Giải tích malliavn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 Mưc lưc Líi nâi ƒu Cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng 1.1 Trữớng hổp mt chiãu 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 Trữớng hổp nhiãu chiãu Gi£i t‰ch Malliavin Brown 2.1 Tr÷íng hỉp hœu h⁄n chi•u 2.1.1 2.1.2 2.2 Tr÷íng hỉp vỉ h⁄n chi•u 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.2.7 2.3 Chuy”n ºng Brown nhi•u chi•u 2.4 C¡c ⁄o h m b“c cao v c¡c cæng thøc t‰ch 2.5 Qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n i 2.6 Phư lưc Ph¥n t‰ch hØn ºn Wiener (Wien p döng v o T i ch‰nh 3.1 Cỉng thøc Clark - Ocone v danh mưc ƒ 3.2 T‰nh to¡n º nh⁄y 3.2.1 3.2.2 3.3 Ký vång câ i•u ki»n 3.3.1 3.3.2 ii L˝I N´I U Gi£i t‰ch Malliavin ÷ỉc h…nh th nh tł nhœng n«m 70 cıa th‚ k XX v ‚n nhng nôm 80, 90 mt lữổng khng lỗ cĂc cổng viằc  ữổc thỹc hiằn lắnh vỹc n y Lỵ thuyt phn lợn ữổc xƠy dỹng trản tnh toĂn ngÔu nhiản Itổ nhm mửc ch nghiản cứu cĐu trúc cụng nhữ phƠn b ca khổng gian cĂc h m Wiener u tiản nôm 1974, Malliavin  dũng tiảu chu'n liản tửc tuyằt i chứng minh rng dữợi iãu ki»n Hormander ph¥n bŁ cıa qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n câ mt mn v vợi cĂch n y  chứng minh ữổc nh lỵ xĂc suĐt Hormander Sau õ ngữới ta  dũng phữỡng phĂp giÊi tch n y nhiãu b i toĂn khĂc cõ liản quan tợi quĂ trnh ngÔu nhiản Cui ngữới ta  t…m øng dưng cıa gi£i t‰ch Malliavin ph÷ìng phĂp s xĂc suĐt, ch yu lắnh vỹc toĂn t i ch‰nh Nhœng øng dưng n y hìi kh¡c nhng phữỡng phĂp trữợc õ bi cổng thức tch phƠn tłng phƒn gi£i t‰ch Malliavin ÷ỉc dịng ” gi£i th ch mt cĂch chc chn cĂc vĐn ã thut toĂn phi tuyn B cửc lun vôn gỗm ba chữỡng : Chữỡng 1: Cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng Chữỡng n y nhm giợi thiằu cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng T õ ta ÷a ÷æc nhœng k‚t qu£ quan trång nh÷ : vĐn ã nhy, mt ca phƠn b v ký vồng cõ iãu kiằn Chữỡng 2: GiÊi t ch Malliavin Brown Ch÷ìng n y ÷a c¡c kh¡i ni»m v• c¡c h m ìn gi£n, c¡c qu¡ tr…nh ìn gi£n, tł c¡c kh¡i ni»m n y ng÷íi ta mợi ữa nh nghắa o h m Malliavin Tip theo ữa nh nghắa tch phƠn Skorohod, mi quan hằ gia t ch phƠn Skorohod vợi tch phƠn Itổ, t mi quan hằ n y ta thĐy ữổc tch phƠn Skorohod l m rng ca tch phƠn Itổ nhữ th‚ n o p dưng cỉng thøc t‰ch ph¥n tłng phn tru tữổng suy ữổc cĂc tnh chĐt quan trồng ca tch phƠn nhữ : cổng thức i ngÔu, quy tc chuỉi, cổng thức Clark Ocone v cổng thức tch phƠn tng phn Malliavin Ngo i chữỡng cặn giợi thiằu quĂ trnh khuch tĂn v phƠn t‰ch hØn ºn Wiener, c¡c t“p Domp(D); Domp( ); Domp(L) Ch÷ìng 3: p dưng v o t i ch‰nh Ta ¡p dưng c¡c k‚t qu£ cıa ch÷ìng v iii chữỡng v o chữỡng n y Trữợc tiản ¡p dưng cỉng thøc Clark mưc ƒu t÷ t¡i t⁄o, tøc l t…m ÷ỉc nhœng cŒ phi‚u i t Ocone ” t…m danh ” lüa chån vi»c ƒu t÷ t¡i t⁄o; t…m gi¡ cıa tòy chån (H; T ) ki”u chƠu Ơu ti thới im t, nghắa l ti ký hn toĂn T tữỡng ứng vợi chi trÊ ngÔu nhi¶n H p dưng vi»c t‰nh to¡n º nh⁄y ð chữỡng v cổng thức tch phƠn tng phn Malliavin ” t‰nh to¡n º nh⁄y Vi»c t‰nh to¡n º nh⁄y cho ta bi‚t ph÷ìng ¡n ƒu t÷ câ an to n hay khổng, nhy thĐp th phữỡng Ăn ƒu t÷ l an to n ng÷ỉc l⁄i º nh⁄y cao th… cƒn t‰nh ‚n vi»c thay Œi ph÷ìng ¡n ƒu t÷ kh¡c Mºt ¡p dưng nœa l t‰nh ký vång câ i•u ki»n, t‰nh ký vång câ i•u ki»n gióp ta quy‚t ành câ b¡n cŒ phi‚u theo giĂ bÊo him hay khổng Lun vôn ữổc dỹa trản cì sð ch‰nh l t i li»u "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" cıa c¡c t¡c gi£ : Vlad Bally tr÷íng ⁄i håc Paris - Est Marne - la - Vall†e, Lucia Caramellino tr÷íng ⁄i håc Roma -Tor Vergata v Luana Lombardi tr÷íng ⁄i håc L’Aquila Tổi xin tọ lặng knh trồng v bit ỡn sƠu s›c ‚n c¡c thƒy cỉ tr÷íng ⁄i håc Khoa håc tü nhi¶n - ⁄i håc QuŁc gia H Nºi cịng c¡c thƒy cỉ vi»n To¡n håc ¢ trang bà ki‚n thøc, d…u d›t t⁄o i•u ki»n cho tỉi thíi gian håc t“p t⁄i ¥y, °c bi»t l thƒy TS Nguyn Thnh  tn tnh hữợng dÔn, giúp ù, ch b£o tỉi ho n th nh lu“n v«n n y H Nºi, ng y 01 th¡ng n«m 2015 Bịi Hũng Cữớng iv Chữỡng Cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng Trong chữỡng n y, ta s nghiản cøu mºt ph†p t‰nh Malliavin trłu t÷ỉng, â l cỉng thức tch phƠn tng phn v ta nhĐn mnh v i k‚t qu£ quan trång nh÷ :t‰nh to¡n º nh⁄y, mt ca phƠn b v ký vồng cõ iãu kiằn 1.1 Trữớng hổp mt chiãu k d Cho ( ; F; P) l mºt khỉng gian x¡c su§t v E l ký vång chu'n tr¶n P Bº C c (R ) v k d d Cb (R ) l khæng gian c¡c h m f : R ! R kh£ vi li¶n tưc b“c k, compact v c¡c o h m ữổc hn ch trản cĂc tữỡng øng Khi c¡c h m kh£ vi væ h⁄n, ta câ c¡c t“p t÷ìng d d øng l Cc (R ) v Cb (R ) ành ngh¾a 1.1.1: Cho F; G : ! R l tłng c¡c bin ngÔu nhiản khÊ tch Ta nõi rng cổng thức t‰ch ph¥n phƒn IP (F ; G) l óng n‚u tỗn ti bin ngÔu nhiản khÊ tch H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E( (F )G) = E ( (F )H(F ; G)) ; Cc (R) Hìn nœa, ta câ cỉng thøc t‰ch ph¥n tłng phƒn IP k(F ; G) l óng nu tỗn ti bin ngÔu nhiản khÊ tch Hk(F ; G) cho: IPk(F ; G) : E( (k) (F )G) = E ( (F )Hk(F ; G)) ; Cc (R): Nh“n x†t 1.1.2: - Bng cĂch sò dửng kt quÊ tiảu chu'n chnh quy, câ th” ki”m tra c¡c h m C c (R) k k IPk(F ; G) câ th” chuy”n th nh Cc (R) ho°c Cb (R), Cb (R) - Rª r ng IP1(F ; G) ch‰nh l IP (F ; G) v H1(F ; G) ch‰nh l H(F ; G) Hìn nœa, n‚u ta câ c¡c cỉng thøc IP (F ; G) v IP (F ; H(F ; G)) th… ta s‡ suy cæng thøc IP2(F ; G) vỵi H2(F ; G) = H(F ; H(F ; G)) T÷ìng tü nh÷ v“y cho c¡c ⁄o h m b“c cao hìn V‰ dư: Trong IPk(F ; 1) cho chóng ta x¡c ành Hk(F ; 1) Hk(F ) b‹ng c¡ch x¡c ành l⁄i: H0(F ) = 1; Hk(F ) = H(F ; Hk 1(F )); k - N‚u câ cæng thøc IP (F ; G) th… tł E(H(F ; G)) = suy G = ð (1.1) Hìn nœa, H(F ; G) IP (F ; G) khổng phÊi l nhĐt : Vợi bĐt ký bin ngÔu nhiản R thọa mÂn E( (F )R) = (ngh¾a l E(R jF ) = 0) ta cơng cõ th sò dửng nhữ H(F ; G) + R ( thüc t‚ E(H(F ; G) jF )) l nhĐt ) Trong s hồc iãu n y õng vai trỈ quan trång bði v… n‚u ta muŁn t‰nh E( (F )H(F ; G)) sò dửng phữỡng phĂp Monte Carlo th… nâ câ th” cho ta ph÷ìng sai tŁi thi”u Cụng lữu ỵ rng thỹc hiằn thut toĂn Monte Carlo ta câ mæ phäng F v H(F ; G) Trong mºt sŁ tr÷íng hỉp, H(F ; G) câ th” t‰nh to¡n trüc ti‚p Nh÷ng gi£i t‰ch Malliavin cho ta mºt h» thŁng ph†p to¡n ” t‰nh to¡n i•u n y Th÷íng c¡c øng dưng F l líi gi£i ca phữỡng trnh ngÔu nhiản v H(F ; G) xuĐt hiằn nhữ mt sỹ tng hổp ca cĂc toĂn tò vi phƠn trản F Nhng iãu n y cụng cõ liản quan tợi cĂc phữỡng trnh ngÔu nhiản v sò dửng mt s xĐp x ca cĂc phữỡng trnh ” t⁄o c¡c thu“t to¡n cö th” V‰ dö: Cho f = v G = g( ) â f, g l c¡c h m kh£ vi v nhi¶n Gauss câ ký vång cıa ph÷ìng sai Khi â: E(f ( )g( )) = E f( )[g( ) v… v“y ta câ cæng thøc IP (F ; G) vỵi H(F ; G) = g( ) ti‚p cıa cổng thức tch phƠn tng phn vợi sỹ cõ m°t cıa m“t º Gauss p(x) = E(f ( )g( )) = R f (x)g(x)p(x)dx = = R R 0 f(x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx f(x)[g (x) + g(x) p0(x) ]p(x)dx p(x) = E(f( )[g( ) g ( )]) Gi£i t‰ch Malliavin t⁄o H(F ; G) cho mt lợp lợn cĂc bin ngÔu nhi¶n - (1.3) ⁄i di»n cho v‰ dư ìn gi£n kiu n y, õ khổng phÊi l mửc tiảu ca phn n y Ơy ta ch ữa mt v i hằ quÊ ca tnh chĐt trản 1.1.1 VĐn ã nhy x x Trong nhiãu ứng döng ta xem x†t ‚n nhœng sŁ câ d⁄ng E( (F )) õ F l mt loi bin ngÔu nhi¶n ch¿ sŁ tr¶n tham sŁ hœu h⁄n x Mºt v‰ dö i”n h…nh l F mºt qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n b›t ƒu tł x ” nghi¶n cøu º nh⁄y cıa y‚u tŁ n y vỵi x kh£ vi v t…m bi”u thøc • n y, â l : c¡ch ti‚p c“n theo tłng quÿ tham sŁ x, ta chøng minh r‹ng x 7!E( (F )) l cıa nâ Câ hai c¡ch ” gi£i quy‚t v§n x x = Xt l ⁄o h m ⁄o ho°c c¡ch ti‚p c“n theo ph¥n bŁ x C¡ch ti‚p c“n theo tłng quÿ ⁄o : gi£ sß r‹ng x 7!F (!) l kh£ vi hu khp nỡi ! ( v Ơy l x trữớng hỉp x 7!Xt (!) v‰ dư) v cơng kh£ vi Khi â : x x x @xE( (F )) = E ( (F )@xF ) nh÷ng c¡ch ti‚p c“n n y khỉng thüc hi»n ÷ỉc n‚u khỉng kh£ vi CĂch tip cn theo phƠn b : vữổt qua tr ngi trản nhớ sò dửng sỹ uyn chuyn mt x º cıa ph¥n bŁ cıa F V… v“y c¡ch ti‚p c“n n y ta gi£ thi‚t r‹ng F x x p (y)dy v x x 7!p (y) l kh£ vi vỵi mØi y Khi â: Z x @xE( (F )) = Z x (y)@xp (y)dy = x x x x (y)@x ln p (y)p (y)dy = E ( (F )@x ln p (F )) Dr Khi â E (f(Xt)g0(Xs)) = E f(Xt)g(Xs): sXs B¥y gií ta xò lỵ s hng (*), nõ "xĐu" bi v sỹ câ m°t cıa ta s‡ bä qua nâ | (ii) Cổng thức tch phƠn tng phn trản [s; t] Bng cĂch dũng lp lun tữỡng tỹ trản trản [s; t], ta câ th” vi‚t â ta ¢ sß dưng thüc t‚ r‹ng Dr B‹ng c¡ch ch–n sŁ h⁄ng (*) v o sŁ h⁄ng n y ta câ k‚t lu“n Ta nh“n x†t r‹ng ” câ k‚t qu£ n y ta ¢ ho n to n gi£ thi‚t r‹ng f l ƒy ı (C ), c¡i m nõ khổng úng trữớng hổp tng quĂt, iãu õ khổng thỹc sỹ l 71 mt vĐn ã : ta cõ th hổp lỵ hõa f bng cĂch giÊm sü phị hỉp v b‹ng c¡ch sß dưng l“p lu“n v• m“t º, ta câ i•u cƒn chøng minh B¥y gií ta sfin s ng ghi k‚t qu£ ch‰nh thức ca phn n y nh lỵ 3.3.3 [Cổng thức I: khỉng àa ph÷ìng] d Cho < s < t; "b(R ) v e ÷ỉc x¡c ành (3.31), H( ) = 0; R; nh÷ i Ws;t = (t Khi â cỉng thøc li¶n h» Łi vợi ký vồng cõ iãu kiằn nhữ sau : E( (Xt)jXs = ) = Ts;t [ ] ( ) Ts;t [1] ( ) â : Ts;t [f] ( ) = E f(Xt) e Chøng minh d Ta °t et(y) e(y) = Ft(y); y R +; Ft ÷ỉc x¡c ành (3.31) Tł Xt = Ft(Xet) vỵi t tũy ỵ, rê r ng ta cõ E( (Xt)jXs = ) = E e(Xet)jXes = Gs( ) (nh›c l⁄i r‹ng Gs = Fs ) V… v“y, °t es = Gs( ), i•u â ı chøng minh r‹ng hi õ e Trữợc tiản ta hÂy giÊ sò rng e(y) = e 1(y1) : : : ed(yd), ngh¾a l e câ th” ÷ỉc t¡ch t‰ch cıa d h m, mØi h m ch¿ phư thuºc mºt bi‚n ìn v thuc "b(R) Trong trữớng hổp n y rê r ng câ E( (Xt)jXs = s) = ee e i 72 i B¥y gií, ta xem x†t E( i(Xt )jXs = l mt dÂy ca i s ), vợi bĐt ký i cŁ ành , i = 1; : : : ; d Cho fhngn n ! Khi â ta câ th” vi‚t °t Hn l h m phƠn phi xĂc suĐt liản quan tợi hn, ta phÊi xò lỵ nhng i lữổng i f(Xt )Hn0 nhữ E tr…nh Xi l nhœng d⁄ng t÷ìng tü nh÷ nhœng ⁄i lữổng ta n V quĂ e e ã 3.3.2, ta câ th” ¡p dưng i•u â : E â W i s;t Bng cĂch Ăp dửng nh lỵ hi tö l m trºi Lebesgue, ta câ E â H( ) = lim H ( ) = V… v“y i E( (Xt )jXs = s) = v… v“y (3.35) óng (y) = 1(y1) : : : d(yd) e Trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, m“t nº d : cho tũy ỵ e "b(R ), tỗn ti d¢y h m cho e (Xet) ! 73 n o n d e "b(R ) n n e(Xet) L v thäa m¢n mØi e l mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c h m t¡ch bi‚n n trản V cổng thức i diằn (3.35) úng vợi bĐt ký e , bng cĂch chuyn qua giợi hn ta câ nâ óng cho e Ta câ iãu cn chứng minh 3.3.2 Cổng thức a phữỡng BƠy giớ ta hÂy thÊo lun vã cĂc cổng thức liản quan ‚n c¡c h m àa ph÷ìng N‚u ta h⁄n ch nhng iãu ta quan tƠm tợi h m a phữỡng dng tch, õ trữợc tiản ta cõ th nảu cổng thức a phữỡng cho toĂn tò Ts;t[f]( ) °t L1 = v Ld = f : Rd ! [0; +1) ; (x) = nh lỵ 3.3.4 [Cổng thức II : a phữỡng ] d Cho bĐt ký s < t; "b; R+ v vỵi Ts;t [f] ( ) = E â i bi”u h m phƠn b xĂc suĐt liản quan n Chứng minh Chứng minh dữợi Ơy t cỡ s thỹc t : trữớng hổp s chiãu d = 1, B • 3.3.2 cho ta E (f(Xt)g (Xs = E f(Xt)(g v… v“y E (f(Xt)g0(Xs )) = E f(Xt) (Xs BƠy giớ sò dửng flng thức n y, viằc chứng minh ca nh lỵ 3.3.3 cõ th ữổc lp i l°p l⁄i v ta câ i•u cƒn chøng minh 74 Nhn xt 3.3.5 Chú ỵ rng vã nguyản tc cĂc h m câ th” àa ph÷ìng hâa kh¡c cho mỉi toĂn tò, õl Ta thảm v o mt s chi tit vã h m a phữỡng u tiản ta ph£i xem x†t nâ bði v… thüc h nh (v dử nhữ giĂ toĂn ngÔu nhiản kiu M) cỉng thøc khỉng àa ph÷ìng khỉng l m vi»c ( thüc t‚, thu“t to¡n thŒi gi¡) Sau â, c¥u häi °t l : lüa chån nâ nh÷ th‚ n o ? Chúng ta hÂy thÊo lun vã iãu n y Ta bä qua vi»c chøng minh v câ th” xem Bally, Caramellino, zanette [7] Ta h¢y b›t ƒu t kt quÊ ca nh lỵ 3.3.4 : tnh E( (X t)jXs = ) ta ¡nh gi¡ Ts;t [f] ( ) = E vỵi f = v f = Mºt ký vång nh÷ v“y l ¡nh gi¡ thỉng qua kinh nghiằm thỹc t, nghắa l t nhiãu ứng dửng Mửc tiảu bƠy giớ l chồn h m a ph÷ìng cho ph†p gi£m ph÷ìng sai ” ⁄t ÷ỉc mưc ‰ch n y, ta câ th” ÷a tŁi ÷u hâa tr÷íng hỉp mºt chi•u b‹ng Kohatsu - Higa v Petterson [15] Nõ xò lỵ viằc tm ki‚m h m àa ph÷ìng m l m cüc ti”u hâa ph÷ìng sai t‰ch hỉp, cho bði : Z f 32 E f (X t) Wi Cd : (3.37) Id ( ) = R d s;t A e B @ l¶n ‚n h‹ng sŁ ( Łi vợi h m kt quÊ sau Ơy nh lỵ 3.3.6 Cho L1 = v Ld = f : Rd ! [0; +1) ; (x) = Khi â ta câ : â (x) = 75 Laplace tr¶n R v j= j [f] cõ hằ phữỡng trnh tuyn tnh sau Ơy : = j E 2 f (Xt) E Ws;t â Q ! j )+ s;t;i i: i6=j i ; i = 1; : : : ; d: s;t;i = iis(t s)Xes i Trong tr÷íng hỉp f = 1, gi¡ trà tŁi ÷u câ th” vi‚t mºt c¡ch rª r ng H» qu£ 3.3.7 Ta câ j [1] = e hs j Mưc ‰ch thüc sü, d§u hi»u sŁ ch¿ r‹ng chån = vi»c, v… v“y trĂnh ữổc sức nng cho thut toĂn vợi viằc phÊi t‰nh to¡n th¶m c¡c ký vång Khi f = 1, rê r ng iãu n y ữổc suy t Hằ qu£ 3.3.7 Trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, sü gi£i th‰ch lỵ thuyt ữổc cho nhữ sau nh lỵ 3.3.8 tửc th… Cho b§t ký j = 1; : : : ; d, ta câ f 76 K‚t lu“n : Lun vôn  trnh b y ữổc cĂc vĐn ã sau: 1) Nảu ữổc cĂc cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng cho cÊ trữớng hổp mt chiãu, nhiãu chiãu p dửng cổng thức tch phƠn tng phn tru tữổng nghiản cứu : vĐn ã nhy, mt ca phƠn b, ký vồng cõ iãu kiằn 2) Gi£i t‰ch Malliavin c£ tr÷íng hỉp hœu h⁄n chi•u, vỉ h⁄n chi•u hay chuy”n ºng Brown nhi•u chi•u ãu ữa ữổc cĂc nh nghắa : o h m Malliavin ca bin ngÔu nhiản, tch phƠn Skorohod v cĂc tnh chĐt Cổng thức tch phƠn tng phn Malliavin cÊ trữớng hổp riảng v trữớng hổp tng quĂt Nghiản cứu ữổc quĂ trnh khuch tĂn v phƠn tch hỉn ºn Wiener 3) p dưng c¡c ki‚n thøc Ch÷ìng v Chữỡng v o nghiản cứu tm Danh mưc ƒu t÷ t¡i t⁄o gióp cho ng÷íi ƒu t÷ bi‚t ph£i mua v o nhœng cŒ phi‚u n o v b¡n nhœng cŒ phi‚u n o Nghi¶n cứu ữổc nhy ca giĂ c phiu, nghiản cứu ÷ỉc ký vång câ i•u ki»n 77 T i li»u tham kh£o [1] Nguy„n Vi‚t Phó - Nguy„n Duy Ti‚n: Cỡ s lỵ thuyt XĂc suĐt, NXB i hồc Quc gia H Nºi, 2004 [2] Trƒn Hịng Thao: Nh“p mỉn To¡n håc T i ch‰nh, NXB Khoa håc v kÿ thut, 2004 [3] ng Hũng Thng: XĂc suĐt nƠng cao, NXB ⁄i håc QuŁc gia H Nºi, 2013 [4] V Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus Rapport de recherche 4718 INRIA, 2003 [5] V Bally, M.P Bavouzet, M Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007 [6] V Bally, L Caramellino, L Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010 [7] V Bally, L Caramellino, A Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005 [8] M.P Bavouzet-Morel, M Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s calculus in jump type market models Electronic Journal of Probability, 11, 276-300, 2006 [9] K Bichteler, J.-B Gravereaux, J Jacod Malliavin calculus for processes with jumps Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987 78 [10] B Bouchard, I Ekeland, N Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 4571, 2004 [11] N Chen, P Glasserman Malliavin Greeks without Malliavin calculus Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007 [12] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions, N Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance Finance and Stochastics, 3, 391 - 412, 1999 [13] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II Finance and Stochastics, 5, 201 - 236, 2001 [14] P.E Kloeden, E Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991 [15] A Kohatsu-Higa, R Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002 [16] S Kusuoka, D Strook: Applications of the Malliavin calculus II J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 32, 76, 1985 [17] N Ikeda, S Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes North Holland, second ed 1989 [18] D Lamberton, B Lapevre Introduction to stochastic calculus applied to finance Chapman and Hall, London, 1996 [19] P-L Lions, H Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo Preprint, 2000 [20] P Malliavin: Stochastic analysis Springer, 1997 79 [21] P Malliavin, A Thalmaier: Stochastic calculus of variations in mathematical fi-nance Springer-Verlag, Berlin, 2006 [22] D Nualart: The Malliavin calculus and related topics Springer-Verlag, 1995 [23] M Sanz-Sol’e: Malliavin calculus, with applications to stochastic partial differen-tial equations EPFL Press, 2005 80 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 Mưc lưc Líi nâi ƒu ... Malliavin  dũng tiảu chu'n liản tửc tuyằt i chứng minh rng dữợi iãu kiằn Hormander phƠn bŁ cıa qu¡ tr…nh khu‚ch t¡n câ m“t º v vợi cĂch n y  chứng minh ữổc nh lỵ xĂc suĐt Hormander Sau õ ngữới... ch°t ch‡, ta câ th” sß dưng quy tc h m Dirac nhữ chứng minh B ã 1.1.3 ii) ” chøng minh (ii) ta câ th” sß dửng nhữ " phƠn phi Schwartz" lp lun nhữ chứng minh B ã 1.1.5 Cui cũng, thu ữổc giợi h⁄n