TÁN xạ HAI hạt TRONG điện ĐỘNG lực học LƯỢNG tử TRONG gần ĐÚNG một VÒNG

Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 Luận văn thạc sĩ ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Đỗ Đức Thành TÁN XẠ HAI HẠT TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ TRONG GẦN ĐÚNG MỘT VÒNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60.44.01.03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – 2014 Luận văn thạc sĩ LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn, người trực tiếp bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn thạc sĩ khoa học Em gửi lời cảm ơn chân thành tới tất Thầy Cô, tập thể cán Bộ môn Vật lý lý thuyết, toàn thể người thân, bạn bè giúp đỡ, dạy bảo, động viên, trực tiếp đóng góp, trao đổi ý kiến khoa học quý báu để em hoàn thành luận văn Qua đây, em chân thành gửi lời cảm ơn tới Thầy Cô khoa vật lý dạy bảo tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Đỗ Đức Thành Luận văn thạc sĩ MỤC LỤC Mục lục…………………………………………….…………………………02 Danh mục hình vẽ…………………… ………… …………………………03 Mở đầu……………………… …………….…………….……………… 04 Chương 1: Tiết diện tán xạ…….…… ……………….…07 1.1 Các biến Mandelstam……………………… ……… ….…… 07 1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt…….……… ………………10 1.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm………… ………………15 1.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phòng thí nghiệm………………….16 Chương 2: Tán xạ electron-electron … ……………….……………… …18 2.1 Tán xạ electron-electron…………………………………………18 2.1.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm………………….……… 22 2.1.2 Tiết diện tán xạ hệ phòng thí nghiệm…………………23 2.2 Tán xạ electron- ositron …………… ……………………… 25 2.2.1 Tiết diện tán xạ hệ khối tâm……………………….… 28 2.2.2 Tiết diện tán xạ hệ phòng thí nghiệm.……… ……30 Chương 3: Bổ vòng cho tán xạ electron-electron ……………… 33 3.1 Giản đồ Feynman ………………….…… … 32 3.2 Tiết diện tán xạ tính đến bổ vòng 3.3 Thế tính đến bổ vòng…………… …… 37 Kết luận…………………………………………………………… ……… 43 Tài liệu tham khảo……………………………………….……….……… 45 Phụ lục A Metric giả Euclide………………………………….…………… 46 Phụ lục B Các toán tử chiếu ………………………… ….…… ……… 50 Phụ lục C Tái chuẩn hóa……………… …………………………… …….56 C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron ………………………… ……57 Luận văn thạc sĩ C.2 Năng lượng riêng photon …………………………… …….62 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1.1 Các biến Mandelstam ……………………………………………………05 Hình 1.2 Tán xạ hai hạt thành hai hạt ………………………………… … ……08 Hình 2.1 Tán xạ electron-electron 16 Hình 2.2 Tán xạ electron-positron 23 Hình 3.1 Giản đồ Feynman 30 Hình 3.2: Bổ vòng tán xạ electron-electron………………… …31 Hình 3.3 Bổ vòng cho hai hạt ….……………………… 39 Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không……………………………………………53 Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron …………… ………………………….57 Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon ……….………………………….58 Luận văn thạc sĩ MỞ ĐẦU Điện động lực học lượng tử (QED) dựa vào việc tái chuẩn hóa khối lượng điện tích hạt lý thuyết tái chuẩn hóa, chứng minh vào kỷ 20 [1], [3], [6], [8], [10], [11], song việc tái chuẩn hóa cho trình vật lý cụ thể nghiên cứu liên tục phát triển tính đến cấu trúc bên hạt ta lại gặp toán tương tự tương tác hạt bên với Trong tự nhiên tồn bốn loại tương tác: tương tác điện từ, tương tác yếu, tương tác mạnh tương tác hấp dẫn, công cụ tính toán định lượng tương tác điện từ-QED thường vận dụng để mô xây dựng công cụ tính toán tương tự cho dạng tương tác khác, hay tổ hợp dạng tương tác kể dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với việc tái chuẩn hóa tham số vật lý tùy mô hình Việc nghiên cứu trình vật lý cụ thể bổ vòng QED cần thiết quan trọng, [8], [11] Mục đích luận văn thạc sĩ khoa học vật lý dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ hai hạt thành hai hạt ( → ) tính đến bổ vòng đường trong QED Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, phụ lục tài liệu tham khảo Chƣơng 1: Tiết diện tán xạ hai hạt Trong mục $1.1 giới thiệu vắn tắt biến số Mandelstam công thức cho biên độ tán xạ vi phân qua biến Mục $1.2 dành cho việc xây dựng công thức tiết diện tán xạ vi phân kể hệ khối tâm hệ phòng thí nghiệm Chƣơng 2: Tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với trình tán xạ electronelectron bậc thấp (gần Born) của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Dựa vào yếu tố ma trận, ta tính tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ electron-electron hệ khối tâm hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự Luận văn thạc sĩ trình tán xạ electron–electron, có thay đổi electron thay positron Kết ta thu tiết diện tán xạ vi phân cho trình tán xạ electron-positron So sánh kết tiết diện tán xạ vi phân hai trình tán xạ kể ta nhận thấy hai kết giống khác dấu, có nghĩa ta chuyển từ kết thành kết cách chuyển đổi dấu chúng Chƣơng 3: Bổ vòng cho tán xạ electron-electron.Trong mục $3.1 giới thiệu giản đồ Feynman cho trình tán xạ electron-electron gần bậc theo số tương tác điện từ So với gản đồ Feynman xét chương trước, số lượng giản đồ tăng lên việc trao đổi hai photon (giản đồ d) gữa hạt, giản đồ phân cực chân không (chân không vật lý trường electron-positron) gắn với photon ảo trao đổi hạt (giản đồ c), giản đồ lại liên quan đến tương tác electron với chân không vật lý trường điện từ Trong luận văn xét giản đồ (b) giản đồ (c) bỏ giản đồ Feynman lại Giản đồ (a) không cho đóng góp vào tương tác hai electron, giản đồ gắn với đường electron liên quan đến việc tái chuẩn hóa khối lượng electron, không cho đóng góp vào tương tác hai electron Mục $3.2 dành cho việc tính tiết diện tán xạ electron-electron , kết thu tiết diện tán xạ vi phân (3.6) Nghiên cứu tương tác tương ứng hai electron tính bổ vòng giới thiệu mục $3.3 Kết luận dành cho việc liệt kê kết thu luận văn phương hướng nghiên cứu Trong luận văn này, sử dụng hệ đơn vị nguyên tử = c = metric giả Euclide (metric Feynman) tất bốn thành phần véctơ 4-chiều ta chọn ρ thực A A0 , A gồm thành phần thời gian thành phần không gian,   số µ = (0,1, 2,3) , theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ 4chiều ký hiệu thành phần với số  def = Aµ A = A0 , A = A(0 , )A1, A2 , A3 ( ) (0.1) Luận văn thạc sĩ Các véctơ phản biến tọa độ:  xµ = x( = t,) x1 = x, x2 = y, x3 = z = (t, x ) , (0.2) Các véctơ tọa độ hiệp biến:  ρ x y,t,x x  x g x x0 1 t, xx, 3z  (0.3) Véctơ xung lượng:  pµ = ( E, px , py , pz ) = ( E, p) (0.4) Tích vô hướng hai véc tơ xác định công thức: ρρ   AB g A B A B A B0 AB (0.5) Tensor metric có dạng: 10 0  −1 0   gµν = −g µν =   0 −1    −1 00 (0.6) Chú ý, tensor metric tensor đối xứng g µν = gνµ gνµ = g µν Thành phần véc tơ hiệp biến xác định công thức sau: µν Aµ = g Aν , A0 = A0 , Ak = − Ak (0.7) Các số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ đến Luận văn thạc sĩ CHƢƠNG 1: TIẾT DIỆN TÁN XẠ Chương dành cho việc dẫn công thức tán xạ hai hạt [8] Biên độ tán xạ, mà tỷ lệ với yếu tố S-matrận tán xạ, đại lượng phức Trước tiên ta xem xét trình p1 + p2 → p3 + p4 , mà ta gọi tán xạ → Tính toán mang tính bất biến (biểu diễn qua biến bất biến- u, s, t biến số Mandelstam) trình tán xạ → toán động học sở vật lý hạt Trong chương ta xem xét đại lượng bất biến cho trình tán xạ hai hạt vô hướng → , tìm biểu thức giải tích tổng quát cho tiết diện tán xạ vi phân cho trình qua biên độ tán xạ Viết biểu thức tiết diện tán vi phân hai hệ phòng thí nghiệm hệ khối tâm Việc tổng quát hóa cho trình mà có spin không vấn đề khó khăn 1.1 Các biến Mandelstam Chúng ta sử dụng cho trình tán xạ hai hạt với hai hạt Mọi công thức trở nên đơn giản ta biểu diễn xung lượng hạt theo tập hợp biến gọi biến Mandelstam Các biến Mandelstam định nghĩa sau: s = ( p1 + p2 ) = ( p3 + p4 ) , 2 t = ( p1 − p3 ) = ( p2 − p4 ) , u = ( p1 − p4 ) = ( p2 − p3 ) , (1.1) 2 p1 p2 xung lượng chiều hạt vào p3 ,p4 xung lượng chiều hạt Vì vậy, s hiểu bình phương khối lượng trung tâm ( bất biến khối lượng ) t hiểu bình phương momen xung lượng chuyển đổi Trong giản đồ Feynman tán xạ → 2, s, t, u sử dụng dạng kênh s, kênh t kênh u (1.2) (1.3) Luận văn thạc sĩ p1 p t s p u p Hình 1.1 Các biến Mandelstam p1 + p2 = p3 + p4 kênh s, p1 − p3 = p4 − p2 kênh t, p1 − p4 = p3 − p2 kênh u, (Các kênh mô tả tán xạ 1+2→3+4, khác cách trao đổi xung lượng) Các kênh miêu tả giản đồ Feynman khác trình tán xạ khác tương tác trao đổi lượng tử-các hạt chúng, bình phương xung lượng bốn chiều kể biểu thức s, t, u tách theo thứ tự định sẵn Ví dụ: kênh s tương ứng với trình hai hạt 1, tương tác kết hợp thành hạt truyền tương tác trung gian, cuối sinh hai hạt 4, kênh s cách xuất cộng hưởng hạt với điều kiện thời gian sống đủ dài để ta đo trực tiếp Kênh t trình bày trình hạt phát hạt tương tác cuối trở thành hạt 3, hạt hấp thụ hạt tương tác trở thành hạt Kênh u kênh t với việc đổi vị trí hạt 3, Các biến Mandelstam lần đưa vào nhà vật lý Stanley Mandelstam vào năm 1938 Trong giới hạn lượng cao tương đối tính, khối lượng nghỉ bỏ qua , ta có: s = ( p1 + p2 ) = p1 + p2 + p1 p2 ≈ p1 p2 2 Bởivì:p1=m12vàp2=m2 Vìvậytacóthểviết: s p1 p2 ≈ p3 p4 t −2 p1 p3 ≈ −2 p4 p2 u −2 p1 p4 ≈ −2 p3 p2 10 (1.4) Trong Q P toán tử (tích ma trận Dirac) f g spinơ,còn tổng theo s lấy theo trạng thái W với lượng dương Trong trường hợp trạng thái với lượng âm tính hoàn toàn cách tương tự ∑ε Bây ta tìm toán tử chiếu hiệp biến ,mà phép chúng vào vế phải (B.9)cho phép mở rộng phép lấy tổng theo tất trạng thái W(p) thay cho trạng ∑ε thái, sau biểu thức nhận được đơn giản nhờ công thức (B.7) Chúng ta muốn toán tử chiếu cần thiết tác dụng lên spinơ W làm không đổi W trạng thái với lượng dương, cho không W trạng thái với lượng âm Nếu quan tâm trạng thái hạt với lượng âm cách hoàn toàn tuơng tự có sthể xácPg) định Ω chúng = ∑ (tafQW ) (W = toán tử chiếu dạng với lượng âm Toán tử xây dựng ta biết phương trình 4  = ∑ có ∑dạng ( fα αβQ: βW ) ρ ρσ∑σ W P g Dirac cho spinơ chúng ( pˆ − im) u ( p) p = → ( pˆ − im)W n ( p) = 0, n =1,  im u   p    p  imW n ( p)  0, n  3, 53 (B.9) Luận văn thạc sĩ Các phương trình (B.9 B.10) xác định toán tử chiếu trạng thái hạt với lượng chiều p dạng : pˆ + im im Λ ( p) = (B.10) Λ( p)W n ( p) = W n ( p) hay Λ( p) u( p) = u( p) (B.11) ( n = 1, 2) Λ( p)W n ( p) = O( p) hay Λ( p) u(− p) = (B.12) ( n = 3, 4) Và  p  im  p2  2im p  m p  im  ( p)      ( p) im  4m2   (B.13) 2 im Vì hạt tự p2 = -m2 Chú y hệ thức (B.7),(B.8) (B.13),chúng ta có : pˆ + im = ∑W n ( p)W n ( p) = im n=1 Λ( p) = = ∑u ( p)u ( p) r (B.14) r r =1 Thật vậy,nhân vào phía phải phương trình (B.16) với w ( p)ε n lấy tổngn theo n=1,2 ta có : Λ( p) ∑W n n=1 ( p)W n ( p) ε n = n=1 ∑W n ( p)W n ( p) ε n (B.15) Từ phương trình Λ( p)w ( np) = ;n=3,4 ta có: Λ( p) ∑W n n=3 (B.16) ( p)W n ( p) ε n = Cộng vế (B.17) (B.18) ta nhận được: Λ( p) ∑ε W n n=1 n ( p)W ∑ε nn (Wp)n (=p)W n ( p) n=1 Chú y (B.7) ta nhận : 54 (B.17) Luận văn thạc sĩ Λ( p) = ∑W n (B.18) ( p)W n ( p) n=1 Đó điều phải chứng minh.Ở Λ( p)ε n có tính chất toán tử Λ( p) trạng thái với lượng âm ε n = −1 tác dụng toán tử Λ( p) lên spinơ Wn cho không.Điều cho phép ta viết biểu thức (A.8) dạng : Ω= ∑( fQW )(W Pg ) Ω= s s s=1 ∑( fQΛ( p) ε W )(W Pg ) = {( A.6)} = (B.19) s s s (B.20) s=1 = ( f Q Λ( p) Pg ) Như đạt mục đích đặt tính tổng theo tất trạng thái trung gian tất hạt Nếu quan tâm trạng thái hạt với lượng âm cách yytương tự xác định toán tử chiếu dạng : Λ(− p) = − p + im 2im (B.21) Nó có tính chất sau : Λ(− p)W n ( p) =W n ( p); hay Λ(− p)u(− p) = u( p) (n = 3, 4) Λ(− p)W n ( p) = hay Λ(− p)u(− p) = (n =1, 2) Và 55 (B.22) Luận văn thạc sĩ [Λ(− p)]2 = Λ(− p) = − ∑W n n=3 ( p)W n ( p) = (B.23) = (−p) ∑ u (− p)u r r r =−1 Chú y tổng Λ( p) Λ(− p) ma trận đơn vị : Λ( p) + Λ(− p) = I (B.24) Và tích Λ( p) Λ(− p) = Λ(− p) Λ( p) = (B.25) Xác suất trình tỉ lệ với bình phương biên độ |M|2 với (B.26) M fi = u f Q ui = W f QWi Trong spinơ u f ui tương ứng với đường ra, vào giản đồ, Q ma trận tác dụng lên biến spin ( )( WQ Wi | M fi |2 = M fi Ffi = W* = f ( W) ( WQ WiQ W f ) f f Q Wi ) * = (B.27) i Trong Q = γ 4Q+γ (B.28) Trong nhiều trường hợp ta không quan tâm đến trạng thái spin cuối hạt.Lúc ta cần phải lấy tổng theo hai trạng thái spin cuối Theo phương pháp trình bày phép lấy tổng thực sau thay vào toán tử chiếu thích hợp Giả sử trạng thái đầu cuối mô tả spinơ W i = u(p) Wf(p) =u(p) tương ứng với trạng thái lượng dương Lúc cách lấy tổng theo trạng thái spin cuối ta có : Tổng |M|2 theo trạng thái spin cuối 56 Luận văn thạc sĩ = ∑(W Q W )(W i fs s=1 = ∑(W s=1 i fs Q Wi ) = s s Q fΛ( f i )p= ') ε s W W QW (B.29) =Wi Q Λ( p ') QWi Nếu trạng thái đầu không phân cực ta phải lấy trung bình theo trạng thái spin đầu Giá trị trung bình M theo trạng thái spin đầu tổng theo trạng thái spin cuối : 12 s ∑Wi Q Λ(i sp=')W s=1 14 s = ∑ ∑ (Wi )α (Q Λ ( p ') Q Λ( p)) (Wi s )β ε s s=1 α ,β =1 αβ = = = 14 ∑ (Q Λ ( p ') Q Λ( p)) δ α ,β =1 αβ αβ Sp (Q Λ ( p ') Q Λ( p)) 57 (B.30) Luận văn thạc sĩ PHỤ LỤC C : TÁI CHUẨN HÓA Như thấy phần trước, tính đến bổ vòng tránh khỏi tích phân phân kỳ Đó đặc trưng thiếu đóng góp giản đồ Feynman bậc cao Để khử phân kỳ nhà vật lý đưa vài phương pháp khác đẫn đến kết phù hợp với thực nghiêm Khi tính toán người ta phát điều răng, có vài hạt nặng đóng góp vào giản đồ vòng làm phân kỳ nhắc tới biến (sự sinh hủy hạt ảo giản đồ vòng) Cụ thể việc tái chuẩn hóa nhà vật lý làm sau: Giả sử xét giản đồ lượng riêng electron với GF ( p) hàm truyền toàn phần electron gồm bậc cao lý thuyết nhiễu loạn, e0 , m0 điện tích “trần” khối lượng “trần” electrong chưa kể đến tương tác chúng trường khác Ta có: GF ( p) = i + GF(1) ( p) p − me + iε (C 1) Đại lượng GF(1) ( p) đại lượng phân kỳ Để khử phân kỳ, thƣờng làm theo bƣớc sau: Bƣớc 1: Điều chỉnh Ở đưa tích phân hữu hạn GF(1) ( p, Λ) phụ thuộc vào tham số Λ ( thường gọi “cutoff”) Tích phân có tính chất sau: (1) Λ→∞ GF ( p, Λ)F(1) ( p) →G (C.2) Chúng ta tách tích phân thành phần phân kỳ phần hữu hạn: (1) GF ( p, Λ) = Apk ( p, Λ) + Aht ( p, Λ) (C.3) Aht ( p, Λ) đưa đến hiệu ứng vật lý đo được biết tới bổ xạ Bƣớc 2: Tái chuẩn hóa 58 Luận văn thạc sĩ Nếu lý thuyết tái chuẩn hóa thành phần phân kỳ Apk ( p, Λ) gộp vào hàm truyền mức  i  GF ( p) =  + Apk ( p, Λ) + Aht ( p, Λ)  p − me + iε  = iZ2 (Λ) + Aht ( p, Λ) p − me (Λ) + iε (C.4) Và GF ( p) đại lượng hữu hạn hay nói cách khác phân kỳ khử, có điều phải thay đổi! Bƣớc 3: Gỡ bỏ phụ thuộc vào Λ Cuối ta lấy giới hạn limΛ→∞ GF ( p) C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron Trong phần tính toán đóng góp giản đồ phân cực chân không xin vắn tắt hóa tính toán phức tạp tập trung vào việc đưa kết việc tái chuẩn hóa nhằm phục vụ cho tính toán luận văn k v k + p+ k k v p Hình 3.2 Giản đồ phân cực chân không Hàm truyền photon tính đến bổ vòng: iDF' µν (q) = iDF µν (q) + iDF µλ (q) iΠλσ (q) 4π iDFσν (q) (C.5) đây: DF µν (q) hàm truyền photon mức giản vòng Πλσ (q) tensơ phân cực chân không với:   iΠλσ (q) dk Tr γ λ γσ  4π = −e02 ∫ (2π )  k − me + iε ( k − q ) − me + iε   59 (C.6) Luận văn thạc sĩ Do Π µν (q) tensơ lorentz nên phân tích thành số hạng chứa gµν , qµ , qν hàm vô hướng q , cụ thể là: Πµν (q) = Dgµν + gµν q2Π(1) (q2 ) + qµ qν Π(2) (q2 ) Thay (C.6) vào (C.5) q2 → ta : iDF' µν (q2 → 0) = −4π igµν (C.7) q − D + iε Như hàm truyền photon tương ứng với hàm truyền hạt boson với khối lượng D Từ (C.7) (C.6) ta : µ D=Π µ (0) = π ie0 (2π ) = 8π ie ∫ ∫ dk  µ k + me k + m  Tr γ 2 γ µ 2 e   k − me + iε e + kiε− m 2me2 − k dk ( (2π )4 ke − m2 + iε ) (C.8) Trong trường hợp hạt truyền Photon D phải không, ta thấy từ công thức D đại lượng phân kỳ, điều định nghĩa tensơ phân cực chân không công thức (3.6) chưa xác Để khử phân kỳ ta phải định nghĩa lại tensơ phân chực chân không Từ công ban đầu, ta thêm phần để tich phân kết giảm đủ mạnh k tăng lên Hay đưa vào khối lượng phụ Mi số Ci Và đến gần cuối ta cho Mi → ∞ để thu kết cuối kết không phụ thuộc vào Mi Ci N   Π µν (q) = ∫ d k  f µν (q, k, me2 ) + ∑  i=1Ci f µν (q, k, M i2 ) 4 d k  Tr γ µ ( k + me )γ µ ( k − q + me )  Π µν (q) = 4π ie ∫ (2π )4  k(2 −) me2 + iε (k − q)2 − me2 + iε  N + ∑ Ci i =1 60 Tr γ µ ( k + M i )γ µ ( k − q + M i )   ( k 2) − M2i + iε (k i2 − + q) iε −M (C.9) Luận văn thạc sĩ d 4k  kµ (k − q)ν + kν (k − q)µ − g µν (k − q.k − m2 ) (2π )4  ( k 2) − me2 + iε (k − q)2 − me2 + iε   Π µν (q) = 16π ie02 ∫  + Re g   Reg phần thêm vào Sử dụng công thức thuật toán sau để giải : ∞ • i ( k) − me2 + iε  2 = ∫ dα exp iα k − me + iε • ikµ = • ∂ exp (ikzi ) |zi =0 ∂ziµ (C.10) −i  ib  d 4k exp i ak 2( +) b.k =  ∫ (2π ) (4π )2 a2 exp  − 4a  Ta : ∞ ∞  ( 4π ) (α + α )  2α 1α2 × (α1 ) (α1 ) −i   Π µν (q) = 16iπ e0 ∫ dα1∫ dα2  exp i −m2 (α1 + α2 ) + q     2 1 2 α + α2 ( q )q − g qα +αg i µν µν 12  2µν q2 +  − me2  + Re g  + α + α α + α2     (C.11) Ta viết Π µν (q) dạng ngắn gon sau : Πµν (q) = ( qµ )ν Π(q ) q+2 ∆Π µν µνq −2 g (C.12) Π(q2 ) = − ∞ ∞ π e02 0∫ dα1∫0dα N ( α1 + α   −M (α + α )+ ) ∑ C exp i     i=0 i 61 i2 q2   +α Luận văn thạc sĩ e02 ∆Π µν = ∞ ∞ N gµν ∫ dα1∫ dα Ci  q + − M i2    α1 α × exp i −M i2 (α1 + α ) +     ∑ +α  i +α q2  (C.13) Số hạng thứ hai biến đổi biến Áp dụng công thức sau để tính Π(q2 ) với αi = Qβi , β1β2 = β (1− β ) ∞ • = ∫ dQδ (Q −α1 −α2 ) (C.14) Ta kết : Π(q2 ) = π e02 = ∫dβ ∫dβ 2  Λ12  me  12 0  ln 1 − β1   q2  Λ2  0  δ (1 − β − β )β β  me  me  β  − ln  q me  Λ = 2e0 ln + Π R (q2 ) 3π me (C.15) ta ký hiệu • ln Λ2 M i N = me ∑ C ln i Π (q ) = R2 m i=0e2 • =− , với Λ phần cắt xung lượng   q2 e ∫ d β (1 − β ) ln 1 − β (1 − β )   me  e0 q  1 q   + +  15 140 me (C.16) Nhƣ ta tách phần phân kỳ khổi hàm gốc, phần không phụ thuôc vào xung lƣợng, phần lại phần hữu hạn Vậy ta có yếu tố ma trận tính đến bổ vòng viết dạng sau 62 Luận văn thạc sĩ M (2) = e( −ie0u1γ µu1 ) q  )  −ie0u2γ ν u2 q  −4π igν  ) q2 'µ (0)  e02 Λ2  01 F ) (C.17) ' µ R ( ) ' ν Trong ta đặt Z3 = − Λ2 e02 ln 3π me Đây phần phân kỳ ta tách Trong trường hợp q nhỏ ta có ΠR (q2 ) ,Công thức trở thành M (2)    i   i  u   (C.18) u2 Công thức giống với dạng công thức ứng với trình tán xạ vòng đặt eR e0 Z3 ,tức ' ' fi (C.19) Hay nói cách khác xung lượng hạt nhỏ phần phân kỳ gộp vào điện tích hạt Trong trường hợp xung lượng lớn ta bỏ qua phầnR (q2 ) Phần có đóng góp đáng kể vào biểu thức tiết diện tán xạ vi phân biểu thức tương tác hai hạt Kết luận : Bằng cách tái chuẩn hóa lại điện tích electron, ta giải đƣợc phần phân kỳ sinh giản đồ vòng xung lƣợng nhỏ Ta biểu diễn kết luận hình vẽ sau: 63 + Πgµν 4π   'fi ' µu F(0) ) (q)  gµν = (−ie0 1u '1γ iD  = (−ie u γ u1 iD) (q) 1 −  =(−ie0u1γ)Z31+Π(q)−ie0u2γ u 'u e0 µτ µτ  iDF(0) (q) e0 3Z u 'u M (2)ieRu1u1  ieRu2 u2 −4π i  i −4π igν  + (gµ τqΠ(q) )2 − q q 3π (  ( u2' γ ν u ln + Π R (q2 ) −ie m e u ' uie0 1Z3iDF(0) (q)ie0 1 (q) 2fi Z '  (−ie0 2u 'γ2 ν u Luận văn thạc sĩ e0 e0 + eR = e0 e0 eR Hình C.1 Tái chuẩn hóa điện tích electron : e0 điên tích electron chưa tái chuẩn hóa eR điện tích electron sau tái chuẩn hóa C.2 Năng lƣợng riêng photon Một phần đồ thị Feynman gọi phần lượng riêng trường vô hướng trường spinor bao gồm đường nối với phần khác đồ thị nhờ hai đường boson ferrmion Khi photon tương tác với trường electron-positron thi cặp hạt phản hạt electron-positron sinh ra, sau chúng lại tự hủy tạo photon Quá trình mô ta giản đồ lượng riêng photon sau: e p k k p+ k v e Hình C.2 Giản đồ lượng riêng photon Đỉnh tương tác V (γ µ , e− , e+ ) : −ieRγ µ i( ∝p + me ) Hàm truyền electron (positron) G: p − me2 64 Luận văn thạc sĩ Áp dụng quy tắc Feynman ta được: i( + k + me ) i( + me ) F = ∫ d p(−ieRγ µ ) (−ieR2γν ) ( p + k )2 − me p − m2 n = eR γ ( + p k + me )γpν ( + me ) ∫dpµ ( p + k )2 − me2   p2 − me2  n Đặt I ( ∝p k∃ me ) ( ∝p me ) (C.20) I = γ µ (p + k + me )γν (p + me ) = γ µpγνp + γ µ kγνp + γ µ meγνp + γ µpγν me + γ µ kγν me + γ µ mRγν me ρ ρ = ( p pσ + k pσ )Tr(γ µγ ργγ σ ) + meTr(γ µγν ) ρ ρ = ( p pσ + k pσ )n( g µρ νσg −µνgρσg ) ++ gmge2ng µν µσ νρ Thay vào công thức ta được: n  pν pν + kµ pν − ( pp)gµν + (kp)gµν + pν pµ + m2 g e µν  F = eR 2n∫ d p   (  p +e k )2 −e m    p2 − m2  (C.21) Sử dụng công thức hàm hai điểm: B0 (k, me , me ) = Bµ (k, me , me ) = Bµν (k, me , me ) = iπ n ∫dp(p iπ ) e 22 2 e 22 − m  ( p+ k ) − m  n ∫dp(p iπ ) ∫dp(p pµ −m(p+k)−m n 2 ) pµ pν − m2 ( p + k )2 − m2 e  e  Bµ (k, me , me ) = kµ B1(k, me , me ) Bµν (k, me , me ) = kµ kν B21(k , me , me ) + δ µν B22 (k , me , me ) p2 B21(k, me , me ) + nB22 (k, me , me ) = A(me ) =e m2B0 (k , me , me ) Ta tính công thức: , m, me e ) ,+mBνµ (k , me e ) F = 4eR Bµν (k, me, m e ) +B kµ ν (k + kν Bµ (k, me , me ) + me2 g µν + B0 (k, me , me ) − g µν A0 (me ) + me2 B0 (k, m, m e e ) −k gBµν ρ ρ (k , me ,em) = eR 4{kµ kν [2B21(k, me , me ) + 2B1(k, me , me )] − δ µν B22 (k, me , me ) ,m 65 −gµνkB1(,me )+A(em2B0k,e) } (C.22) Luận văn thạc sĩ Ta đặt: A = 8eR [ B21(k, me , me ) + B1(k, me , me )] )+m B = −4eR k B1(k, me, me ) +e A(m e2 B0 (k, me e ) , m C = 4eR B22 (k, me , me ) (C.23) Giờ ta tính hệ số A, B, C sử dụng công thức sau : 2π 2 ∆= + π (γ + ln (π )) − π 2c n−4 ( ) A( mR ) = ime 2∆ +e iπe 2me2 ln m2 − iπ 2m2 B0 (k, me, em) = −i∆ − iπ  π  − + ln me2  3  () B1(k, me , me ) = − me2 B0 (k, m,e m e ) 2me2  1 = i∆ − iπ + iπ + iπ ln me2 23 () B21(k, me ,em ) = − iπ m2e2 − 18me e4  () 13 = − i∆ + 18 B22 (k, me , me ) = − iπ − iπ me2 + 18 6me () 3 3m me Ae()m  + B0 (k , me , me ) iπ − iπ ln me2 33 me2 A(me ) − me2B0 (k , me , me )  () 17 2 2 = i∆m e − e iπ m e + e 12 18 124 e2 iπ m + () iπ m ln m (C.24) Ta được: 1 A = 8eR2 − i∆ −  18 iπ +  iπ − iπ ln me2  63  ()  22 32 22  B = −4eR2 − i∆me +e 2iπ em − e e2  iπ m + iπ m ln m 2 23  ()  17 2 2 C = 4eR2  i∆me − e iπ me + 12 18 12 ()  e e2 T=E  iπ m +  iπ m ln m m   1− 1− e2  cos2 θ  + me2 (4E + 2) − 2me4   E   66 (C.25) [...]... tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u Pint là tiết diện tán xạ của quá trinh tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11] − + − + 2.2 Tán xạ electron-positon e + e → e + e Trong phần đầu này ta xét quá trình tán xạ giữa electron-positron trong gần đúng bậc... là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh u Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với cả hai kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11] 2.1.2 Trong hệ phòng thí nghiệm Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt còn lại... tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u 31 Luận văn thạc sĩ 2.2.2 Trong hệ phòng thí nghiệm Hệ Phòng thí nghiệm là hệ quy chiếu trong đó một hạt ban đầu chuyển động còn hạt còn lại đứng yên Do đó ta có xung lượng của electron... θ −1) 2 ' P dir là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t Pex là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hat ứng với kênh u Pint là tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ giữa hai hạt ứng với kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được dùng trong tài liệu [11] 33   Luận văn thạc sĩ CHƢƠNG 3: BỔ CHÍNH MỘT VÒNG CHO TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON Trong chương này chúng tôi nghiên... khi giản đồ năng lượng riêng của photon-giản đồ (c) 35 Luận văn thạc sĩ 3.2 Tiết diện tán xạ electron-electron khi tính đến bổ chính một vòng ở đƣờng trong Trong phần này ta đi tính đóng góp của bổ chính một vòng ở đường trong đến tiết diện tán xạ electron-electron Quá trình tán xạ được biểu diễn bởi giản đồ Feynman sau: e- eq q+k k q e- e- Hình 3.2: Bổ chính một vòng trong tán xạ electron-electron... diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron-electron trong hệ khối tâm và hệ phòng thí nghiệm Mục $2.2 dành cho việc nghiên cứu quá trình tán xạ electron lên positron Cách tính tương tự như quá trình tán xạ electron-electron, có thay đổi khi một electron được thay bằng positron Kết quả ta thu được tiết diện tán xạ vi phân cho quá trình tán xạ electron positron So sánh kết quả tiết diện tán xạ vi... chính là biểu thức vi phân tiết diện tán xạ của hai hạt trong hệ phòng thí nghiệm 19 Luận văn thạc sĩ CHƢƠNG 2: TÁN XẠ ELECTRON-ELECTRON Trong chương này chúng tôi nghiên cứu quá trình tán xạ electron-electron Trong mục $ 2.1, theo quy tắc Feynman cho tương tác điện từ ta viết yếu tố ma trận tương ứng với quá trình tán xạ electron-electron ở bậc thấp nhất (gần đúng Born) của của lý thuyết nhiễu loạn... Và ta đặt: trong đó: Adir là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung ' ' lượng lần lượt là p1 p2 trong hình vẽ (2.1a) Aex là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hati hat có xung lượng ' ' lần lượt là p2 p1 trong hình vẽ ( 2.1b) Aint là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u Các ký hiệu trên đã được sử dụng trong tài liệu... năng lượng và góc tán xạ 1.2 Tiết diện tán xạ vi phân cho hai hạt Chúng ta xét quá trình tán xạ xạ hai hạt 1 + 2 → 3 + 4 xảy ra do tương tác, yếu tố ma trận được xác định bởi công thức sau: S = T exp( ∫ Lint (x)d x) , 4 Trong đó T là T-tích, Lint (x) là Lagrangian tương tác, việc cụ thể hóa Lagrangian tương tác sẽ được xem xét sau tùy thuộc vào bài toán cụ thể Như vậy để nghiên cứu bài toán tán xạ phải... + me )γ ν  , (2.32) ' ở đây Adir là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh t khi hạt hạt ra có xung lượng lần lượt là p1 p'2 'trong hình vẽ (2.2a) Aex là yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ứng với kênh u khi hai hat có xung lượng lần lượt là p2 p' 1' trong hình vẽ ( 2.2b) Aint là yếu tố ma trận của cả hai quá trinh tán xạ ứng với kênh t và kênh u Ta thu được biểu thức: | M fi |2 = e04