Tính chuyển vị của dầm có kể đến biến dạng trượt bằng phương pháp ma trận truyền

Bài báo giới thiệu thuật toán xác định chuyển vị của dầm có xét đến biến dạng trượt bằng phương pháp ma trận truyền. Với việc kể đến biến dạng trượt, phương trình vi phân của dầm được giải và viết dưới dạng ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.

KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG TÍNH CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CÓ KỂ ĐẾN BIẾN DẠNG TRƯỢT BẰNG PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN TRUYỀN ThS NGUYỄN THỊ NGỌC LOAN Đại học Kiến trúc Hà Nội Tóm tắt: Bài báo giới thiệu thuật tốn xác định chuyển vị dầm có xét đến biến dạng trượt phương pháp ma trận truyền Với việc kể đến biến dạng trượt, phương trình vi phân dầm giải viết dạng ma trận Một số ví dụ phân tích dầm với điều kiện biên khác cho thấy lời giải phương pháp phù hợp với lời giải giải tích Ảnh hưởng tỉ số h/L, hệ số hiệu chỉnh cắt y, tỉ số Poisson  đến giá trị thành phần chuyển vị biến dạng trượt trình bày Từ khóa: ma trận truyền; dầm có xét biến dạng trượt; chuyển vị, dầm cao; tiết diện thành mỏng Abstract: This paper presents the transfer matrix algorithm to compute the deformation of shearflexible beams With taking shear deformation into account, the differential equation for shear-flexible beam, is solved and written in matrix form Some analytical examples for beams with the different boundary conditions show that the numerical results are very closed to the analytical results Effect of depth to span ratio h/L, shear coefficient/shear correction factor y, Poisson ratio  on shear deformation are also investigated Keywords: transfer matrix; shear-flexible beam; deflection, deep beam; thin-walled section Lý thuyết dầm có xét đến biến dạng trượt, hay cịn gọi dầm Timoshenko, trình bày [1, 2] Việc áp dụng lý thuyết để tính chuyển vị dầm có kể đến biến dạng trượt giải tích trình bày [3] Trong [3], tốn dầm có xét biến dạng trượt xây dựng theo phương pháp nguyên lý cực trị Gauss, giải phương pháp Lagrange để tìm cực trị hàm biến dạng, với ẩn chuyển vị y lực cắt Qy(x) Trong báo này, tác giả sử dụng phương trình học kết cấu để xây dựng ma trận truyền cách đơn giản có hệ thống Ma trận độ cứng phần tử dầm Timoshenko, bốn bậc tự do, cho phương pháp phần tử hữu hạn xây dựng dựa vào nguyên lý cực tiểu, trình bày [3-6] Cùng họ với phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), phương pháp ma trận truyền phương pháp số, hiệu việc phân tích dầm, trình bày [7-9] Tuy nhiên, tài liệu này, phương pháp ma trận truyền viết cho dầm không kể đến biến dạng trượt Bài báo sử dụng phương pháp ma trận truyền để phân tích dầm có xét đến biến dạng trượt Lý thuyết chuyển vị biến dạng trượt dầm trình bày mục Thuật toán ma trận truyền cho dầm có khơng xét đến biến dạng trượt Giới thiệu trình bày mục 3.2 3.3 Năm ví Dầm chuyển, sơn ngắn dầm thành mỏng kết cấu ngày sử dụng nhiều thực tế Với kết cấu này, giả thiết tiết diện ngang trước sau biến dạng phẳng vng góc với trục khơng cịn phù hợp Sự phân bố ứng suất tiết diện ngang dầm không giống với phân bố ứng suất tiết diện ngang dầm bình thường dụ tính tốn dầm với điều kiện biên khác nhau, Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 trình bày mục nhằm khẳng định tính đắn thuật tốn Các kết phân tích phù hợp với kết giải tích Chuyển vị dầm có xét đến biến dạng trượt Chuyển vị dầm gồm chuyển vị uốn mô men, yM , chuyển vị trượt lực cắt, yQ (hình 1) KẾT CẤU - CƠNG NGHỆ XÂY DỰNG Hình Các thành phần chuyển vị uốn chuyển vị cắt dầm Quan hệ lực cắt, góc trượt, chuyển vị biến dạng trượt xây dựng sau: Thế biến dạng trượt dầm phân tố chiều dài dx ứng suất tiếp  là: d 1   dA dx A m  y d 2  Qy  m dx Cân (2) (3), với ứng suất tiếp Tỉ số A  y  AQy gọi diện tích chịu cắt, Với tiết diện thành mỏng, hệ số hiệu chỉnh cắt tính xấp xỉ, cách bỏ qua khả chịu cắt cánh, nghĩa coi tổng diện tích sườn diện tích chịu cắt, phương trình (5b) tính sau: y  (4) S z , I z , b mô men tĩnh, mơ men qn tính, bề rộng tiết diện G mô đun đàn hồi trượt Đặt: A S z2 dy , cho tiết diện đặc I z2 y b (6) y   Qy Sz I z b [2] , ta có: S z2 dy GI z2 y b GA  m  Qy GAQ (3) Qy Qy  y gọi hệ số hiệu chỉnh cắt (2) Thế biến dạng trượt dầm lực cắt Q là: y  đó: s - chu vi tiết diện t - chiều dày thành Thì phương trình (4) viết lại sau: d 1   2bdy dx 2G y đó, Qy - lực cắt, A S z2 ds , cho tiết diện thành mỏng (5b) I z2 s t (1) Với góc trượt    G dA  bdy (1) viết là: m  y  (5a) A  Aweb (7) Áp dụng phương trình (5) để tính hệ số hiệu chỉnh cắt cho số tiết diện ngang thông dụng, kết cho bảng 1, phù hợp với hệ số hiệu chỉnh cắt cho nhiều loại tiết diện khác trình bày chi tiết [10, 11] Bảng Hệ số hiệu chỉnh cắt cho số tiết diện ngang thông dụng Tiết diện Hệ số hiệu chỉnh cắt, với Tròn đặc  y   z  1,11 Chữ nhật đặc  y   z  1,2 y  z  10 2  6    2  h b 3   24  36  12           5  2  2 3 1   10         Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG y  z  y  z  2  6    2    12   1 (8) đó: yM , yQ chuyển vị mô men uốn Mz chuyển vị lực cắt Qy gây Quan hệ mô men – chuyển vị quan hệ lực cắt – chuyển vị biểu diễn sau y   m = y ' Q (a) (9) Qy GA  2 3 1     10   10       1 y  yM  yQ Mz EI z    5   Chuyển vị dầm có xét đến biến dạng trượt là, (hình 1): yM''   3  6  36  12      (b) Việc thành lập giải phương trình vi phân dầm, có khơng xét đến biến dạng trượt, theo phương pháp ma trận truyền trình bày phần sau Xây dựng ma trận truyền 3.1 Phương pháp ma trận truyền Phương pháp ma trận truyền phương pháp số, phù hợp với tốn phân tích dầm Dầm rời rạc hóa thành nhiều phần tử, mà phần tử đặc trưng tiết diện, tải trọng, vật liệu Ví dụ dầm hình chia thành n phần tử: Hình Hình để minh họa phương pháp ma trận truyền Phương pháp ma trận truyền cho dầm phát biểu sau: u1 = k1u (a) ui = k i ui 1 = k i 1k i  k 2k1u (b) u x  L  u n = k n u n 1 = k n k n 1 k 2k1u  ku (c) đó, u0 , ui , un véc tơ trạng thái, hay nội lực chuyển vị, nút đầu, nút thứ i, nút cuối, k i , k ma trận truyền phần tử thứ i ma trận truyền tổng thể Phương trình (10) cho thấy: Trạng thái đầu trái liên hệ với trạng thái đầu phải phần tử thông quan ma trận truyền Véc tơ trạng thái nút biểu diễn thông qua véc tơ trạng thái nút Với phương pháp ma trận truyền, kích thước hệ phương trình khơng phụ thuộc vào độ phức tạp tốn, ma trận truyền tổng thể tích ma trận truyền con, giữ nguyên kích thước ma trận truyền phần tử Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 (10) Lời giải phương pháp ma trận truyền liên quan đến hai lần “quét” dọc dầm Lần quét thứ toàn chiều dài dầm, giải hệ 10(c), có véc tơ trạng thái nút nút n, lần quét thứ hai quét từ trái sang phải, giải hệ 10(b) để tìm véc tơ trạng thái nút i Véc tơ trạng thái ma trận truyền cho dầm có khơng xét đến biến dạng trượt xây dựng mục 3.1 3.2 sau đây: 3.1 Ma trận truyền cho dầm không xét đến biến dạng trượt Quan hệ mô men – độ võng quan hệ mô mentải trọng dầm biểu diễn sau: 11 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG y '' EI z   M z (a) M  q  x  '' z (11) (b) Giả thiết biến trạng thái nút biết, ta có: y  x    y0 ; Qy  x    Qy   y0''' EI z Quan hệ độ võng - tải trọng dầm là: y '''' EI z  q  x  y '  x    y0' ; M z  x    M z   y0'' EI z (12) đó, q  x  tải trọng phân bố dầm Trường hợp tải trọng phân bố q  x   q0 Giải phương Với quan hệ trên, thay x = vào phương trình (13), ta giá trị số tích phân là: trình vi phân (12) có: y ''' EI z  q0 x  C1  Qy C1  Qy C2   M z C3  y EI z C4  y0 EI z ' Thay x  L số tích phân vào phương trình (13), ta trạng thái nút là: y '' EI z  q0 x  C1 x  C2   M z 1 y ' EI z  q0 x3  C1 x  C2 x  C3 1 yEI z  q0 x  C1 x  C2 x  C3 x  C4 24 (13) Các số tích phân C1 đến C4 xác định từ điều kiện biên, nội lực, chuyển vị hai đầu phần tử, y, y ', M , Q (hình 3) y1 M z L2 Qy L q0 L4  y0  y L    EI z EI z 24 EI z y1'  '  y0' M z0 L EI z M z1    Qy L M z0 Q y1  Qy L q0 L3  EI z EI z Qy  q0 L2 (14)  q0 L  Dạng ma trận hệ phương trình (14) là: u1 = k 01u0 Hình Các biến trạng thái hai đầu đoạn dầm  đó: u1  y1 y1' M z1 Qy1 1 , u0   y0 T  1 L01   0 k 01    0  0 0   L201 EI  L01 EI  L301 EI  L201 EI L01 0 y0' Khi xét đến ảnh hưởng biến dạng trượt, quan hệ phương trình (11b) mô men tải trọng Từ phương trình (8) (9), phương trình vi phân độ võng dầm viết là: q  x EI z  Qy''' AQy G (17) Với Qy'  q  x  hay Qy'''  q ''  x  phương trình (17) viết lại sau: 12 Qy 1 , k 01 ma trận truyền đoạn 0-1 T q0 L401   24 EI  q0 L301   EI  q0 L201   q0 L01   3.2 Ma trận truyền cho dầm có xét đến biến dạng trượt y ''''  yM''''  yQ''''  M z0 (15) (16) y ''''  q  x EI z  q ''  x  (18) AQy G Từ phương trình (18) thấy, với dầm chịu tải phân bố tải phân bố bậc phương trình vi phân cho dầm có khơng xét biến dạng trượt giống nhau, q  x   '' Để có ma trận truyền có xét đến biến dạng ''' '' ' trượt, giải phương trình cho yM , yM , yM , yM mô men uốn Thành phần chuyển vị biến dạng trượt là: Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG yQ'  Qy GAQy  M z' GAQy Mz yQ  GAQy y '  yM'  (a) (19) Qy (20) GAQy Trường hợp tải trọng phân bố q  x   q0 (b) Giải phương trình vi phân (18) cho riêng thành phần Góc xoay tiết diện kể biến dạng trượt xác định sau: chuyển vị mô men uốn: yM''' EI z  q0 x  C1  Qy (a) yM'' EI z  q0 x  C1 x  C2  M z 1 yM' EI z  q0 x3  C1 x  C2 x  C3 1 yM EI z  q0 x  C1 x3  C2 x  C3 x  C4 24 (b) (21) (c) (d) Thay phương trình (21b) vào phương trình (19b) ta có: yQ  1    q0 x  C1 x  C2  GAQy   (22) Cộng tác dụng phương trình (21d) phương trình (22) ta có: y đó: q0  x EI z x   EI z  24 2GAQy   C x3 C x  C C  C*     x  EI z EI z  EI z GAQ  EI z y    C4*  C4 C     EI z  EI z GAQy    (24) Góc xoay tiết diện ngang kể đến biến dạng trượt viết lại sau:   yM'  y '  yQ'  y '   m y  y0 ; M z  M z0 yM'  yM' ; Qy  Qy C   M z0 C3  yM EI z C4*  y0 EI z Thay x  L số tích phân vào (21a,b,c) (23), ta được: u1 = k 01u0 đó: u0 véc u0   y0 yM' u1 véc Với quan hệ trên, thay x = vào (13) (15), ta giá trị số tích phân là:  1 L01    0 k 01    0  0  0 C1  Qy (25) Giả thiết biến trạng thái nút biết Tại x  x0  ta có:  L201 EI z  L301 L  01 EI z GAQy  L01 EI z  L201 EI z L01 0 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 (23) u1   y1 M z0 tơ yM' tơ (26) trạng thái nút 0: Qy 1 trạng T thái nút 1: M z1 Qy1 1 T k 01 ma trận truyền có xét đến biến dạng trượt cho đoạn 0-1 q0 EI z  L4 EI L2    01  z 01    24 2GAQ   y    q0 L01   EI z    q0 L201     q0 L01   (27) 13 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 3.3 Ma trận truyền vị trí đặt tải trọng tập trung Quan hệ véc tơ trạng thái bên trái bên phải lực tập trung (hình 4), nút i nút i+1 là: 4.1 Dầm đơn giản, chịu tải trọng phân bố q(kN/m) Hình Dầm đơn giản chịu tải trọng phân bố a) Lời giải giải tích: Chuyển vị dầm theo giải tích trình bày chi tiết [3]: yM  yQ  Hình Hình để xây dựng ma trận truyền tải trọng tập trung yi 1  yi yi' 1  yi' M i 1  M i  M (28) Qi 1  Qi  P 1 0  k  0  0  0 0 0 0 k0 2GA yQ là: 0  0  M  P  qL y x q y 2GA x2 (a) (30) (b) Để xác định tỉ lệ chuyển vị biến dạng trượt tổng chuyển vị, ảnh hưởng tỉ số chiều cao tiết diện với nhịp dầm h L đến giá trị chuyển vị trượt yQ , từ phương trình (30) sau số phép biến đổi ta có phần đóng góp chuyển vị biến dạng trượt tổng chuyển vị, nhịp là: Thay (28) vào (15), để ý L = 0, ta có ma trận truyền lực tập trung qL3 qL q x x  x4 24 EI 12 EI 24 EI yM  yQ  1, 25G 1  y E  h 2   L (31) Từ cơng thức (31) thấy, tỉ lệ yQ y phụ (29) h L , vào hình dạng tiết diện ngang (hay hệ số hiệu chỉnh cắt  y ), vào tỉ số G E (hay hệ thuộc vào tỉ số số Poisson) Tỉ lệ yQ y biểu thị hình Phê chuẩn thuật tốn Để xác định tính đắn thuật tốn ma trận truyền trình bày trên, năm ví dụ tính tốn chuyển vị dầm nhịp, với điều kiện biên khác phân tích Giá trị chuyển vị so sánh với kết giải tích trình bày [3], kết phân tích SAP Dầm có nhịp L = 6m, tải phân bố q = 30 kN/m, tải tập trung P = 30 kN Với dầm tiết diện chữ nhật có Poisson  y  1,2 , hệ số   0,2 , mô đun đàn hồi E = 30e+6 kN/m2 Với dầm tiết diện chữ I có  y tính theo cơng thức bảng 1, hệ số Poisson   0,3 , mô đun đàn hồi E = 200e+6 kN/m2 Các phương trình (15) (26) phương pháp ma trận truyền giải với hỗ trợ Matlab[12], để xác định nội lực, chuyển vị nút 14 Hình Ảnh hưởng h/L đến chuyển vị biến dạng trượt dầm đơn giản h Từ hình thấy, tỉ số yQ y tỉ lệ thuận với L  y b) Lời giải phương pháp ma trận truyền: Véc tơ trạng thái nút 1, 2, dầm hình 5, ứng với đầu trái, dầm, đầu phải, gán điều kiện biên, là: Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG u1   y1 yM' M z1 Qy1 1  0 u2   y2 yM' M z2 Qy 1 u3   y3 yM' M z3 Qy 1  0 T yM' Qy1 1 T T T yM' Qy 1 T Theo (27), với dầm b × h = 0.2 × 0.4m, ma trận truyền đoạn 1-2 đoạn 2-3 là: k 12  k 23 0.0030020625  1.0 3.0 -0.000140625 -0.000137025  1.0 -0.000093750 -0.000140625 0.0042187500   0 1.000000000 3.000000000 -135.0000000000   0 1.000000000 -90.0000000000   0 0 1.0000000000 Trước tiên, “quét” từ đến ta có u3 = k 23u2 = k 23k12u1 , hay: 0.049977      1.0 6.0 -0.0005625 -0.0011178  y '   1.0 -0.0001875 -0.0005625 0.033750  yM'   M     1.0000000 6.0000000 -540.000000      Q   0 1.0000000 -180.000000  Qy1   y3     0 1.000000      Giải hệ trên, được: u1 = 0.00843750000000 90.00000000000000 1.00000000000000 Tiếp theo, “quét” từ đến ta có u2 = k12u1 , hay: 0.0030020625     y2  1.0 3.0 -0.000140625 -0.000137025  y '   1.0 -0.000093750 -0.000140625 0.0042187500  yM'  M2             0 1.000000000 3.000000000 -135.0000000000 M  z2     Q    0 1.000000000 -90.0000000000 Q   y1   y2   0 1.0000000000          Giải hệ trên, được: u2 = 0.015982312500 (là chuyển vị cần tìm điểm dầm) 0.000000000000 135.000000000000 0.000000000000 1.000000000000 Làm tương tự cho tiết diện khác, kết phân tích dầm phương pháp ma trận truyền, so sánh với kết giải tích SAP (khi khơng kể đến chuyển vị biến dạng trượt [13]), trình bày bảng cho dầm tiết diện chữ nhật bảng cho dầm tiết diện chữ I Bảng Chuyển vị dầm tiết diện chữ nhật theo lời giải Tiết diện (mm) 200×400 200×600 300×1000 300×1500 Chuyển vị dầm theo lời giải (mm) Ma trận truyền Giải tích [3] SAP 15.982 15.982 15.732 4.795 4.795 4.661 718 0.718 0.671 228 0.228 0.199 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 Sai số có khơng xét đến trượt (%) 1.58 2.80 7.00 14.50 15 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Bảng Chuyển vị dầm tiết diện chữ I theo lời giải Tiết diện (mm) HP8×36 HP36×800 Chuyển vị dầm theo lời giải (mm) Ma trận truyền Giải tích [3] SAP 51.98 51.98 50.82 0.11 0.11 0.09 Bảng cho thấy, kết phương pháp ma trận truyền phù hợp với kết phương pháp giải tích Ngồi ra, tiết diện dầm không lớn, thành phần chuyển vị biến dạng trượt vô bé, kết SAP (không kể đến chuyển vị biến dạng trượt) phù hợp với kết hai phương pháp lại, tiết diện dầm lớn, giá trị chuyển vị biến dạng trượt lớn, kết yM  Sai số có khơng xét đến trượt (%) 2.28 22.20 SAP khác xa kết hai phương pháp lại 4.2 Dầm ngàm-khớp, tiết diện chữ nhật, chịu tải trọng phân bố q(kN/m) a) Lời giải giải tích: Tiết diện chữ nhật có  y  1,2 Chuyển vị dầm là: qL2 5qL q x  x  x4 16 EI 48EI 24 EI (a) (150 L2  72h2 (1   ))(1   )qLh2 (165L2  72h (1   ))(1   )qh 2 15qLh (1   ) yQ  x x  x3 (b) 2 2 2 240 EI (5L  3h (1   )) 240 EI (5L  3h (1   )) 240 EI (5 L  3h (1   )) (32) b) Lời giải phương pháp ma trận truyền: Kết phân tích dầm phương pháp ma trận truyền, so sánh với kết giải tích SAP (bảng 4) Bảng Chuyển vị dầm theo lời giải Tiết diện (mm) 200×400 200×600 300×1000 300×1500 Chuyển vị dầm theo lời giải (mm) Ma trận truyền Giải tích [3] SAP 6.5 6.5 6.271 2.0 2.0 1.869 0.3 0.3 0.274 0.1 0.1 0.084 Sai số có khơng xét đến trượt (%) 3.65 7.01 9.49 19.05 4.3 Dầm hai đầu ngàm, tiết diện chữ nhật, chịu tải trọng phân bố q(kN/m) a) Chuyển vị dầm theo giải tích: yM  qL2 qL q x  x  x4 24 EI 12 EI 24 EI qLh (1   ) qh (1   ) yQ  x x 10 EI 10 EI (a) (33) (b) Tỉ lệ chuyển vị trượt lực cắt tổng chuyển vị là: yQ yM  yQ Hình Ảnh hưởng h/L đến chuyển vị biến dạng cắt dầm hai đầu ngàm  1 (34) h 9,6 1      L Tỉ lệ yQ y dầm, với thị hình  y  1,2 biểu Hình cịn cho thấy, tỉ số Poisson ảnh hưởng khơng đáng kể đến yQ b) Lời giải phương pháp ma trận truyền: Kết phân tích dầm phương pháp ma trận truyền, so sánh với kết giải tích SAP (bảng 5) Bảng Chuyển vị dầm theo lời giải Tiết diện (mm) 200×400 200×600 300×1000 300×1500 16 Chuyển vị dầm theo lời giải (mm) Ma trận truyền Giải tích [3] SAP 3.326 3.326 3.076 1.045 1.045 0.911 0.178 0.178 0.131 0.068 0.068 0.039 Sai số có khơng xét đến trượt (%) 8.13 14.71 35.88 74.36 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG 4.4 Dầm hai đầu ngàm, tiết diện chữ nhật, chịu tải trọng tập trung P nhịp (2) Q a) Chuyển vị dầm theo giải tích: Trong đoạn yM(1) (1) Q y PL P  x  x 16 EI 12 EI P y  x 2GA Trong đoạn y  x  L (đoạn 1) PL3 PL P  x  x 192 EI 16 EI 12 EI PL y P y   x 4GA 2GA yM(2)  (a) (36) (b) Tỉ lệ chuyển vị trượt tổng chuyển vị, yQ yM  yQ phương trình (34)  (a) (35) (b) L  x  L (đoạn 2)  b) Lời giải phương pháp ma trận truyền: Kết phân tích dầm phương pháp ma trận truyền, so sánh với kết giải tích SAP (bảng 6) Bảng Chuyển vị dầm theo lời giải Tiết diện (mm) 200×400 200×600 300×1000 300×1500 Chuyển vị dầm theo lời giải (mm) Ma trận truyền Giải tích [3] SAP 1.1 1.1 1.055 0.3485 0.3485 0.313 0.0594 0.0594 0.045 0.0229 0.0229 0.013 Kết luận V T Thủy (2010) Nghiên cứu nội lực chuyển vị hệ Bài báo xây dựng thuật toán ma trận truyền để xác định chuyển vị dầm, có không xét đến biến dạng trượt Lời giải thuật tốn ma trận truyền hồn tồn phù hợp với lời giải giải tích Vì rời rạc hóa dầm thành đoạn, nên thuật toán ma trận truyền hiệu cho tốn dầm có tiết diện thay đổi, dầm chịu tải trọng phân bố không đều, dầm có điều kiện biên phức tạp mà khơng có sẵn lời giải giải tích Các đồ thị biểu thị phần đóng góp chuyển vị biến dạng trượt đến tổng chuyển vị dầm, phụ thuộc vào chiều cao hình dạng tiết diện dầm xây dựng Thành phần chuyển vị cắt tổng chuyển vị phụ thuộc vào tỉ số chiều cao nhịp dầm, mà phụ thuộc vào hình dạng tiết diện ngang dầm – hay hệ số hiệu chỉnh cắt  y Nói chung, với dầm phổ thông, tỉ số h L không lớn chuyển vị trượt vơ bé Các dầm cao, dầm chuyển, số dầm thành mỏng đóng góp yQ đáng kể Các ví dụ phân tích cho thấy, chuyển vị dầm tăng thêm 75% xét đến biến dạng trượt, cần phải kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt tính tốn J.N.Goodier chịu uốn xét tới ảnh hưởng biến dạng trượt Luận văn tiến sỹ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội Caros A Felippa (2005) The Amusing History of ShearFlexible Beam Elements Report No CU-CAS-05-01, Department of Aerospace Eng Sci and Center for Aerospace Strs., University of Colorado at Boulder, USA Archer, J S., (1965) “Consistent Matrix Formulations for Structural Analysis using Finite-Element Techniques”, American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal, vol 3, pp 1910–1918 Sung Y.Back, Kenneth M Will (2008) Shear-flexible thin-walled element for composite I-beams Engineering Structures, Vol 30, Issue 5, 1447-1458 N T N Loan (2000) Các phương pháp số phân tích kết cấu Luận văn thạc sỹ kỹ thuật, Đại học Kiến trúc Hà Nội H.G Reimerdes (2009) Lecture notes, Fundamentals of Lightweight Design RWTH Aachen, Institute für Leichtbau E.C.Pestel and F.A Leckie (1963) Matrix Methods in Elastomechanics, McGraw-Hill, New York 10 Cowper, R G., (1966) “The Shear Coefficient in Timoshenko's Beam Theory”, Journal of Applied Mechanics, vol 33, pp 335–340 11 Hibbit, Karlson and Sorensen (2004) ABAQUS Inc Theory manual, version 6.4 12 Matlab, v7.0.1 (R14) The MathWorks, Inc 1984-2004 TÀI LIỆU THAM KHẢO S.Timoshenko, Sai số có khơng xét đến trượt (%) 4.70 11.30 32.00 76.15 (1951) Theory of elasticity Mc Graw - Hill, New York L N Hồng, L N Thạch (2011) Sức bền vật liệu Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 13 SAP 2000, v14.2.2 Computers and Structures Inc 1978-2010 Ngày nhận bài: 12/6/2020 Ngày nhận sửa lần cuối: 21/9/2020 17 KẾT CẤU - CÔNG NGHỆ XÂY DỰNG Transfer matrix method for deflection of beams with shear deformation 18 Tạp chí KHCN Xây dựng - số 3/2020 ... theo phương pháp ma trận truyền trình bày phần sau Xây dựng ma trận truyền 3.1 Phương pháp ma trận truyền Phương pháp ma trận truyền phương pháp số, phù hợp với toán phân tích dầm Dầm rời rạc hóa... kết phương pháp ma trận truyền phù hợp với kết phương pháp giải tích Ngồi ra, tiết diện dầm khơng q lớn, thành phần chuyển vị biến dạng trượt vô bé, kết SAP (không kể đến chuyển vị biến dạng trượt) ... Chuyển vị dầm có xét đến biến dạng trượt là, (hình 1): yM''   3  6  36  12      (b) Việc thành lập giải phương trình vi phân dầm, có không xét đến biến dạng trượt, theo phương pháp