Một số phương pháp giải bài toán rẽ nhánh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN RẼ NHÁNH Chun ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI- 2015 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ 1.3 Toán tử Fredholm 1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử 1.5 Định lý hàm ẩn Lý thuyết bậc ánh xạ 2.1 Một vài ký hiệu bổ đề 2.2 Định nghĩa bậc ánh xạ liên tục k 2.3 Định nghĩa bậc ánh xạ liên tục 2.4 Ứng dụng bậc ánh xạ Giải toán rẽ nhánh 3.1 Lý thuyết rẽ nhánh 3.2 Giải toán rẽ nhánh 3.2.1M 3.2.2C Kết luận Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU Nhiều tượng tự nhiên khoa học mơ tượng mơ tả ngơn ngữ tốn học thơng qua việc giải phương trình phụ thuộc tham số: F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D, đó, F hàm số tích khơng gian metric (Λ, d) với D, (D lân cận điểm không gian định chuẩn X) vào không gian định chuẩn Y Nghiên cứu rẽ nhánh phương trình việc nghiên cứu thay đổi nghiệm theo tham số Trong thời gian gần đây, lý thuyết rẽ nhánh sử dụng nhiều để nghiên cứu phương trình phụ thuộc tham số, đặc biệt tìm giá trị tham số mà cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi Giả thiết với λ ta có v(λ) để F (λ, v(λ)) = Bằng cách tịnh tiến, ta giả thiết v(λ) = Mỗi nghiệm (λ, 0) gọi nghiệm tầm thường phương trình F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D (1) Ta tìm nghiệm tầm thường (λ, 0) mà lân cận có tính chất với δ > 0, ǫ > cho trước, tồn nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D (1) thỏa mãn d(λ, λ) < δ < ||u|| < ǫ Nghiệm tầm thường (λ, 0) gọi nghiệm rẽ nhánh (1), λ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh (1) gọi toán rẽ nhánh Có nhiều phương pháp khác để giải tốn rẽ nhánh, phương pháp ứng dụng cho phương trình khác Dựa vào định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính phương trình Tuy nhiên, khơng phải giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Rất nhiều cơng trình tác giả khác cho ba toán: tồn nghiệm rẽ nhánh, tồn nhánh nghiệm, tìm giá trị tham số tính nghiệm bị phá vỡ, với phương pháp biến phân, tơpơ, giải tích cho trường hợp đặc biệt, tham số số thực dạng (λ, v) ∈ Λ × D T (v) − λc(v) = 0, Trong luận văn ta nghiên cứu rẽ nhánh phương pháp Lyapunov-Schmidt [1] sử dụng phép chiếu đưa phương trình nghiên cứu thành hai phần: phần nằm không gian hữu hạn chiều, phần cịn lại nằm khơng gian vơ hạn chiều trực giao Sau sử dụng bậc ánh xạ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Từ đó, ta có phương pháp kết hợp phương pháp tôpô giải tích cho tốn rẽ nhánh Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm số định nghĩa định lý sử dụng việc chứng minh bổ đề định lý lý thuyết rẽ nhánh Chương hai trình bày lý thuyết bậc ánh xạ liên tục Tiếp theo ta tính chất bậc ánh xạ Cuối số ứng dụng bậc ánh xạ Chương ba trình bày khái niệm phép chiếu không gian Banach lược đồ Lyapunov-Schmidt để chuyển phương trình tốn tử hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm khơng gian vơ hạn chiều phần khó giải nằm không gian hữu hạn chiều Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu rẽ nhánh phương trình phụ thuộc tham số Từ ta có số hệ tốn tìm nghiệm rẽ nhánh phương trình (1) Khi viết luận văn tác giả tham khảo tài liệu [2], [3], [4] [5], nêu điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh cơng thức biểu diễn nghiệm phương trình theo véctơ riêng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo nhà trường, đặc biệt thầy giáo chun ngành Giải tích, khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy phịng Sau Đại học tận tình giúp đỡ tác giả suốt thời gian theo học, thực hồn thành khóa luận Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn đến người thân, gia đình, bạn bè động viên tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Nguyễn Thị Mai Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số không gian thường dùng luận văn số định nghĩa, định lý làm sở cho chương chương 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian véctơ thực Một ánh xạ ||·|| : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn tiên đề sau: (i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, (ii) ||λx|| = |λ|.||x||, ||x|| = ⇐⇒ x = 0, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ X (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, Khi đó, cặp (X, || · ||) gọi không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Dãy {xn} ⊂ X gọi dãy (dãy Cauchy) không gian định chuẩn (X, || · ||) lim ||xn − xm|| = m,n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Nếu không gian định chuẩn (X, || · ||), dãy hội tụ tới giới hạn thuộc không gian X X gọi khơng gian đủ hay khơng gian Banach, tức với dãy {x n} ⊂ X ln tồn x0 ∈ X cho xn → x0 n → ∞ Sau đây, ta xét số trường hợp cụ thể không gian Banach 1.1.1 Không gian RN n Cho ≤ p ≤ ∞, ta xác định chuẩn || · ||p R sau: n với x = (x1, , xn) ∈ R , ta định nghĩa ||x||p = n Trường hợp p = ∞, ta định nghĩa ||x|| p = max{|x1|, , |xn|} Khi đó, R với chuẩn || · ||p không gian Banach Hai chuẩn ρ1, ρ2 không gian định chuẩn X gọi tương đương tồn hai số thực dương C1, C2 cho C1ρ1(x) ≤ ρ2(x) ≤ C2ρ1(x), ∀x ∈ X Hai chuẩn tương đương dãy điểm {x n} ⊆ X hội tụ theo chuẩn ρ x0 ∈ X {xn} hội tụ x0 theo chuẩn ρ2 Chú ý rằng, chuẩn Rn tương đương 1.1.2 Không gian ánh xạ liên tục Cho X ⊆ Rn, định nghĩa m m C(X, R ) = {f : X → R |f ánh xạ liên tục} m Cho f ∈ C(X, R ), đặt ||f ||◦ = sup ||f (x)||, x∈X đó, || · || chuẩn Rn Vì giới hạn dãy ánh xạ liên tục hội tụ ánh xạ liên tục nên C(X, Rm) không gian Banach 1.1.3 Không gian ánh xạ khả vi liên tục n n n Cho D ⊂ R tập mở bị chặn R Cho β = (i1, , in) ∈ N , đặt |β| = i1 + + in β m n Cho D f : D → R đạo hàm riêng hàm f : D → R bậc β β D f (x) = x = (x1, , xn) ∈ D Định nghĩa k m m β C (D, R ) = {f : D → R |D f (x) liên tục D, ∀β : |β| ≤ k} k m k m Khi C (D, R ) không gian Banach với chuẩn f ∈ C (D, R ) xác định f ||k || 1.1.4 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 Cho X khơng gian tuyến tính Nếu X có hàm song tuyến tính, đối xứng · , · : X × X → R thỏa mãn x, x ≥ 0, ∀x ∈ X x, x = x = Ta gọi X khơng gian tiền Hilbert Hơn nữa, ta định nghĩa ||x|| = x, x , (X, || · ||) khơng gian định chuẩn Nếu khơng gian đủ (X, · , · ) gọi không gian Hilbert 1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véctơ riêng Cho hai không gian véctơ X, Y Một ánh xạ A:X→Y gọi ánh xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính (i) (ii) A(x1 + x2) = A(x1) + A(x2) A(αx) = αA(x) với x ∈ X với α ∈ R Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) Toán tử A gọi liên tục xn → x0 kéo theo Axn → Ax0 với dãy {xn} ⊂ X, x0 ∈ X Toán tử A gọi bị chặn có số K > ||Ax||Y ≤ K||x||X , ∀x ∈ X Định lý 1.2.1 Một toán tử tuyến tính A : X → Y liên tục bị chặn Cho X, Y hai không gian Banach với ∗ X = {f |f : X → R, f tuyến tính liên tục}; Y ∗ = {g|g : Y → R, g tuyến tính liên tục}, tương ứng không gian đối ngẫu X Y Cho A : X → Y tốn tử liên tục Khi đó, tốn tử A∗ : Y ∗ → X∗ A toán tử tuyến tính xác định ∗ A y, x = y, Ax , x ∗ ∗ với · , · cặp đối ngẫu X X , Y Y Cho X không gian Hilbert, tốn tử tuyến tính liên tục A : X → Y gọi λ1(α) = Với n = 2, 3, ta làm tương tự 53 Hệ sau tồn điểm rẽ nhánh cho phương trình tốn tử Hệ 3.2.1 Giả sử Giả thiết 1, thỏa mãn, ánh xạ A định nghĩa (3.25) tốn tử với h có x cực tiểu địa phương điểm tới hạn lập, x = Lúc đó, kết luận Định lý 3.2.1 áp dụng cho số lân cận U ∗ p x R Chứng minh Từ giả thiết A toán tử nên A ánh xạ khả vi Mặt khác, x = điểm tới hạn cô lập điểm cực tiểu địa phương hàm h Sử dụng Bổ đề 1.1 [7] để chứng minh có lân cận mở U ∗ ∗ x không chứa cho deg(A, U , 0) = deg(A, x, 0) = Vì vậy, Giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.2.1 ta có điều phải chứng minh Tiếp theo ta giả sử với v cố định, v ∈ D ánh xạ L(·, v) khả vi liên tục với λ ∈ Λ định nghĩa ánh xạ p p B:Λ×R →R , B = (B1, , Bp) xác định Bi(x) = DΛL(λ, i = 1, 2, , β ∈ Λ, x = (x1, , xp) ∈ p R Hơn nữa, ta đưa giả thiết: Giả thiết 4:Tồn điểm (β, x) ∈ X ×Rp lân cận mở U ∗ x không chứa Rp cho bậc tôpô deg(B( U ∗ xác định khác Giả thiết 5: thay α−aK(λ − Khi ta có định lý ∗ Định lý 3.2.2 Với Giả thiết 4, β = β , kết luận Định lý 3.2.1 với λ(α) thay β|α| λ(α) = λ − a−1 + |α|a−1 Chứng minh Đặt Λ◦ = λ − β + Λ β = λ − λ + β Ta định nghĩa ánh xạ xác định ˆ T (v) = T (v) ˆ L(β, v) = DΛL(λ, v)(β); ˆ H(β, v) = H(β + λ ˆ K(β, v) = K(β − λ với (β, v) ∈ Λ◦ × Khi phương trình (3.1) tương đương với ˆ T (v) = L(β, v) + H(β, v) + K(β, v), Ta dễ dàng kiểm tra ˆ ˆ ker(T − L ( ˆ Hơn nữa, L, H, K thỏa mãn Giả thiết 1, 55 xác định ˆ Ai(x) = (T ( p với i = 1, , p, x = (x1, , xp) ∈ R Như vậy, Giả thiết thỏa mãn Áp dụng Định lý 3.2.1 ta chứng minh Định lý 3.2.2 ∗ Hệ 3.2.2 Giả sử Giả thiết thỏa mãn ánh xạ B(β , ·) xác định (3.33), với β ∗ từ giả thiết toán tử với phép h mà có điểm x¯ cực tiểu địa phương tới hạn lập, x¯ = Khi đó, Định lý 3.2.2 cho lân cận mở U ∗ p x¯ R Chứng minh Áp dụng phương pháp chứng minh tương tự chứng minh Hệ 3.2.1 để giả thiết thỏa mãn Sử dụng Định lý 3.2.2 ta điều phải chứng minh Hệ 3.2.3 Giả sử Giả thiết thỏa mãn ánh xạ B(β∗, ·) xác p ∗ định (3.33) khả vi ∈ R , x = 0, thỏa mãn điều kiện ∗ ∗ ∗ x B(β , x ) = det ∗ với β từ Giả thiết ∗ Khi đó, kết luận Định lý 3.2.2 với β thay bở β Chứng minh Phương pháp chứng minh tương tự chứng minh Hệ 3.2.3, thay áp dụng Định lý 3.2.1 ta áp dụng Định lý 3.2.2 cho chứng minh Tiếp theo ta xét phương trình (3.1) trường hợp λ giá trị riêng 1 cặp (T, L) với ker(T − L(λ, ·)) = [v ], ker(T − L(λ, ·)) = [ψ ] T (v ), ψ = 56 Ta giả thiết: Giả thiết 6: −a a−1 α PY K(λ(1 + |α| β), αv), β ∈ R Định lý sau mở rộng kết thu Cranclall Rabinowitz cho phương trình liên quan ánh xạ liên tục Lipschitz 1 Định lý 3.2.3 Giả sử λ, v , ψ L, M thỏa mãn Giả thiết 1, (λ, v) điểm rẽ nhánh hệ phương trình (3.3) Chính xác hơn, cho δ > 0, ǫ > có lân cận I R cho với γ ∈ I, γ = tìm β(γ) ∈ R nghiệm rẽ nhánh (λ(γ), v(λ)) phương trình (3.1) với λ(γ) = λ + |γ| a−1 β(γ) , v(γ) = |γ|v + o(|γ|) γ → thỏa mãn |λ(γ) − λ| < δ, < ||v(δ)|| < ǫ Chứng minh Lấy I2, U2 w Bổ đề 3.2.2 (chứng minh tương tự Bổ đề 3.2.2, ta thấy bổ đề Giả thiết 1, thay Giả thiết 1, 6) Đặt β = H(λ, v ), ψ 1 T (v ), ψ Lấy lân cận mở U ∗ β Với γ ∈ I2, γ = 0, ta định nghĩa ánh xạ hδ : [0, 1] × R → R xác định βT (v1 + hγ (t, β) = Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.2.1, ta suy tồn lân cận I cho với γ ∈ I, γ = 0, hγ (t, β) = 0, ∀t ∈ 57 [0, 1], β ∈ ∂U2 ∗ Từ deg(hγ (t, ·), U , 0) xác định với t ∈ [0, 1] ∗ ∗ deg(hγ (0, ), U , 0) = deg(hγ (1, ), U , 0) = Từ suy với γ ∈ I3, γ = 0, ∃β(γ) ∈ U ∗ cho hγ (1, β(γ)) = Tiếp theo chứng minh tương tự Định lý 3.2.1 ta chứng minh Định lý 3.2.3 Sau đây, giả thiết với v ∈ D, ánh xạ L(·, v) khả vi liên tục Giả thiết 7: Giả thiết 8: thay ′ với γ ∈ R bất kỳ, α → thay cho γ → 0, γ Giả thiết Định lý 3.2.4 Với Giả thiết 7, 8, kết Định lý 3.2.3 với λ(γ) thay Chứng minh Đặt Λ◦ = ˆˆˆˆ Ta định nghĩa ánh xạ T , L, H, K dụng Định lý 3.2.3 với phương trình (3.34) ta có điều phải chứng minh Chú ý 3.2.3 Giả sử Giả thiết 1-3, (Giả thiết 4-7, 8) thỏa mãn lân cận U ∗ 1 từ Giả thiết (Giả thiết tương ứng) không chứa I , (λ (α), v1(α)), 58 2 I , (λ (α), v2(α)) tồn Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.3 (Định lý 3.2.2 3.2.4 tương ứng) Đặt I = I ∩ I , ta kết luận với α ∈ I , α = 0, v1(α) = v2(α) Thật vậy, phản chứng ta giả sử v1(α) = v2(α) với α ∈ I , α = Từ ta có |α|(x1(α) − 1)v1 ∈ X0 ∩ X1 = {0} ∗ Như vậy, x1(α) = ∈ U Điều mâu thuẫn với điều giả sử, ta có α ∈ I , α = 0, v1(α) = v2(α) Chú ý 3.2.4 Giả sử Giả thiết 1-3, (Giả thiết 4, 7, 8) thỏa mãn, P Y α H(λ, tv) = t PY H(λ, v) với t ∈ [−1, 1], (λ, v) ∈ Λ × D, J1, (λ (α), v1(α)), J2, (λ (α), v2(α)) tồn Định lý 3.2.1 Định lý 3.2.3 (tương ứng Định lý 3.2.2 3.2.4) J3, (λ (α), v3(α)), J4, (λ (α), v4(α)) tồn Định lý 3.2.1 3.2.3 (tương ứng Định lý 3.2.2 3.2.4) [4] Đặt J0 = ∩ i=1Ji Từ suy 1 (λ (α), v1(α)) = (λ (α), v3(α)) (λ (α), v2(α)) = (λ (α), v4(α)), Với α ∈ J0, α < giả sử U ∗ từ Giả thiết (tương ứng Giả thiết 4), ta có khẳng định phía Nếu U ∗ khơng chứa (λ (α), v1(α)) = (λ (α), v2(α)) (λ (α), v3(α)) = (λ (α), v4(α)) với α ∈ J0, α < Trong trường hợp ta kết luận tồn tham số khác nghiệm rẽ nhánh phương trình(3.1) lân cận (λ, 0) Nếu U ∗ khơng chứa −1 (λ (α), v1(α)) = (λ (α), v4(α)) (λ (α), v2(α)) = (λ (α), v3(α)) với α ∈ J0 α < Thật vậy, phản chứng giả sử tồn α0 ∈ J0, α0 < cho (λ (α0), v1(α0)) = 59 4 (λ (α0), v4(α0)) Suy λ (α0) = λ (α0) v1(α0) = v4(α0) Nó kéo theo |α0|x1(α0)v1 + v(α0) = α0v1 + o(|α0|) Khi |α0|x1(α0) = α0 Do α0 ∈ J0, α0 < nên suy x1(α0) = −1 Điều vơ lý Vậy có điều phải chứng minh Chứng minh tương tự cho trường hợp lại Hơn nữa, với Chú ý 3.2.2 ta thấy trường hợp tồn ba tham số nghiệm rẽ nhánh phương trình (3.1) lân cận (λ, 0) Cuối U ∗ khơng chứa −1 từ suy tồn bốn tham số khác nghiệm rẽ nhánh phương trình (3.1) lân cận (λ, 0) 60 KẾT LUẬN Luận văn chia làm hai phần (chương chương 3) Phần đầu giới thiệu lý thuyết bậc ánh xạ vài ứng dụng tơpơ hình học lý thuyết phương trình tốn tử Phần hai trình bày phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh đưa phương trình hai phần: phần nằm khơng gian vơ hạn chiều có nghiệm phần nằm khơng gian hữu hạn chiều, phương trình rẽ nhánh Theo Định lý hàm ẩn, ta nhận thấy điểm rẽ nhánh giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh Sử dụng phương pháp kết hợp phương pháp tơpơ giải tích, luận văn đưa điều kiện đủ để giá trị riêng phần tuyến tính điểm rẽ nhánh cơng thức biểu diễn nghiệm phương trình rẽ nhánh Tài liệu tham khảo [1] E Schmidt (1910), "Zur Theorie der linearen und nicht linearen Inte-gralgleichungen", III Teil (65), Math, Ann, 370-399 [2] J T Schwartz (1969), Nonlinear functional analysis, Gordon and Breach Science Publishers New York - London - Paris [3] N X Tan (1998), "An analytical approach to bifurcation problems with applications involving Fredholm mappings", Proc Roy Soc Edinburgh Sect, (A 110), 199-225 [4] N X Tan (1991), "Bifurcation problems for equations involving Lipschitz continuous mappings", J Math Anal Appl (154,no.1), 22-42 [5] N X Tan (1992), "Local bifurcation from characteristic values with finite multiplicity and its applications to axisymmetric buckled states of a thin shell", Appl Anal, (46), 259-286 [6] P Rabinowitz (1975), "A note on topological degree for potential opera-tors", J Math Anal Appl, (51), 483-492 [7] W Van Roosbroeck (1950), "Theory of the flow of electrons and holes in germanium and other sem iconductors", Bell Syst Tech J, (29), p.560 62 ... 0) gọi nghiệm rẽ nhánh (1), λ gọi điểm rẽ nhánh Những toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh (1) gọi tốn rẽ nhánh Có nhiều phương pháp khác để giải toán rẽ nhánh, phương pháp ứng dụng cho phương trình... 0) nghiệm rẽ nhánh phương trình (3.1) 3.2 Giải tốn rẽ nhánh Trong phần tác giả trình bày phương pháp giải tích lý thuyết rẽ nhánh dựa tư tưởng Lyapunov-Schmidt, sử dụng phép chiếu đưa phương trình... rẽ nhánh Từ đó, ta có phương pháp kết hợp phương pháp tơpơ giải tích cho toán rẽ nhánh Bố cục luận văn gồm ba chương, phần mở đầu, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số