Phương pháp phản chứng với các bài toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phan Thị Yến PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG VỚI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Phan Thị Yến PHƢƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG VỚI CÁC BÀI TỐN PHỔ THƠNG Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HUY RUẬN Hà Nội - 2017 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 Giới thiệu 1.2 Một số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet 1.2.1 D 1.2.2 D 1.2.3 D 1.3 Một số ví dụ ứng dụng nguyên lý Dirichlet 1.4 Bài tập bổ sung CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 2.1 Ví dụ mở đầu 2.2 Cơ sở lý thuyết phép chứng minh phản chứn 2.3 Các bƣớc suy luận phản chứng 2.4 Phƣơng pháp chứng minh dùng mệnh đề phản đ 2.5 Một số tập vận dụng 2.6 Một số toán bổ sung KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Chứng minh nét đặc trƣng Toán học, tạo khác biệt Toán học với môn khoa học khác Nắm bắt phƣơng pháp kĩ thuật chứng minh yêu cầu bắt buộc học sinh nói chung Các phƣơng pháp kĩ thuật chứng minh phong phú: Từ chứng minh trực tiếp đến gián tiếp, từ chứng minh quy nạp đến chứng minh phản chứng, từ ví dụ đến phản ví dụ, từ xây dựng đến khơng xây dựng Trong luận văn xin đƣợc đề cập đến phép chứng minh phản chứng, phƣơng pháp chứng minh kinh điển quan trọng bậc Tốn học Chứng minh phản chứng nói vũ khí quan trọng Tốn học Nó cho phép chứng minh khơng thể tính chất Nó cho phép biến thuận thành đảo, biến đảo thành thuận Nó cho phép lý luận đối tƣợng mà không rõ có tồn hay khơng Phƣơng pháp chứng minh phản chứng đƣợc hình thành phát triển dựa nguyên lý Dirichlet, nên luận văn dành phần đầu trình bày nguyên lý Dirichlet, phần sau trình bày phƣơng pháp phản chứng Bởi luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày nguyên lý Dirichlet số dạng phát biểu Chƣơng 2: Trình bày cụ thể phƣơng pháp chứng minh phản chứng áp dụng phƣơng pháp giải số toán phổ thơng Luận văn đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình GS.TS Đặng Huy Ruận Em xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội, Thầy, Cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho chúng em thời gian học tập Luận văn khó tránh khỏi hạn chế sơ xuất Rất mong đƣợc bảo Quý thầy cô bạn đọc để luận văn đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! CHƢƠNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 Giới thiệu Nguyên lý Dirichlet gọi nguyên lý chuồng thỏ, hay nguyên lý ngăn kéo Nguyên lý Dirichlet đƣa nguyên tắc xếp, phân chia phần tử vào lớp Nguyên lý Dirichlet đƣợc phát biểu vào năm 1834 nhà Toán học tiếng ngƣời Đức – Johann Dirichlet (1805 -1859) Sử dụng nguyên lý Dirichlet chứng minh đƣợc tồn cách dễ dàng cụ thể, nhƣng khơng đƣa đƣợc phƣơng pháp tìm vật cụ thể Đối với toán cần tồn tại, nguyên lý Dirchlet đƣợc phát biểu đơn giản nhƣ sau: “Nhốt 10 thỏ vào chuồng, chuồng có nhiều thỏ” Định lý 1.1 (Phát biểu tổng quát nguyên lý Dirchlet) Nếu m thỏ đƣợc đặt vào n chuồng (m > n) chuồng có m m m chia hết n, +1 m khơng chia hết n     1.2 Một số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet Dựa vào Định lý 1.1 phát biểu nguyên lý Dirichlet dƣới số dạng sau: 1.2.1 Dạng tập hợp 1) Nếu tập hợp gồm n phần tử đƣợc biểu diễn dƣới dạng tập hợp k tập con, phải có tập hợp khơng chứa n k 2) Cho tập hữu hạn S ≠ ∅ S1 , S , , Sn tập S1 + S2 + + Sn > k S Khi đó, ∃ x ∈ S , cho x k+1 tập Si (i =1, 2, , n) 1.2.2 Dạng hình học S, cho: phần tử chung 1) Nếu tổng diện tích số hình nhỏ S, khơng thể dùng số hình phủ lên hình có diện tích S 2) Nếu đoạn thẳng có độ dài chia thành số đoạn thẳng có tổng độ dài L, tìm đƣợc điểm đƣợc phủ khơng [ L 3) Nếu khoảng F1 , F2 , , Fn có độ dài tƣơng ứng khoảng F có độ dài l khoảng khoảng cho có điểm chung 4) Nếu hình F1 , F2 , , Fn với diện tích tƣơng ứng S1 , S hình F có diện tích S hình hình cho có điểm chung chứa k +1 chứa k +1 1.2.3 Dạng số học Nếu trung bình cộng số số lớn a, có số số lớn a Dựa số dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet, ta xét số toán sau 1.3 Một số ví dụ ứng dụng nguyên lý Dirichlet Trƣớc hết ta giải số toán cách chọn thỏ thích hợp Bài tốn Trong lớp có 30 học sinh Khi viết tả bạn An phạm 13 lỗi, bạn khác phạm lỗi Chứng minh lớp có học sinh mắc số lỗi nhƣ viết tả (kể học sinh không mắc lỗi nào) Lời giải Ở “thỏ” tức em học sinh, “lồng” số lỗi phạm phải em viết tả Ta lập 14 lồng đƣợc đánh số từ đến 13 Lồng số “nhốt” em viết tả phạm lỗi; Lồng số “nhốt” em viết tả phạm lỗi; Lồng số i (0 ≤ i ≤13) “nhốt” em viết tả phạm i lỗi; Chỉ có em An phạm 13 lỗi viết tả, nên lồng số 13 có em An, 29 em cịn lại đƣợc “nhốt” vào lồng từ đến 12, tức 29 em đƣợc “nhốt” vào 13 lồng Theo nguyên lý Dirichlet, phải có lồng “nhốt” từ em trở lên Chẳng hạn lồng i (0 ≤ i ≤12) có ba em Khi đó, ba em lồng i phạm i lỗi viết tả Bài toán đƣợc chứng minh Bài toán Chứng minh với số nguyên dƣơng n n + số tự nhiên chọn ln ln tìm đƣợc hai số, mà tổng hiệu chúng chia hết 2n Lời giải Với số nguyên dƣơng a ký hiệu số dƣ chia a cho 2n k Khi đó:  Nếu ≤ k < n , ( a − k ) 2n • Nếu n ≤ k < 2n , ( a + m) 2n với ≤ m = 2n − k < n Do với ∀s (0 ≤ s ≤ n) ( a − s ) 2n ( a + s ) 2n Với nhận xét ta coi số “thỏ”, “lồng” số nguyên từ đến n Lập n + ô mang số hiệu từ đến n Đƣa số chọn vào ô theo nguyên tắc sau: số a tùy ý n + số chọn đƣợc đƣa vào ô thứ s ( a + s ) 2n Vì n + số đƣợc đƣa vào n + ô, nên phải có chứa số Chẳng hạn, thứ t có hai số a, b hai số Khi đó: • Nếu ( a + t ) 2n (b + t ) 2n , a − b = [ (a + t ) − (b +t ) ] 2n • Nếu ( a + t ) 2n (b − t ) 2n , a + b = [ (a + t ) + (b −t ) ] 2n • Nếu ( a − t ) 2n (b + t ) 2n , a + b = [ (a − t ) + (b +t ) ] 2n • Nếu ( a − t ) 2n (b − t ) 2n , a − b = [ ( a − t ) − (b −t ) ] 2n Bài toán Chứng tỏ n ngƣời tùy ý ( n ≥ 2) ln ln có hai ngƣời có số ngƣời quen (trong số họ) Lời giải Trƣờng hợp ta coi ngƣời đƣợc chọn “thỏ”, “phòng” số ngƣời mà ngƣời đƣợc chọn quen Lập n “phòng” ghi số từ đến n – mời ngƣời chọn vào “phòng” theo nguyên tắc sau: Mỗi ngƣời chọn đƣợc đƣa vào phòng thứ k (0 ≤ k ≤ n) ngƣời quen k ngƣời số ngƣời chọn Do số ngƣời chọn có ngƣời khơng quen số ngƣời cịn lại, ngƣời chọn khơng có ngƣời quen đƣợc tất ngƣời lại Bởi “phòng” số “phịng” số n – khơng thể đồng thời có ngƣời, nên n ngƣời chọn đƣợc đƣa vào n – “phịng” Do đó, theo ngun lý Dirichlet, phải có “phịng”, chẳng hạn, “phòng” thứ t (0 ≤ t ≤ n −1) có ngƣời Nhƣ vậy, có hai ngƣời có t ngƣời quen n ngƣời chọn Bài toán đƣợc chứng minh Bài toán Một học sinh suốt năm giải toán Mỗi ngày em giải Để dành thời gian học tập môn học khác, tuần em giải khơng q 12 tốn Chứng minh định tìm đƣợc số ngày liên tiếp, mà tổng số toán em giải tất ngày 20 Lời giải Xét n ngày thứ i a1 , a2 , , ak , ak +1 , , a7 n Và số tập em giải đƣợc k ngày đầu S k Xét hai dãy S1 , S , , S7 n (1) S1 + 20, S + 20, , S7 n + 20 Vì hàng ngày em giải tốn, nên ∀i , j Từ suy số dãy (1) khác nhau, nên số dãy (2) khác Mặt khác, tuần em giải khơng q 12 tốn khơng toán Bởi ∀i (1 ≤ i ≤ n) có ≤ S i 12n + 20 Do tất số thuộc dãy (1) dãy (2) không nhỏ không lớn 12n + 20 Cả dãy (1) dãy (2) có 2.7n = 14n số, mà số không nhỏ không vƣợt 12n + 20 nên dãy S1 , S , , S n , S1 + 20, S có số nhau, 14 n > n + 20 Từ đó, n > 20 , nên (3) Vậy, n =11,12, , nhấ dãy (1) khác nhau, số phải thuộc dãy (1) Giả sử S j = Si +1 + + + a ngày liên tiếp 20 Bài toán Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết điểm 25 điểm cho ln tồn điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh tồn hình trịn bán kính chứa 13 điểm cho Lời giải Lấy A số 25 điểm cho 1 A B Hình Xét hình trịn (C1 ) tâm A, bán kính Khi có hai khả sau xảy ra: i Nếu tất điểm lại nằm (C1 ) tốn đƣợc chứng minh ii Nếu số điểm cịn lại, tồn điểm Bkhơng trùng điểm A, cho B∉(C1) V B ∉(C1 ) nên AB > ì Khi đó, ngũ giác ZBCDE có tọa độ đỉnh nguyên có diện tích nhỏ diện tích ngũ giác ABCDE Điều mâu thuẫn ABCDE ngũ giác có diện tích nhỏ Chứng tỏ bên ABCDE có tồn điểm có tọa độ ngun Bài tốn 17 Chứng tỏ đa giác lồi 13 cạnh chia thành hình bình hành Lời giải Giả sử phản chứng đa giác lồi 13 cạnh chia thành hình bình hành Khi đó, cạnh đa giác cạnh hình bình hành đƣợc chia Nên cạnh đa giác đôi song song chúng khơng có đỉnh chung Vì đa giác lồi nên khơng có ba cạnh song song với Do đó, số cạnh đa giác phải số chẵn Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy đa giác lồi 13 cạnh chia thành hình bình hành Bài tốn 18 Trong mặt phẳng cho n điểm thỏa mãn điều kiện: ba điểm thẳng hàng Chứng tỏ tất n điểm nằm đƣờng thẳng Lời giải Giả sử ngƣợc lại rằng, số n điểm cho, tồn ba điểm A, B, C không thẳng hàng Qua A kẻ đƣờng thẳng d không qua điểm cho không song song với BC Kẻ đƣờng thẳng qua hai điểm điểm cho Những đƣờng thẳng cắt d dãy điểm Gọi d1 đƣờng thẳng cắt d điểm P nằm gần A Theo điều kiện đề bài, d1 có điểm n điểm có Ta ký hiệu điểm Q, R, S Áp dụng điều kiện đề cho đƣờng thẳng qua A, R, tức hai điểm A, R phải có điểm n điểm cho, ký hiệu O 34 Gọi P, Q1 , A, S1 lần lƣợt giao điểm OP, OQ, OR, OS với đƣờng thẳng d Từ điểm Q S chúng nằm gần A điểm P Điều trái với giả 1 thiết chọn điểm P Vậy tất n điểm cho nằm đƣờng thẳng d1 S B C R Q O d Q1 A S1 P Hình Bài tốn 19 Cho hình vng ABCD Dựng bên ABCD tam giác CDE cân ̂ E vớî Lời giải Giả sử phản chứng Dựng ̂̂ tam giác vào phía h ̂ ̂ Không giảm tổng quát, giả sử ̂̂ Vì nên AF = AD, mà AD = AB nê 35 Do đó, Vì vậy, ̂ Vậy, chứng tỏ A E D Hình 10 Bài tốn 20 Chứng tỏ tam giác nội tiếp đƣờng tròn khơng chứa tâm đƣờng trịn tam giác tù Lời giải a Cho Nếu nội tiếp đƣờng trịn tâm O O nằm ngồi tam giác vng O trung điểm cạnh huyền Điều trái giả thiết nên tam giác vuông Giả sử phản chứng tam giác nhọn Không giảm tổng quát, giả sử O nằm vị trí nhƣ hình vẽ A O B C Hình 11 Ta có OA = OB = OC nên OAB OBC hai tam giác cân O 36 ̂ ̂ Mà {̂ ̂ nên suy ̂ ̂ ̂ ̂ ̂̂̂ Suy Điều vô lý Vậy tam giác ABC phải tam giác tù b Giả sử tam giác tù nội tiếp đƣờng trịn tâm O bán kính R A A CB O O B C Hình 12 Tam giác ABC tù nên có góc lớn 90 Khi đó, cung BC khơng chứa đỉnh A lớn 180 BC nằm khoảng chứa đỉnh A tâm O Vậy, toán đƣợc chứng minh Bài toán 21 Chứng tỏ tứ giác có tổng hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đƣợc đƣờng tròn Lời giải 37 D A O C E B Hình 13 Gọi O tâm đƣờng trịn ngoại tiếp Giả sử D khơng nằm đƣờng trịn (O) Khi đó, BC cắt (O) E khác điểm C Do đó, tứ giác ABED nội tiếp đƣợc, nên ̂ Mà theo giả thiết, ̂ ̂ ̂ Vậy tứ giác ABCD có tổng hai góc đối diện 180 đƣợc đƣờng trịn Bài tốn 22 Chứng tỏ khơng thể phủ kín vết mực hình tam giác có diện tích lớn đĩa giấy hình trịn bán kính 1, cho tâm đĩa giấy hình trịn khơng rời vào vết mực Lời giải Giả sử phản chứng có vết mực hình tam giác ABC phủ đƣợc hình trịn tâm O bán kính 1, cho tâm O hình trịn khơng rơi vào tam giác ABC Kéo dài cạnh , đƣờng thẳng qua cạnh tam giác chia mặt phẳng làm miền Vì O nằm ngồi nên khơn giảm tổng qt, ta có hai trƣờng hợp sau: a O nằm góc đối đỉnh vớî 38 M Kẻ đƣờng kính MN // BC Từ A hạ Tại K, kẻ đƣờng thẳng d // BC AK không lớn khoảng cách từ O tới d, nên AK ≤1 Do Điều trái giả thiết ban đầu b O nằm góc ̂ Lặp lại bƣớc vẽ hình chứng minh tƣơng tự ta đƣợc Điều trái giả thiết ban đầu Vậy hình trịn bán kính khơng thể phủ đƣợc vết mực hình tam giác có diện tích lớn Nói cách tổng quát: Một tam giác diện tích khơng thể nội tiếp đƣợc đƣờng trịn bán kính 39 B M Hình 15 Bàitốn 23.Cho ba điểm A, B, C phân biệt mặt phẳng Chứng minh tồn điểm G thuộc mặt phẳng thỏa mãn: GA+GB+GC = điểm G Lời giải Giả sử phản chứng cịn có điểm O ≡G thỏa mãn yêu cầu toán, tức là: OA+OB+OC = Ta có GA + GB + GC =  GO+OA+GO+OB+GO+OC =0  3GO+OA+OB+OC = Do OA + OB + OC = , suy 3GO =  G ≡ O Điều trái với giả sử ban đầu Vậy G Bài toán 24 Cho hai đƣờng thẳng chéo Chứng minh có mặt phẳng chứa đƣờng thẳng song song với đƣờng thẳng Lời giải Giả sử ta có hai đƣờng thẳng chéo a b Lấy điểm M thuộc đƣờng thẳng a 40 Qua M kẻ đƣờng thẳng b song song với b Gọi ( P) mặt phẳng xác định a b b b' M a P Hình 16 Thậ t (0 ≤ k ≤ 9) vậy, T agiả csử h ứcó nmột g mmặt in phẳ h ( ng P ) (Q) làkhá m ặtc ( pP) h ẳthỏa n mãn g d: (Q u yson ng h ấtvới b Khi đó, ( P), (Q) Lời giải hai mặt phẳng phân biệt Giả sử giao tuyến ) chứa phả chúng a, n a phải song song ng (Q) với b rằn song g có Điều mâu thuẫn với giả song thiết a b song h chéo với b Tƣơng tự, ta xếp nên chứng minh có mà dãy mặt bìa phẳng với a chứa thỏ b Vậy toán song a đƣợc chứng song mã n minh Bài toán 25.Mỗi chữ số hệ thập phân 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, đƣợc ghi bìa Chứng minh khơng có cách xếp nào, để bìa nằm thành dãy dài, mà hai bìa ghi chữ số k (0 ≤ k ≤ 9) tùy ý có k bìa điề u kiệ n: Giữ a hai bìa cùn g ghi chữ số có đún g bìa Dù ng ak để số thứ tự bìa thứ ghi chữ số k, bk số thứ tự bìa thứ hai ghi chữ số k 41 Ta có dãy thứ tự bìa nhƣ sau: 1, 2, , ak , ak +1 , , b k −1 Vì chữ số k (0 ≤ k ≤ 9), hai bìa ghi chữ số k có k bìa, nên bk − ak = k +1 ( k = 0,1, 2, ,9) Khi ta có ∑ ( bk Mặt khác, Từ (1) (1) 42 số nguyên Ta tới mâu thuẫn, nên toán đƣợc chứng minh 2.6 Một số toán bổ sung 2.6.1 Chứng minh 2.6.2.Chứng minh từ số nguyên dƣơng tùy ý không lớn 20, chọn đƣợc số x, y , z độ dài cạnh tam giác 2.6.3 Khẳng định sau có khơng: Nếu tổng tích hai số thực số nguyên chúng số nguyên Cùng câu hỏi với hai số hữu tỉ 2.6.4 Cho biết π số vô tỉ Chứng minh khai triển thập phân  = 3,1415 có chữ số xuất vô hạn lần 2.6.5 Số thực a = 0,12345 đƣợc tạo cách viết số tự nhiên liên tiếp kế sau dấu phảy Chứng minh a số hữu tỉ 2.6.6 Chứng minh tờ giấy hình trịn bán kính khơng thể cắt tam giác tù có diện tích lớn đƣợc 2.6.7 Cho số nguyên a, b, c mà (a,b) = Chứng minh luôn tồn số tự nhiên n để (n.b + c ) a 2.6.8 Cho đƣờng thẳng Mỗi đƣờng chia hình vng thành tứ giác với tỉ số diện tích Chứng minh có đƣờng phải qua điểm 2.6.9 Trong hình vng cạnh đơn vị lấy 101 điểm tùy ý Chứng minh tồn điểm, mà tam giác với đỉnh điểm chọn có diện tích khơng vƣợt q 0,02 đơn vị 2.6.10 Một đƣờng gấp khúc đặt hình vng có cạnh 50cm, cho khoảng cách từ điểm hình vng đến đƣờng gấp khúc bé 1cm Chứng minh độ dài đƣờng gấp khúc khơng nhỏ 1248cm 2.6.11 Trong hình vng cạnh ta đặt số hữu hạn đoạn thẳng với độ dài đoạn không lớn 1, cho khoảng cách từ điểm hình vuông đến đoạn thẳng đặt không 0,1 Chứng minh số đoạn thẳng đặt không lớn 43 KẾT LUẬN Luận văn trình bày đƣợc nguyên lý phản chứng dạng phát biểu nguyên lý Dirichlet, đồng thời đƣa đƣợc nhiều ví dụ minh họa thuộc ba dạng:  Dạng tập hợp  Dạng hình học  Dạng số học Khi biên soạn luận văn, tác giả cố gắng bám sát vào dạng toán hay gặp chƣơng trình phổ thơng nói chung số tốn học sinh giỏi nói riêng Hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh giáo viên trƣờng trung học phổ thông 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Hữu Điển (2003), Những phương pháp điển hình giải tốn phổ thơng, NXB Giáo Dục, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu, Bùi Công Huấn, Đặng Hùng Thắng, Trần Nam Dũng, Đặng Huy Ruận (2004), Một số chuyên đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN Đặng Huy Ruận (2012), Hai phương pháp giải tốn khơng mẫu mực, Trƣờng Đại học Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN Đặng Huy Ruận (2002), Bảy phương pháp giải toán logic, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 45 ... phản đảo Chứng minh dùng mệnh đề phản đảo phƣơng án chứng minh phản chứng hay đƣợc dùng Cơ sở phƣơng pháp là: Để chứng minh Nhƣ vậy, phƣơng pháp chứng minh dùng mệnh đề phản đảo phƣơng pháp chứng. .. phép chứng minh phản chứng xuất từ lâu tính hữu hiệu chứng minh tốn Phần luận văn tìm hiểu kỹ phép chứng minh phản chứng 2.2 Cơ sở lý thuyết phép chứng minh phản chứng Cơ sở lý thuyết phép chứng. .. Bài tập bổ sung CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG 2.1 Ví dụ mở đầu 2.2 Cơ sở lý thuyết phép chứng minh phản chứn 2.3 Các bƣớc suy luận phản chứng 2.4 Phƣơng pháp