Phương trình tích phân ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– TRẦN THỊ THỦY PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phương trình tích phân tất đ 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Phép tính vi tích phân cho h 1.3 Tốn tử ngẫu nhiên tuyến tín 1.3.1 1.3.2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN FREDHOLM VÀ VOLTERRA 2.1 Phương trình Fredholm V nhiên 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 Hạch K(x, y, ω) ngẫu nhiê 2.3 Hạch K(x, y, ω) biến ngẫu gian hàm gián đoạn vừa MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 3.1 Phương trình vi phân phi 3.1.1 3.1.2 3.2 Phương trình tích phân phi 3.3 Phương trình tích phân phi ngẫu nhiên vế phải ngẫu 3.3.1 3.3.2 Tài liệu tham khảo LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình GS.TS.Đặng Hùng Thắng- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên-ĐHQGHN Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, Tháng năm 2015 MỞ ĐẦU Từ cuối kỉ 17, Newton Leibniz xây dựng phép tính vi phân tích phân cổ điển Tới nửa đầu kỉ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu xây dựng Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên phép tính tích phân ngẫu nhiên trở thành cơng cụ quan trọng ứng dụng nhiều tốn học, vật lý, sinh học kinh tế Trong phương trình tốn tử tuyến tính, phương trình tích phân ngẫu nhiên giúp cho việc nghiên cứu toán học đại mang lại nhiều kết Trong luận văn "Phương trình tích phân ngẫu nhiên" này, xét hai loại phương trình tích phân ngẫu nhiên Fredholm Volterra Ngồi ra, xét số phương trình tích phân ngẫu nhiên phi tuyến Chúng quan tâm lớn có tầm quan trọng nhiều nhánh khoa học, kinh tế cơng nghệ Đặc biệt, phương trình tích phân phi tuyến xuất tượng vật lý cụ thể việc xây dựng phương trình tích phân phương trình vi phân phi tuyến Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.1.1 Phương trình tích phân tất định: Giới thiệu: Xét phương trình tích phân: b K(x, y)f (y)dy = g(x) a b a K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) phương trình Fredholm khơng loại thứ thứ hai tương ứng phương trình tích phân tuyến tính: x K(x, y)f (y)dy = g(x) a x a K(x, y)f (y)dy − λf (x) = g(x) phương trình Volterra khơng loại thứ thứ hai tương ứng Từ phân loại phương trình tuyến tính trên, ta thấy phương trình Volterra trường hợp đặc biệt phương trình Fred-holm với hạch: K(x, y) = Phương trình tích phân tuyến tính chiếm phần quan trọng phương trình tốn tử tuyến tính ứng dụng tốn học Chúng ta xét ví dụ mối quan hệ phương trình tích phân phương trình khác Bài toán giá trị ban đầu: Xét phương trình vi phân cấp 2: x(0) = x0, Trong (1.6) a b hàm t Nếu viết lại phương trình (1.6) là: d2x dx = −a − bx + f (t) dt2 dt tích phân khoảng (0, t) có được, sử dụng (1.7) dx dt =− = −ax − Tích phân có được: t x(t) = x0 − t a(r)x(r)dr − + t t t 0 [b(r) − a(r)]x(r)drdr 0 f (r)drdr + [a(0)x0 + v0]t mà viết với hình thức là: t x(t) = − 0 ′ a(r) + (t − r)[b(r) − a (r)]x(r)dr t + Có thể viết lại là: x(t) − (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 Trong đó: ′ K(t, r) = (r − t)[b(r) − a (r)] − a(r) t g(t) = (t − r)f (r)dr + [a(0)x0 + v0]t + x0 Do phương trình (1.6) (1.7) phương trình tích phân (1.8) phương trình Volterra loại thứ hai Bài tốn biên: Xét phương trình vi phân sau: dx + λx = 0, dt Tiến hành ví dụ đầu tiên, tích phân khoảng (0, t) : dx dt = Ở x′(0) chưa biết Tích phân lặp lại khoảng (0, t) sử dụng điều kiện x(0) = 0, có được: x(t) = Thay điều kiện thứ hai x(a) = có: Do đó, (1.10) viết lại : t x(t) = −λ a (t − r)x(r)dr + t(λ/a) t = (λ/a) (a − r)x(r)dr a r(a − t)x(r)dr + (λ/a) t(a − r)x(r)dr t Nếu đặt : K(t, r) = (1.11) Chứng minh: Chúng ta định nghĩa dãy hàm ngẫu nhiên đây: x1(t, ω) = x0(ω) + xn(t, ω) = x0(ω) + a Sự tồn tích phân định nghĩa x n(t, ω), trực tiếp giả định hàm f dấu hiệu phát biểu toán SF Từ (3.10),(3.11) (3.12) thu được: n ||xn+1(t, ω) − xn(t, ω|| M(ω)[K(t, ω)] /n! đó: b K(t, ω) = a k(r, ω)dr Dãy xn(t, ω) hội tụ T với ω ∈ Ω đến vài hàm ngẫu nhiên x(t, ω) từ hội tụ x(t, ω) liên tục tuyệt đối giống hàm số Chúng ta có: ||x(t, ω) − x0(ω) − t 6nlimK(r, ω)||xn(r, ω) − x(r, ω)||dr = →∞ a x(t, ω) nghiệm tốn SF Tính nghiệm x(t, ω) từ bổ đề (3.1) Bây xét kết đại số toán L p Định lý 3.8 Giả sử: p p (i) Hàm g : T × L n(Ω) → L n(Ω) thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||g(t, ξ1) − g(t, ξ2)|| k(t)||ξ1 − ξ2|| 55 p với ξ1, ξ2 ∈ L n(Ω), k(t) khả tích T p (ii) Nếu x : T → L n(Ω) liên tục tuyệt đối, g(t, x) tích phân p Bochner Khi có tồn hàm x(t) : T → L n(Ω) mà liên tục tuyệt đối thỏa mãn toán Lp Chứng minh: Chúng ta định nghĩa dãy hàm ngẫu nhiên đây: x0(t) = x(a) = x0 a Từ (3.13),(3.14),(3.15) (3.16) ta có: n ||xn+1(t) − xn(t)|| M[K(t)] /n! Phần dư tồn chứng minh tương tự định lý (3.7) bỏ qua Tương tự,chứng ta bỏ qua chứng minh tính suy từ bổ đề (3.1) Chúng ta khép lại chủ đề với ví dụ mà chứng tỏ ứng dụng giới hạn định lý (3.8) Xét tốn L p phương trình vi phân tuyến tính ngẫu nhiên ′ x (t) = A(ω)x(t),x(0) = A(ω) biến ngẫu nhiên giá trị thực Sử dụng định lý (3.8) thiết lập tồn phương trình (3.17) địi hỏi tồn số K cho: ||A(ω)x(ω)|| K||x(ω)|| 56 với x ∈ Lp(Ω) Tuy nhiên x(ω) thỏa mãn (3.18) A(ω) bị chặn Khi đó, có tồn M cho |A(ω)| < M, ∀ω ∈ Ω Tính đầy đủ điều kiện bị chặn chắn, đặt K=M Bây n giả sử A(ω) không bị chặn, đặt xn(ω) = (A(ω)) định nghĩa: ξ m(ξ) = |A(ω)| dµ Khi đó, bất đẳng thức (3.18) áp dụng cho xn(ω) n+1 ||A n (ω)|| K||A (ω)|| sử dụng (3.19) m(p(n + 1)) Km(pn) n = 1, 2, với vài số K Bây giả sử x(ω) khơng bị chặn với M: ξ lim m(ξ)/ ξ→∞ |x(ω)| dµ = |x(ω)|>M sau đó: lim n→∞ Do khơng có số K để (3.18) thỏa mãn Ví dụ biểu diễn cho phương trình vi phân tuyến tính với hệ số ngẫu nhiên mà có phân phối Gauss Poisson khơng thể đốn trước điều kiện Lipschitz thỏa mãn 3.1.2 Phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên không gian hàm liên tục: Đặt C0[0, 1] định nghĩa không gian hàm liên tục khoảng T = [0, 1] triệt tiêu Xét không gian độ đo (C0, B, w), B σ-đại số tập Borel C0[0, 1] w độ đo Wiener Xét phương trình vi phân phi tuyến ngẫu nhiên: dy(t, ω)/dt = f (t, y(t, ω) + w(t, ω)) 57 y(0, ω) = (3.20) w(t, ω) Winer y(t, ω) với ω ∈ Ω cố định, phần tử C0[0, 1] Hàm f (t, u) : T × R → R hàm liên tục giá trị thực t Đặt x(t, ω) = y(t, ω) + w(t, ω) phương trình (3.20) tương đương với phương trình Volterra ngẫu nhiên phi tuyến x(t, ω) − Cameron xét tốn đây: Tìm điều kiện hàm f (x, ω) cho phương trình (3.20) có nghiệm y(t, ω) cho hầu hết tất hàm giống w(t, ω),Đó tất hàm giống w(t, ω) ngoại trừ hàm thuộc tập có độ đo Wiener khơng Định lý thiết lập điều kiện f (t, u) Đó đầy đủ cho tồn gần chắn nghiệm phương trình (3.20) Định lý 3.9 (i) Để f (t, u) có đạo hàm riêng bậc liên tục ft, fu miền (t, u) : t ∈ [0, 1], u ∈ R Đặt: g(t, u) = (ii) Để điều kiện tăng dần sau thỏa mãn: ∀t ∈ T, u ∈ R a.f (t, u)sgnu > −A1expBu 2 b.fu(t, u) + 4gt(t, u) 2α u + A2 −1 c.g(1, u) αu cotβ − A , u∈R A1, A2, A3, α, β B số dương α < β < π B < Khi phương trình (3.20) có nghiệm y(t, ω) ∈ C0[0, 1] trương đương phương trình (3.21) có nghiệm x(t, ω) ∈ C0[0, 1] hầu hết với w(t, ω) ∈ C0[0, 1] 3.2 Phương trình tích phân phi tuyến với vế phải ngẫu nhiên Xét phương trình tích phân có dạng: ∞ x(t) −K(t − r)ψ(x(r), r)dr = y(t) −∞ 58 Bây xét phương trình (3.22) với đầu vào hàm ngẫu nhiên y(t, ω) Trong trường hợp ta cần xét không gian M2 tất hàm ngẫu nhiên x(t, ω) cho: (1) x(t, ω) hàm ngẫu nhiên đo (2) x(t, ω) tích phân địa phương với ω ∈ Ω cố định (3) Điều kiện độ hữu hạn yếu ||x(ω)|| = Alim sup(1/2A) →∞ thỏa mãn với ω ∈ Ω Như trước, định nghĩa M tập không gian hàm có độ 0, x(t, ω), ||x(ω)|| = chắn Xét phương trình tích phân phi tuyến ngẫu nhiên: x(t, ω) = y(t, ω) + y(t, ω) : T × Ω → M2 T → T thỏa mãn (3.29) Định lý đây, thiết lập tồn nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) phương trình (3.32) Mở rộng định lý 3.10 trường hợp đầu vào ngẫu nhiên Định lý 3.10 Giả sử (i) ψ(x, t) thỏa mãn (3.28) x1(t, ω) ∈ M2, x2(t, ω) ∈ M2 x1(t, ω) > x2(t, ω) (ii) K(t) hàm Lp thỏa mãn (3.29) (3.30) Để Y (t, ω) hàm ngẫu nhiên có độ đo tùy ý M2 Khi có tồn nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) ∈ M2 phương trình (3.24) nghiệm M2/M0 Chúng ta phát biểu không chứng minh hai bổ đề mà dùng cho chứng minh định lý (3.10) Bổ đề 3.2 Đặt K(µ) = F{K(t)} định nghĩa phép biến đổi Fouriercuar K (t).Nếu: (i) K(t) ∈ L2 (ii) (3.29) thỏa mãn (iii) K(µ) = với µ 59 (iv) H(µ) = K(µ)[1 − K(µ)] −1 −1 Khi đó, H(t) = F {H(µ)} ∈ L2 thỏa mãn (3.29) 2 Bổ đề 3.3 Đặt F (t) hàm cho (1 + t )|F (t)| ∈ L1 để F (µ) = −1 F{F (t)} Khi đó, F (t) ∈ L1 Nếu F (µ) = 1, ∀µ G(t) = F {F (µ)[1 − F −1 (µ)] ]} Do đó, tốn tử I − F M2/M0 bị chăn ngược miêu tả là: −1 (I − F ) λx = (I + G)λx Chứng minh định lý (3.10) Trước hết viết lại phương trình (3.24) có dạng: Nếu định nghĩa W toán tử: V [x(t, ω)] = −∞ Do chắn toán tử A phương trình (3.25) có dạng A = V W tồn tính nghiệm phương trình (3.25) thiết lập cách tìm điểm cố định tốn tử A = V W Dưới từ (3.29) V ánh xạ M2 vào Để A định nghĩa W ánh xạ x(t, ω) vào miền V Từ (i) ψ hàm liên tục x(t, ω): |ψ(x(t, ω), t)| max{|α||β|}|x(t, ω)| chắn Vì thế, ψ(x(t, ω), t) ∈ M2 ảnh M2 vào Bây giờ, ta biểu diễn A tốn tử co M Từ ψ(t), K(t) hàm xác định, toán tử W V xác định Do đó, A tốn tử xác định định lý ánh xạ co lớp Banach sử dụng thiết lập tồn điểm cố định A Sử dụng định nghĩa toán tử V, phương trình (3.24) viết là: (I − 2(α + β)V )x(t, ω) = y(t, ω) + ∞ K(t − r) ψ(x(r, ω), r) − 2(α + β)x(r, ω) dr−∞ (3.28) 60 Từ (3.29) K(t) ∈ L1 từ (3.30) (α + β)F (µ) = 1, ∀µ Với bổ đề (3.2) (3.3) tốn tử I − (α + β)V bị chặn ngược M 2/M0 biểu diễn đồng thức dấu trừ phép nhân chập Cho nên viết lại (3.28): −1 x(t, ω) = (I − 2(α + β)V ) y(t, ω) + ∞ H(t − r) ψ(x(r, ω), ω) − 2(α + β)x(r, ω) dr−∞ = y1(t, ω) + Sx(t, ω) H(t) hàm L1 với: H(µ) = F{H(t)} = đẳng thức thứ hai định nghĩa hàm y 1(t, ω) toán tử S theo cách thức rõ ràng Từ (i) ta có: hầu hết với ∀ω ∈ Ω với (x1, t) ∈ M2, (x2, t) ∈ M2 Sx − || ( hầu hết với ∀ω ∈ Ω Từ (3.30) số vế phải (3.30) nhỏ Do đó, viết lại phương trình (3.29) là: (I − S)x(t, ω) = y(t, ω) quan sát : ||(I − S)(x1 − x2)|| = ||S(x1 − x2)|| kéo theo đầy đủ M2 thực tế M2/M0 không gian metric, định lý ánh xạ co Banach ứng dụng thiết lập tồn tại, tính nghiệm ngẫu nhiên phương trình (3.24) 61 3.3 Phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên 3.3.1 Giới thiệu: Trong chủ đề nghiên cứu lớp tổng quát phương trình tích phân phi tuyến loại Volterra với hạch ngẫu nhiên vế phải ngẫu nhiên Phương trình xét có dạng: x(t, ω) − + ω ∈ Ω, t ∈ R Chúng ta giả sử hàm x(t, ω) hàm + biết y(t, ω) hàm t ∈ R với giá trị L2(Ω) = L2(Ω, U, µ) Hàm f (t, x(t, ω)) điều kiện thích hợp hàm t ∈ R+ với giá trị L2(Ω) Hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) giả sử hàm bị chặn µ với t, τ, (0 τ t < ∞) với giá trị L∞(Ω) với t, τ cố định Vì vậy, tích số K(t, τ, ω)f (t, x(t, ω)) nằm L2(Ω) Chúng ta giả sử ánh xạ: (t, τ ) → K(t, τ, ω) từ tập (t, τ ) : τ t < ∞ vào L∞(Ω) liên tục, là: µ − ess sup |K(tn, rn, ω) − K(t, r, ω)| → ∞ ω Phần định nghĩa tồn nghiệm ngẫu nhiên x(t, ω) phương trình (3.31) Trong chủ đề này, khái niệm cặp không gian Banach chấp nhận với việc ý đến tốn tử ứng dụng Để giới thiệu khái niệm này, cần định nghĩa vài không gian: + (1) Không gian Cc = Cc(R , L2(Ω)) định ngĩa không gian tất hàm liên tục từ R+ vào L2(Ω) với tôp hội tụ khoảng [0, b], b > Không gian Cc không gian lồi địa phương mà tơp định nghĩa họ chuẩn: ||x(t, ω)||n = sup t∈[0,n] n = 1, 2, + (2) Không gian Cg = Cg(R , L2(Ω)) định nghĩa không gian 62 + tất hàm liên tục từ R → L2(Ω) Ω |x(t, ω)| dµ M g(t)t ∈ R + M số dương g(t), t ∈ R+ hàm liên tục dương Cg định nghĩa bởi: (3.34) x || ( (3) Không gian C = C(R , L2(Ω)) định nghĩa không gian + tất hàm liên tục bị chặn từ R → L2(Ω) + + (4) Cuối để X = X(R , L2(Ω)) Y = Y(R , L2(Ω)) cặp không + gian Banach hàm liên tục từ R → L2(Ω) , X, Y ∈ Cc để L toán tử tuyến tính từ Cc vào + Định nghĩa 3.1 Cặp không gian Banach (X, Y) gọi thừa nhận + + với ý tới toán tử L : C c(R , (L2(Ω)) → Cc(R , L2(Ω)) L[X] ⊂ Y + Bổ đề 3.4 Giả sử L toán tử liên tục từ Cc(R , (L2(Ω)) vào Nếu (i) X, Y không gian Banach với tô pô mạnh tô pô C c (ii) cặp (X, Y) thừa nhận với lưu ý tới L, L toán tử liên tục từ X vào Y) Chúng ta tham khảo Corduneanu cho chứng minh bổ đề mà liên quan đến việc cho thấy L tốn tử đóng vầ dùng định lý đồ thị đóng Chúng ta ý L tốn tử liên tục, bị chặn tìm số M > cho: ||Lx(t, ω)||Y M||x(t, ω)||X Chúng ta xét phương trình vi phân khơng tuyến tính ngẫu nhiên có dạng: + dx(t, ω)/dt = A(ω)x(t, ω) + f (t, x(t, ω))t ∈ R 63 cho thấy xây dựng phương trình tích phân ngẫu nhiên dạng (3.31) Tsokos nghiên cứu phương trình tích phân Volterra phi tuyến ngẫu nhiên loại xoắn lại: x(t, ω) − mà xuất xây dựng phương trình tích phân hệ thống vi phân ngẫu nhiên khơng tuyến tính 3.3.2 Tồn nhất: Bây xét tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (3.31) Hàm ngẫu nhiên x(t, ω) gọi nghiệm ngẫu + nhiên (3.31) với t cố định t ∈ R , x(t, ω) ∈ L2(Ω) thỏa mãn phương trình (3.31) với xác suất Định lý 3.11 Giả sử rằng: + (i) X, Y không gian Banach từ R → L2(Ω) với tô pô mạnh tô pô + Cc(R , (L2(Ω)) cặp (X, Y) thừa nhận với lưu ý đến tốn tử tích phân ngẫu nhiên: t L(ω)x(t, ω) = K(t, r, ω)x(r, ω)dr hạch ngẫu nhiên K(t, τ, ω) liên tục phương sớm (ii) Ánh xạ: x(t, ω) → f (t, (x(t, ω)) toán tử tập hợp: S = {x(t, ω) : x(t, ω) ∈ Y, cho p > với giá trị X thỏa mãn điều kiện: ||f (t, x1(t, ω)) − f (t, x2(t, ω))||{X} k||x1(t, ω) − x2(t, ω)||{Y} (3.39) với x1, x2 ∈ S k số dương (iii) y(t, ω) ∈ Y Khi tồn nghiệm ngẫu nhiên phương trình (3.31) (a) k < N −1 p(1 − kN) N chuẩn L(ω) 64 (b) ||y(t, ω)||Y+N||f ((t, 0)||X Chứng minh: Chúng ta định nghĩa toán tử ngẫu nhiên W (ω) từ S vào Y đây: t W (ω)[x(t, ω)] = y(t, ω) + K(t, r, ω)f (r, x(r, ω))dr Trước hết thấy giả thuyết định lý W (ω) toán tử co Đặt x1(ω) x2(ω) phần tử S Khi đó, từ (3.40) có: t W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)] = K(t, r, ω)[f (t, x1(r, ω)) − f (t, x2(r, ω))]dr (3.41) Từ W (ω)[S] ⊂ Y Y không gian Banach, có: W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)] ∈ Y Dưới từ điều giả sử (i) (ii) có [f (t, x 1(t, ω))−f (t, x2(t, ω))] ∈ X Từ đây, qua bổ đề (3.4) L(ω) toán tử liên tục từ X vào Y có tồn số N>0 cho: ||L(ω)x(t, ω)||Y N||x(t, ω)||X Từ (3.41) có: ||W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)]||Y N||f (t, x1(r, ω)) − f (t, x2(r, ω))||X Áp dụng điều kiện Lipschitz f (t, x) đưa (ii) có: ||W (ω)[x1(t, ω) − x2(t, ω)]||Y kN||x1(t, ω) − x2(t, ω)||X Sử dụng điều kiện (a) (có kN