Tán xạ hạt dirac trên thế ngoài và hình thức luận hai thành phần

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGỒI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGỒI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN HÃN Hà Nội – 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS.TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, Tập thể cán Bộ mơn Vật lý lý thuyết, tồn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học q báu để em hồn thành Bản luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô Khoa Vật lý hướng dẫn, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập hồn thành Bản luận văn Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2015 Học viên Vũ Thị Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………………………… CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGỒI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH 1.1 Phương trình Klein – Gordon hạt trường gần phi tương đối tính……………………………………………………………………… 1.2 Phương trình Dirac hạt trường gần phi tương đối tính CHƢƠNG 2: BIỂU DIỄN GLAUBER CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ TRÊN THẾ NGOÀI NHẴN 2.1 Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ trường ngồi dựa vào phương trình Klein- Gordon 2.2 Biễu diễn Glauber cho biên độ tán xạ trường ngồi dựa vào phương trình Dirac 12 CHƢƠNG 3: TÁN XẠ TRÊN CÁC THẾ CỤ THỂ YKAWAVÀ THẾ GAUSS 18 3.1 Tán xạ Ykawa 18 3.2 Tán xạ Gauss 20 KẾT LUẬN……………………………………………………………………….……………………26 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 PHỤ LỤC A 28 PHỤ LỤC B 32 PHỤ LỤC C 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Biểu diễn eikonal (Glauber) cho biên độ tán xạ nhận học lượng tử [7], sử dụng rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm tán xạ hạt với lượng cao xung lượng truyền nhỏ Việc mở rộng cách tiếp cận ( gần eikonal) để thu biểu diễn tương tự cho học lượng tử tương đối tính hay lý thuyết trường lượng tử [11-15] thiết thời Một số cố gắng [8.9] việc nghiên cứu tán xạ lượng cao dựa vào phương trình chuẩn Logunov Tavkhelidze cho biên độ tán xạ lí thuyết trường lượng tử [10] Cách tiếp cận dựa giả thiết chuẩn nhẵn V ( E , r ) mô tả tương tác của hardon mức lượng cao hàm toạ độ tương đối tính hạt r Tán xạ xem trình chuẩn cổ điển q trình tán xạ góc nhỏ [8,9]và tán xạ góc lớn [5] Đặc biệt theo [8] có biểu diễn tích phân gần với biểu diễn Glauber biên độ tán xạ hạt tương đối tính tán xạ nuclei phép gần eikonal [8,9] có giá trị biên độ tán xạ hai hạt lượng cao khơng có spin với góc tán xạ nhỏ chuẩn nhẵn Để làm rõ vai trò quan trọng chuẩn nhẵn [19-24] Trong Luận văn giới thiệu phương pháp giải phương trình Schrodinger với chuẩn trường nhẵn, điều kiện Unita với đóng góp tán xạ khơng đàn hồi, tìm tiệm cận biên độ tán xạ đàn hồi mức lượng cao Sự phân tích bán tượng luận kết biên độ tán xạ ảnh hưởng phân cực tán xạ pion-nucleon cho ta kết phù hợp Thực nghiệm máy gia tốc RHIC – EPJC 28(2006)83-89 [26-29] đòi hỏi phải khái quát hóa phép gần eikonal cho tốn tán xạ lượng cao với hạt tán xạ với spin Bài tốn mơ tả hạt tán xạ có spin ½ thảo luận hình thức luận hai thành phần Lưu ý biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động tương đối tính trường Culomb tính [17] [18].Tuy nhiên phương pháp kể áp dụng cách tổng quát, chẳng hạn trường vô hướng trường giả vô hướng, cụ thể nghiên cứu tương tác hardon vùng lượng cao Phương pháp trình bầy luận văn tổng quát hơn, áp dụng cho ngồi tuỳ ý Lý xem xét hình thức luận hai thành phần gần phi tương đối tính hai thành phần cho hai trường hợp phương trình KleinGordon phương trình Dirac trường ngồi Mục đích Luận văn Thạc sỹ nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ nhẵn dựa sở phương trình tương đối tính cho hạt trường ngoai, cụ thể phương trình Klein- Gordon phương trình Dirac trường ngồi Cấu trúc Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục Chương Phương trình cho hat trường ngồi gần phi tương đối tính Chương dành cho việc thực gần phi tương đối tính cho phương trình tương đối tính Klein- Gordon Dirac cho tốn tán xạ hạt nhanh trường ngồi Việc tách phần không phụ thuộc vào thời gian khỏi phương trình tương đối tích, giúp ta tách đại lượng lượng E dạng tường minh.Khi lượng hạt lớn việc so sánh đại lượng khác toán dễ dàng gần phi tương đối tính hình thức luận hai thành phần.Trong mục 1.1 ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Klein – Gordon Một cách hoàn toàn tương tự ta thực việc gần phi tương đối tính cho phương trình Dirac mục 1.2 Chương Biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ nhẵn Với giả thiết trường hàm nhẵn rút biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt nhanh với góc tán xạ nhỏ Trong mục 2.1 ta xét toán tán xạ trường ngồi mà bao gồm hai số hạng: trường trường tương tác spin – quỹ đạo dựa vào phương trình Klein – Gordon Mục 2.2 dành cho việc xem xét toán tương tự Khác với tốn tán xạ hạt khơng có spin, biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ hạt có spin ½ , có xuất thêm thành phần mô tả phép quay spin trình tán xạ Chương Tán xạ cụ thể Yukawa Gauss Chương dành cho việc nghiên cứu biểu diễn Glauber cho biên độ tán xạ, thu chương , trường thể Yukawa Gauss tính tiết diện tán xạ vi phân cho tương ứng Trong mục 3.1 ta xét trường thể Yukawa, trường Gauss nghiên cứu mục 3.2 Phần kết luận hệ thống lại kết thu luận văn, thảo luận dự kiến nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử  c 1và metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn thực  A A0,A  gồm thành phần thời gian thành phần không gian, số   0,1, 2, 3 ,và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số A A ,A A , A1 , A2 , A3 def  A Các véctơ phản biến tọa độ: x    x  t , x1  x, x  y , x  z   t , x , Thì véctơ tọa độ hiệp biến : x  g  x   x0  t , x1  x, x2  y , x3  z    t , x   Véctơ xung lượng: p    E , p x , p y , p z   E , p Tích vơ hướng hai véc tơ xác định:    AB  g  A B  A B  A0 B  AB  Tensor metric có dạng: g (0.6) g  1    Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g   g hiệp biến xác định cách sau:  g  g  Thành phần véc tơ (0.7) A  g  A , A0  A0 , Ak Ak Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH CHO HẠT Ở TRƢỜNG NGỒI TRONG GẦN PHI TƢƠNG ĐỐI TÍNH Hầu hết việc đo hiệu ứng lượng tử tiến hành nhờ thiết bị cổ điển, nên đòi hỏi quan trọng thiết lập tương ứng kểt học cổ điển lượng tử Vấn đề giải dễ dàng lượng tử phi tương đối tính, ví dụ phương pháp WKB , song học lượng tử tương đối tính toán phức tạp So sánh kết học lượng tử tương đối tinh học cổ điển tốn vơ phức tạp Phương trình Dirac phương trình bậc dạng đạo hàm riêng, song khác cách với phương trình học cổ điển học lượng tử phi tương đối tính Ngay hạt chuyển động tự do, nảy sinh vấn đề xây dựng toán tử, mà chúng tương ứng với đại lượng học cổ điển quan sát Chính vậy, tốn thiết lập giới hạn cổ điển phương trình tương đối tính (Dirac, Klein- Gordon ,…) trường thời gian dài chưa có lời giải Nếu khơng kể việc sinh cặp hay hiệu ứng lượng tử khác, tình tán xạ lý thuyết trường lượng tử mơ tả học lương tử tương đối tính trạng thái hạt Sự mơ tả tương tác hạt với trường gần hạt, cách rút phương trình học lượng tử phương trình chuẩn cổ điển xác định động lực học xung lượng spin, vô quan trọng cho nhiều ứng dụng thực tế thực tế thí nghiệm cơng nghệ đại 1.1 Phƣơng trình Klein – Gordon hạt trƣờng gần phi tƣơng đối tính Tán xạ đàn hồi tán xạ mà trạng thái bên thành phần hạt va chạm không thay đổi Giai đoạn đầu cuối trình tán xạ chuyển động gặp tách hạt xa vô Khi chúng lại gần tương    k ; (kđộ lớn độ dài véc tơ sóng) nhỏ độ dài đặc trưng tốn cụ thể nghiên cứu , tính chất hệ gần với hệ cổ điển ta sử dụng phép gần chuẩn cổ điển, cụ thể sử dụng phép khai triển theo số Planck WKB (Wentzel-Kramers-Brilluin) –khi độ dài lượng tử hạt tác chúng ( ví dụ, hai hạt với hay hạt với tâm tán xạ) làm thay đổi trạng thái chúng sau Thơng thường để thuận tiện , thay cho toán phụ thuộc thời gian người ta khảo sát toán dừng tương đương Khi hạt xa tâm tán xạ khoảng cách lớn , chuyển động hạt chuyển động tự do, lượng dương khơng bị lượng tử hóa Như vậy, tốn tán xạ , có phổ liên tục Trong học lượng tử, toán tán xạ hạt có khối lượng phương trình Schrodinger dừng Lưu ý, V r  khác không miền hạn chế Tương tự với phương trình Schrodinger dừng, học lượng tử tương đối tính ta có cách mơ tả tương ứng Xuất phát từ phương trình Klein – Gordon cho hạt tự mà có dạng:  m r,t0 hay:   t2   m   r , t   (1.1) Khi có mặt trường ngồi khơng phụ thuộc vào thời gian U r  , tương tự phương trình Schrodinger học lượng tử ta có:      t  U r    m    r , t   (1.2) Biến đổi phương trình (1.2), ta thu được: t  2U  (1.3) Để tìm phương trình dừng tương ứng ta tìm nghiệm phương trình (1.3) dạng:   r , t   e  iEt r  Thay (1.4) vào (1.3), ta thu :   E  2iEU  U   m E  p  m2 , ta viết lại (1.5) sau: hay (  p ) p Phương trình (A.7) dạng tương ứng (A 6) biểu diễn tọa độ.Sự tồn tốn tử m2 2 làm cho phương trình (A.7) không định xứ Với điều kiện không kỳ dị , hay dáng điệu chuẩn V ( r ; E) hàm nhẵn, giới hạn lượng cao phương trình (A.7) có dạng định xứ hiệu dụng Thật , tìm nghiệm phương trình (A.7) dạng  p ( r )  eipzp ( r ) với p lượng cao (r) p  e  ipz (  p ) e ipz  2ip  z e  ipz kết hợp với (A.8) thay vào (A.7) ta nhận phương trình vi phân định xứ cho hàm số p ( r ) (với độ xác tới 1/p)  r  2ip z 30 Phương trình (A.10) trùng với phương trình tương ứng mà suy từ phương trình Klein - Gordon với hiệu dụng p V E, r  Kết nhận biểu diễn eikonal /8,9/ T (  ; E ) i    p  k vậy, khơng cần thiết phải xem biểu diễn eikonal hay Glauber cho biên độ tán xạ nguyên lý động lực học (ví dụ Arnold R.C Phys Rev 153, (1967) 1523 ) Nó hệ giả thiết đặc trưng không kỳ dị tương tác hadron vùng lượng cao 31 PHụ LụC B Biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac Xét phương trình Dirac với V ( r) (c  p   mc  E) ( r) V(r) (r) Nhân trái (B.1) với (  c  p  mc2  E) nhận phương trình tồn phương Dirac (E  m2 c  c 2 2 ) (r)  (c p   mc2  E) V(r) (r) (B.2) Đưa vào ký hiệu k2  Bây phương trình (B.2) có dạng Nhờ phương trình phương trinh vi phân thành phương trình tích phân U (k) nghiệm phương trình Dirac (c  k  mc2 ) U(k)  EU(k), Hàm sóng  (r) theo phương trình (B.4) có tiệm cận sau r  : Từ suy biên độ tán xạ trường hợp xác định biểu thức f    Biên độ (B.5) phải nhân f   cần phải tính spinơ U  (k') thỏa mãn phương trình Eikonal (r) Thay (B.7) vào (B.3) nhận phương trình xác cho  Tương từ trừơng hợp phương trình Schrodinger, giả thiết (r) nhẵn tọa độ, vậytrong (B.8) ta bỏ số hang i(r) ((r))2 : Khi tán xạ lượng cao vế trái (B.9) bỏ qua thành phần  so với 2 k  Tiếp theo lưu ý công thức (B.7)  tác dụng lên spinơ Dirac U (k) má thỏa mãn phương trình (B.4a) Chính biểu thức ( k  ) vế phải (B.9) thay ò Kết cuối cùng, (r) ta thu phương trình sau 2k  (r)  2òv(r) Trong hệ tọa độ , trục z hướng theo k , phương trình có dạng (B.10) Nghiệm phương trình (B.10) thỏa mãn điều kiện biên (x, y, z )  biểu thức (r)  Thay (B.11) (B.7) vào (B.6), ta thu 33 M U  (k') U(k) Nếu góc tán xạ nhỏ, cho thay đổi xung lượng k ' k vng góc với trục z, tích phấn theo dz (B.12) thực Kết yếu tố ma trận cho phép dời chuyển nhận dang eikonal: M  U  (k') U(k) Pha eikonal (B.13) thực tế trùng với pha phi tương đối tính (3.8) vùng lượng vận tốc hạt bị tán xạ v gần tốc độ ánh sáng c, cho đặt E ~ c k Sự khác công thức (B.13) với biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ phi tương đối tính tích spinơ U  (k') U(k) Thừa số gần eikonal tính đến hiệu ứng spin tương đối tính Trong trường hợp tán xạ hat spinơ không phân cực tiết diện tán xạ vi phân tìm biểu thức d  d   d   dHep 34 PHỤ LỤC C PHƢƠNG TRÌNH DIRAC  Phương trình Dirac: Là phương trình cho hạt tự chuyển động tương đối tính có spin 1/2 Nghiệm tổng quát phương trinh có dạng: ur (p ), vr (p) spinor kép sở mà thỏa mãn phương trình: Ta sử dụng chuẩn hóa: Các hệ số cr (p ), dr (p) (4.B) xác định nhờ điều kiện biên Phương trình (4.A) viết lại dạng sau: đây: Được gọi Hamiltonian Dirac  Với phép biến đổi Lorentz 35 Spinor Dirac  ( x) biến đổi theo: S ( ) Là ma trận biến đổi Lorentz biểu diễn Spinor, thỏa mãn phương trình:  Phương trình cho hạt electron điện tích –e trường điện từ có dạng:  Với phép chẵn lẻ, spiinor thay đổi theo:  Phép đảo thời gian toán tử phản unita: Ma trận T thỏa mãn: Nghiệm điều kiện là: Trong biểu diễn Dirac ma trận gamma Dễ dàng nhận thấy rằng:  Với phép liên hợp điện tích, spinor ( x) thay đổi theo: 36 Ma trận C thỏa mãn hệ thức: Trong biểu diễn Dirac, ma trận C có dạng: Phƣơng trình Dirac cho hạt tự sóng phẳng     Là nghiệm riêng phương trình Dirac (i      m) ( x)  Chuyển sang dạng phương trình Schrodinger ta có:  (i      m) ( x)  Bằng cách thay (4.1) vào (4.2) thu Em   eip σ.p Ở E p lượng xung lượng hạt Nghiệm không tầm thường hệ đồng (4.3) tồn định thức không Từ đưa mối quan hệ lượng xung lượng: E  p2  m Ep , theo thu nghiêm dương nghiệm âm lượng mong đợi Đối với nghiệm lượng dương, E = Ep, theo (4.3) biểu diễn sau: (E p  m) (σ.p ) 0, (σ.p ) ( E p Mối liên hệ có nghĩa 37 σ  E Hoặc u ( Ep Với hàm tùy ý Đối với nghiệm lượng âm, E = -Ep , (4.3) biểu diễn  u(Ep  Nếu kí hiệu v(p) = u(-Ep,-p) u(p) = u(Ep,p), nghiệm độc lập tuyến tính phương trình 4.2 với p cố định :  p = (Ep,p) Chú ý thay đổi dấu nghiệm lượng âm Năng lượng -ip.x ip.x xung lượng phương trình u(p)e Ep p, với v(p)e , chúng –Ep –p để tìm bậc tự bổ sung, nhớ lại toán tử helicity p , với p  | p | , giao hốn với Hamilton – Dirac Từ phương trình đặc trưng σ.p, 1 (và tương tự cho  r , r 1, ) Nếu đặt p = pez, vecto sở trở thành 1     0 , 0    38 Vì vậy, bispinor sở là: Với Np Ep  2m p.σ  p 3 Trong trường hợp này, bispinor (4.10) có dạng helicity sở Cho xung lượng p tùy ý, muốn xây dựng helicity cở sở thay sử dụng cơng thức(4.8) sử dụng (4.9) Mặc dù, trường hợp vecto sở helicity u v spinor chuẩn hóa theo (4.D) Nghiệm tổng quát (4.2) đưa phương trình:  (2) Spinor (bispinor) Dirac  chứa spinor SL(2,C), điều thật dễ nhận thấy biểu diễn bất khả quy Spinor Dirac biến đổi theo: Biểu diễn tối giản nhóm Lorentz 39 ... eikonal cho toán tán xạ lượng cao với hạt tán xạ với spin Bài tốn mơ tả hạt tán xạ có spin ½ thảo luận hình thức luận hai thành phần Lưu ý biểu diễn eikonal biên độ tán xạ hạt Dirac chuyển động... HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ HIỀN TÁN XẠ HẠT DIRAC TRÊN THẾ NGỒI VÀ HÌNH THỨC LUẬN HAI THÀNH PHẦN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn... trường ngồi dựa vào phương trình Dirac 12 CHƢƠNG 3: TÁN XẠ TRÊN CÁC THẾ CỤ THỂ YKAWAVÀ THẾ GAUSS 18 3.1 Tán xạ Ykawa 18 3.2 Tán xạ Gauss 20 KẾT LUẬN……………………………………………………………………….……………………26