Tính ổn định và tính CO của các phương pháp runge kutta

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA H¯C TÜ NHI N NGUY N THÀ HI N TNH˚N NHV TNHCO CếA C C PHìèNG PH P RUNGE-KUTTA Chuyản ng nh: To¡n øng dưng M¢ sŁ: 60 46 01 12 LU NV NTH CS KHOAH¯C NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C: PGS.TS VƠ HO NG LINH H Nºi-2014 Líi cÊm ỡn Trữợc trnh b y ni dung chnh cıa lu“n v«n, tỉi xin c£m ìn Ban chı nhi»m khoa To¡n - Cì - Tin håc cịng to n th” c¡c thƒy gi¡o, cæ gi¡o khoa To¡n - Cỡ - Tin hồc, phặng Sau i hồc, trữớng i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Ni,  giÊng dy tn tnh v to iãu ki»n thu“n læi ” tæi ho n th nh tŁt lun vôn c biằt, tổi xin gòi lới cÊm ỡn chƠn th nh nhĐt tợi thy giĂo PGS.TS Vụ Ho ng Linh, ngữới  trỹc tip hữợng dÔn v tn t…nh ch¿ b£o tæi suŁt qu¡ tr…nh tæi håc v thỹc hiằn lun vôn NhƠn dp n y, tỉi cơng xin c£m ìn gia …nh ¢ ln ıng hº v ºng vi¶n suŁt thíi gian tỉi håc t“p CuŁi cịng, tỉi xin c£m ìn t§t c£ c¡c b⁄n, c¡c anh, c¡c chà lỵp cao håc To¡n khâa 2011 - 2013, °c bi»t l c¡c anh chà chuy¶n ng nh To¡n øng dưng khâa 2010 - 2012 v khâa 2011 - 2013 ¢ t“n t…nh gióp ï v ºng vi¶n tỉi qu¡ tr…nh håc t“p Xin ch¥n th nh c£m ìn! H Nºi, ng y 16 thĂng 01 nôm 2014 Hồc viản Nguyn Th Hiản Mửc lửc M u BÊng kỵ hiằu CĂc khĂi niằm cì b£n 1.1 1.2 1.3 1.4 C¡c ph÷ìng phĂp Runge-K XƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp p dửng cĂc ph÷ìng ph¡p R C¡c lo⁄i chu'n T‰nh co cho b i to¡n tuy‚n t‰nh 2.1 2.2 2.3 Chu'n Euclid ( ành lỵ von H m tông trững sai s vợ B i to¡n vỵi nhi„u phi tuy‚n 2.4 2.5 T‰nh co k:k1 v k:k H» sŁ ng÷ïng T‰nh Œn ành B v t‰nh co 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 i•u ki»n Lipschitz mºt ph‰ ˚n ành B v Œn ành ⁄i sŁ Mºt v i ph÷ìng ph¡p Rung ˚n ành AN CĂc phữỡng phĂp Runge-K nh lỵ vã sỹ tữỡng ữỡng gi s vợi cĂc phữỡng phĂp S-b 3.7 H m tông trững sai s Tnh toĂn ’B (x) 3.8 K‚t lu“n T i li»u tham kh£o Mð ƒu Trong khoa håc v k¾ thu“t ta thữớng gp rĐt nhiãu b i toĂn liản quan tợi viằc giÊi phữỡng trnh vi phƠn Cõ rĐt nhiãu trữớng hæp nghi»m gi£i t‰ch cıa c¡c b i to¡n n y l khỉng th” t…m ÷ỉc Ch‰nh v… v“y c¡c nh toĂn hồc  tm kim nhiãu phữỡng phĂp s kh¡c ” gi£i c¡c b i to¡n tr¶n Trong cĂc phữỡng phĂp s, phữỡng phĂp Runge-Kutta cõ nhiãu tnh chĐt ữu viằt v ữổc sò dửng rng rÂi Lun vôn trnh b y vã tnh n nh v tnh co ca cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta XuĐt phĂt t i•u ki»n Œn ành tuy»t Łi jynj jyn 1j cıa b i to¡n y = y, ta mð rºng ‚n kh¡i ni»m "t‰nh co" x†t b i to¡n tuy‚n t‰nh y = Ay, ti‚p ‚n l c¡c kh¡i ni»m t‰nh Œn ành B v Œn ành ⁄i sŁ x†t b i to¡n phi tuy‚n Tr¶n cì sð â ta câ th” lüa chån ph÷ìng ph¡p hœu hi»u v phị hỉp nh§t ” gi£i c¡c b i to¡n n£y sinh thüc t‚ Nºi dung lu“n v«n ÷æc tham kh£o ch‰nh tł t i li»u [2] v [3] B cửc ca lun vôn bao gỗm chữỡng: Chữỡng 1: CĂc khĂi niằm cỡ bÊn Lun vôn trnh b y cĂc khĂi niằm cỡ bÊn vã phữỡng phĂp Runge-Kutta, cĂch xƠy dỹng phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n, vợi c¡c ki‚n thøc bŒ trỉ cho Ch÷ìng v Ch÷ìng Ch÷ìng 2: T‰nh co cıa b i to¡n tuy‚n t‰nh Lu“n v«n tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m v nh lỵ liản quan n tnh co xt b i to¡n tuy‚n t‰nh Ch÷ìng 3: T‰nh Œn ành B v t‰nh co Lu“n v«n tr…nh b y kh¡i ni»m Œn ành B, Œn ành ⁄i sŁ, Œn ành AN v mŁi quan h» giœa c¡c kh¡i ni»m Œn ành cıa c¡c ph÷ìng ph¡p RungeKutta x†t b i to¡n phi tuy‚n Do thíi gian thüc hi»n lu“n v«n khỉng nhiãu nản lun vôn khổng trĂnh khọi nhng hn ch‚ v sai sât T¡c gi£ mong nh“n ÷ỉc sü gõp ỵ v nhng ỵ kin phÊn biằn ca quỵ thy cổ v bn ồc BÊng kỵ hiằu A I B (p), C ( ), D ( ) Bº iãu kiằn vã cĐp chnh xĂc C C n I K (Z) Pk (x) Pkj (z) R (z) R n R S (A) ’B (x) ’R (x) % T b = (b1; :::; bs) T = (1; ::: ; 1) Ch÷ìng C¡c kh¡i ni»m cì b£n Ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n vã cĂc phữỡng phĂp RungeKutta, sỹ tỗn ti lới giÊi s ca phữỡng phĂp, cĂch xƠy dỹng cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n cịng vỵi c¡c ki‚n thøc bŒ trỉ cho Ch÷ìng v Ch÷ìng Nºi dung cıa ch÷ìng n y ch¿ ph¡t bi”u c¡c kh¡i ni»m v c¡c k‚t qu£ phưc vư cho c¡c ch÷ìng sau Chøng minh chi ti‚t cıa c¡c k‚t qu£ ch÷ìng n y câ th” tham kh£o t⁄i [2], [3] v [5] 1.1 C¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta tŒng qu¡t Ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta thuc lợp cĂc phữỡng phĂp s mt bữợc, ữổc ÷a bði hai nh to¡n håc ng÷íi øc l Carl Runge (1856 - 1927) v Wilhelm Kutta (1867 - 1944) Trữợc ht ta xt b i toĂn Cauchy ca phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt cõ dng n n n y = f (t; y) ; y R ; f : R R ! R ; y (t0) = y0: nh nghắa 1.1 (xem [5]) Phữỡng phĂp Runge-Kutta s nĐc cho hằ phữỡng trnh vi phƠn (1.1) cõ th vit dữợi dng: Yi = y n yn = yn + h Trong â Y1; :::; Ys s s n§c) Bº h» sŁ: fcigi =1 P j chån ” câ ci = =1 N‚u aij = vợi i j th phữỡng phĂp l phữỡng phĂp Runge-Kutta hi”n (ERK) N‚u aij = vỵi i < j v câ ‰t nh§t mºt aii 6= th… ph÷ìng ph¡p l ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta 'n ÷íng ch†o (DIRK) N‚u aij = vỵi i < j v aii = vợi i = 1; :::; s th phữỡng phĂp l ph¡p 'n ÷íng ch†o ìn (SDIRK) ph÷ìng C¡c tr÷íng hổp cặn li gồi l phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n (IRK) d d ng hnh dung vã phữỡng phĂp Runge-Kutta, Butcher  ữa b hằ s ca phữỡng phĂp v o b£ng sau: c1 c2 cs B£ng 1.1: B£ng Butcher V‰ dư 1.1 Mºt sŁ cỉng thøc ERK cì b£n (c) Trung i”m hi”n (a) Euler hi”n 1 2 0 B£ng 1.2: Mºt sŁ cỉng thøc ERK V‰ dư 1.2 Mºt sŁ cỉng thøc IRK cì b£n (a) Euler 'n 1 B£ng 1.3: Mºt sŁ cæng thøc IRK 55 (3.34) Vợi trữớng hổp cặn li u = gi; v b hf (u) f (v) ; u vi = t ( i ” (3.36) ÷ỉc thäa mÂn vợi t lợn p dửng B ã 3.3, ta tm ữổc h m liản tửc f : C ! C mð rºng (3.35) v thäa m¢n (3.33) Nh“n x†t 3.2 Butcher v Burrage (1979) ph¥n bi»t giœa Œn ành BN (düa tr¶n h» khỉng dłng) v Œn ành B (dỹa trản hằ dng) V phữỡng trnh vi phƠn ữổc xƠy dỹng chứng minh trản (xem (3.33)) l hằ dng, nản hai khĂi niằm l tữỡng ữỡng vợi cĂc phữỡng phĂp bĐt khÊ quy 3.7 H m tông trững sai s TĐt cÊ cĂc nh lỵ phn trản ch ã cp n tnh co hng s Lipschitz mºt ph‰a ð (3.2) l (xem ành ngh¾a 3.1) C¥u häi °t l li»u câ th” l m cht cĂc ữợc lữổng bit rng < v liằu ta cõ th ữợc lữổng trữớng hổp ch¿ câ (3.2) vỵi mºt v i > ành nghắa 3.7 (Burrage v cù bữợc i) Kỵ hiằu B (x) l Butcher 1979) Cho ð (3.2) v °t x = h (h l s nhọ nhĐt cõ ữợc lữổng ky1 vợi tĐt cÊ cĂc b i toĂn thọa m¢n b Re hf (x; y) Ta gåi ’B (x) l h m tông trững sai s ca phữỡng phĂp n n Ta x†t c¡c h m f : R C ! C H m n y khæng mang t‰nh tŒng qu¡t hìn (v… b§t ký h» n o cụng cõ th vit dữợi dng thỹc bng cĂch tĂch phƒn thüc v phƒn £o), nh÷ng nâ thu“n ti»n hìn l m vi»c vỵi b i to¡n y = (x) y ð ¥y (x) C Trong tr÷íng hỉp b i to¡n tuy‚n t‰nh khỉng dłng y = A (x) y, i•u ki»n (3.38) trð th nh (A (x)) , (trong â (:) l chu'n logarit) °t Zi := hA (x0 + cih), sü ch¶nh l»ch giœa hai líi gi£i sŁ ð â v Z l ma tr“n y1 K (Z1; :::; Zs) = I + ÷íng cho khi, vợi Z1; :::; Zs l cĂc trản ữớng cho 56 nh lỵ 3.10 H m tông trững sai s ca mt phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n thọa mÂn ’B (x) = sup kK (Z1; :::; Zs)k : (3.40) (Z1) x;:::; (Zs) x Chøng minh C“n tr¶n Sü ch¶nh l»nh y1 = y1 yb1 cıa hai líi gi£i Runge-Kutta thọa mÂn (3.8) GiÊ nh (3.38) cõ nghắa Re h fi; gii xk gik : Ta s‡ chøng minh rng tỗn ti cĂc ma trn Zi (i = 1; :::; s) vỵi (Zi) x ” fi = Zi gi Câ ngh¾a l y1 = K (Z1; :::; Zs) y0 v nh÷ mºt h» qu£, v‚ ph£i cıa ph÷ìng tr…nh (3.40) l mºt c“n tr¶n cıa ’B (x) N‚u gi = th… fi = v câ th” l§y mt ma trn tũy ỵ thọa mÂn (Zi) x Do â, ta n x†t c¡c vectì f; g (g 6= 0) C thäa m¢n Re hf; gi xkgk °t u1 := g n , cuŁi còng ta ÷ỉc cì sð trüc giao u1; :::; un cıa C Sau â, ta kgk ma tr“n Z bði Zu1 := Ta câ Zg = f, d„ th§y Re hZv; vi xkvk vợi mồi v = Cn dữợi u tiản ta xt cĂc phữỡng phĂp Vợi mỉi Z1; :::; Zs m hA (x0 + cih) = Zi v (A (x)) x vỵi måi x (v‰ dư A (x) tuy‚n t‰nh nºi suy) Ta câ y1 = K (Z1; :::; Zs) y0 suy ’B (x) kK (Z1; :::; Zs)k vợi tĐt cÊ Z1; :::; Zs m (Zi) x: Vợi cĂc phữỡng phĂp suy bin viằc chứng minh phức hỡn Khổng mĐt tnh tng quĂt, ta giÊ sò rng phữỡng phĂp l bĐt khÊ quy, bi v B (x) v v phÊi ca phữỡng trnh (3.40) ãu khổng thay Œi ph÷ìng ph¡p ÷ỉc thay bði mºt ph÷ìng phĂp tữỡng ữỡng Quan tƠm chnh bƠy giớ l B • 3.3 v 3.4, vỵi sŁ chi•u tị s P j gi = y0 + th” x¥y düng h m liản tửc f : C ! C thọa mÂn (3.38) vỵi v f (gi) = x (ta °t h = 1) =1 f (gi) = Zi (gi ph÷ìng ph¡p nĐ Vợi cĂc b xt trữớng hổp vổ hữợng, giĂ tr phức z1 C phữỡng trnh (3.40) Do tr÷íng hỉp n y K (Z) = R (z), ta câ ’B (x) = ’R (x) vỵi mồi cổng thức nĐc 57 BƠy giớ iãu n y vÔn chữa rê r ng, nhiản ta câ th” h⁄n ch‚ supremum ð ph÷ìng tr…nh (3.40) ” cõ th xt trữớng hổp vổ hữợng hay giĂ tr zi C vợi s iãu n y ặi họi mt sỹ tng quĂt ca nh lỵ von Neumann vợi cĂc h m nhiãu bin (Hairer v Wanner 1996) Ta s‡ quay l⁄i c¥u häi n y phn sau nh lỵ 3.11 (Hairer v Wanner 1996) Vợi cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta n nh B, h m tông trững sai s l h m siảu mụ (h m tr¶n mơ), tøc l ’B (0) = v ’B (x1) B (x2) vợi x1; x2 dĐu B (x1 + x2) Chøng minh T‰nh ch§t ’B (0) = cõ ữổc theo nh nghắa 3.3 Vợi viằc chứng minh b§t flng thøc, chóng ta x†t h m hœu t¿ S (z) = uAK (A1 zI; :::; As zI) vAuBK (B1 + zI; ::: ; Bs + zI) vB; â, c¡c ma tr“n Aj; Bj thäa m¢n (Aj) x1+x2 v n l cĂc vectỡ tũy ỵ ca C Sò dửng tnh chĐt (Aj sup ju Cvj, thu ữổc b§t flng thøc ch‰ kCk = kuk=1; kvk=1 minh ành lỵ 2.3 Thỹc t B (x) l cn trản, vỵi ’B ( ) = jR (1)j cho ph†p ta cõ nhng kt lun tữỡng tỹ vã sỹ n nh ti»m c“n cıa líi gi£i sŁ nh÷ ð Ch÷ìng 3.8 T‰nh to¡n ’B (x) ” t…m gi¡ trà lỵn nhĐt ca k y1k dữợi sỹ hn ch ca (3.38) Ch‰nh x¡c hìn, ta x†t b i to¡n tŁi ÷u hõa vợi r ng buc bĐt flng thức k y1k ! max Re h fi; gii xkgik ; (3.42) i = 1; :::; s: n — ¥y, f1; :::; fs ÷ỉc coi l c¡c gi¡ trà ºc l“p C , y1 v gi ữổc nh nghắa (3.8), v y0 ÷ỉc xem nh÷ mºt tham sŁ Mºt c¡ch ti‚p c“n cŒ i”n ” gi£i b i to¡n ti ữu hõa (3.42) l xt cĂc nhƠn tò Lagrange d1; :::; ds v x†t 58 T â, f = ( f1; :::; fs) ; D = diag (d1; :::; ds) v = u = D1 T W = DA + A D bb T T 2xA DA: nh lỵ 3.12 (Burrage v Butcher 1980) Nu ma trn +’ u vỵi d1 0; :::; ds vỵi h x Do th… k y1k â, ta câ ’B (x) k y0k vợi tĐt cÊ cĂc b i to¡n thäa m¢n (3.38) ’: Chøng minh Trł c£ hai v‚ cıa (3.43) cho K‚t qu£ sau â câ ÷ỉc di v Vỵi sü trỉ gióp cıa ành lỵ 3.12, Burrage v Butcher (1980)  tnh toĂn cn trản úng ca B (x) cho mt v i phữỡng phĂp nĐc V nhn thĐy rng, vợi tĐt cÊ cĂc phữỡng phĂp nĐc th B (x) = K (x), â ’K (x) = sup jK (z1; :::; zs)j : (3.46) Rez1 x;:::; Rezs x Câ ph£i ’B (x) = K (x) vợi tĐt cÊ cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta hay khæng? N‚u muŁn ki”m tra t‰nh hæp l» ca B (x) = K (x) vợi mỉi phữỡng phĂp RungeKutta, ta phÊi tm cĂc nhƠn tò Lagrange khổng Ơm di (3.45) ữổc thọa mÂn CĂc b ã sau ¥y s‡ r§t hœu ‰ch cho mưc ‰ch n y 0 Ta kỵ hiằu z1 ; :::; zs l cĂc giĂ tr (3.46) t supremum Theo nguyản lỵ ⁄o h m cıa K (z maximum ta cõ zj B ã 3.5 Cho x c nh vợi K (x) < iãu kiằn (3.45) vợi = K (x) xĂc nh nhĐt cĂc nhƠn tò Lagrange d1; :::; ds (xem ph÷ìng tr…nh (3.52) ð phƒn sau) V d1; :::; ds l c¡c sŁ thüc d÷ìng Chøng minh Xt ỗng nhĐt thức (3.43) cho trữớng hổp c biằt vợi fj l vổ hữợng, fj = zj gj â y1 = K (z1; ::: ; zs) Vỵi Rezj = x, ta câ jK (z1 ; ::: ; zs)j 59 °t ’ := ’K (x) v zj := zj (cuŁi cịng ta ph£i x†t c¡c giỵi h⁄n) v trĂi ca phữỡng tr nh (3.47) triằt tiảu Kt hổp vợi giÊ thit (3.45) cõ nghắa u + W f = 0, tøc l D1b T T 2xA D1 + DA + A D bb T T 2xA DA Kt hổp hổp lỵ cĂc iãu  cõ v sò döng f = Z0 0 Z0 = diag z1 ; :::; zs , ta f = 0: g = + A f, g; â ÷ỉc Ta s‡ chøng minh t§t c£ c¡c th nh phƒn cıa g = (I (3.48) xĂc nh nhĐt cĂc nhƠn tò Lagrange d1; :::; ds Th¡c tri”n K (z1; ::: ; zs) chi Taylor vỵi Łi sŁ zj ta câ K z1 ; :::; zj; :::; zs j Ta câ â c = @jK Rez c> T Vi ph¥n K (z1; ::: ; zs) = + b Z(I AZ) theo zj Tł (3.49) ta câ ” d1; :::; ds x¡c ành nh§t bði (3.48) Chia th nh phƒn thø j cıa (3.48) cho gj, tł (3.50) T dj = b (I Z0A) ej : K z0 ; (3.52) @jK (z0) l sŁ thüc d÷ìng theo (3.49) v (3.51) 0 Trong chøng minh n y, ta m°c ành r‹ng t§t c£ zj l hœu h⁄n N‚u zj = x+i1 vợi mt v i j n o õ, ngữới ta ph£i Œi !j = x + 1= (zj x), nßa m°t phflng Rezj x th nh Re!j x v th nh BŒ • 3.6 N‚u ma tr“n W ca phữỡng trnh (3.44c) vợi d1; :::; ds nhữ B ã 3.5 l nòa xĂc nh dữỡng, th ta câ ’B (x) = ’K (x) : 60 Chøng minh Tł + uK ’ T s (xem (3.47)) v v Wv vỵi måi v R , ma trn (3.53) nòa xĂc nh dữỡng Kt quÊ sau õ cõ ữổc t nh lỵ 3.12 T cĂc kt quÊ trản, vợi mt phữỡng phĂp Runge-Kutta nhĐt nh th… câ th” ki”m tra xem n o ’B (x) = K (x) ữổc thọa mÂn iãu n y câ th” thüc hi»n b‹ng thu“t to¡n sau ¥y: T‰nh = K (x) ca phữỡng trnh (3.46) vợi s hoc vợi cĂc cổng thức, chữỡng trnh hỉ trổ Tnh cĂc nhƠn tò Lagrange d1; :::; ds t B ã 3.5 Ki”m tra n o ma tr“n W cıa phữỡng trnh (3.44c) l nòa xĂc nh dữỡng Nu úng W l nòa xĂc nh dữỡng th B (x) = K (x) theo B ã 3.6 V dử 3.3 Vợi phữỡng phĂp Radau IIA nĐc p = (xem B£ng 1.7) ’B (x) = ’K (x) = p õ = Vợi phữỡng phĂp Gauss n§c p = (xem B£ng 1.5 ) ’B (x) = Vợi phữỡng phĂp B Vợi cĂc phữỡng phĂp cõ khâ, ta ¡p dưng c¡c ph÷ìng ph¡p sŁ ” t‰nh to¡n z tr…nh (3.46)) 61 K‚t lu“n Ch÷ìng n y  trnh b y cĂc khĂi niằm vã n ành B, Œn ành ⁄i sŁ, Œn ành AN v mi quan hằ gia cĂc dng n nh nh lỵ 3.4 v nh lỵ 3.6 l cĂc kt quÊ quan trồng ữa v dử vợi cĂc phữỡng phĂp Runge-Kutta 'n v sü Œn ành ⁄i sŁ cıa chóng tł õ cõ kt lun vã sỹ n nh B Bản c⁄nh â, phƒn n y cơng ÷a c¡c kh¡i niằm vã cĂc phữỡng phĂp khÊ quy, cĂc phữỡng phĂp bĐt khÊ quy Sau õ, lun vôn trnh b y nh lỵ 3.3 vã sỹ tữỡng ữỡng gia n nh B v n nh i s vợi cĂc phữỡng phĂp S-bĐt khÊ quy 62 Kt lun Lun vôn trnh b y v• t‰nh Œn ành v t‰nh co cıa c¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta T‰nh Œn ành v t‰nh co cıa ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta ÷ỉc tr…nh b y lƒn l÷ỉt tł b i to¡n tuy‚n t‰nh ‚n b i to¡n phi tuy‚n MŁi quan h» giœa c¡c d⁄ng Œn ành A, Œn ành B, Œn ành ⁄i sŁ, Œn ành AN Hỡn na, cặn cõ cĂc v dử vã cĂc phữỡng phĂp tữỡng ứng thọa mÂn tng dng n nh c biằt, lun vôn quan tƠm n tnh n ành cıa c¡c ph÷ìng ph¡p DJkh£ quy, S-kh£ quy v cĂc phữỡng phĂp bĐt khÊ quy Bản cnh õ, lun vôn cụng xem xt n cĂc h m tông trững sai sŁ ’R (x), ’B (x) t÷ìng øng x†t b i to¡n tuy‚n t‰nh v b i to¡n phi tuyn vợi cĂch tnh toĂn chúng Lun vôn  tr…nh b y mºt sŁ chøng minh chi ti‚t li¶n quan ‚n t‰nh Œn ành v t‰nh co cıa c¡c ph÷ìng ph¡p Runge-Kutta C¡c k‚t qu£ â câ th” gióp ta vi»c lüa chån ph÷ìng ph¡p phị hỉp ” giÊi cĂc hằ phữỡng trnh vi phƠn tuyn tnh v phi tuy‚n Ngo i ra, lu“n v«n câ tr…nh b y mºt sŁ v‰ dö, b i to¡n minh håa vợi viằc thò nghiằm s giÊi cĂc b i to¡n â 63 T i li»u tham kh£o [1] Ph⁄m Ký Anh, 2008,Gi£i t‰ch sŁ, Nh xu§t b£n ⁄i håc QuŁc gia H Nºi [2] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, Springer-Verlag, second edition [3] E Hairer, S P Norsett, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, sec-ond revised edition [4] J.C.Butcher (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equa-tions, The Uninversity of Auckland, New Zealand, Wiley Publishers [5] Linda R.Petzold, UriM.Ascher (1997), Computer Methods for Ordinary Dif-ferential Equations and Differential-Algebraic Equations [6] L Shampine, M W Reichelt (1997), The MATLAB ODE Suite [7] W Wasow (1965),Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Interscience, John Wiley and Sons, New York 64 ... ph÷ìng ph¡p Runge- Kutta Ph÷ìng ph¡p Runge- Kutta tŒng qu¡t Ph÷ìng phĂp Runge- Kutta thuc lợp cĂc phữỡng phĂp s mt bữợc, ÷ỉc ÷a bði hai nh to¡n håc ng÷íi øc l Carl Runge (1856 - 1927) v Wilhelm Kutta. .. to¡n m c¡c phữỡng phĂp Runge- Kutta hin khổng giÊi quyt ữổc i vợi c¡c b i to¡n c÷ìng, c¡c ph÷ìng ph¡p Runge- Kutta 'n giÊi quyt tt hỡn rĐt nhiãu so vợi cĂc phữỡng ph¡p Runge- Kutta hi”n ành ngh¾a... 1.3 det p dưng c¡c ph÷ìng ph¡p Runge- Kutta gi£i b i to¡n c÷ìng ” minh håa cho c¡c ph÷ìng phĂp Runge- Kutta ữổc xƠy dỹng phn trản, ta Ăp dưng c¡c ph÷ìng ph¡p Runge- Kutta gi£i mºt sŁ b i toĂn cữỡng