Các bài toán cực trị trong tam giác

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐINH VĂN TUYÊN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chủ tịnh hội đồng bảo vệ PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Người hướng dẫn khoa học TS.Lê Đình Định Hà Nội - 2016 STT MỤC LỤC 01 Lời cảm ơn…………………………………………………………………….02 Lời nói đầu…………………………………………………………………….03 Bố cục luận văn………………………………………………… 04 Một số ký hiệu dùng luận văn……………………………………… 07 Chương Kiến thức chuẩn bị………………………………………………08 1.1 Các đẳng thức tam giác……………………………….08 1.2 Một số bất đẳng thức đại số bản……………………………… 12 1.3 Các bất đẳng thức tam giác………………………… 15 Chương Các toán cực trị tam giác…………………………….17 2.1 Một số phương pháp giải toán cực trị tam giác…… 17 2.1.1 Dùng phương pháp Vectơ ……………………………………… 18 2.1.2 Dùng phương pháp tam thức bậc hai…………………………… 21 2.1.3 Dùng phương pháp đạo hàm ……………………………………….29 2.1.4 Dùng bất đẳng thức đại số bản…………………………… 33 2.2 Một số toán cực trị tam giác……………………………….44 Chương Cách xây dựng toán cực trị tam giác………… 55 Kết luận…………………………………………………………………… 77 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 78 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn TS Lê Đình Định người thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học Trường Đại học Khoa học tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến người thân, bạn bè tất người giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn LỜI NĨI ĐẦU Các toán cực trị tam giác phần quan trọng tốn sơ cấp, có nhiều điểm chung với Bất đẳng thức tam giác phương pháp giải Có nhiều dạng tốn thuộc loại khó liên quan tới chuyên đề Điểm khác biệt quan trọng toán cực trị tam giác toán bất đẳng thức tam giác là: toán bất đẳng thức tam giác biết trước đích ta phải đến (tức biết hai vế), cịn tốn cực trị tam giác khơng Ví dụ: a (về tốn bất đẳng thức tam giác): Cho tam giác ABC , chứng minh cos A + cos B + cos C ≤ b.(về toán cực trị tam giác): Cho tam giác biểu thức M= ABC , tìm giá trị lớn cos A + cos B + cos C tốn cực trị tam giác có độ phức tạp toán bất đẳng thức tam giác Tuy nhiên, nắm vững phương pháp giải toán bất đẳng thức tam giác dễ dàng làm tốn cực trị tam giác, ngược lại Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic tốn quốc tế, toán liên quan đến Các toán cực trị tam giác hay đề cập thuộc loại khó Các tốn chứng minh bất đẳng thức, cực trị tam giác hay nhận dạng tam giác đề cập nhiều tài liệu bồi dưỡng giáo viên học sinh chun tốn bậc trung học phổ thơng Các kết nghiên cứu nội dung đến tương đối đầy đủ hồn thiện Chính để có kết có ý nghĩa nội dung việc làm khó thân Tuy nhiên, với nỗ lực nhận thức thân, luận văn cung cấp số kiến thức đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong q trình hồn thành luận văn tác giả khơng ngừng nỗ lực để học hỏi, tìm tịi sưu tầm toán cực trị tam giác Tuy nhiên, hiểu biết thân, điều kiện thời gian khuân khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn trình nghiên cứu không tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong dạy thầy (cô) giáo q bạn đọc để luận văn tơi thêm hồn thiện Bố cục luận văn bao gồm: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương gồm định lí, cơng thức số đẳng thức, bất đẳng thức tam giác như: định lí hàm số sin, định lí hàm số cos, cơng thức tính diện tích tam giác, cơng thức tính bán kính, cơng thức đường trung tuyến, cơng thức đường phân giác, cơng thức hình chiếu, số đẳng thức tam giác, số bất đẳng thức đại số thường gặp, số bất đẳng thức tam giác Chương Các toán cực trị tam giác Gồm phần: Phần 1: Sử dụng tính chất tích vơ hướng  a) a b ≥ a.b b)  n  i =1 2 ∑ai  ≥  để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 2: Sử dụng tính chất dấu tam thức bậc hai Cho f (x ) = ax + bx + c ∆≥0 a) ∆ ≤ ⇒ af (x ) ≥ 0;∀x  b) Nếu ∃α cho: af (α ) ≤  α ∈[x1 ; x2 ]  để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chương Cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong chương tác giả dùng kiến thức phổ thông, đẳng thức bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức biết, bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopsky, bất đẳng thức Trêbưsep, bất đẳng thức Jensen … để xây dựng lên toán cực trị tam giác Ngày … tháng 12 năm 2016 Học viên Một số ký hiệu dùng luận văn 1) ∆ABC : tam giác ABC A;B;C: đỉnh, đồng thời số đo ba góc tam giác ABC a; b;c: số đo độ dài ba cạnh BC; AC; AB 2) ; hb ; hc : độ dài đường cao tương ứng cạnh a; b; c 3) la ;lb ;lc : độ dài đường phân giác tương ứng cạnh a; b; c 4) ma ; mb ; mc : độ dài đường trung tuyến tương ứng cạnh a; b; c 5) ; rb ; rc : bán kính đường trịn bàng tiếp tương ứng góc:A;B;C 6) R; r: bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC 7) p; S: thứ tự nửa chu vi diện tích tam giác ABC 8) Min; max: giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 9) ∀ : với 10) CMR: chứng minh 11) Đpcm: Điều phải chứng minh 12) ; ; : tập số thực, tập số nguyên, tập số tự nhiên Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các đẳng thức tam giác 1.1.1 Các định lí cơng thức tam giác 1.1.1.1 Định lý hàm số sin : a b c sin A = sin B = sin C = 2R 1.1.1.2 Định lý hàm số cos : a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos A c = a + b − 2ab cos A 1.1.1.3 Định lý hàm số tan : a− b a+ b A− tan B = A+ B tan B− C b− tan c b+ B+ = c C tan c− a c+ a C− A tan = C+ A tan 1.1.1.4 Cơng thức tính diện tích tam giác 1 S ∆ABC = aha = bhb = chc   1 ab sin C = bc sin A = ca sin B abc 4R = pr = ( p − a ) = ( p − b ) rb = ( p − c )rc  R sin A sin B sin C = p ( p − a )( p − b)( p − c) (công thức He - ron) 70  1 2 Từ (*) ta có:  −   x y   2  1 2 ≤  ≤ +   x y z    )2 − (zx)2 ⇔ −1 ≤ (xy ) − ( yz 2xyz 2 Khi đó: C = arccos (xy ) − ( yz ) − (zx) 2xyz2 Hồn tồn tương tự ta có: A = arcsin (xy )2 − ( xz )2 − ( yz )2 2x yz Vậy max P =  xy  2 z + yz + x zx   y Từ toán xây dựng nhiều cài tốn cực trị khó, cụ thể: Bài tốn 3.6.3 Cho tam giác ABC, tìm giá trị lớn biểu thức sau: a M = 3sin A + 5sin B − 4cos C b P = 2cos A + 3cos B + 4cos C Nhận xét: Từ toán biết kết hợp bất đẳng thức đại số ta xây dựng tốn khó Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC Áp dụng BĐT Cauchy ta có 1 cos A + 3cos B + cos C ≥ cos A + 3cos B + cos C Tư ta có tốn sau Bài tốn 3.6.4 Cho tam giác nhọn ABC, tìm giá trị nhỏ biểu thức sau 1 cos 3cos Q = A + B + cos C 71  Dựa vào toán tổng quát: Cho m, n, p dương Chứng minh với tam giác ABC ta có: n+p tan m A + p+m B m+n C ≥2 tan + p tan n 2 Lời giải: Ta có: n p + tan2 m  n   tan2 A p + m + n A m 2 + n tan tan2 B 2+ m +n 2C p tan B p m  tan + A m + C p n 2B 2C  tan  +  tan + tan   2  m p  n p  Mặt khác thì: n tan m p tan m 2 A+m tan n A+m tan p 2 B C A B ≥ tan tan ≥ tan A C tan p tan2 B + n tan2 C ≥ tan B tan C n p 2 Cộng vế với vế bất đẳng thức kết hợp với đẳng thức quen thuộc sau: A B B tan tan + tan tan C C B + tan tan =1 Ta có điều cần chứng minh Dấu đẳng thức xảy khi: 72 n A m tan2 m = tan2 n B p B n 2C n tan = p tan Suy ra: tan A = tan B = tan2 C m2 n2 p2 tan A tan B tan C 2 = = p n m α β γ α , β , γ ∈(0,π ) Khi đó: Đặt m = tan ; n = tan ; p = tan tan A tan B tan C = = tan α tan β tan γ 2 Hay: A =B=C⇒A=B=C=A+B+C  βγαβγα+β+γ Từ ta có: A =α1π,B = β1π,C =γ1π với: α β γ ,γ1 = α1 = α+β+γ ,β1 = α+β+γ α +β+γ Vì vậy: 73 A =α1π,B = β1π,C =γ1π Là góc tam giác dấu đẳng thức xảy tam giác ABC đồng dạng với tam giác có ba góc tương ứng α1π , β1π , γ 1π Từ đó, thay m = 1; n = 2; p = ta có tốn cụ thể sau: Bài tốn 3.6.5 Cho tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P = tan A + tan B + tan C  Dựa vào toán tổng quát : Cho số dương x, y , z Tìm giá trị lớn biểu thức: Ts = x sin A + y sin B + z sin C Trong A, B, C góc tam giác ABC α,β,γ Định lý Giả sử ba góc tam giác nhọn XYZ cho trước Khi với tam giác ABC , ta có: sin A + sin B + sin C  ≤ + +   cos γ cosα cos β sin 2β sin 2γ   sin 2α sin 2α sin 2β 1 − (cot 2α + cot 2β + cot 2γ )+  +  sin 2β sin 2γ sin 2α sin 2γ Chứng minh (Xem [6]) sin 2γ +   sin 2α sin 2β  74 Định lý Cho số dương x, y , z tuỳ ý Khi với tam giác ABC , ta có: x sin A + y sin B + z sin C ≤ 1  + +   sin 2β sin 2γ  +  sin 2α sin 2β m  sin 2α − (cot 2α + cot 2β + cot 2γ )+ 4m   sin 2β sin 2γ 2m Trong α = arccos , β = arccos ,γ = arccos m m x y mz ; sin 2α sin 2γ α  ,β,γ ∈  sin 2γ + 0;   sin 2α sin 2β  π  2 Và α + β + γ = π , m nghiệm phương trình bậc ba m3 x y z − m (x z + x y + y z )− xyz = Chứng minh (Xem [6]) Vậy ta ln tìm giá trị lớn x sin A + y sin B + z sin C với x, y , z số dương tuỳ ý Từ ta xây dựng tốn cụ thể sau: Bài tốn 3.6.6 Cho tam giác ABC tìm giá trị lớn biểu thức P = sin A + sin B + sin C −1 Gợi ý Áp dụng toán tổng quát ta tìm max P = 3+2 75 π π π Khi tam giác ABC có ba góc , , 12  Chú ý: tài liệu [6] chứng minh số kết sau: Kết Giả sử số dương x, y , z thoả mãn điều kiện: x + y > z Khi với tam giác ABC , ta có: A B x sin + y sin + z sin C yz xz xy 2≤2 x+2 y+2 x Dấu đẳng thức xảy x cos A = y cos B = z cos C tức tam giác 2 A1 B1C1 với ba góc: A1 = B+ C A+ C A+ B ,B1 = ,C1 = 1 đồng dạng với tam giác nhọn có độ dài cạnh x , y , z Nói cách khác, tam giác ABC có góc thoả mãn hệ A=B1+C1−A1  B=A +C −B  Trong tam giác A1 B1C1 đồng dạng với tam giác nhọn có cạnh : 1 x, y, z 76 Kết Cho số dương x, y , z cho , , lập thành cạnh x y z tam giác XYZ cho trước Khi với tam giác ABC , ta có A x sin B + y sin 2 x xz y + z sin ≤ 2x + y + 2x C yz 1 Kết Cho số dương x, y , z cho + y ≤ Khi với tam giác z x ABC ∈ M (∆) , ta có: A B x sin + y sin + z sin C 2≤x+y−z Kết Cho số dương x, y , z tuỳ ý Khi với tam giác ABC , ta có: x cos A + y cos B + z cos C ≤ 1  + sin 2β sin 2α m  sin 2α 1 + (cot 2α + cot 2β + cot 2γ )+ 4m  −   sin 2γ  + sin 2β + sin 2α sin 2γ Trong đó: α = arccos , β = arccos , γ = arccos m mx my z ;   sin 2α sin 2β   sin 2β sin 2γ 2m sin 2γ α,β  π ,γ ∈ 0;   2 Và α + β + γ = π , m nghiệm phương trình bậc ba ( ) m3 x y z − m x z + x y + y z − xyz = (3.61) Từ bốn kết ta xây dựng số toán cực trị sau Bài tốn 3.6.7 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: A B Q = sin + sin + sin C 77 Bài toán 3.6.8 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: N= A B C sin + sin + sin Bài tốn 3.6.9 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: M = 5sin A B C + sin + sin Bài toán 3.6.10 Cho tam giác ABC , tìm giá tri lớn biểu thức sau: K = cos A B C + cos + 3cos Kết luận: Trong khuân khổ luận văn tơi nêu lên số cách xây dựng toán cực trị tam giác, tác giả khẳng định số cách nhiều cánh mà tác giả biết chưa biết Song với với số lượng cách ta xây dựng nhiều toán Cực trị tam giác… 78 KẾT LUẬN Xây dựng toán Cực trị tam giác từ đẳng thức bất đẳng thức nhiều người nghiên cứu sáng tạo Việc tìm không đơn giản Trong luận văn tác giả đạt số kết sau: Tác giả tổng hợp kết tam giác Tác giả đưa số phương pháp giải cho tốn cực trị tam giác, từ nêu số toán cực trị tam giác Tác giả nêu lên số cách xây dựng số toán dành cho học sinh phổ thông liên quan tới toán cực trị tam giác Sáng tạo toán cho phép ta nhìn nhận đa dạng sâu sắc đẳng thức bất đẳng thức tam giác Một lần nữa, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới hướng dẫn , góp ý tận tình TS Lê Đình Định, thầy giáo giảng dạy khoa Tốn - Cơ - Tin học, người giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn 79 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hiến, Bất đẳng thức tam giác, NXB Hải Phòng, 2000 [2] Phan Huy Khải, Toán nâng cao lượng giác 11, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [3] Nguyễn Vũ Lương, Một số giảng toán tam giác, [4] Nguyễn Vũ Lương, Cực trị toán tam giác, NXB Giáo dục Việt Nam, 2010 [5] NguyễnVăn Mậu , Bất đẳng thức, NXB Giáo dục Việt Nam, 2006 [6] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2008 [7] Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định, Ơn luyện toán sơ cấp ( tập một), NXB Giáo dục Việt Nam,2011 [8] Lê Đình Thịnh - Lê Đình Định, Ơn luyện toán sơ cấp ( tập hai), NXB Giáo [9] G.H.Hardy, J.E.Littlewood, G.Polya (2002), Bất đẳng thức, NXB Đạihọc Quốc Gia, HàNội 80 ... giác Phần 3: Sử dụng đạo hàm để giải tốn tìm cực trị tam giác Phần 4: Dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị tam giác Phần 5: Nêu số toán cực trị tam giác Chương Cách xây dựng toán cực trị tam. .. đẳng thức bất đẳng thức tam giác, hệ thống số phương pháp việc giải toán cực trị tam giác, nêu số toán cực trị tam giác Đồng thời đưa số cách xây dựng toán cực trị tam giác Trong q trình hồn thành... [1]) 18 Chương Các toán cực trị tam giác 2.1 Một số phương pháp giải toán cực trị tam giác Nhận xét: Tuy số lượng toán bất đẳng thức toán cực trị tam giác tương đối nhiều khó, nắm cách giải vận