Kỳ dị của tập đạt được hệ điều khiển trên mặt cong có biên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- NGUYỄN NHƯ NHƯỜNG KỲ DỊ CỦA TẬP ĐẠT ĐƯỢC HỆ ĐIỀU KHIỂN TRÊN MẶT CONG CÓ BIÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- NGUYỄN NHƯ NHƯỜNG KỲ DỊ CỦA TẬP ĐẠT ĐƯỢC HỆ ĐIỀU KHIỂN TRÊN MẶT CONG CĨ BIÊN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hy Đức Mạnh Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Hy Đức Mạnh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em để em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017 Học viên Nguyễn Như Nhường Mục lục Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị ví dụ 1.1 Hệ điều khiển địa phương 1.2 Miền dốc đứng vùng truyền hướng địa phương 1.3 Một vài loại kỳ dị đối chiều thấp Chương Kỳ dị hệ điều khiển mặt cong có biên 10 2.1 Phân loại kỳ dị biên mặt cong tập ban đầu 10 2.1.1 Kỳ dị trường hướng tới hạn biên mặt M 10 2.1.2 Cấu trúc tập đạt 12 2.2 Dạng chuẩn kỳ dị 19 Tài liệu tham khảo 24 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết kỳ dị lĩnh vực rộng lớn Toán học ứng dụng nhiều ngành khác Vật lý thiên văn, Hóa học, Sinh học, đến ngành kinh tế, kỹ thuật Một nhánh lý thuyết nghiên cứu vấn đề kỳ dị hệ động lực mô tả phương trình vi phân có tham số điều khiển Đối với hệ điều khiển tốn nghiên cứu tính đạt hệ toán Vấn đề đặt phân loại tất điểm kỳ dị tập đạt hệ điều khiển? Bài toán Giáo sư A Davydov nghiên cứu hệ điều khiển đa tạp khơng có biên với chiều vào năm 90 kỷ 20 Gần nhóm nhà tốn học Đại học Tổng hợp MGU-Moscow mở rộng nghiên cứu toán trường hợp chiều Bài toán nghiên cứu kỳ dị tập đạt đa tạp có biên (chiều 2) toán đặt cách tự nhiên từ tốn Tơi tìm hiểu tốn với giả thiết tập ban đầu hệ điều khiển nằm hoàn toàn tập đạt từ báo: A A Davydov, Hy Duc Manh, "Singularities of the attainable set on an orientable surface with boundary", J Math Sci., New York 188, No 3, 185– 196 (2013) Nếu bỏ qua giả thiết biên tập ban đầu xuất điểm kỳ dị Tiếp theo phân loại kỳ dị xuất biên tập ban đầu hệ điều khiển Luận văn tập trung nghiên cứu nội dung sau: - Phân loại kỳ dị tập đạt biên mặt cong biên tập ban đầu - Đưa dạng chuẩn kỳ dị Sau phần mở đầu, kết luận văn bố trí thành chương Chương 1: Một số khái niệm ví dụ Chương 2: Phân loại kỳ dị tập đạt hệ điều khiển mặt cong có biên đưa dạng chuẩn kỳ dị Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017 Học viên Nguyễn Như Nhường Chương Kiến thức chuẩn bị ví dụ 1.1 Hệ điều khiển địa phương Hệ điều khiển cho họ trường vectơ trơn f tham số hóa, tham số điều khiển u chạy hợp hữu hạn đa tạp compact trơn rời Ui(i = 1; 2; ::) đa tạp U nhận hai giá trị khác Hệ đặc trưng hay hệ tổng quát hệ lấy từ tập mở trù mật không gian tất hệ điều khiển trang bị tô pô Whitney Giả sử không gian pha hệ điều khiển mặt cong M trơn, định hướng có biên Biên mặt cong cho phương trình G = 0, G hàm trơn với mức khác rỗng không chứa điểm tới hạn (dG 6= 0) Vì đổi dấu hàm G nên không giảm tổng quát ta xét chuyển động hệ miền G 0, miền gọi miền cho phép hệ Như vậy, hệ điều khiển lân cận điểm z G cho phương trình z˙ = f (z; u); , z tọa độ địa phương G; z˙ = dz=dt; u U: Với điểm z M tập hợp f (z;U) = f f (z; u); u Ug gọi indicatrix hệ (1.1.1) điểm Hàm liên tục khúc (hoặc cần đo được) thời gian nhận giá trị U gọi điều khiển chấp nhận hệ Khi cố định điều khiển chấp nhận được, lân cận điểm z ta nhận phương trình vi phân thường z˙ = f (z; u(t)) Vì f hàm khả vi theo z liên tục khúc (đo được) theo t nên định lý tồn nghiệm toán Cauchy thỏa mãn Như việc chọn thời điểm gốc điểm ban đầu ta tìm chuyển động chấp nhận nghiệm z(t) phương trình (1.1.2), quỹ đạo chuyển động gọi quỹ đạo chấp nhận Định nghĩa 1.1.1 Điểm z2 gọi đạt từ z1 sau thời gian T, T 0, tồn chuyển động chấp nhận z(t); t T , cho z(0) = z1 z(T ) = z2 Định nghĩa 1.1.2 Tập tất điểm đạt từ điểm z gọi quỹ đạo dương hay tập đạt z, tập điểm mà từ z đạt gọi quỹ đạo âm z Ví dụ 1.1.1 Một người bơi dịng với trường vectơ (2; 0) mô tả hệ điều khiển x˙ = + cosu; y˙ = sinu; u góc trịn Tập điểm đạt thời gian t từ điểm (x0; y0) hình trịn có bán kính jtj với tâm (x0 + 2t; y0) Hợp hình trịn với t 0(t 0) quỹ đạo dương (âm) điểm (1.1) Hình 1.1: Quỹ đạo âm quỹ đạo dương + Ký hiệu quỹ đạo dương âm tương ứng O (z) O (z) Ví dụ 1.1.2 Xét hệ điều khiển cho cặp vận tốc (0; 1) (1; 0) hình trịn đơn vị mặt phẳng R (x;y) Tập tất điểm đạt từ O(0; 0) phần tư hình trịn góc phần tư thứ nhất, cịn tập điểm mà từ O(0; 0) đạt phần tư hình trịn góc phần tư thứ ba (xem Hình 1.2) Hình 1.2: Quỹ đạo âm quỹ đạo dương 1.2 Miền dốc đứng vùng truyền hướng địa phương Định nghĩa 1.2.1 Đối với hệ điều khiển (1.1.1) bao tuyến tính dương indicatrix vận tốc điểm gọi nón điểm Định nghĩa 1.2.2 Tập hợp điểm khơng gian pha mà nón điểm không chứa vận tốc gọi miền dốc đứng hệ điều khiển Định nghĩa 1.2.3 Đối với hệ điều khiển (1.1.1) bao đóng miền dốc đứng, biên nón điểm cho ta hướng tới hạn vận tốc điểm Như miền dốc đứng, điểm có trường vận tốc tới hạn, đường cong tích phân chúng gọi đường cong tới hạn Định nghĩa 1.2.4 Hệ (1.1.1) gọi truyền hướng địa phương điểm với lân cận V1 điểm tồn thời gian T dương đủ nhỏ lân cận V2 (thường nhỏ V1) để điểm V2 đạt từ với thời gian không vượt T quỹ đạo không rời khỏi lân cận V1 Tập tất điểm hệ truyền hướng địa phương gọi vùng truyền hướng địa phương hệ Định lý 1.2.1 (TLTK[1]-A.Davydov): Vùng truyền hướng địa phương miền dốc đứng rời có chung biên Định lý 1.2.2 (TLTK[1]-A.Davydov): Biên bao lồi indicatrix vận tốc điểm biên miền dốc đứng (cũng biên vùng truyền hướng địa phương) chứa vận tốc Ví dụ 1.2.1 Xét hệ điều khiển cho cặp trường vectơ (1; x) ( 1; x) 2 hình trịn (x 2) + (y 2) Khi miền dốc đứng hình trịn bỏ trục tung Tại điểm A(0; 4); O(0; 0) hệ truyền hướng địa phương, nên vùng truyền hướng địa phương phần trục tung hình trịn bỏ hai điểm Hình 1.3: Vùng truyền hướng địa phương miền dốc đứng 1.3 Một vài loại kỳ dị đối chiều thấp Các loại điểm kỳ dị hệ điều khiển tổng quát A Davydov đưa đầy đủ TLTK [1] Ở đưa số loại điểm kỳ dị đối chiều thấp mà vài loại số xuất biên mặt cong Xét hệ song động lực trơn (#U = 2, hay nói cách khác hệ cho cặp trường vectơ trơn) mặt phẳng Ta ký hiệu cặp trường v = (v1; v2) w = (w1; w2), đặt p(z) = Định nghĩa 1.3.1 Một cặp trường vectơ mặt phẳng gọi đặc trưng ba điều kiện thỏa mãn: (1) điểm kỳ dị trường không suy biến (2) giá trị tới hạn hàm p, tức d p 6= p = (3) đạo hàm hàm p điểm thuộc đường thẳng p = dọc theo vectơ v w đạo hàm cấp hai hàm p dọc theo v w khác Điểm z gọi điểm quy p(z) 6= Tập hợp điểm thỏa mãn p(z) = gọi đường cộng tuyến cặp trường, rõ ràng tập rỗng đường cong trơn (d p 6= ) Mỗi điểm đường cộng tuyến p(z) = gọi là: - Điểm kỳ dị hyperbol (hay zero-passing point) trường vectơ trường cịn lại khác khơng tiếp xúc với đường cộng tuyến hướng riêng phần tuyến tính hóa trường vectơ Đây khái niệm tổng quát, khái niệm trùng với loại điểm kỳ dị trường vectơ mà quen thuộc - Điểm passing-point ¶ passing-point trường v; w khác 0, không tiếp xúc với đường cộng tuyến có hướng ngược hướng tương ứng - Điểm turning-point ¶ turning-point trường v; w khác 0, tiếp xúc với đường cộng tuyến với bậc tiếp xúc có hướng ngược hướng tương ứng Khái niệm cặp trường vectơ đặc trưng mặt cong định nghĩa tương tự, điểm kỳ dị có tên giống tên cặp trường mặt phẳng Mệnh đề 1.3.1 (TLTK[1]-A.Davydov): Với cặp trường vectơ đặc trưng mặt cong, điểm mặt cong sáu loại sau: điểm quy, điểm zero-passingpoint, điểm passing-point, điểm ¶ passing-point, điểm turning-point, ¶ turning-point Định lý 1.3.1 (TLTK[1]-A.Davydov): Với cặp trường vectơ đặc trưng v w mặt cong, phôi họ quỹ đạo pha cặp trường điểm k mặt cong C vi đồng phôi với họ quỹ đạo pha mười cặp trường vectơ sau: (i) sáu cặp trường vectơ sau: (1) (1; 0) (0; 1), (2) (1; x) 2 x), (3) (1; x) ( 1; x), (4) (1; y x ) (1; x (1; 2 1; y x ) ( 1; x y) (1; x y) , ( (1): điểm quy, (2): điểm passing-point , (3): điểm ¶ turning-point , (5): điểm ¶ turning-point ; trường hợp k = ¥ (ii) năm cặp trường vectơ sau: (1) (1; 1) ( x; y), (2) (1; 1) ( x; 2y) (1; 1) (x; 2y), (3) (1; 0) (x y; x) (1; 0) ( x y; x), điểm cho tương ứng (1): điểm saddle zero-passing-point, (2): điểm nodal zero-passing-point (3): điểm focal zero-passing-point; trường hợp k = Một điểm biên M gọi điểm tiếp xúc thuộc vào miền dốc đứng có đường cong pha nhánh trường tới hạn tiếp xúc với biên với bậc tiếp xúc Định nghĩa 2.1.1 Điểm z gọi điểm tiếp xúc loại (loại 2), nằm miền dốc đứng đường cong pha nhánh tới hạn tiếp xúc với biên mặt cong với bậc tiếp xúc Nhánh trường hướng tới hạn hệ điều khiển tổng quát mặt cong compact M định hướng ổn định cấu trúc, khái niệm tương tự trường vectơ trơn mặt cong Tức họ đường tới hạn hệ điều khiển tổng quát hệ đầy đủ gần với chuyển thành phép đồng phôi gần với ánh xạ đồng Trong thân hướng tới hạn kỳ dị phụ thuộc vào hệ điều khiển Đặc biệt, với hệ tổng quát đường tới hạn, kỳ dị (tương tự quỹ đạo nối yên ngựa, quỹ đạo tuần hoàn trường hướng tới hạn) ổn định [1] Do đó, trường hợp tổng quát đường tới hạn qua điểm quy, điểm zero-passing-point, điểm passingpoint, điểm ¶ passing-point, điểm turning-point, ¶ turning-point điểm tiếp xúc Theo định nghĩa này, điểm tiếp xúc loại kỳ dị đối chiều 2.1.2 Cấu trúc tập đạt Ta lựa chọn hướng mặt cong M không gian pha ký hiệu L L2 tương ứng hướng tới hạn lớn nhỏ tương ứng Rõ ràng, với tập ban đầu, biên tập đạt nằm hợp bao đóng miền dốc đứng với biên mặt cong Giả sử z nằm biên tập đạt được, ký hiệu h i(z) đường tới hạn qua điểm + nhánh tới hạn Li tương tự ký hiệu hi (z); hi (z) đường tới hạn rời khỏi điểm z + vào z tương ứng Ký hiệu O (S); O (S) quỹ đạo dương âm tập ban đầu S không gian pha, xác định rõ tập này, + đơn giản ta viết O ; O Đầu tiên ta quan sát trường hợp tập ban đầu S không giao với biên mặt cong M (tức S \ ¶ M = 0/), trường hợp kỳ dị biên mặt cong nhận tương tự báo [7] A Davydov H.D Manh Khi S \¶ M 6= 0/ tập đường tới hạn kỳ dị (tập tương tự đường separatrix điểm saddle cycle (xích) tới hạn trường vector thông thường) bổ sung thêm đường (a) Đường tiếp xúc với tập ban đầu, 12 (b) Đường rời khỏi điểm giao biên mặt cong với tập ban đầu Hai định lý mô tả cấu trúc biên tập đạt hai trường hợp, trường hợp điểm tập ban đầu, trường hợp lại điểm giao biên mặt cong M với tập ban đầu Định lý 2.1.1 Đối với hệ điều khiển song động lực mặt cong compact định hướng M có biên mà bao đóng tập ban đầu nằm hoàn toàn + + quỹ đạo dương O nó, phơi biên ¶ O quỹ đạo + điểm z ¶ O [¶ M 1) Một loại phôi z điểm miền dốc đứng : a) (¶ M; z), + b) (hi (z) [ (¶ M \ O ); z), hi (z) khơng tiếp xúc với biên M điểm z, + + + c) (hi (z) [ (¶ M \ O ); z), hi (z) tiếp xúc với biên ¶ M bề mặt với bậc tiếp xúc 2) Một hai loại phôi z nằm biên miền dốc đứng : a) (¶ M; z), lân cận z, đường tới hạn vào từ z nằm + O , + + b) (hi (z) [ (¶ M \ O ); z), lân cận điểm z, đường tới hạn + + vào từ z không nằm O , hi (z) đường tới hạn rời khỏi z Chứng minh Định lý 2.1.1 Ta bắt đầu khẳng định Theo Mệnh đề 2.1.1, miền dốc đứng, điểm biên điểm quy nhánh trường hướng tới hạn điểm passing point + Xét điểm z nằm phần giao bao đóng quỹ đạo dương O tập ban đầu S với biên mặt M Giả sử z không điểm passing point Ta chọn hệ tọa độ địa phương với gốc z cho biên M nằm trục Ox, chuyển động thực miền y 0, vận tốc chấp nhận có thành phần dương Năm vị trí nón điểm z Hình 2.1, a)-e) Ở đây, miền chấp nhận nằm bên trục hồnh nón điểm z tô màu Trường hợp (e) xảy Thật vậy, theo giả thiết, bao đóng tập + ban đầu nằm hoàn toàn phần giao quỹ đạo O nên hệ khơng thể có điểm biên M Do đó, khơng có điểm thuộc tập ban đầu nằm lân cận điểm biên M: Vì lân cận z vận tốc có thành phần thẳng đứng 13 Hình 2.1: Nón điểm quy miền dốc đứng biên mặt M dương, tiếp cận điểm z từ tập ban đầu Suy điểm z + khơng nằm bao đóng O Trong trường hợp (a)-(c), dễ thấy phôi có dạng 1a) 1b) Hình 2.2 a) Xét trường hợp (d) Theo Mệnh đề 2.1.3, với hệ tổng quát, đường tới hạn tiếp xúc với biên M có bậc tiếp xúc bậc Do có hai trường hợp xảy : lân cận điểm z, đường không nằm không nằm biên M Trường hợp khơng thể giống Hình 2.1 e), khơng thể dần điểm z từ tập ban đầu, với trường hợp hai, phôi biên quỹ đạo dương thuộc dạng 1c) Hình 2.2 b) Hình 2.2: Một điểm biên quỹ đạo miền dốc biên bề mặt M Cho z điểm passing point biên mặt M Theo Mệnh đề 2.1.1, biên M, biên miền dốc đứng, hướng tới hạn cặp hoành (transversal) z Ta chọn hệ tọa độ địa phương với gốc O z cho miền chấp nhận chuyển thành tập y k(x); k(0) = < k (0), đường tới hạn lân cận z chuyển thành nửa parabol - đường cong pha trường ( y; 1) ( y; 1) Các đường a) vào z b) rời khỏi z (xem Hình 2.3) Trường hợp b) nguyên nhân trường hợp e) 14 Ta chứng minh rằng, trường hợp a), phôi biên quỹ đạo dương thuộc dạng 1a) Hình 2.3: Điểm passing-point biên bề mặt M Thật vậy, với hệ tổng quát miền compact định hướng M có biên, tập đường tới hạn kì dị ổn định cấu trúc Theo kết [2] cấu trúc biên tập đạt được, trường hợp tổng quát, đường tới hạn vào điểm passing-point biên M đường tới hạn tiếp xúc biên nằm biên tập đạt Do đó, trường hợp tổng qt, có điểm kì dị kiểu 1a) mà khơng có điểm kì dị dạng 1b) xảy điểm passing-point biên M: Bây giờ, ta chứng minh khẳng định thứ hai định lý Theo Mệnh đề 2.1.1, biên mặt M giao với biên miền dốc điểm ¶ -passingpoint; ngồi ra, tất điểm ¶ -passing-point, đường cộng tuyến, biên M, hướng tới hạn đôi hoành Ta chọn hệ tọa độ địa phương với gốc điểm cho đường cộng tuyến trường (biên miền dốc đứng) chuyển thành trục y họ đường giới hạn hệ trở thành đường cong pha trường (1; x) ( 1; x) Ngồi ra, theo tính chất hồnh, biên M hệ tọa độ đồ thị hàm số x = k(y) với k hàm trơn, k(0) = 6= k (0) Nếu cần thiết, ta sử dụng tính đối xứng tâm điểm khảo sát để chuyển miền chấp nhận thành miền x k(y) Tại điểm ¶ -passing-point hệ song động lực khơng có tính truyền hướng địa phương, có tính truyền hướng địa phương điểm ¶ -passing-point miền chấp nhận lân cận điểm khảo sát 15 Tương tự điểm passing-point hệ tổng quát, đường tới hạn + vào điểm ¶ -passing-point khơng thể nằm biên O Nếu đường tới hạn vào + điểm nằm hồn tồn bên O dễ thấy rằng, lân cận điểm này, + + biên O trùng với biên M phôi biên O thuộc dạng 1a) + Cuối cùng, giả sử đường tới hạn h (z) khơng nằm bao đóng O 0 Hai trường hợp xảy ra: k (0) > k (0) < Trong hai trường hợp, dễ thấy lân cận điểm khảo sát, điểm thuộc quỹ đạo + O nằm bên đường tới hạn h (z) Ta thấy đường tới hạn khơng nằm bao đóng quỹ đạo này, nên trường hợp khơng thể xảy từ tập ban đầu tới điểm z Tuy nhiên, trường hợp thứ hai k (0) < 0, ta dần z từ tập ban đầu tính bắc cầu địa phương hệ lân cận z phần dương trục y (khơng tính + điểm khơng), mầm biên O z thuộc dạng 2b) (xem Hình 2.4) Hình 2.4: Điểm ¶ -passing-point biên bề mặt M Ví dụ 2.1.1 Xét hệ song động lực cho cặp trường vectơ (x + y; x + y); (0; + 1) M dải jyj mặt phẳng R (x;y) Trong hình 2.5, quỹ đạo dương O hình trịn có bán kính 1=4 với tâm gần phần đậm màu Điểm (1; 1) biên quỹ đạo điểm tiếp xúc phơi biên điểm có dạng 1c) Tại điểm giao đường tới hạn trường vectơ rời khỏi điểm + tiếp xúc phần biên M, phôi biên O có dạng 1b) Tại điểm + + lại thuộc giao biên mặt cong với O , phơi O dạng 1a) Ví dụ 2.1.2 Xét hệ song động lực cho cặp trường vectơ (1; 2x); ( 1; 2x) 2 M hình trịn (x 1) + (y 1) mặt phẳng R (x;y) Trong hình 2.5, b), quỹ 16 Hình 2.5: Các kỳ dị biên mặt M + đạo dương O hình trịn có bán kính 1/8 với tâm ( ; 1) phần đậm màu Các điểm (0; 0) (2; 0) ¶ -passing point biên M Phơi biên + O điểm thuộc dạng 2b) điểm thứ hai thuộc dạng 2a) Ngoài ra, có điểm mà phơi thuộc dạng 1b), (xem hình 2.5 a)) Định lý 2.1.2 Đối với hệ điều khiển tổng quát bề mặt cong compact định hướng M có biên cho bao đóng tập ban đầu nằm hoàn toàn + quỹ đạo dương O Khi đó, phơi biên tập đạt điểm z + ¶ O [ ¶ M loại 1) Một phôi 1a)-1c) Định lí 2.1.1 z điểm miền dốc đứng, 2) Một hai phôi z nằm biên miền dốc đứng, a) (¶ M; z) hệ truyền hướng địa phương điểm z + đường tới hạn vào điểm nằm O , + + b) (hi (z) [ (¶ M \ O ); z) hệ không truyền hướng địa phương + điểm z đường tới hạn không nằm O 3) (¶ M; z) z điểm vùng truyền hướng địa phương, không điểm biên miền dốc đứng Chứng minh Định lý 2.1.2 Khẳng định đầu chứng minh tương tự chứng minh khẳng định đầu Định lý 2.1.1 Ta chứng minh khẳng định thứ hai Theo Mệnh đề 2.1.2, biên mặt M biên miền dốc đứng giao điểm ¶ -passing point khơng-điểm quy; ngồi ra, tất 17 điểm biên hồnh nhau, cịn hướng tới hạn không tiếp xúc với biên M biên miền dốc đứng Lấy + giao điểm nằm biên O khảo sát hai trường hợp Trường hợp 1: Giả sử z điểm ¶ -passing point Nếu hệ điều khiển truyền hướng địa phương z đường tới hạn vào z (khơng tính điểm z) nằm + + phần O ; hiển nhiên biên O trùng với biên mặt M lân cận z phôi thuộc dạng 2a) Nếu điểm này, hệ khơng có tính truyền hướng địa phương đường tới hạn vào z (khơng tính điểm z) khơng + + nằm phần O , phôi biên O thuộc dạng 2b), điều chứng minh tương tự khẳng định Định lý 2.1.1 Hình 2.6: Khơng-điểm quy biên bề mặt M Trường hợp 1: Trong lân cận khơng-điểm quy z; họ đường tới hạn 02 hệ tổng quát đưa họ đường cong tích phân phương trình (y ) = x cách chọn hệ tọa độ trơn địa phương thích hợp với gốc điểm Ngồi ra, lân cận 0, miền truyền hướng địa phương trùng với miền x Theo Mệnh đề 2.1.2, trường hợp tổng quát, biên M biên miền dốc đứng hồnh điểm z, cịn hướng tới hạn khơng tiếp xúc với biên M: Do đó, hệ tọa độ chọn, biên M biểu diễn đồ thị hàm y = k(x) với k hàm trơn đó, k(0) = 6= k (0) Nếu cần thiết, sử dụng phép đối xứng y 7! y, ta có lấy miền chấp nhận hệ thành miền y k(x) Trong trường hợp k (0) > 0, hệ truyền hướng địa phương z, + biên O trùng với biên M lân cận z, tức thuộc dạng 2a) (xem Hình 2.6 a)) 18 Trong trường hợp k (0) < 0, hệ không truyền hướng địa phương z Như điểm ¶ -passing point biên M, trường hợp tổng + quát, đường tới hạn vào z nằm biên O Do phơi + biên O thuộc dạng 2a) đường tới hạn vào z nằm O thuộc dạng 2b) trường hợp ngược lại (xem Hình 2.6 b)) + Khẳng định thứ ba hiển nhiên 2.2 Dạng chuẩn kỳ dị Điểm z biên quỹ đạo dương tập ban đầu thuộc biên mặt cong gọi kỳ dị loại i; i = 3, phơi bao đóng quỹ đạo z trùng với tập f(x; y)jy g(x)g 0, hàm g chọn từ hàng bảng 2.1 với lựa chọn hệ tọa độ địa phương x; y thích hợp có gốc điểm i g(x) Bảng 2.1: Các dạng chuẩn kỳ dị Định lý 2.2.1 Đối với hệ điều khiển tổng quát mặt cong compact định hướng M có biên mà bao đóng tập ban đầu nằm hồn tồn quỹ đạo dương nó, điểm biên mặt cong, biên tập đạt có kỳ dị loại i; i = Cịn phơi của tập đạt kỳ dị cột 2, bảng 2.2 Tương ứng với kỳ dị số giá trị tham số điều khiển cột bảng 2.2 Chứng minh Định lý 2.2.1 Trong trường hợp hệ tổng quát, phôi + biên O điểm z nằm biên mặt M thuộc kiểu Định lý 2.1.2 Ta xét trng hp ny + + Ơ Vi (ả O ; z) = (¶ M; z), phơi (¶ O ; z) C -vi đồng phôi với phôi điểm không tập loại Bảng 2.1 tính trơn biên M: Tức + trường hợp này, phơi quỹ đạo O điểm có kì dị loại Bảng 2.2 (xem Hình 2.7 a)) 19 Loại K y a b y f Bảng 2.2: Các dạng chuẩn kỳ dị Hình 2.7: Điểm kì dị thuộc dạng Nếu z điểm tiếp xúc, theo Định lý 2.1.2, trường hợp tổng qt, ta có (¶ + + + + O ; z) = (h (z) [(¶ M \O ); z); ra, đường tới hạn h i (z) trơn lân cận z tiếp xúc với biên M với bậc tiếp xúc Nhưng biên M + ¥ trơn, phơi (¶ O ; z) C -vi đồng phôi với phôi điểm không + tập loại Bảng 2.1 Rõ ràng phôi quỹ đạo O điểm kì dị loại Bảng (xem Hình 2.7 a)) Hình 2.8: Điểm kì dị thuộc kiểu 20 Nếu z khơng-điểm quy, trường hợp tổng quát, theo Định lý 2.1.2, + + + ta có (¶ O ; z) = (hi (z) [ (¶ M \ O ); z); ngồi ra, hệ không truyền hướng địa + phương z đường tới hạn vào z không nằm O Như nói trên, trường hợp tổng quát, gần điểm vậy, họ đường tới hạn chuyển thành họ đường cong pha phương trình(y ) = x gần điểm không Hơn nữa, miền chấp nhận (admissible) xác định bất đẳng thức y k(x); k (0) < + 0; (với k hàm trơn đó) Bao đóng biên O trùng với y h(x) hệ tọa độ địa phương thích hợp x; y với gốc khơng, h(x) = , với k-hàm trơn, k 6= < k (0) Xét phép đổi biến x˜ > < >y˜ : Kỳ dị đưa dạng x; x 0; h(x) = x ; x 0:: < , + + Do phơi (¶ O ; z) (O ; z) chuyển thành phôi điểm không tập loại Bảng 2.1 2.2 tương ứng + Nếu z điểm quy biên mặt M; (¶ O ; z) = (hi [ (¶ M \ + O ); z) Theo Mệnh đề 2.4, trường hợp tổng quát, đường tới hạn h i (z) không tiếp xúc với biên mặt M điểm z Đường tới hạn h i (z) nằm + + O khơng Trong hai trường hợp, phơi (¶ O ; z) chuyển + thành phôi điểm không tập loại Bảng 2.1, cịn phơi (O ; z) chuyển thành 1a) 1b) Bảng 2.2 (xem Hình 2.7 b)-c)) + Để kết thúc chứng minh Định lý 2.2.1, ta biên O tập đạt điểm ¶ -passing point biên mặt M có điểm kì dị loại 1b) điểm hệ khơng có tính truyền hướng địa phương, cịn đường tới hạn vào điểm khơng + + nằm O Thật vậy, bao đóng O hệ tọa độ địa phương trơn 21 thích hợp x; y với gốc tọa độ điểm trùng với tập xác định bất đẳng thức y h(x), h(x) = Sử dụng phép đổi tọa độ (x; y) 7!(x˜; y˜) = ta thu hàm y˜ = jx˜j hệ tọa độ Rõ ràng đường tới hạn rời + khỏi gốc không nằm O Điều có nghĩa, điểm khảo sát, biên + O tập đạt có điểm kì dị loại 1b) (xem Hình 2.7 c)) 22 KẾT LUẬN Tìm hiểu khái niệm lý thuyết kỳ dị hệ điều khiển Nghiên cứu kết báo A A Davydov, Hy Duc Manh, "Singular- ities of the attainable set on an orientable surface with boundary", J Math Sci., New York 188, No 3, 185– 196 (2013) Trong phần thân chứng minh chi tiết cụ thể kết tác giả Davydov HD Manh Mặc đù cố gắng, trình độ cịn nhiều hạn chế nên luận văn tránh khỏi sai sót, mong q Thầy bạn đọc góp ý Xin chân thành cảm ơn 23 Tài liệu tham khảo [1] A A Davydov, "Qualitative Theory of Control Systems", Am Math Soc., Providence, RI (1994) [2] A A Davydov, "Singularities of fields of limiting directions of two- dimensional control systems", Math USSR, Sb 64, No 2, 471-493 (1989) [3] V.I Arnold, "Ordinary Differential Equations", Springer-Verlag, 338, (1992) [4] V.I Arnold, "Additional Chapters of the Theory of Ordinary Differential Equations", Moscow: Nauka (In Russian.) (1978) [5] V I Arnold, S M Gusein-Zade, A N Varchenko, "Singularities of Differen-tiable Maps", Vol 1, Birkhauser,ă 2012 [6] H.W Broer, F Dumortier, S.J van Strien, F Takens, "Structures in Dynamics: Finite Dimensional Deterministic Studies", Elsevier, 322 (1991) [7] A A Davydov, Hy Duc Manh, "Singularities of the attainable set on an ori-entable surface with boundary", J Math Sci., New York 188, No 3, 185– 196 (2013) [8] A.A Andronov, L.S Pontryagin, Rough systems, C.R Acad Sci URSS, Nouv Ser 14, 247-250 (1937) [9] A A Davydov, "Structural stability of control systems on orientable sur-faces", Math USSR, Sb.72, No 1, 1–28 (1992) [10] A A Davydov, "Local controllability of typical dynamical inequalities on surfaces", Proc Steklov Inst Math 209, 73-106 (1995) 24 [11] A A Davydov, V.M Zakalyukin, "Controllability of non-linear systems: generic singularities and their stability", Russian Mathematical Surveys, 67, No 2, 255-280, (2012) [12] Hy Duc Manh, "Stability of local transitivity of a generic control system on a surface withboundary", Proc Steklov Inst Math.278, No 1, 260-266 (2012) [13] Hy Duc Manh, "Generic singularities of the attainable set on surfaces with boundary", J Math Sci., New York 198, No 6, 159– 168 (2014) [14] V.M Zakalyukin, A.N Kurbatskii, "Envelope Singularities of Families of Planes in Control Theory", Proc Steklov Inst Math 262, No 1, 66-79 (2008) [15] V.M Zakalyukin, A.N Kurbatskii, "Convex hulls of surfaces with boundaries and corners and singularities of transitivity zone in R ", Proc Steklov Inst Math 268, No 1, 274-293 (2010) 25 ... thiết biên tập ban đầu xuất điểm kỳ dị Tiếp theo phân loại kỳ dị xuất biên tập ban đầu hệ điều khiển Luận văn tập trung nghiên cứu nội dung sau: - Phân loại kỳ dị tập đạt biên mặt cong biên tập. .. Chương Kỳ dị hệ điều khiển mặt cong có biên 10 2.1 Phân loại kỳ dị biên mặt cong tập ban đầu 10 2.1.1 Kỳ dị trường hướng tới hạn biên mặt M ... phân có tham số điều khiển Đối với hệ điều khiển tốn nghiên cứu tính đạt hệ toán Vấn đề đặt phân loại tất điểm kỳ dị tập đạt hệ điều khiển? Bài toán Giáo sư A Davydov nghiên cứu hệ điều khiển