ) lớn x = Câu 9: Gọi r bán kính đáy hình nón Vì góc đỉnh ASA = 120 ASO = 60 Suy SO = OA.cot ASO = r Gọi H trung điểm AM đặt x = OH Ta có: SH = SO2 + OH = Diện tích tam giác SAM r2 + x2 , AM = 2AH = OA2 − OH = r − x2 r2 s = SH.AM = + x2 r − x2 r 3 2 r r2 r 2 2 smax = r đạt + x = r − x x = x = Tức OH = SO 3 3 Câu 10: Theo tính chất đối xứng của đường trịn ta có hai vị trí M thỏa u cầu Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27 cm , với chiều cao h bán kính đáy r Giá trị r để lượng giấy tiêu thụ nhất: A r = 36 2 B r = 36 2 C r = 38 2 D r = Hướng dẫn giải HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 38 2 Chọn C 81 Ta tích cốc hình nón V = r h = 27 h = r 2 38 81 81 2 + r4 + r Suy Sxq = r +r = Khi l = 2 r r r Để lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh phải nhỏ Ta xét f ( r ) = 38 + r4 f ( r ) = r f (r ) = r = 2.38 r 38 + r4 2 r 38 = r0 2 38 2 Vậy để lượng giấy tiêu thụ r = Câu 11: 4r − Cho mặt nón trịn xoay đỉnh S đáy đường trịn tâm O có thiết diện qua trục tam giác cạnh a A , B hai điểm ( O ) Thể tích khối chóp S OAB đạt giá trị lớn A a3 48 B a3 96 a3 24 Hướng dẫn giải C D a3 96 Chọn A S h B a/2 O A Ta có VS OAB = 1 SAOB SO Lại có SAOB = OA.OB.sin AOB Mặt khác OA = OB = a a , SO = h = 2 Do thể tích khối chóp S OAB đạt giá trị lớn sin AOB = OA ⊥ OB 1 a a a a3 = Khi Vmax = 2 2 48 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG Câu 12: Cho khối nón đỉnh O, chiều cao h Một khối nón khác có đỉnh tâm I đáy đáy thiết diện song song với đáy hình nón cho Để thể tích khối nón đỉnh I lớn chiều cao khối nón bao nhiêu? A 2h B h C h D h Hướng dẫn giải Chọn D O h x Gọi x chiều cao cần tìm R, r chiều cao khối nón lớn bé Khi R (h − x) r h−x = r= Thể tích khối nón đỉnh I R h h Cauchy R (h − x) R2 R2 ( h − x + h − x + 2x ) 4 R h V = x = h − x x = ( ) h 27 81 6h 6h Dấu đẳng thức xảy h − x = x x = Câu 1: h Người ta cần sản xuất thùng đựng sơn hình trụ tích 4 Hỏi cần xác định chiều cao bán kính đáy để tốn nguyên vật liệu nhất? B R = 2; h =1 A R = 2; h = 23 C R = 2; h = D R = 4; h = Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: thể tích đại lượng khơng đổi, ta đặt bán kính đáy x Khi h = V = 2 R x 4 Diện tích tồn phần thùng Stp = 2 R2 + 2 Rh = 2 x + x Áp dụng BĐT Cauchy số ta có: x + 2 = x2 + + 3 x x x x = hay R = 2; h = 23 x Một cơng ty thiết kế bồn chứa nước hình trụ nhựa tích V khơng đổi, chiều cao h bán h kính đáy R Tính tỉ số k = để nguyên vật liệu làm bồn nước tốn R A k = B k = C k = D k = 2 Dấu " = " xảy x = Câu 2: HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG Hướng dẫn giải Chọn B Ta có: V = hR2 h = V R2 Nguyên liệu làm bồn nước tốn Stp bé 2V V V V V + 2 R = + + 2 R 33 2 R2 = 33 2V R R R R R V h = 2 R V = 2 R3 2 R3 = hR2 = Suy Stp bé 33 2V R R Stp = 2 hR + 2 R2 = Câu 3: Thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12 ( cm ) Giá trị lớn thể tích khối trụ là: ( ) ( ( ) ) ( ) D 16 cm3 C 8 cm3 B 32 cm3 A 64 cm3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi r bán kính hình trụ, chiều cao h Ta có: 2r + h = h = − 2r, (0 r 3) r + r + − 2r Khi đó: V = r h = r ( − 2r ) = 8 2 ( ) Vậy giá trị lớn thể tích khối trụ 8 cm3 Câu 4: Người ta muốn dùng vật liệu kim loại để gò thành thùng hình trụ trịn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước (hai đáy dùng vật liệu đó) Hãy xác định chiều cao h bán kính R hình trụ theo V để tốn vật liệu A R = 2h = R = 2h = V 2 B h = 2R = V 2 C h = 2R = V 2 D V 2 Hướng dẫn giải Chọn C Để vật liệu tốn diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Ta có: Stp = 2 R + 2 Rh Do V = R2h nên h = Stp = 2 R2 + 2 R V Suy R2 V V V V V = 2 R2 + + 3.3 2 R2 = 3.3 2V R R R R R Đẳng thức xảy 2 R2 = Câu 5: V V V Khi h = R= R 2 2 Cho hình lăng trụ ABC ABC có AB = a , AB = 2a Tính thể tích V khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC ABC Biết mặt đáy khối trụ nằm mặt phẳng ( ABC ) HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG A V = a3 B V = a3 3 C V = a3 D V = a3 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi F , G trung điểm BC trọng tâm ABC ABB vng B , có: BB = AB2 − AB2 = 4a2 − a2 = 3a ABC cạnh a nên AF = 3 a AG = a Gọi h , R chiều cao bán kính hình trụ a = GA Vậy thể tích khối trụ ngoại tiếp ABC ABC là: Ta có h = BB = 3a , R = 3 a3 V = h R = 3a. a = 3 Câu 6: Cho hình trụ có tính chất: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Tìm giá trị lớn thể tích khối trụ B 8 cm3 A 16 cm3 C 32 cm3 Hướng dẫn giải D 64 cm3 Chọn B Giả sử hình chữ nhật có chiều dài a ( a 6), chiều rộng b (0 b 6) Ta có chiều cao hình trụ a , bán kính hình trụ b Theo giả thiết ta có a + b = a = − b Ta có V = B.h = Đặt f ( b ) = ( 6b b2 ( − b) − b3 ) f ( b ) = b=0 12b − 3b ) f (b) = ( b=4 Lập bảng biến thiên ta thấy f ( b ) đạt giá trị lớn b = a = Vậy V = 8 cm Câu 7: Người ta cần làm bồn chứa dạng hình trụ tích 1000 lít inox để chứa nước, tính bán kính R hình trụ cho diện tích tồn phần bồn chứa đạt giá trị nhỏ nhất: HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 10 A R = B R = 2 C R = 2 D R = Hướng dẫn giải Chọn C Gọi h R chiều cao bán kính đáy (đơn vị: mét) Ta có: V = h R = → h = R2 = 2 R + ( R ) R R Stp = 2 R + 2 Rh = 2 R + 2 R Cách 1: Khảo sát hàm số, thu f ( R)min R = h = 2 3 4 Cách 2: Dùng bất đẳng thức: Stp = 2 R2 + 2 Rh = 2 R2 + 2 R Dấu xảy R = Câu 8: 1 1 = 2 R2 + + 33 2 R2 = 33 2 R R R R R 2 Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích 1000 cm3 Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 500 cm B 10 cm C 500 cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn C Gọi h ( cm) chiều cao hình trụ R ( cm) bán kính nắp đậy 1000 R2 Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu diện tích tồn phần Stp hình R Ta có: V =R h =1000 Suy h = O h trụ nhỏ O' 1000 2 Ta có: Stp = 2 R + 2 Rh = 2 R + 2 R R2 = 2 R2 + 1000 1000 1000 1000 + 3.3 2 R2 = 33 2.10002 R R R R 1000 500 R= R Cho tam giác ABC cân A , AB = AC = 5a, BC = 6a Hình chữ nhật MNPQ có M, N thuộc cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh BC Quay hình chữ nhật MNPQ (và miền nó) quanh Đẳng thức xảy 2 R2 = Câu 9: trục đối xứng tam giác ABC khối tròn xoay Tính độ dài đoạn MN để thể tích khối trịn xoay lớn A MN = 2a B MN = 5a C MN = 4a D MN = a Hướng dẫn giải Chọn C HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 11 Ta có: BH = 3a; AH = 4a Đặt HQ = x BQ = 3a − x ( x 3a ) (3 − x ) MQ BQ = MQ = AH BH (3 − x ) x3 = 4 x − Khi đó: VT = x 3 Ta có: Xét hàm số f ( x ) = x2 − x3 ( x 3a ) ( x 3a ) Hàm số f ( x ) đạt giá trị lớn x = 2a MN = 4a Câu 10: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD = Quay hình chữ nhật ABCD quanh AD AB ta hai hình trụ trịn xoay tích V1 , V Phát biểu sau đúng? A V2 = 2V1 C 2V1 = 3V2 B V1 = V2 D V1 = 2V2 Hướng dẫn giải Chọn D Quay quanh AD: V1 = AB AD = 4 Quay quanh AB: V2 = AD AB = 2 Câu 11: Xét hình trụ (T ) nội tiếp mặt cầu bán kính R S diện tích thiết diện qua trục (T ) Tính diện tích xung quanh hình trụ (T ) biết S đạt giá trị lớn A Sxq = 2 R B Sxq = R C S xq = 2 R D S xq = Hướng dẫn giải Chọn A HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 12 R2 C D I B A Gọi x bán kính hình trụ x R Diện tich thiết diện S = 2x.2 R2 − x2 = 4x R2 − x2 Vì 4x R2 − x2 ( x2 + R2 − x2 ) nên S 2R Vậy S max = R x = R − x x = Vậy diện tích xung quanh hình trụ S xq = 2 Câu 12: R R R 2 = 2 R2 2 Khi cắt mặt cầu S ( O, R ) mặt kính, ta hai nửa mặt cầu hình trịn lớn mặt kính gọi mặt đáy nửa mặt cầu Một hình trụ gọi nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) đáy hình trụ nằm đáy nửa mặt cầu, đường tròn đáy giao tuyến hình trụ với nửa mặt cầu Biết R=1 , tính bán kính đáy r chiều cao h hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu S ( O, R ) để khối trụ tích lớn A r = r= , h= 3 B r = , h= 3 C r = , h= 2 D , h= 2 Hướng dẫn giải Chọn A Hình trụ nội tiếp nửa mặt cầu, nên theo giả thiết đường trịn đáy có tâm O' có hình chiếu O xuống mặt đáy (O') Suy hình trụ nửa mặt cầu chung trục đối xứng tâm đáy hình trụ trùng với tâm O nửa mặt cầu.Ta có: h2 + r2 = R2 ( h R = 1) r2 =1−h2 2 Thể tích khối trụ là: V = r h = (1 − h ) h = f (h) f '(h) = (1 − 3h ) = h = f'(h) 3 +0 − f(h) 2 h 0 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 13 3 Vậy: MaxV = ( 0;1 Câu 13: 2 (đvtt) r = h = 3 Người ta muốn dùng vật liệu kim loại để gò thành thùng hình trụ trịn xoay có hai đáy với thể tích V cho trước ( hai đáy dùng vật liệu đó) Hãy xác định chiều cao h bán kính R hình trụ theo V để tốn vật liệu A h = 2R = R = 2h = V 2 B h = 2R = V 2 C R = 2h = V 2 D V 2 Hướng dẫn giải Chọn B Để vật liệu tốn diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Ta có: Stp = 2 R2 + 2 Rh Do V = R2h nên h = Stp = 2 R2 + 2 R Câu 14: V Suy R2 V V V V V = 2 R2 + + 3.3 2 R2 = 3.3 2V R R R R R Khi sản xuất vỏ lon nước hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần cua hình trụ nhỏ (với nguyên liệu) Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần nhỏ hình trụ có bán kính đáy gần số nhất? A 0,5 B 0,6 C 0,8 D 0,7 Hướng dẫn giải Chọn D R2 ) có GTNN R = = 0.6827 Diện tích toàn phần S = 2 R ( R + h) = 2 R( R + R Gọi chiều cao bán kính đáy h , R Từ V = R2h = h = Câu 15: Khi sản xuất vỏ lon sữa hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần nhỏ bán kính đáy R bằng: A R = V 2 B R = 27V 4 C R = V 2 D R = Hướng dẫn giải Chọn A Ta có V = h R2 h = V R2 STP = 2Rh+2R2 = 2V −2V V + 2 R S = + 4 R S ' = R = R R 2 Lập bảng biến thiên ta có STPmin R = V 2 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 14 V Câu 16: ( ) Một đại lý xăng dầu cần làm bồn dầu hình trụ tơn tích 16 m3 Tìm bán kính đáy r hình trụ cho hình trụ làm tốn nguyên vật liệu A ( m) B 2,4 ( m) C 0,8 ( m) D 1, ( m ) Hướng dẫn giải Chọn A Gọi x m bán kính hình trụ x x2 Diện tích tồn phần hình trụ là: S x Khi đó: S ' x x x h Ta có: V 32 , cho S ' x x2 xh x x2 16 x2 32 ,x x 2 m nghĩa bán kính 2m Lập bảng biến thiên, ta thấy diện tích đạt giá trị nhỏ x Câu 17: h Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt góc AB đáy Biết thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? 1 A tan = B tan = C tan = D tan = 2 Hướng dẫn giải Chọn B O' B A' O I B' A Gọi A hình chiếu A lên mặt phẳng chứa đường trịn tâm O Gọi B hình chiếu B lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O Gọi R bán kính đường trịn tâm O , suy ra: R = 2a Ta có: = BAB Suy ra: AB = 2R tan Gọi I trung điểm AB OI ⊥ AB Ta có: OI = OB2 − IB2 = R2 − R2 tan2 = R 1− tan2 1 2 Và: SOAB = OI AB = R − tan R tan = R tan − tan 2 1 2 Suy ra: VOOAB = VOAB.OAB = OO SOAB = R R tan − tan 3 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 15 Ta có: VOO AB đạt giá trị lớn tan − tan đạt giá trị lớn Xét hàm số f (t ) = t 1− t với t 0;1 có f (t ) = 1− t + Xét f (t ) = − 2t = t = Vì 0 90 nên tan t = t.( −t ) 1− t = 1− 2t 1− t với t ( 0;1) Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có V m ax t = Câu 18: 1 hay tan = 2 Một nhà máy cần sản xuất hộp hình trụ kín hai đầu tích V cho trước Mối quan hệ bán kính đáy R chiều cao h hình trụ để diện tích tồn phần hình trụ nhỏ là? A R = 2h B h = 3R C R = h Hướng dẫn giải D h = R Chọn D V = R2h h = V R2 STP = 2R2 + 2Rh = 2 R2 + 2 R V V V V V = 2 R2 + + 3.3 2 R2 = 2V R R R R R R h STP đạt giá trị nhỏ 2 R = V 2 R2 = 2R = h R R Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O , bán kính đáy chiều cao 2a Trên 2 Câu 19: đường trịn đáy có tâm O lấy điểm A , đường tròn tâm O lấy điểm B Đặt góc đáy Biết thể tích khối tứ diện OOAB đạt giá trị lớn Khẳng định sau đúng? A tan = B tan = C tan = D tan = Hướng dẫn giải Chọn A HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 16 AB O' B A' O I B' A A hình chiếu A lên mặt phẳng chứa đường tròn tâm O Gọi B hình chiếu B lên mặt phẳng chứa đường trịn tâm O Gọi R bán kính đường tròn tâm O , suy ra: R = 2a Ta có: = BAB Suy ra: AB = 2R tan Gọi I trung điểm AB OI ⊥ AB Gọi Ta có: OI = OB − IB = R − R tan = R 1− tan 1 2 Và: SOAB = OI AB = R − tan R tan = R tan − tan 2 1 Suy ra: VOOAB = VOAB.OAB = OO SOAB = R R tan − tan 3 Ta có: 2 2 VOO AB đạt giá trị lớn tan − tan đạt giá trị lớn Xét hàm số f (t ) = t 1− t với t 0;1 có f (t ) = 1− t + t.( −t ) 1− t = 1− 2t 1− t với t ( 0;1) Vì 0 90 nên tan t = Xét f (t ) = − 2t = t = Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có V m ax t = Câu 20: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính 1 hay tan = 2 R = a Gọi (T ) hình trụ có hai đường trịn đáy nằm ( S ) có thiết diện qua trục (T ) lớn Tính diện tích tồn phần Stp (T ) HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 17 A Stp = 6 a C Stp = 6 a B Stp = 9 a D Stp = 9 a Hướng dẫn giải Chọn D Hình vẽ thiết diện qua trục sau: Ta có: AC = R = 2a Đặt AD = x, ta có: CD = AC2 − AD2 = 12a2 − x2 Vì thiết diện qua trục lớn nên AD.CD lớn Xét hàm số: f (x) = x 12a2 − x2 , x−2a 3;2a 3 Ta có: f '( x) = 12a2 − x2 + x f '( x) = ( 12a2 − 2x2 12a2 − x2 ) −2x 12a2 − x2 12a2 − 2x2 12a2 − x2 = x = a ( Ta có: f a = a 12a2 − a ( = ) = a 6.a = 6a2 ) f 2a = Vậy hình trụ có: bán kính đáy R = Stp = 2 r (r + h) = 2 CD a = ; chiều cao h = AD = a 2 a a + a = 9 a Câu Cho tứ diện ABCD , biết tam giác BCD tam giác cạnh a Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường trịn lớn Khi thể tích lớn tứ diện ABCD là: a3 a3 a3 a3 A B C D 12 12 12 Lời giải Chọn A HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 18 Gọi G trọng tâm tam giác BCD , M trung điểm CD H hình chiếu A ( BCD) Do mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm đường tròn lớn nên G tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Do GB = GC = GD = GA Ta có GB = a 2 = AG BM = BC − CM = 3 Trong tam giác ACH có AH AG Dấu xảy H G S BCD a2 = BC.BD.sin CBD = 1 a2 a2 a a VABCD = AH SBCD AG = = 3 4 12 a3 Vậy thể tích lớn tứ diện ABCD 12 Câu Bề mặt bóng ghép từ 12 miếng da hình ngũ giác 20 miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm Biết giá thành miếng da 150 đồng/ cm Tính giá thành miếng da dùng để làm bóng (kết làm trịn tới hàng đơn vị)? A 252533 đồng B 199218 đồng C 121500 đồng D 220545 đồng Lời giải Chọn D HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 19 B M A O * Ở miếng da hình ngũ giác, xét tam giác OAB có AOB = 72 o , AB= 4,5cm , trung tuyến AM , BOM = 36o Do tan 36o = BM OM = BM OM tan 36 o = AB ( cm ) tan 36o 1 AB 81 OM AB = AB = ( cm2 ) o 2 tan 36 16 tan 36o 405 Diện tích miếng da hình ngũ giác 5S ABO = ( cm2 ) 16 tan 36o * Ở miếng da hình lục giác cạnh 4,5cm có diện tích miếng da S ABO = ( 4,5) = 243 (cm2 ) Vậy giá thành miếng da dùng làm bóng 243 405 + 12 20 o 150 220545 (đồng) 16 tan 36 Câu Cho ba tia Ox , Oy , Oz đơi vng góc với Gọi C điểm cố định Oz , đặt OC = , điểm A , B thay đổi Ox , Oy cho OA + OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A B C D Lời giải Chọn B HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 20 Đặt A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) Khơng tính tổng qt, giả sử a,b Vì OA + OB = OC a + b = Gọi ( I ; R) mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC H hình chiếu I lên mặt phẳng Oxy Khi đó, H cách ba đỉnh O, A, B nên tâm đường trịn ngoại tiếp OAB Áp dụng định lý hàm số Sin cho OAB , có AB AB AB = = OH = 2 sin AOB sin 90 2 2 AB = OA + OB = a + b Gọi a2 + b2 OH = M trung điểm SC Vì IO = IC nên IOC cân I IM ⊥ OC IMOH hình chữ nhật 2 1 a +b 2 R = IM + OM = + Do (Do OH = IM ) 2 BCS 1 ( a + b) 1 Vậy Min R = + a + b2 + = + = 4 4 4 Câu Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A 576 B 144 C 144 D 576 Lời giải Chọn A = ( ) S I D A C O B Gọi ( S ) mặt cầu có tâm I bán kính R = Xét hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a , (0 a ) Ta có OA = AC = a 2 OI = IA2 − OA2 = 81 − Mặt khác ta lại có SO = SI + IO = + 81 − a2 a2 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 21 Thể tích khối chóp S ABCD V = a2 + 81 − a a2 = 3a + a 81 − Đặt a = t , a nên t 162 t 324 − 3t Xét hàm số f (t ) = 3t + t + 81 − , với t 162 ta có f (t ) = + ; 2 t 12 81− t 108 t 108 t t f (t ) = 81− = − t t t = t = 144 12 81 − = − t = 144 12 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vmax Câu = 576 t = 144 hay a = 12 Cho hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm giá trị lớn tổng: T = SA + SB + SC + SD + AB + BC +CD + DA2 + AC2 + BD2 A 20R2 B 12R2 C 25R2 Lời giải Chọn C Gọi I tâm mặt cầu IA = IB = IC = ID = IS = R Ta có: T = SA2 + SB2 + SC2 + SD2 + AB2 + BC2 +CD2 + DA2 + AC2 + BD2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( IB − IA) + ( IC − IB ) + ( ID − IC ) + ( IA − ID ) + ( IC − IA ) + ( ID − IB ) = 5( IS + IA + IB + IC + ID ) − ( IS + IA + IB + IC + ID) 2 2 = IS − IA + IS − IB + IS − IC + IS − ID 2 2 D 24R2 2 2 2 5(IS2 + IA2 + IB2 + IC2 + ID2 ) = 25R2 Câu Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp hình cầu có bán kính Tính thể tích V khối chóp tích lớn A 144 B 144 C 576 D 576 Lời giải Chọn C HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 22 S I D A O C B Gọi ( S ) mặt cầu có tâm I bán kính R = Xét hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , cạnh a (0 a ) AC a a2 2 OI = IA − OA Ta có OA = = = 81 − 2 a2 2 a2 S ABCD Thể tích khối chóp V = a + 81 − Mặt khác ta lại có SO = SI + IO = + 81 − a2 = 3a + a 81 − Đặt t a = t , a nên t 162 Xét hàm số f (t ) = 3t + t 81 − , với 2 324 − 3t t 162 ta có f ( t ) = + ; t 12 81 − t 108 t 108 t t t = −9 Giải phương trình f (t ) = 81 − = t t 12 81 − = 12 − t = 144 t = 144 Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có Vmax = 576 t = 144 hay a = 12 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 23 Vậy thể tích lớn khối chóp nội tiếp hình cầu cầu có bán kính V = 576 Câu 7.Cho hình chóp S ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R Tìm giá trị lớn tổng: T = SA2 + SB2 + SC2 + SD2 + AB2 + BC2 +CD2 + DA2 + AC2 + BD2 A 24R2 B 12R2 C 20R2 Lời giải Chọn D Gọi I tâm mặt cầu IA = IB = IC = ID = IS = R Ta có: T = SA2 + SB2 + SC2 + SD2 + AB2 + BC2 +CD2 + DA2 + AC2 + BD2 D 25R2 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( IB − IA) + ( IC − IB ) + ( ID − IC ) + ( IA − ID ) + ( IC − IA ) + ( ID − IB ) = 5( IS + IA + IB + IC + ID ) − ( IS + IA + IB + IC + ID) 2 2 = IS − IA + IS − IB + IS − IC + IS − ID 2 2 2 2 2 5(IS2 + IA2 + IB2 + IC2 + ID2 ) = 25R2 Câu Cho mặt cầu ( S ) có bán kính R = (cm) Mặt phẳng ( P) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) có chu vi 8 ( cm) Bốn điểm A , B , C , D thay đổi cho A , B , C thuộc đường tròn (C ) , điểm D thuộc ( S ) ( D không thuộc đường tròn (C ) ) tam giác ABC tam giác Tính thể tích lớn tứ diện ABCD ( ) A 32 cm3 ( B 60 cm3 ) ( C 20 cm3 ) ( D 96 cm3 ) Lời giải Chọn A D I C A H M B Gọi I tâm mặt cầu ( S ) H hình chiếu I ( P) Khi H tâm đường trịn (C ) trọng tâm tam giác ABC Đường trịn (C ) có chu vi 8 ( cm) nên có bán kính r = IH = Và tam giác ABC nội tiếp đường trịn (C ) nên có cạnh có diện tích khơng đổi Do thể tích tứ diện ABCD lớn khoảng cách từ D đến ( ABC ) lớn H , I , D thẳng hàng Khi DH = Vậy Vmax = ( ) 1 DH S ABC = = 32 3 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 24 Câu Cho mặt cầu bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng bao nhiêu? A minV =16 B minV = C minV = D minV = Lời giải Chọn B Gọi cạnh đáy hình chóp a Ta có SIJ ~SMH SI IJ = MH ( SH − IH ) = IJ SH − HM SM MH MH ( SH − 1) = SH − HM ( a − 12) SH − 2a SH = 2a ( SH = a 12) a − 12 12 1 2a4 Ta có − S = SABC SH = = S 8 a a 48 a −12 − 12 a2 a4 HƯỚNG DẨN TỰ HỌC GIẢI TÍCH 12 TRANG 25