Về bài toán tham số hóa đường cong đại số luận văn ths toán học 60 46 05

u ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TỒN VỀ BÀI TỐN THAM SỐ HỐ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TỒN VỀ BÀI TỐN THAM SỐ HỐ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài Hà Nội – 2012 Lời nói đầu Bài tốn tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đường cong đại số mặt đại số chủ đề thú vị Hình học đại số Hơn nữa, vấn đề có nhiều ứng dụng thiết thực lĩnh vực thiết kế đồ họa máy tính Vì vậy, trở thành đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học tin học Năm 2008, J R Sendra cộng cho đời sách có tựa đề "Rational Algebraic Curvers" Đây số sách đề cập tốn tham số hóa Nội dung sách nhằm tìm phép tham số hóa hữu tỉ đường cong đại số cho trước phép tham số hóa tồn tìm phép tham số hóa tốt đồng thời phân loại phép tham số hóa Như vậy, câu hỏi tự nhiên là, đường cong cho phép tham số ngồi lợi ích mà phép tham số hóa mang lại nói việc nghiên cứu tính chất hình học có hạn chế so với đường cong cho dạng đa thức? Cụ thể việc tìm bậc đường cong, tìm số bội điểm từ xác định điểm kì dị, đếm số điểm kì dị, có khó khăn? Một câu trả lời S PérezDíaz, ba tác giả sách nói trên, đưa báo ([4]) vào năm 2007 Bản luận văn chúng tơi khơng có kết Cơng việc người viết trình bày lại nội dung nêu đồng thời tính tốn thêm nhiều ví dụ tương đối phức tạp Luận văn trình bày thành chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày khái niệm, kết mang tính chất tảng Hình học đại số khái niệm đa tạp đại số, ánh xạ hữu tỉ, song hữu tỉ, vấn đề giải kì dị, hệ thống tuyến tính đường cong, ước, giống Trong chương nêu chứng minh số kết quan trọng định lí Riemann, định lí cơng thức tính giống đường cong có kì dị thường Chương Các thuật tốn tham số hóa hữu tỉ Cùng với chương 2, i hai chương luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày thuật tốn tham số hóa hữu tỉ với cơng cụ hệ thống tuyến tính đường cong liên hợp Phần lớn ví dụ trích [3] chúng tơi tự tính tốn có kết (tham số hóa) khác với [3] Chương Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ Trong chương cuối chúng tơi trình bày kết nhằm khẳng định đường cong cho dạng tham số hóa hữu tỉ giúp có thuận lợi tính tốn việc khảo sát tính chất hình học Tuy chưa đầy đủ phần lớn tính chất hình học số bội, bậc tồn cục, tập kì dị trình bày cách rõ ràng Chương chương sử dụng tài liệu tham khảo [2], [3], [4], [5], [6] Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Phó Đức Tài Thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ tác giả từ ngày đầu làm quen với Hình học đại số, đến trình viết bảo vệ luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán Cơ Ti n, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt thầy Bộ mơn Đại số Hình học Tô pô tạo điều kiện cho tác giả học t ập nghiên cứu môi trường khoa học Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, mùa hè năm 2012 Học viên Hà Đăng Toàn ii Bảng ký hiệu coeff(F (X), n) degX (F ) [E:F] (F1, F2, , Fr) gcd(F, G) I(V ) k[X1, , Xn] k(X1, , Xn) k(X) k(C) lc(F (X)) lc(f (s, t), t) mP (F ), multP (F ) U Rest(F, G) Ngr(C) V (S) iii Mục lục Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ Ánh xạ hữu tỉ song hữu tỉ Số giao hệ tuyến tính đường c Giải kì dị đường cong đại số Không gian ước giống Định lí Rieman Các thuật tốn tham số hóa hữu tỉ 1.1 Đường cong hữu tỉ phép tham số 1.2 Tham số hóa đường thẳng 1.3 Tham số hóa đường cong liên h Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ 2.1 Chỉ số vết tính thực phép t 2.2 Phép tham số hóa chuẩn 2.3 Hình học đường cong hữu tỉ cho Kết luận Tài liệu tham khảo iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày khái qt số kiến thức cần thiết đường cong đại số Các kiến thức sở để trình bày nội dung luận văn Tuy nhiên, nêu chứng minh kết quan trọng Chương trình bày chủ yếu theo [1] [5] Ở toàn luận văn, ta xét k trường đóng đại số, có đặc số Cịn khái niệm đường cong hiểu đường cong khơng có thành phần bội, cụ thể là, đa thức định nghĩa khơng chứa thừa số bội 0.1 0.1.1 Đường cong đại số trường hàm hữu tỉ Không gian afin không gian xạ ảnh Ta hiểu không gian afin n chiều trường k, kí hiệu A n(k), tích Đềcác k× ×k (n lần) Mỗi phần tử A n(k) gọi điểm Đặc biệt, n = A 1(k) gọi đường thẳng afin, n = A 2(k) gọi mặt phẳng afin Để cho đơn giản, trường k biết, ta kí hiệu khơng gian afin n chiều k A n Không gian xạ ảnh n chiều k, kí hiệu P n(k) hay đơn giản Pn, định nghĩa tập tất đường thẳng qua điểm (0, , 0) A n+1 (k) Ta thấy rằng, điểm x = (x1, x2, , xn+1) = (0, 0, , 0) xác định đường thẳng hai điểm x, y xác định đường thẳng tồn số λ cho x = λy, ta nói x, y tương đương Như thế, P n hiểu tập tất lớp tương đương điểm A n+1 n \(0, 0, , 0) Các phần tử P gọi điểm Ta viết [x : x2 : : xn+1] để phần tử (điểm) P n P , (x1, x2, , xn+1) gọi tọa độ P n Bây ta kí hiệu Ui = {[x1 : x2 : : xn+1] ∈ P |xi = 0} Khi P ∈ Ui viết dạng P = [x1 : : xi−1 : : xi+1 : : xn+1] Các tọa độ (x1, : xi−1, xi+1, , xn+1) gọi tọa độ khơng ứng với n Ui Ta có song ánh ϕi : A → Ui với ϕi(x1, : xi−1, xi, , xn) = [x1 : : xi−1 : : n n+1 xi : : xn+1] Để ý P = i=1 n Ui, P phủ n + tập hợp mà tập hợp xem không gian afin n chiều Để cho thuận tiện, P n, ta thường gọi điểm [0 : : : : 1] điểm gốc, điểm có tọa độ thứ n + khơng điểm vô tập hợp n H∞ = P \Un+1 = {[x1 : x2 : : xn+1]|xn+1 = 0} n siêu phẳng vô Vậy P = Un+1 ∪ H∞ Tương tự không gian afin, ta gọi P không gian xạ ảnh chiều hay đường thẳng xạ ảnh, P2 không gian xạ ảnh hai chiều hay mặt phẳng xạ ảnh 0.1.2 Tập đại số Đa tạp afin, đa tạp xạ ảnh n Giả sử F ∈ k[X1, , Xn], điểm P = (a1, , an) A gọi không điểm F F (P ) = F (a 1, , an) = Nếu F khơng số tập tất không điểm F gọi siêu mặt định nghĩa F kí hiệu V (F ) Tổng quát hơn, S tập đa thức k[X 1, , Xn], ta kí hiệu n V (S) = {P ∈ A |F (P ) = 0, ∀F ∈ S}, tức V (S) = ∩F ∈S V (F ) Một tập X ⊂ An gọi tập đại số afin X = V (S) với S Đặc biệt, A2 ta có định nghĩa: Định nghĩa 0.1 Một đường cong đại số afin phẳng k tập đại số C = V (F ) = {(a, b) ∈ A (k)|F (a, b) = 0}, F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] đa thức khác Khi F gọi đa thức định nghĩa C (và tất nhiên, đa thức G = c.F , với c = thuộc k, định nghĩa đường cong) Trong định nghĩa này, ta viết F dạng F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + + Fm(X, Y ), đó, Fi(X, Y ) đa thức bậc i, F m(X, Y ) = Khi đa thức Fi gọi thành phần F m gọi bậc C ký hiệu deg(C) Các đường cong bậc gọi đường thẳng, bậc hai gọi cônic, bậc ba cubic, n Nếu F = j=1 Fj , Fj nhân tử bất khả quy F, ta nói đường cong afin định nghĩa đa thức F j thành phần C Hơn nữa, đường cong C gọi bất khả quy đa thức định nghĩa bất khả quy Bây ta nói khái niệm tập đại số không gian xạ ảnh Một cách tương tự, điểm P ∈ Pn gọi không điểm đa thức F ∈ k[X1, , Xn+1] F (x1, , xn+1) = với cách chọn tọa độ (x 1, , xn+1) P Khi ta viết F (P ) = S tập đa thức k[X1, , Xn+1] ta kí hiệu n V (S) = {P ∈ P |F (P ) = 0, ∀F ∈ S} Một tập X ⊂ Pn gọi tập đại số xạ ảnh X = V (S) với S Và P2 ta có định nghĩa: Định nghĩa 0.2 Một đường cong đại số xạ ảnh phẳng k định nghĩa tập hợp C = V (F ) = {[a : b : c] ∈ P (k)|F (a, b, c) = 0}, với đa thức khác không chứa thừa số bội F (X, Y, Z) ∈ k[X, Y, Z] Ta gọi F đa thức định nghĩa C Khái niệm bậc, thành phần tính bất khả quy (như định nghĩa 0.1 cho đường cong afin) sử dụng cho đường cong xạ ảnh cách tương tự Nếu đường cong afin định nghĩa đa thức F (X, Y ) ta nhận đường cong xạ ảnh C∗ tương ứng cách hóa F (X, Y ) thành F ∗ (X, Y, Z) Nghĩa là, nếu: F (X, Y ) = Fr(X, Y ) + Fr+1(X, Y ) + + Fm(X, Y ), thì: F ∗(X, Y, Z) = Fr(X, Y )Z m−r + Fr+1(X, Y )Z m−r−1 + + Fm(X, Y ), C∗ = {[a : b : c] ∈ P (k)|F ∗(a, b, c) = 0} Định nghĩa 0.3 Đường cong xạ ảnh tương ứng với đường cong afin C k gọi bao đóng xạ ảnh C P (k) Mỗi điểm (a, b) ∈ C tương ứng với [a : b : 1] C∗ điểm thêm vào C∗ điểm vơ Nói cách khác, hai tọa độ điểm thêm vào nghiệm không tầm thường F m(X, Y ) tọa độ thứ ba Do vậy, đường cong C∗ có hữu hạn điểm vơ Nếu C đường cong xạ ảnh định nghĩa F (X, Y, Z), ta kí hiệu C∗,Z đường cong afin xác định F ∗,Z (X, Y ) = F (X, Y, 1) Tương tự, ta có đường cong C∗,X C∗,Y Nếu khơng có nhầm lẫn sau ta dùng kí hiệu C∗ thay cho C∗,Z Nếu P = [a : b : 1] ∈ P ta gọi điểm tương ứng khơng gian afin P ∗, tức P∗ = (a, b) Để cho đơn giản, ta đồng đường cong với đa thức định nghĩa Hơn nữa, xuyên suốt luận văn quan tâm đến đường cong đại số Vì vậy, khơng nói thêm “đường cong” hiểu “đường cong đại số”, tức là, siêu mặt A2 P2 Một cách để phân loại tập đại số nói chung dựa vào tính khả quy hay bất khả quy chúng Một tập đại số gọi khả quy hợp hai hay nhiều tập đại số nhỏ Trong trường hợp ngược lại ta có tập đại số bất khả quy Nếu tập đại số afin (xạ ảnh) bất khả quy ta gọi đa tạp đại số afin (xạ ảnh) 0.1.3 Nón tiếp xúc điểm kì dị đường cong phẳng Trước hết, ta cần có khái niệm điểm kì dị đường cong afin phẳng Định nghĩa 0.4 Cho C đường cong afin k định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] P = (a, b) ∈ C Ta nói P có bội r C đạo hàm riêng (theo X, Y ) F bậc r − triệt tiêu P đạo hàm riêng bậc r không triệt tiêu P Ta ký hiệu bội P C multP (C) Khi đó, multP (C) = P ∈/ C, multP (C) = ta nói P điểm đơn C, multP (C) = r > ta gọi P điểm kỳ dị (hay kỳ dị) bội r C tiếp xúc với C điểm đơn Số điểm kì dị C hữu hạn Thêm vào đó, ∂F ∂X đường thẳng Y = b tiếp xúc C (a, b) (a, b) nghiệm hệ {F = 0, = 0} Theo định lí Bezout hệ có hữu hạn nghiệm Vậy có hữu hạn phần tử thỏa mãn (4); cuối cùng, hệ số dẫn đầu F (X, Y ) theo biến X đa thức biến khác khơng nên có hữu hạn phần tử k thỏa mãn (5) Vậy S tập hữu hạn Bây ta chọn b ∈ k\S xét tương giao C đường thẳng Y = b Vì b không nghiệm hệ số dẫn đầu F (X, Y ) theo biến X nên bậc F (X, b) degX (F (X, Y )), giả sử m := degX (F (X, Y )) Theo (4) F (X, b) khơng có nghiệm bội, nói cách khác F (X, b) có m nghiệm phân biệt r 1, r2, , rm Vậy có m giao điểm C đường thẳng Y = b {(ri, b), i = n} điểm sinh P(t) (do điều kiện (1)) Mặt khác, xét đa thức M(t) = gn(t) − bgd(t) Ta thấy degt(M) ≥ m điểm (ri, b) tương ứng với giá trị t Tuy nhiên, điểm (a, b) ∈ C sinh lần P(t) (do (1)) M(t) khơng thể có nghiệm bội nên degt(M) = m = degX (F (X, Y )) Hơn nữa, điều kiện (3) nên deg X (F (X, Y )) = deg(M) = max(deg(gn), deg(gd)) Một cách tương tự ta chứng minh deg Y (F (X, Y )) = max(deg(fn) deg(fd)) Từ ta có deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) Bây ta chứng minh chiều ngược lại Giả sử P(t) phép tham số hóa C ′ cho deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) P (t) phép tham số hóa ′ thực C Khi đó, theo bổ đề 2.4 tồn R(t) ∈ k(t) cho P (R(t)) = ′ P(t) Do P (t) thực nên deg(P(t)) = max(degX (F ), degY (F )) = deg(P(t)) Do đó, deg(R(t)) = Cũng theo bổ đề 2.4 P(t) thực Hệ 2.7 Giả sử C đường cong afin xác định k với đa thức định nghĩa F (X, Y ) ∈ k[X, Y ] giả sử P(t) = (f (t), g(t)) phép tham số hóa C deg(f (t)) Khi đó, f (t) khác khơng deg Y (F ) = deg(g(t)) deg (F ) = X index(P) index(P) ; tương tự, g(t) khác khơng Hơn nữa, từ định nghĩa phép tham số hóa hữu tỉ thực định nghĩa số vết ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.8 ([5], chương 4, Định lí 4.30) Phép tham số hóa P(t) thực index(P(t)) = 51 Trước kết thúc mục ta xét ví dụ Ví dụ 2.9 Cho đường cong C định nghĩa đa thức 2 2 F(X,Y) = −6X Y +11X +6XY +Y −10X +3−X Y Có thể kiểm tra P(t) = P phép tham số hóa hữu tỉ C Tuy nhiên, ta tính index(P(t)) = ′ 1, index(P (t)) = Do đó, có P(t) phép tham số hóa hữu tỉ thực 2.2 Phép tham số hóa chuẩn Chúng ta biết, ánh xạ hữu tỉ ánh xạ trội Chính trường hợp tổng qt phép tham số hóa P(t) có số điểm đường cong khơng nhắc tới Nói cách khác, P khơng tồn ánh Trong phần quan tâm đến trường hợp P toàn ánh, phép tham số hóa gọi phép tham số hóa chuẩn Bổ đề 2.10 ([5], chương 6, Bổ đề 6.19) Giả sử ℓ 1(X) = lc(f (X, t), t), ℓ2(Y ) = lc(g(Y, t), t) Khi đó: P(k) = {(a, b) ∈ C| gcd(f (a, t), g(b, t)) = 1} Hơn nữa, C\P(k) ⊂ {(a, b) ∈ C|ℓ1(a) = ℓ(b) = 0} Hệ 2.11 Nếu P(t) bậc mẫu số mà nhỏ bậc tử số tương ứng P(t) chuẩn Định lí sau ngồi việc giúp kiểm tra kiểm tra xem phép tham số hóa có chuẩn hay khơng cịn cho phép xác định điểm mà không nhắc tới phép tham số hóa Sau ta gọi điểm điểm tới hạn 52 Mệnh đề 2.12 ([5], chương , Định lí 6.22) Trong phép tham số hóa P(t) giả sử deg(fn) = p, deg(Fd) = q, deg(gn) = r, deg(gd) = s a = coeff(fn, q), b = coeff(fd, q), c = coeff(gn, s), d = coeff(gd, s) Khi đó: Nếu p > q r > s P(t) phép tham số hóa chuẩn Nếu p ≤ q r ≤ s P(t) chuẩn deg(gcd(afn(t) − bfn(t), cgd(t) − dgn(t))) ≥ Hơn nữa, P(t) khơng chuẩn điểm C sinh P(t) trừ điểm a ( , c ) (đây điểm C.) b d Điểm ( ab , dc ) xác định mệnh đề (nếu có) phép tham số hóa hữu tỉ gọi điểm tới hạn phép tham số hóa 2.3 Hình học đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa 2.3.1 Khảo sát kì dị đường cong Giả sử C đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa P(t), s0 phần tử k Xét hệ: f (t) = f (s0) g (t) = g (s0) Rõ ràng, với hầu hết giá trị s0 số nghiệm hệ số vết P (t) Hơn nữa, nghiệm hệ nghiệm hệ: f (s0, t) = g (s0, t) = Nếu gcd(lc(f (s0, t), t), lc(g(s0, t), t)) = 0, Rest(f (s0, t), g(s0, t)) = 0, fd(s0)gd(s0) = số nghiệm hai hệ Như ta có kết luận Mệnh đề 2.13 Nếu gcd(lc(f (s0, t), t), lc(g(s0, t), t)) = 0, Rest(f (s0, t), g(s0, t)) = 0, fd(s0)gd(s0) = P(s0) điểm đơn C 53 Từ ta có Mệnh đề 2.14 ([4], Định lí 11) Nếu P = [a : a2 : a3] ∈ P điểm kì dị đường cong C với đa thức định nghĩa F (X 1, X2, X3) phát biểu sau đúng: Với i ∈ {1, 2, 3} cho = ( điểm tới hạn phép tham số hóa P∗,Xi tối giản P = P∗(s0) với gcd(lc(f (s0, t), t), lc(g(s0, t), t))(s0) = 0; ∗ P = P (s0) với Rest( P = P∗(s0) với fd(s0)gd(s0) = Như vậy, ta tìm tập hợp điểm chứa tất điểm kì dị C từ dạng tham số hóa hữu tỉ Ở phần tìm cách bậc toàn cục đường cong bậc địa phương điểm Nhờ xác định xác điểm kì dị số bội tương ứng chúng 2.3.2 Bậc đường cong hữu tỉ cho dạng tham số hóa hữu tỉ Bài tốn tìm bậc đường cong có cách giải quen thuộc nhờ ứng dụng Định lí Bézout: ta tìm số giao điểm (kể bội) đường cong cho với đường thẳng Số bậc đường cong Tuy nhiên, mục tìm hiểu phương pháp dựa khái niệm số vết phép tham số hóa Mệnh đề 2.15 ([4], Định lí 6) Giả sử (a, b) ∈/ C Khi đó, deg(C) = Chứng minh Giả sử đa thức định nghĩa C F (X, Y ) Xét đường cong D định nghĩa đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b) Vì P(t) = C nên Q(t) = D (0, 0) ∈/ D Như vậy, ta viết G(X, Y ) = G0(X, Y ) + G1(X, Y ) + + Gm(X, Y ) 54 Do đó, G∗(X, Y, Z) = G0(X, Y )Z + G1(X, Y )Z m m−1 + + Gm(X, Y ) Chú ý G0(X, Y ) = nên m = deg D = degZ (G∗(X, Y, Z)) = degZ (G∗(1, Y, Z)) Bây giờ, gọi E đường cong định nghĩa đa thức H(Y, Z) = G∗(1, Y, Z) g QX (t) = f Bây ta xét ánh xạ R : k2 → k xác định R(X, Y ) = deg(ϕR) = QX = R ◦ P nên deg(ϕP ) = deg(ϕQX ) Thế mà bậc đường cong bất biến phép biến tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) ta có điều cần đổi chứng minh Như vậy, muốn tính bậc đường cong hữu tỉ nhờ cơng cụ số vết ánh xạ hữu tỉ, cần chọn điểm không thuộc đường cong áp dụng mệnh đề 2.15 Việc lựa chọn điểm khơng thuộc đường cong khơng khó Thật vậy, deg(gcd(fn(t) − afd(t), gn(t) − bgd(t)) ≥ điểm (a, b) ∈ C Trong trường hợp ngược lại (a, b) điểm tới hạn phép tham số hóa (a, b) khơng thuộc đường cong 2.3.3 Số bội điểm đường cong hữu tỉ Trong chương nói đến vấn đề xác định số bội điểm P đường cong afin cách tịnh tiến đường cong cho P trùng với gốc tọa độ Khi đó, bậc thành phần bậc thấp số bội P đường cong cho Trong mục này, mong muốn xác định số bội điểm tùy ý đường cong mà thông qua dạng tham số ý tưởng phương pháp xuất phát từ vấn đề Mệnh đề 2.16 ([4], Định lí 8) Giả sử (a, b) ∈ k Khi mult[a:b:1](C∗) = mult(a,b)(C) = deg(C) − 55 Chứng minh Giả sử đa thức định nghĩa C F (X, Y ) Xét đường cong D định nghĩa đa thức G(X, Y ) = F (X + a, Y + b) Vì P(t) = C nên Q(t) = D (0, 0) ∈/ D Như vậy, ta viết G(X, Y ) = G0(X, Y ) + G1(X, Y ) + + Gm(X, Y ) Do đó, G∗(X, Y, Z) = G0(X, Y )Z + G1(X, Y )Z m m−1 + + Gm(X, Y ) Vì mult(a,b)(C) = mult(0,0)(D), ta suy deg(D)−mult(a,b)(C) = degZ (G∗(X, Y, Z)) = degZ (G∗(1, Y, Z)) Bây giờ, gọi E đường cong định nghĩa đa thức H(Y, Z) = G ∗(1, Y, Z) QX (t) = tham số hóa E Theo hệ 2.7 ta có degZ (E) = Tương tự mệnh đề deg(ϕ P ) = deg(ϕQX ) Thế mà bậc đường cong bất biến phép biến đổi tuyến tính tọa độ nên deg(C) = deg(D) ta có điều cần chứng minh Như vậy, muốn tìm số bội điểm P với tọa độ dạng [a : b : 1] ta quy tìm số bội (a, b) đường cong C∗,Z Một cách tương tự, tìm số bội điểm có dạng [1 : a : b] hay [a : : b] ta quy tìm số bội điểm (a, b) đường cong tương ứng C∗,X C∗,Y Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.17 ([4], Định lí 9) Ta có công thức sau: mult mult [1:k:0] [0:1:0] (C∗) = deg(C) − (C∗) = deg(C) − Trước kết thúc chương ta có ví dụ mang để minh họa kết nói 56 Ví dụ 2.18 Gọi C đường cong cho phép tham số hóa Ta có: P (t) = P(t); P ∗,Z điểm tới hạn có P1 = [2 : : 1] Mặt khác: 3 f (s, t) = (t + (t + 1) t ) (s + 1) s − (t + 1) t (s + (s + 1) s ) , 2 3 g(s, t) = (t + 1) (s + 1) s − (t + 1) t (s + 1) Do đó, gcd(f (s, t), g(s, t)) = t − s (nên suy index(P) = 1) Suy ra, Res (f (s, t)/(t − s); g(s, t)/(t − s)) = Ta cần xét nghiệm s + s + = bao gồm: s1 = + −1 + √ i; −1 − Ta có P2 = P∗(s1) = P∗(s2) = [3 : −1 : 1]; P3 = P∗(s3) = P∗(s4) = [1 : : 1] Điều kiện gd(s)fd(s) = cho ta s5 = 0, s6 = i, s7 = −i Khi đó: P4 = P∗(s5) = [0 : : 0]; P5 = P∗(s6) = P∗ = [0 : : 1] Áp dụng cơng thức ta tính deg(C∗) = multP1 (C∗) = 1, multP2 (C∗) = 2, multP3 (C∗) = 2, multP4 (C∗) = 3, multP1 (C∗) = Như đường cong cho có bậc chứa bốn điểm kì dị 57 Kết luận Như vậy, chương chúng tơi trình bày trọn vẹn hai khía cạnh tốn tham số hóa đường cong hữu tỉ Bao gồm, thuật toán xác định giống đường cong (đồng nghĩa với việc xác định tính hữu tỉ đường cong) thuật tốn tham số hóa hữu tỉ đường cong liên hợp Phương pháp xác định giống đường cong mà chúng tơi trình bày luận văn phương pháp kiểm tra điều kiện cần đủ để có phép tham số hóa hữu tỉ Hơn nữa, cịn cho phép xác định đồ thị lân cận trường hợp đường cong có kì dị khơng thơng thường, tức trường hợp tổng quát toán tham số hóa Đồ thị lân cận điểm kì dị thu giải kì dị dựa dãy phép biến đổi bậc hai (phép nổ kì dị, hợp thành phép biến đổi tuyến tính ánh xạ Cremona) Dựa đồ thị lân cận điểm kì dị thu bước hệ thống tuyến tính, chúng tơi trình bày thuật tốn tham số hóa đường cong liên hợp Vấn đề ngược lại đề cập chương hai, cho đường cong dạng tham số, cách khử tham số (dùng kết thức) ta tìm đa thức định nghĩa đường cong để từ nghiên cứu tính chất hình học đường cong Tuy nhiên, nhờ việc khảo sát bậc ánh xạ đa thức hay số vết phép tham số hóa hữu tỉ nhanh chóng tìm tính chất hình học bậc địa phương, bậc tồn cục, xác định tập điểm kì dị đường cong 58 Tài liệu tham khảo [1] W Fulton (1989), Algebraic Curvers, AddisonWesley [2] J Gutierrez, R Rubio, JieTai Yu (2002), "DResultant for rational function American Mathematical Society, Volume 130, Number 8, Pages 2237224 [3] M Namba (1984), Geometry Projective of Algebraic Curvers, Dekker [4] S PérezDíaz (2007), "Computation of the singularitie s of parametric plane curves", Journal of Symbolic Computation 42, Pages 835857 [5] J R Sendra, F Winkler & S Pérez Díaz (2008), Rational Algebraic Curvers, Springer [6] A van der Essen, JieTai Yu (1997), "The DResultant, si ngularities and the degree of unfaithfulness", American Mathematical Society, Volume 125, Number 3, Pages 689695 [7] R.J Walker (1950), Algebraic Curvers, Princeton Univ Press 59 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ ĐĂNG TOÀN VỀ BÀI TOÁN THAM SỐ HOÁ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC... Các thuật tốn tham số hóa hữu tỉ 1.1 Đường cong hữu tỉ phép tham số 1.2 Tham số hóa đường thẳng 1.3 Tham số hóa đường cong liên h Hình học đường cong tham số hóa hữu tỉ 2.1 Chỉ số vết tính thực... THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phó Đức Tài Hà Nội – 2012 Lời nói đầu Bài tốn tham số hóa siêu mặt đại số, đặc biệt đường cong đại số mặt đại số chủ đề thú vị Hình học đại số Hơn