Đánh giá tác động và tính dễ bị tổn thương do biến đổi khí hậu đối với sản xuất nông nghiệp và nuôi trồng thủy sản tại huyện quảng ninh, tỉnh quảng bình

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2014 MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học đóng vai trị quan trọng ngành khoa học Trong đó, bất đẳng thức mảng kiến thức hay thú vị toán học đặc biệt toán sơ cấp Việc nghiên cứu bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả giải vấn đề phát triển tư Lý thuyết tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi tốn, bất đẳng thức đề cập thuộc loại tốn khó khó Nhiều bất đẳng thức trở thành công cụ đắc lực để giải tốn bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… bất đẳng thức Bernoulli thường quan tâm Là người say mê bất đẳng thức sơ cấp tác giả biết không nhiều bất đẳng thức Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng quan đầy đủ bất đẳng thức sơ cấp để cung cấp thêm tài liệu tham khảo bổ ích tốn học trường THPT Với ý nghĩa q trình làm luận văn, tác giả xây dựng lựa chọn toán hay nhằm làm bật lên mặt mạnh bất đẳng thức Bernoulli Luận văn chia thành ba chương Chương Bất đẳng thức Bernoulli Trong chương tác giả trình bày bất đẳng thức Bernoulli dạng phát biểu khác số ví dụ thể kỹ thuật bất đẳng thức Bernoulli Chương Một số bất đẳng thức xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng tốn từ bất đẳng thức Bernoulli thơng qua ví dụ cụ thể Từ trình bày hệ thống tập Mặc dù cố gắng, chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận góp ý thầy cô giáo bạn Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo thầy PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Em xin chân thành cảm ơn thầy giúp đỡ nhiệt tình từ xây dựng đề cương, viết hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em nhận bảo tận tình thầy để có học vấn sau đại học Em xin chân thành cảm ơn thầy phản biện đọc góp ý kiến quý báu để em hoàn thiện luận văn Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi em công tác, tạo điều kiện cho em học hồn thành chương trình Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất thầy cơ, kính chúc thầy ln ln mạnh khỏe hạnh phúc Chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Người thực Bùi Trọng Nguyện MỤC LỤC Chƣơng Bất đẳng thức Bernoulli 1.1 Bất đẳng thức Bernoulli 1.2 Một số ví dụ 1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 1.2.2 Kỹ thuật chọn điểm rơi Chƣơng Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa bất đẳng thức Bernoulli 2.1 Xây dựng số hàm đơn điệu dựa bất đẳng thức Ber 2.2 Phát triển số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức Ber 2.3 Xây dựng số bất đẳng thức dựa bất đẳng thức 2α 2.3.1 Một số toán tam giác 2.3.2 Một số toán lượng giác 2.4 Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 2.4.1 Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức AM-GM suy rộng 2.4.2 Xây dựng lại số bất đẳng thức cổ điển 2.4.3 Một số toán khác Chƣơng Bất đẳng thức Bernoulli 1.1 Bất đẳng thức Bernoulli Jacob Bernoulli (1654-1705) nhà toán học tiếng người Thụy Sĩ Bất đẳng thức Bernoulli dạy trường phổ thông mang tên để vinh danh ông Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần lũy thừa (1+x), phát biểu sau Định lí 1.1 Nếu α số thực thỏa mãn α ≥1 ( ) 1+ x Đẳng thức xảy x=0 α =1 Nếu α số thực thỏa mãn < α ≤1 (1 + x )α ≤ + α.x , với x > −1 Đẳng thức xảy x=0 α =1 Chứng minh Chỉ cần xét α >1, α =1thì (1.1) trở thành đẳng thức Xét hàm số f (x) = (1 + x )α − α.x −1 khoảng (−1; +∞) Ta có đạo hàm f '(x) = α (1 + x )α−1 − α = α (1 + x )α−1 − 1 = Ta suy x = Từ đó, ta có bảng biến thiên sau x ' f (x) f(x) α ≥1 Theo bảng biến thiên hàm số, ta suy f (x) ≥ f (0) = 0, hay (1 + x )α ≥ + α.x với x > −1 Xét α 1 Áp dụng kết trên, ta có Ta suy Vậy Định lí chứng minh Định lí 1.2 Đẳng thức xảy a =1 α =1 Nếu α số thực thỏa mãn < α ≤1 Đẳng thức xảy a =1 α =1 Chứng minh Từ bất đẳng thức Định lí 1.1, ta cần đặt a = + x Khi a ∈ (0;+∞) Định lí 1.3 Đẳng thức xảy x =1 Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắn đẳng thức xảy x = x0 , với x0 số dương cho trước, ta cần thay bất đẳng thức định lý sau Định lí 1.4 Giả sử cho trước x0 >0 cặp số (α, β) thỏa mãn điều kiện α > β > Khi   α x  x  Đẳng thức xảy x = x0 +  1.2 Một số ví dụ 1.2.1 Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Các dạng toán đặc trưng bất đẳng thức Bernoulli dễ nhận bất đẳng thức với số mũ vô tỉ dương hay chuyển đổi số mũ vơ tỉ Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng tốn kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa Xét ví dụ điển hình sau Ví dụ 1.2.1 Giả sử a, b hai số thực dương Chứng minh a3 + b3 ≥ 21− [ab(a + b)] Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với [ab(a + b)] Hay     Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có   a b(a + b)        Lời giải Xét a1b1c1 + a b2 c2 + + a n bn cn = Ta suy a1 = a2 = = an b 1   c Khi bất đẳng thức hiển nhiên Xét a1b1c1 + a b c + + a n b n c n > Tương đương với a1b1c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn ≤ a13 + a32 + + a3n b13 + b32 + + b3n c13 + c32 + + c3n Hay Tương đương với a3  3  a1 + a2 + + an +  3  Theo Mệnh đề 2.4.1, ta có 68    a +a Tương tự, ta có    a +a ………………………………………………………    Ta suy a +a Cộng n bất đẳng thức theo vế, ta a1b1c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn a13 + a32 + + a3n b13 + b32 + + b3n c13 + c32 + + c3n    Bất đẳng thức chứng minh 69 2.4.3 Một số toán khác Ví dụ 2.4.5 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh tan A (tanB)tan B (tanC)tan C ≥ (3 (tanA) sin A (sin A) (cos A ) Lời giải Theo Mệnh đề 2.4.6 với n = 3, ta (tanA)tan A (tanB)tan B (tanC)tan C ≥ (tan A tan Btan C) Mặt khác, tam giác nhọn ABC, ta ln có tan A + tan B + tan C = tan A tan Btan C ≥ 3 Ta suy Mặt khác (tanA ) Do  tanA)tan A (tanB)tan B (tanC)tan C ≥ (3 ) Bất đẳng thức chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.4.6 với n = , ta có sin A (sin A) Vì ∆ABC tam giác nhọn nên sin A + sin B + sinC > sin2 A + sin2 B + sin2 C = + 2cosAcosBcosC > Ta suy 70 Do  sin A + sin B + sin C  sin A + sin B + sin C   Mặt khác Ta suy Hay 3 sin A  sin A) sin C >2 (sin B)sin B (sin C) Bất đẳng thức chứng minh Áp dụng Mệnh đề 2.4.6 với n = , ta có   3 cos A (cos A) Mặt khác cos A + cos B + cosC = + 4sin A B C sin sin Ta suy cosA + cosB + cosC >1 (vì sin A B C sin sin > ) Do cos A + cos B + cosC > 3 Nên 71  cos A + cos B + cosC  cos A + cos B + cos C   Mặt khác Ta suy Do Bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 2.4.6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh (cos A)  3 (sin A)cot A (sin B)cot B (sin C)cot C ≤  Lời giải Ta có (cos A) Mặt khác  2 Nên Từ suy (cos A) Do (cos A ) Mặt khác < 0, sin B > 0, sinC > Ta suy Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có    Tương đương với    Hay... tác giả biết không nhiều bất đẳng thức Vì vậy, tác giả lựa chọn đề tài "Xây dựng số bất đẳng thức sơ cấp dựa bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm nhiều vẻ đẹp bất đẳng thức để có nhìn tổng