Tán xạ hai hạt trong điện đông lực học lượng tử trong gần đúng một vòng

Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – 2014 Luận văn thạc sĩ LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hồn thành luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô khoa vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Đỗ Đức Thành Luận văn thạc sĩ MỤC LỤC Mục lục…………………………………………….…………………………02 Danh mục hình vẽ…………………… ………… …………………………03 Mở đầu……………………… …………….…………….……………… 04 Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…… .……………….…07 1.1 Các biến Mandelstam……………………… ……… ….…… 07 1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….……… ………………10 1.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm………… ………………15 1.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phịng thí nghiệm………………….16 Chương 2: Tán xạ electron-electron … ……………….……………… …18 2.1 Tán xạ electron-electron…………………………………………18 2.1.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm………………….……… 22 2.1.2 Tiết diện tán xạ hệ phòng thí nghiệm…………………23 2.2 Tán xạ electron-positron …………… ……………………… 25 2.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm……………………….… 28 2.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phịng thí nghiệm.……… .……30 Chương 3: Bổ vịng cho tán xạ electron-electron ……………… 33 3.1 Giản đồ Feynman ………………….…… … 32 3.2 Tiết diện tán xạ tính đến bổ vịng 34 3.3 Thế tính đến bổ vịng…………… …… 37 Kết luận…………………………………………………………… ……… 43 Tài liệu tham khảo……………………………………….……….……… 45 Phụ lục A Metric giả Euclide………………………………….…………… 46 Phụ lục B Các toán tử chiếu …………………………… ….…… ……….50 Phụ lục C Tái chuẩn hóa……………… …………………………… …….56 C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ………………………… ……57 Luận văn thạc sĩ C.2 Năng lượng riêng photon …………………………… .…….62 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Các biến Mandelstam ……………………………………………………05 Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt ………………………………… … ……08 Hình 2.1 Tán xạ electron-electron 16 Hình 2.2 Tán xạ electron-positron 23 Hình 3.1 Giản đồ Feynman 30 Hình 3.2: Bổ vịng tán xạ electron-electron………………… …31 Hình 3.3 Bổ vịng cho hai hạt … ……………………… 39 Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân khơng……………………………………………53 Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron …………… ………………………….57 Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon ……….………………………….58 Luận văn thạc sĩ MỞ ĐẦU Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích hạt lý thuyết tái chuẩn hóa, chứng minh vào kỷ 20 [1], [3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho trình vật lý cụ thể nghiên cứu liên tục phát triển tính đến cấu trúc bên hạt ta lại gặp tốn tương tự tương tác hạt bên với Trong tự nhiên tồn bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh tương tác hấp dẫn, cơng cụ tính tốn định lượng tương tác điện từ-QED thường vận dụng để mơ xây dựng cơng cụ tính toán tương tự cho dạng tương tác khác, hay tổ hợp dạng tương tác kể dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa tham số vật lý tùy mơ hình Việc nghiên cứu trình vật lý cụ thể bổ vịng QED cần thiết quan trọng, [8], [11] Mục đích luận văn thạc sĩ khoa học vật lý dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( → ) tính đến bổ vịng đường trong QED Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Tiết diện tán xạ hai hạt Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt biến số Mandelstam công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua biến Mục $1.2 dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể hệ khối tâm hệ phịng thí nghiệm Chƣơng 2: Tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với trình tán xạ electronelectron bậc thấp (gần Born) của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho q trình tán xạ electronelectron hệ khối tâm hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự Luận văn thạc sĩ trình tán xạ electron–electron, có thay đổi electron thay positron Kết ta thu tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ electron-positron So sánh kết tiết diện tán xạ vi phân hai trình tán xạ kể ta nhận thấy hai kết giống khác dấu, có nghĩa ta chuyển từ kết thành kết cách chuyển đổi dấu chúng Chƣơng 3: Bổ vịng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1 giới thiệu giản đồ Feynman cho trình tán xạ electron-electron gần bậc theo số tương tác điện từ So với gản đồ Feynman xét chương trước, số lượng giản đồ tăng lên việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa hạt, giản đồ phân cực chân không (chân không vật lý trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi hạt (giản đồ c), giản đồ lại liên quan đến tương tác electron với chân không vật lý trường điện từ Trong luận văn xét giản đồ (b) giản đồ (c) bỏ giản đồ Feynman lại Giản đồ (a) khơng cho đóng góp vào tương tác hai electron, giản đồ gắn với đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng electron, khơng cho đóng góp vào tương tác hai electron Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết thu tiết diện tán xạ vi phân (3.6) Nghiên cứu tương tác tương ứng hai electron tính bổ vòng giới thiệu mục $3.3 Kết luận dành cho việc liệt kê kết thu luận văn phương hướng nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c =1 metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn A=(A0 thực số µ = (0,1, 2, 3) , theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4-chiều ký hiệu thành phần với số ( A= A0 (0.1) Luận văn thạc sĩ Các véctơ phản biến tọa độ: x µ = ( x = t , x1 = x, x = y , x = z ) = (t , x Các véctơ tọa độ hiệp biến: xµ = g xν = ( x0 = t , x1 = − x , x2 = − y , x3 = − z ) = ( t , −x µν Véctơ xung lượng: p µ = ( E , p x , p y , p z ) = (E , p) Tích vơ hướng hai véc tơ xác định cơng thức: AB = g A µ Bν = A B µ = A0 B µν µ Tensor metric có dạng: 1  g µν = − g µν =     (0.6 ) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g µν = gνµ gνµ = g µν Thành phần véc tơ hiệp biến xác định công thức sau: Aµ = g µν Aν , A0 = A0 , Ak = −Ak (0.7) Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Luận văn thạc sĩ CHƢƠNG 1: TIẾT DIỆN TÁN XẠ Chương dành cho việc dẫn công thức tán xạ hai hạt [8] Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố S-matrận tán xạ, đại lượng phức Trước tiên ta xem xét trình p1 + p2 → p3 + p4 , mà ta gọi tán xạ → Tính tốn mang tính bất biến (biểu diễn qua biến bất biến- u, s, t biến số Mandelstam) trình tán xạ → toán động học sở vật lý hạt Trong chương ta xem xét đại lượng bất biến cho q trình tán xạ hai hạt vơ hướng → , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân cho trình qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán vi phân hai hệ phịng thí nghiệm hệ khối tâm Việc tổng qt hóa cho q trình mà có spin khơng vấn đề khó khăn 1.1 Các biến Mandelstam Chúng ta sử dụng cho trình tán xạ hai hạt với hai hạt Mọi công thức trở nên đơn giản ta biểu diễn xung lượng hạt theo tập hợp biến gọi biến Mandelstam Các biến Mandelstam định nghĩa sau: s = ( p1 + p2 )2 = ( p3 + p4 )2 , t = ( p1 − p3 )2 = ( p2 − p4 )2 , u = ( p1 − p4 )2 = ( p2 − p3 )2 , p1 p2 xung lượng chiều hạt vào p ,p4 xung lượng chiều hạt Vì vậy, s hiểu bình phương khối lượng trung tâm ( bất biến khối lượng ) t hiểu bình phương momen xung lượng chuyển đổi Trong giản đồ Feynman tán xạ → 2, s, t, u sử dụng dạng kênh s, kênh t kênh u Luận văn thạc sĩ = e (−ie0 M (2)fi = ( −ie0 u1'γ µ u1 = ( −ie0 u1'γ µ u1 ( µ ) ( ) ( ν  −ie0 u1'γ u1  Z + Π R ( q ) iDF(0) ( q ) −ie0 u2'γ u2 ) Trong ta đặt e2 =1 − Z 3π ln Đây phần phân kỳ ta tách u1'γ µ u1 ) M (2)fi = ( −ie0  =  −i Công thức giống với dạng công thức ứng với q trình tán xạ khơng có vịng đặt eR = e0 Z3 ,tức M (2) fi =  −ie  (C.19) Hay nói cách khác xung lượng hạt nhỏ phần phân kỳ gộp vào điện tích hạt Trong trường hợp xung lượng lớn ta khơng thể bỏ qua phần ΠR ( q2 ) Phần có đóng góp đáng kể vào biểu thức tiết diện tán xạ vi phân biểu thức tương tác hai hạt Kết luận : Bằng cách tái chuẩn hóa lại điện tích electron, ta giải đƣợc phần phân kỳ sinh giản đồ vịng xung lƣợng nhỏ Ta biểu diễn kết luận hình vẽ sau: 63 Luận văn thạc sĩ e0 e0 eR + e0 e0 = eR Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron : e0 điên tích electron chưa tái chuẩn hóa eR điện tích electron sau tái chuẩn hóa C.2 Năng lƣợng riêng photon Một phần đồ thị Feynman gọi phần lượng riêng trường vơ hướng trường spinor bao gồm đường nối với phần khác đồ thị nhờ hai đường boson ferrmion Khi photon tương tác với trường electron-positron thi cặp hạt phản hạt electron-positron sinh ra, sau chúng lại tự hủy tạo photon Q trình mơ ta giản đồ lượng riêng photon sau: e p k k p+ k v e Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon Đỉnh tương tác V (γ Hàm truyền electron (positron) G: i(p + me ) p − m2 e 64 Luận văn thạc sĩ Áp dụng quy tắc Feynman ta được: F =∫d + + n i ( p k me ) + − p ( −ieR γ µ ) ( −ieR γν ) ( p k )2 me2 Đặt I = γ µ ( p + k + me )γν ( p + me ) e e (C.20) = γ µ pγ ν p + γ µ kγ ν p + γ µ meγ ν p + γ µ pγ ν me ρ σ ρ σ ( p p + k p )Tr (γ µ γ ρ γ ν γ σ ) + meTr(γ µ γν ) ( p ρ pσ + k ρ pσ ) n ( g µρ gνσ − g µν g ρσ + g µσ gνρ ) + me2ngµν Thay vào cơng thức ta được: F = e 2n d n p R ∫ (C.21) Sử dụng công thức hàm hai điểm: B0 ( k , me , me ) = Bµ ( k , me , me ) = Bµν ( k , me , me ) = (C.22) Bµ ( k , me , me ) = k µ B1 ( k , me , me ) Bµν ( k , me , me ) = k µ kν B21 ( k , me , me ) +δµν B22 ( k , me , me ) p2 B21 ( k , me , me ) + nB22 ( k , me , me ) = A( me ) = me2 B0 ( k , me , me ) Ta tính công thức: F = 4e B ( k , m , m ) + k B ( k , m , m ) + B R   µν e e µ ν e νµ e (k,m,m) e e kν Bµ ( k , me , me ) + me2 g µν + B0 ( k , me , me ) − g µν A0 ( me ) +m2B(k,m,m)−g e 0ee  eR {k µ kν [2 B21 ( k , me , me ) + B1 ( k , me , me ) ]−δµν B22 ( k , me , me )  k B ( k , m , m ) + A( m ) + m2 B ( k −g µν  65 Luận văn thạc sĩ Ta đặt: A = 8eR [B21 ( k , me , me ) + B1 ( k , me , me )] B = −4e R C = 4eR B22 ( k , me , me ) Giờ ta tính hệ số A, B, C sử dụng công thức sau : 2π ∆= A (mR ) = ime2 ∆ + iπ me2 ln (me2 n−4 B0 ( k , me , me ) = −i ∆ − iπ B(k,m,m)=− e  1 2 i ∆ − iπ + iπ + iπ ln (me ) B (k,m,m)=− 21ee − 13 2 3 i ∆ + 18 iπ − 3 iπ − iπ ln (me ) B (k,m,m)=− 22ee = 12 i ∆me2 − 17 2 2 2 18 iπ me + iπ me + 12 iπ me ln (me ) Ta được: A = 8eR B = −4eR (C.23) (C.24) (C.25) ... sin Pdir tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh t Pex tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh u P int tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với hai kênh t kênh u Các... văn thạc sĩ Pdir tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh t Pex tiết diện tán xạ trình tán xạ hai hạt ứng với kênh u P tiết diện tán xạ trinh tán xạ hai hạt ứng với kênh t kênh u int...Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG Chuyên ngành: Vật lý