Hàm tăng chậm và dãy số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– TẠ THỊ HỒNG THỨC HÀM TĂNG CHẬM VÀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên, 2020 1 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS. Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên em trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy cô khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã trực tiếp giảng dạy lớp cao học Toán K12b. Em cũng xin cảm ơn đến các bạn học viên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Em mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn 2 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Dãy số và giới hạn dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Hàm số và giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Tính liên tục và đạo hàm của hàm số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Hàm tăng chậm và dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2. Tính chất của hàm tăng chậm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3. Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4. Hàm tăng chậm và dãy số trung bình nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 3. Hàm αtăng chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Mở đầu Cho f(x) là một hàm số xác định trên khoảng a,∞) thỏa mãn f(x) > 0 , lim x→∞ f(x) = ∞ và đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. Hàm số f(x) được gọi là tăng chậm nếu thỏa mãn điều lim x→∞ f 0 (x) f(x) x = 0. Một trong những ví dụ đầu tiên về hàm tăng chậm là hàm số f(x) = log x. Khái niệm về hàm tăng chậm được Jakimczuk định nghĩa năm 2010 trong bài báo “Functions of slow increase and integer sequences” xuất bản trên tạp chí Journal of Integer sequence. Trong bài báo này, ông đã chứng minh một số tính chất của các hàm tăng chậm và áp dụng các tính chất của hàm tăng chậm nghiên cứu một số bài toán về dãy số. Các kết quả này tiếp tục được ông phát triển và công bố một số kết quả trong bài báo “Integer sequences, functions of slow increase, and the Bell numbers” xuất bản năm 2011. Sau đó, các hàm tăng chậm được nhiều nhà toán học khác tiếp tục nghiên cứu. Năm 2012, Shang 4 đã mở rộng khái niệm hàm tăng chậm để định nghĩa và nghiên cứu về các hàm αtăng chậm, đồng thời nghiên cứu một số áp dụng tính chất của các hàm αtăng chậm để nghiên cứu một số dãy số. Mục tiêu của đề tài là trình bày lại các kết quả nói trên về hàm tăng chậm và về hàm αtăng chậm. Trước khi trình bày lại các kết quả này, luận văn nhắc lại một cách sơ lược một số kiến thức về dãy số thực, giới 4 hạn của dãy số thực, giới hạn của hàm số một biến số thực. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn được trình bày thành 3 chương. Trong chương 1, luận văn trình bày lại một số kiến thức về dãy số, giới hạn dãy số, giới hạn của hàm số một biến số thực, đạo hàm, đại lượng vô cùng bé, đại lượng vô cùng lớn. Các nội dung này được sử dụng cho các chương sau của luận văn. Chương 2 của luận văn trình bày khái niệm của hàm tăng chậm, một số kết quả của các hàm tăng chậm và áp dụng vào nghiên cứu một số dãy số nguyên. Nội dung của chương 2 được tham khảo từ hai bài báo 2 và 3 của Jakimczuk. Dựa vào bài báo 4 của Shang, luận văn trình bày trong chương 3 khái niệm và tính chất của các hàm αtăng chậm, cũng như một số áp dụng của các hàm số này vào nghiên cứu dãy số. 5 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số và giới hạn dãy số Một dãy số trong X ⊂ R là bộ vô hạn có thứ tự các số trong X (xn)n∈N = x0, x1, x2, x3, ... Nói một cách khác, một dãy trong X là một ánh xạ x : N → X, n 7→ xn = x (n). Có nhiều cách khác nhau để mô tả một dãy số như liệt kê các phần tử, thông qua biểu thức xác định của dãy, thông qua biểu thức đệ quy,... Định nghĩa 1.1.1. Giá trị a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy số (xn)n∈N nếu với mọi > 0 bé tùy ý, đều tìm được số tự nhiên N đủ lớn (phụ thuộc ), sao cho khi n > N thì |xn − a| < . Khi đó ta nói dãy (xn) hội tụ về a và ký hiệu là lim n→∞ xn = a hay lim xn = a hay xn → a, khi n → ∞. Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn của dãy số: • Định nghĩa giới hạn của dãy không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng đầu của dãy. 6 • Dễ thấy: lim n→∞ xn = a khi và chỉ khi lim n→∞ |xn − a| = 0. • Nếu (xn) hội tụ, thì giới hạn là duy nhất. Thực vậy, nếu a và b cùng là giới hạn của (xn), thì |a − b| 6 |a − xn| + |xn − b| → 0, khi n → ∞. Vậy |a − b| = 0 hay a = b. Định nghĩa 1.1.2. Dãy số (xn) được gọi là có giới hạn dương vô cùng, ký hiệu lim n→∞ xn = +∞ hoặc lim n→∞ xn = ∞, nếu với mọi E > 0 lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên NE đủ lớn sao cho xn > E, với mọi n > NE. Dãy số (xn) được gọi là có giới hạn âm vô cùng, ký hiệu lim n→∞ xn = −∞, nếu với mọi E > 0 lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên NE đủ lớn sao cho xn < −E, với mọi n > NE. Nếu dãy số (xn) có giới hạn dương vô cùng hoặc âm vô cùng thì ta nói (xn) là dãy phân kỳ. Dưới đây là một số tính chất của giới hạn dãy số thường được sử dụng trong tính toán. Mệnh đề 1.1.3 (Tính bị chặn). Nếu (xn) hội tụ thì tồn tại M > sao cho |xn| < M, ∀n. Mệnh đề 1.1.4 (Tính bảo toàn qua các phép toán). Giả sử (xn) và (yn) là các dãy hội tụ. Khi đó các dãy (xn + yn), (xnyn), ( xn yn ) (giả thiết thêm lim n→∞ yn 6= 0) hội tụ và lim n→∞ (xn + yn) = lim n→∞ xn + lim n→∞ yn, lim n→∞ (xnyn) = lim n→∞ xn lim n→∞ yn, lim n→∞ xn yn = limn→∞ xn limn→∞ yn . Mệnh đề 1.1.5 (Tính bảo toàn thứ tự). Giả sử (xn) và (yn) là dãy hội tụ và với mọi n đủ lớn xn 6 yn. Khi đó lim n→∞ xn 6 lim n→∞ yn. Mệnh đề 1.1.6 (Tính chất kẹp giữa). Giả sử với mọi n đủ lớn ta có xn 6 yn 6 zn và lim n→∞ xn = lim n→∞ zn = a. Khi đó lim n→∞ yn = a. 7 1.2. Hàm số và giới hạn hàm số Một hàm số một biến số thực là một ánh xạ f : X → Y, x 7→ y = f (x) trong đó X, Y là các tập con của R. Tập X gọi là miền xác định của f. Tập f(X) = {y ∈ R : ∃x ∈ X, y = f(x)} gọi là miền giá trị của f. Cho f, g : X → R là hai hàm số xác định trên tập X. Khi đó có thể định nghĩa các hàm f ± g, fg, f g (nếu g(x) 6= 0, ∀x ∈ X) một cách tự nhiên như sau (f ± g) (x) = f (x) ± g (x), fg (x) = f (x) g (x), f g (x) = f (x) g (x) , x ∈ X. Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai hàm số. Khi đó hàm hợp g ◦ f : X → Z định nghĩa là g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ X. Định nghĩa 1.2.1 (Tính đơn điệu). Cho f là một hàm số xác định trên tập X. Hàm f gọi là tăng (tương ứng tăng ngặt) trên X nếu x1, x2 ∈ X thì x1 < x2 kéo theo f (x1) 6 f (x2) (tương ứng f (x1) < f (x2)). Hàm f gọi là giảm (tương ứng giảm ngặt) trên X nếu x1, x2 ∈ X thì x1 < x2 kéo theo f (x1) > f (x2) (tương ứng f (x1) > f (x2)). Định nghĩa 1.2.2 (Điểm tụ). Một điểm x là điểm tụ của tập hợp A khi và chỉ khi mỗi lân cận của x có chứa ít nhất một điểm của A khác với x. x là một điểm tụ của A ⇔ ∀r > 0, ∃a ∈ A : 0 < d (x, a) < r. Định nghĩa 1.2.3 (Giới hạn). Cho hàm số f : X → R và a là điểm tụ của X. Hàm f gọi là có giới hạn L ∈ R khi x tiến tới a nếu với mọi > 0 bé tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho khi x ∈ X mà 0 < |x − a| < δ, thì |f (x) − L| < . Khi đó ta viết lim x→a f (x) = L hay f (x) → L, khi x → a. 8 Dưới đây là một vài tính chất cơ bản của giới hạn hàm số. Cho f, g, ϕ : X → R là ba hàm số xác định trên X và a là điểm tụ của X. Giả sử lim x→a f (x) = L và lim x→a g (x) = M. Khi đó: • Ta có lim x→a (f ± g) (x) = L ± M, lim x→a fg (x) = LM, lim x→a f g (x) = L M (M 6= 0). • Nếu giả thiết thêm f(x) 6 g(x) với mọi x ở một lân cận của a, thì L 6 M. • Nếu giả thiết thêm f(x) 6 ϕ(x) 6 g(x) với mọi x ở một lân cận của a và L = M, thì lim x→a ϕ (x) = L. • Nếu hàm hợp g ◦ f tồn tại và nếu lim x→a f (x) = L, lim y→L g (y) = A thì lim x→a g ◦ f (x) = A. Có thể mở rộng các khái niệm giới hạn trên khi a = ±∞ hay L = ±∞. Ta có các định nghĩa sau: lim x→a f (x) = +∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : f (x) > E, ∀x ∈ X, 0 < |x − a| < δ, lim x→a f (x) = −∞ ⇔ ∀E > 0, ∃δ > 0 : f (x) > −E, ∀x ∈ X, 0 < |x − a| < δ, lim x→+∞ f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > 0 : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x > R, lim x→−∞ f (x) = L ⇔ ∀ > 0, ∃R > 0 : |f (x) − L| < , ∀x ∈ X, x < −R. 1.3. Tính liên tục và đạo hàm của hàm số Định nghĩa 1.3.1. Cho f là hàm xác định trên một tập X chứa a. Hàm f gọi là liên tục tại a nếu lim x→a f (x) = f (a). 9 Lưu ý rằng nếu hàm số f(x) liên tục tại a thì với mọi dãy (xn) trong X mà lim n→∞ xn = a ta có lim n→∞ f (xn) = f (a). Tổng, hiệu, tích, thương (với điều kiện mẫu khác 0) của các hàm liên tục tại a là hàm liên tục tại a. Nếu f liên tục tại a và g liên tục tại f(a) thì hàm hợp g ◦ f liên tục tại a. Định nghĩa 1.3.2. Cho f(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b). Nếu giới hạn lim x→x0 f(x) − f(x0) x − x0 tồn tại thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại x0, ký hiệu f 0 (x0). Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng (a; b) thì ta có một hàm số trên khoảng (a; b), gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a; b), ký hiệu f 0 hoặc đôi khi được ký hiệu d dxf. Dưới đây là một số tính chất của đạo hàm: • Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại đó. • Nếu các hàm số u và v có đạo hàm tại x thì các hàm số u + v và uv có đạo hàm tại x và ta có (u + v) 0 = u 0 + v 0 , (uv) 0 = u 0 v + uv 0 . Nếu có thêm v 0 (x) 6= 0 thì hàm số u v có đạo hàm tại x và u v 0 = u 0 v − uv0 v 2 . • Nếu hàm f có đạo hàm tại x và hàm số g có đạo hàm tại y = f(x) thì hàm số hợp g ◦ f có đạo hàm tại x và (g ◦ f) 0 (x) = f 0 (x)g 0 (f(x)). Định lý 1.3.3 (Định lý giá trị trung bình của Lagrange). Nếu f là hàm số liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) sao cho f 0 (c) = f(b) − f(a) b − a . 10 Định lý 1.3.4 (Quy tắc L’Hôpital). Giả sử hai hàm số f, g có đạo hàm và g 0 (x) 6= 0 trong khoảng (a; b) chứa x0. Giả sử lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0 hoặc ∞. Khi đó nếu lim x→x0 f 0 (x) g 0 (x) = L thì lim x→x0 f(x) g(x) = L. 1.4. Vô cùng bé và vô cùng lớn Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một cách sơ lược khái niệm về các đại lượng vô cùng bé và các đại lượng vô cùng lớn cũng như tính chất của chúng. Lưu ý rằng, ở đây chúng tôi trình bày các đại lượng này như là các hàm số. Ta cũng có các khái niệm này đối với các dãy số khi xem chúng như các hàm số xác định trên tập các số tự nhiên. Định nghĩa 1.4.1. Hàm số f(x) được gọi là một đại lượng vô cùng bé khi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có lim x→x0 f(x) = 0. Giả sử f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0. Nếu ta có lim x→x0 f(x) g(x) = 0 thì ta nói f(x) là vô cùng bé bậc cao hơn g(x) khi x → x0 và ta viết f(x) = o(g(x)). Nếu lim x→x0 f(x) g(x) = L 6= 0 thì ta nói f(x) và g(x) là hai vô cùng bé cùng bậc khi x → x0. Đặc biệt nếu L = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai vô cùng bé tương đương và ta viết f(x) ∼ g(x). Dưới đây là một số tính chất của các vô cùng bé: • Giả sử f(x), g(x), f1(x), g1(x) là các vô cùng bé khi x → x0. Nếu lim x→x0 f(x) g(x) = L, f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x) thì lim x→x0 f1(x) g1(x) = L. 11 • Nếu f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi x → x0 và f(x) = o(g(x)) thì ta có f(x) + g(x) ∼ g(x). Định nghĩa 1.4.2. Hàm số f(x) được gọi là một đại lượng vô cùng lớn khi x → x0 (x0 có thể là ∞) nếu ta có lim x→x0 f(x) = ∞. Giả sử f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi x → x0. Nếu ta có lim x→x0 f(x) g(x) = ∞ thì ta nói f(x) là vô cùng lớn bậc cao hơn g(x) khi x → x0. Nếu lim x→x0 f(x) g(x) = L 6= 0 thì ta nói f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn cùng bậc khi x → x0. Đặc biệt nếu L = 1 thì ta nói f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn tương đương và ta viết f(x) ∼ g(x). Tương tự các vô cùng bé, các vô cùng lớn cũng có các tính chất sau đây: • Giả sử f(x), g(x), f1(x), g1(x) là các vô cùng lớn khi x → x0. Nếu lim x→x0 f(x) g(x) = L, f(x) ∼ f1(x), g(x) ∼ g1(x) thì lim x→x0 f1(x) g1(x) = L. • Nếu f(x) là vô cùng lớn bậc cao hơn g(x) khi x → x0 thì ta có f(x) + g(x) ∼ f(x). Định nghĩa 1.4.3 (Ký hiệu O lớn). Cho f(x) và g(x) xác định trên một khoảng (a; +∞) thỏa mãn g(x) nhận giá trị dương với mọi giá trị x đủ lớn. Ta viết f(x) = O (g(x)) khi x → ∞ nếu tồn tại số thực dương M và số thực x0 > a sao cho |f(x)| ≤ Mg(x), ∀x ≥ x0. Với b thuộc khoảng xác định của f(x) và g(x), ta cũng viết f(x) = O (g(x)) khi x → b 12 nếu tồn tại các số thực dương δ và M sao cho |f(x)| ≤ Mg(x), khi 0 < |x − b| < δ. Khi các quá trình x → ∞ hay x → b đã được hiểu rõ thì ta viết ngắn gọn f(x) = O(g(x))). Ví dụ, nếu T(n) = 4n 2 − 2n + 1 thì ta có T(n) = O(n 2 ) khi n → ∞. Với hàm số mũ e x , ta có e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 3 + x 4 4 + · · · = 1 + x + x 2 2 + O(x 3 ) khi x → 0 = 1 + x + O(x 2 ) khi x → 0. Dưới đây là một số tính chất thường được sử dụng: • Ta có f(x)O(g(x)) = O(f(x)g(x)). • Nếu f(x) = O(f1(x)) và g(x) = O(g1(x)) thì f(x)g(x) = O(f1(x)g1(x)) và f(x) + g(x) = O(max(f1(x), g1(x))). • Nếu k là một hằng số khác 0 thì O(|k|f(x)) = O(f(x)) và f(x) = O(g(x)) kéo theo kf(x) = O(g(x)). 13 Chương 2 Hàm tăng chậm và dãy số 2.1. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1.1. Cho f(x) là một hàm số xác định trên khoảng a; +∞) sao cho f(x) > 0, lim x→∞ f (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. Ta nói f(x) là hàm tăng chậm điều kiện sau được thỏa mãn lim x→∞ f 0 (x) f (x) x = 0. (2.1) Dưới đây là một vài ví dụ điển hình về hàm tăng chậm (dễ dàng kiểm tra bằng tính toán đơn giản): f (x) = log x, f (x) = log2 x, f (x) = log log x. 2.2. Tính chất của hàm tăng chậm Từ định nghĩa của hàm tăng chậm ta có một số tính chất cơ bản dưới đây. Định lý 2.2.1. Các khẳng định sau đây là đúng: 14 i) Nếu f(x) và g(x) là các hàm tăng chậm và C và α là các hằng số dương thì các hàm số sau sẽ là hàm tăng chậm: f (x) + C, Cf(x), f (x) g (x), f(x) α , f(g(x)), log f (x), f (x α ), f (x α g (x)). ii) Nếu f(x) và g(x) là hàm tăng chậm, lim x→∞ f (x) g (x) = ∞ và d dx f (x) g (x) > 0 thì f (x) g (x) là hàm tăng chậm. iii) Nếu h(x) là một hàm số thỏa mãn h (x) > 0, lim x→∞ h (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục h 0 (x) > 0 thì (h log x) là hàm tăng chậm khi và chỉ khi lim x→∞ h 0 (x) h (x) = 0. iv) Nếu h(x) là một hàm số thỏa mãn h(x) > 0, lim x→∞ h (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục h 0 (x) > 0, thì e h(x) là hàm tăng chậm khi và chỉ khi lim x→∞ xh0 (x) = 0. v) Nếu f(x) là một hàm tăng chậm thì có giới hạn sau: lim x→∞ log f (x) log x = 0. (2.2) Chứng minh. Nếu f(x) và g(x) là các hàm tăng chậm và C và α là các hằng số dương thì dễ dàng kiểm tra ngay được bốn hàm số f(x) + C, Cf(x), f(x)g(x) và f(x) α là các hàm tăng chậm. Chúng ta sẽ kiểm tra các hàm số còn lại. Đặt h(x) = f(g(x)). Khi đó h 0 (x) = g 0 (x)f 0 (g(x)) và h 0 (x) h(x) x = g 0 (x) g(x) x · f 0 (g(x)) f(g(x)) g(x) . Do g(x) là hàm tăng chậm nên lim x→∞ g 0 (x) g(x) x = 0 và lim x→∞ g(x) = ∞. Mặt khác, do f(x) là hàm tăng chậm nên ta lại có lim x→∞ f 0 (g(x)) f(g(x)) g(x) = 0 vì lim x→∞ g(x) = ∞. 15 Vậy ta có lim x→∞ h 0 (x) h(x) x = 0 nên h(x) = f(g(x)) là hàm tăng chậm. Áp dụng điều vừa chứng minh với các hàm số f(x) và log x ta suy ra hàm log f(x) là hàm tăng chậm. Đặt k(x) = f(x α ). Khi đó k 0 (x) = αxα−1 f 0 (x α ). Do đó k 0 (x) k(x) x = αxα−1 f 0 (x α ) f(x α) x = αf0 (x α ) f(x α) x α . Do α dương nên x α → ∞ khi x → ∞. Mặt khác f(x) là hàm tăng chậm nên suy ra lim x→∞ k 0 (x) k(x) x = lim x→∞ α f 0 (x α ) f(x α) x α = 0. Vậy k(x) = f(x α ) là hàm tăng chậm. Tính toán tương tự ta có thể chứng minh được f(x α g(x)) cũng là hàm tăng chậm. Vậy i) được chứng minh. Khi f(x) và g(x) là hai hàm tăng chậm thì ta có thể tính toán kiểm tra được hàm số f(x) g(x) thỏa mãn điều kiện (2.1). Nếu thêm các giả thiết lim x→∞ f (x) g (x) = ∞ và d dx f (x) g (x) > 0 thì f (x) g (x) là hàm tăng chậm. Suy ra ii) là đúng. Các khẳng định iii) và iv) được chứng minh bằng các tính toán đạo hàm tương tự. Để chứng minh v), ta sử dụng quy tắc L’Hôpital trong tính giới hạn. Ta có (log f (x))0 (log x) 0 = f 0 (x) f(x) x . Do đó, nếu f(x) là hàm tăng chậm thì giới hạn của hàm thương này bằng 0. Áp dụng quy tắc L’Hôpital ta được điều cần chứng minh. Định lý 2.2.2. Cho f(x) là một hàm số xác định trên khoảng a; +∞) sao cho f(x) > 0, lim x→∞ f (x) = ∞ và với đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. 16 Hàm số f(x) tăng chậm khi và chỉ khi, với mọi giá trị α > 0, đạo hàm của hàm số f (x) x α nhận giá trị âm từ một giá trị xα đủ lớn. Chứng minh. Chúng ta có d dx f (x) x α = f (x) x α+1 xf0 (x) f (x) − α . (2.3) Do đó, nếu ta có (2.1) thì, với mọi giá trị α > 0, ta có d dx f (x) x α < 0, (2.4) khi x > xα, với xα đủ lớn. Mặt khác, nếu ta có (2.4) khi x > xα, với xα nào đó, thì (2.3) cho ta 0 < xf0 (x) f (x) < α. Vì α là tùy ý nên ta suy ra lim x→∞ xf0 (x) f (x) = 0. Tức là, hàm f(x) là hàm tăng chậm. Định lý sau đây cho ta thấy tính “tăng chậm” của các hàm tăng chậm. Định lý 2.2.3. Nếu f(x) là hàm tăng chậm thì lim x→∞ f (x) x β = 0, (2.5) với mọi β > 0. Chứng minh. Với β > 0 cho trước, lấy α > 0 thỏa mãn α < β. Khi đó, theo Định lý 2.2.2, f(x) x α có đạo hàm âm khi x > xα, với một giá trị xα nào đó, và do đó nó là hàm giảm khi x → ∞. Vì vậy, ta có 0 < f(x) x α < M, với một giá trị M nào đó. Nói cách khác, hàm f(x) x α bị chặn. Suy ra lim x→∞ f (x) x β = lim x→∞ f (x) x α · 1 x β−α = 0. 17 Từ định lý trên, ta có hệ quả sau đây. Hệ quả 2.2.4. Nếu f(x) là hàm tăng chậm thì ta có các giới hạn sau lim x→∞ f (x) x = 0, (2.6) lim x→∞ f 0 (x) = 0. (2.7) Chứng minh. Giới hạn (2.6) là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.3 khi β = 1. Giới hạn (2.7) là hệ quả trực tiếp của giới hạn (2.6) và giới hạn (2.1). Định lý 2.2.5. Nếu f(x) là hàm tăng chậm thì X ∞ i=1 i α f(i) β = ∞, (2.8) với mọi α > −1 và với mọi β. Chứng minh. Chúng ta có X ∞ i=1 i α f(i) β = X ∞ i=1 i α+1f(i) β 1 i . (2.9) Chúng ta biết rằng X ∞ i=1 1 i = ∞. (2.10) Mặt khác, với lưu ý rằng α + 1 > 0, chúng ta có lim i→∞ i α+1f(i) β = ∞. (2.11) Thật vậy, giới hạn (2.11) rõ ràng đúng nếu β ≥ 0. Nếu β < 0 thì giới hạn (2.11) chính là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.1 (vì f(x) −β là hàm tăng chậm) và Định lý 2.2.3. Cuối cùng, các đẳng thức (2.9), (2.10) và (2.11) cho ta đẳng thức (2.8). 18 Ta có một hệ quả trực tiếp dưới đây, chính là một trường hợp riêng của Định lý 2.2.5 khi α = 0. Hệ quả 2.2.6. Nếu f(x) là hàm tăng chậm thì, với mọi số thực β, ta có X ∞ i=1 f(i) β = ∞. Định lý 2.2.7. Nếu f(x) là hàm tăng chậm thì giới hạn lim x→∞ Z x α t α f(t) β dt x α+1 α + 1 f(x) β = 1 (2.12) đúng với mọi α > −1 và với mọi β. Chứng minh. Sử dụng (2.11), chúng ta có lim x→∞ x α+1 α + 1 f(x) β = ∞. Mặt khác, hàm t α f(t) β là hàm đơn điệu (tăng hoặc giảm). Thật vậy, điều này hiển nhiên đúng trong các trường hợp α, β cùng âm hoặc cùng dương do f(x) là hàm tăng chậm. Trong các trường hợp còn lại, điều này cũng dễ dàng được kiểm tra bằng cách sử dụng Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.2. Từ đẳng thức (2.8) suy ra lim x→∞ Z x α t α f(t) β dt = ∞. Bây giờ ta thấy rằng giới hạn (2.12) là hệ quả trực tiếp của quy tắc L’Hospital và giới hạn (2.1). Một số trường hợp cụ thể của Định lý 2.2.7 cho ta những tính chất thú vị dưới đây về các vô cùng lớn khi x → ∞: 19 Trong trường hợp α = 0, ta có Z x a f(t) β dt ∼ xf(x) β . (2.13) Trong trường hợp α = 0 và β = 1, ta có Z x a f (t) dt ∼ xf (x). (2.14) Trong trường hợp α = 0 và β = −1, ta có Z x a 1 f (t) dt ∼ x f (x) . (2.15) Định lý 2.2.8. Nếu f(x) là hàm tăng chậm và C là hằng số thì ta có giới hạn sau lim x→∞ f (x + C) f (x) = 1. (2.16) Chứng minh. Nếu C > 0 , áp dụng Định lý Lagrange mà chúng ta có 0 6 f (x + C) − f (x) f (x) = Cf0 (ζ) f (x) , (x < ζ < x + C). (2.17) Bất đẳng thức (2.17) và giới hạn (2.7) kéo theo giới hạn (2.16). Trường hợp C < 0 được chứng minh tương tự. Định lý 2.2.9. Nếu f(x) là hàm tăng chậm, f 0 (x) giảm và C > 0 thì ta có giới hạn sau lim x→∞ f (Cx) f (x) = 1. (2.18) Chứng minh. Giả sử rằng C > 1. Áp dụng Định lý Lagrange, chúng ta có 0 6 f (Cx) − f (x) f (x) = (Cx − x) f 0 (ζ) f (x) 6 (C − 1) xf0 (x) f (x) , x < ζ < Cx. (2.19) 20 Bất đẳng thức (2.19) và giới hạn (2.1) kéo theo giới hạn (2.18). Giả sử rằng C < 1. Tiếp tục áp dụng Định lý Lagrange, chúng ta lại có 0 6 f (x) − f (Cx) f (Cx) = (x − Cx) f 0 (ζ) f (Cx) 6 1 − C C · Cxf0 (Cx) f (Cx) , Cx < ζ < x. (2.20) Trong trường hợp này, bất đẳng thức (2.20) và giới hạn (2.1) suy ra giới hạn (2.18). Định lý 2.2.10. Nếu f(x) là hàm tăng chậm, f 0 (x) giảm và 0 < C1 6 g (x) 6 C2 thì ta có giới hạn sau lim x→∞ f (g (x) x) f (x) = 1. (2.21) Chứng minh. Chúng ta có f (C1x) f (x) 6 f (g (x) x) f (x) 6 f (C2x) f (x) . (2.22) Bất đẳng thức (2.22) cùng với Định lý 2.2.9 cho chúng ta giới hạn (2.21). 2.3. Hàm tăng chậm có đạo hàm giảm Trong mục này, chúng ta chỉ xét các hàm tăng chậm có đạo hàm giảm. Cụ thể, chúng tôi trình bày một số áp dụng của chúng trong việc nghiên cứu một số dãy số nguyên. Giả sử {An} là một dãy số nguyên dương tăng chặt sao cho An ∼ n s f (n), (A1 > 1), (2.23) trong đó f(x) là một hàm tăng chậm. Gọi ψ (x) là số số hạng của dãy {An} không vượt quá x . 21 Ví dụ 2.3.1. Nếu An = pn là dãy số nguyên tố thì theo Định lý số nguyên tố ta có s = 1 và f(x) = log(x). Nếu An = p 2 n thì chúng ta có s = 2 và f(x) = log2 x. Nhận xét 2.3.2. Lưu ý rằng: (i) Từ Định lý 2.2.3 ta thấy rằng trong biểu thức (2.23) ta có s > 1. (ii) Cho trước f(x) là một hàm tăng chậm, tồn tại một dãy tăng chặt An thỏa mãn (2.23), chẳng hạn An = bn s f (n)c, trong đó b·c là ký hiệu hàm phần nguyên trên tập số thực. (iii) Nếu g(x) là hàm tăng chậm thì g (An) g (n) → l ⇔ g (n s f (n)) g (n) → l và g (An) g (n) → ∞ ⇔ g (n s f (n)) g (n) → ∞ , vì g (An) ∼ g (n s f (n)) theo Định lý 2.2.10. Định lý 2.3.3. Nếu An là dãy số nguyên dương thỏa mãn (2.23) và g(x) là hàm tăng chậm thì các khẳng định dưới đây là đúng An+1 ∼ An, (2.24) lim x→∞ An+1 − An An = 0, (2.25) log An+1 ∼ log An, (2.26) g (An+1) ∼ g (An), (2.27) log An ∼ s log n, (2.28) log log An ∼ log log n, (2.29) lim x→∞ ψ (x) x = 0. Chứng minh. Phương trình (2.24) là hệ quả trực tiếp của phương trình (2.23) và Định lý 2.2.8. Phương trình (2.25) là hệ quả trực tiếp của 22 phương trình (2.24). Phương trình (2.26) và (2.27) là hệ quả trực tiếp của phương trình (2.24) và Định lý 2.2.10. Phương trình (2.28) là hệ quả trực tiếp của phương trình (2.23) và (2.2). Phương trình (2.29) là hệ quả trực tiếp của (2.28). Giới hạn cuối cùng là hệ quả trực tiếp của (2.23) ((Ann) → ∞ ) và (2.24). Định lý 2.3.4. Nếu An thỏa mãn (2.23) và g(x) là hàm tăng chậm thì ta có g(An) ∼ lg (n) ⇔ g (ψ (x)) ∼ 1 l g (x). (2.30) Nói riêng, ta có log An ∼ s log n ⇔ log ψ (x) ∼ 1 s log x, (2.31) log log An ∼ log log n ⇔ log log ψ (x) ∼ log log x. (2.32) Chứng minh. Chúng ta có g (ψ (x)) ∼ 1 l g (x) ⇒ g (ψ (An)) ∼ 1 l g (An) ⇒ g (n) ∼ 1 l g (An) ⇒ g(An) ∼ lg(n). Mặt khác g (An) ∼ lg (n) ⇒ g (An) ∼ lg (ψ (An)) ⇒ g (ψ (An)) ∼ 1 l g (An). (2.33) Nếu An ≤ x < An+1 thì ta có g (ψ (An)) 1 l g (An+1) ≤ g (ψ (x)) 1 l g (x) ≤ g (ψ (An)) 1 l g (An) . Do cả hai bên đều có giới hạn 1 (xem (2.33) và (2.27)) nên, theo tính chất kẹp giữa, ta suy ra điều cần chứng minh. 23 Tiếp theo chúng tôi trình bày một kết quả về hàm số ψ(x) khi s = 1 và f(An) ∼ f(n). Trước tiên, chúng tôi nhắc lại không chứng minh một bổ đề về chuỗi số dương. Bổ đề 2.3.5. Cho P ∞ i=1 ai và P ∞ i=1 bi là hai chuỗi số dương sao cho lim i→∞ ai bi = 1. Khi đó, nếu P ∞ i=1 bi phân kỳ thì ta có giới hạn sau: lim x→∞ P n i=1 ai P n i=1 bi = 1. Định lý 2.3.6. Nếu f(An) ∼ f(n) thì An ∼ nf (n) ⇔ ψ (x) ∼ x f (x) ⇔ ψ (x) ∼ Z x a 1 f (t) dt ⇔ X Ai≤x f (Ai) ∼ x. (2.34) Ngoài ra nếu g(x) là hàm tăng chậm và g(An) ∼ l 0 g(n) thì ψ (x) ∼ P Ai≤x g(Ai) β g(x) β , (2.35) với mọi β. Chứng minh. Với nhận xét x f (x) → ∞ (xem (2.2.5)), ta có ψ (x) ∼ x f (x) ⇒ ψ (An) ∼ An f (An) ⇒ n ∼ An f (An) ⇒ An ∼ nf (An) ⇒ An ∼ nf (n). 24 Mặt khác An ∼ nf (n) ⇒ An ∼ ψ (An) f (n) ⇒ ψ (An) ∼ An f (n) ⇒ ψ (An) ∼ An f (An) . (2.36) Nếu An ≤ x < An+1 chúng ta có ψ (An) An+1 f (An+1) ≤ ψ (x) x f (x) ≤ ψ (An) An f (An) , (2.37) vì x f(x) tăng (xem Định lý 2.2.2). Do cả hai bên đều có giới hạn 1 nên suy ra An ∼ nf (x) ⇒ ψ (x) ∼ x f (x) . Ta lại có (xem (2.15)) ψ (x) ∼ x f (x) ⇔ ψ (x) ∼ Z x a 1 f (t) dt. Lưu ý rằng (xem (2.13)) Z n a g(x) β dx ∼ ng(n) β . Do đó, g(x) β tăng hoặc giảm và X n i=1 g(i) β = Z n a g(x) β dx + h (n) ∼ ng(n) β . (2.38) Từ phương trình (2.38), g(An) β ∼ l 0β g(n) β và Bổ đề 2.3.5 suy ra X n i=1 g(Ai) β ∼ nl0β g(n) β . Tức là X Ai≤An g(Ai) β ∼ ψ (An) g(An) β . 25 Suy ra ψ (An) ∼ P Ai≤An g(Ai) β g(An) β . (2.39) Giả sử β > 0. Nếu An ≤ x < An+1 thì ta có ψ (An) P Ai≤An g(Ai) β g(An) β ≤ ψ (x) P Ai≤An g(Ai) β g(x) β ≤ ψ (An) P Ai≤An g(Ai) β g(An+1) β . Do hai bên có giới hạn 1 (xem (2.39) và (2.27)) nên ψ (x) ∼ P Ai≤x g(Ai) β g(x) β . Từ đó suy ra phương trình (2.35). Nếu β < 0 thì (2.35) được chứng minh tương tự. Vậy nếu f(x) = g(x) và β = 1 ta có ψ (x) ∼ x f (x) ⇔ X Ai≤x f (Ai) ∼ x. Ví dụ 2.3.7. Xét dãy pn các số nguyên tố. Trong trường hợp này chúng ta có pn ∼ n log n và ψ (x) = π (x) ∼ x (log x) (Định lý số nguyên tố). Định lý sau đây, tổng quát hóa của Định lý 2.3.6, cho chúng ta thông tin về ψ (x) khi f (An) ∼ lf (n). Định lý 2.3.8. Nếu f (An) ∼ lf (n) thì An ∼ n s f(n) ⇔ ψ (x) ∼ l 1 s x 1 s f(x) 1 s ⇔ ψ(x) ∼ l 1 s s Z x a t −1+1 s f(t) 1 s dt ⇔ X Ai≤x f(Ai) 1 s ∼ l 1 sx 1 s . 26 Bên cạnh đó nếu g(x) là hàm tăng chậm và g(Ax) ∼ l 0 g(x) thì ψ (x) ∼ P Ai≤x g(Ai) β g(x) β , (2.40) với mọi β. Chứng minh. Khẳng định An ∼ n s f (n) ⇔ ψ (x) ∼ l 1 s x 1 s f(x) 1 s được chứng minh tương tự như trong Định lý 2.3.6. Bây giờ, với (2.12), ta có Z x a t −1+1 s sf(t) 1 s dt ∼ x 1 s f(x) 1 s . Suy ra ψ (x) ∼ l 1 s x 1 s f(x) 1 s ⇔ ψ(x) ∼ l 1 s s Z x a t −1+1 s f(t) 1 s dt. Khẳng định (2.40) được chứng minh như trong Định lý 2.3.6. Nếu g(x) = f(x) và β = 1s thì ψ (x) ∼ l 1 s x 1 s f(x) 1 s ⇔ X Ai≤x f(Ai) 1 s ∼ l 1 sx 1 s . Ví dụ 2.3.9. Xét dãy số nguyên dương An = X n i=1 p k i , trong đó {pn} là dãy các số nguyên tố và k là một số nguyên dương. Theo Định lý 2.3.11 dưới đây, ta có An = X n i=1 p k i ∼ n k+1 k + 1 logkn. Trong trường hợp này, ta có s = k + 1, f (x) = logk x k + 1 và l = (k + 1)k . Do đó ψ (x) ∼ (k + 1) x 1 k+1 (log x) k k+1 . 27 Xét dãy Pn các lũy thừa của dãy số nguyên dương tăng chặt An thỏa mãn (2.23). Chẳng hạn, nếu An = pn là dãy số nguyên tố thì Pn là dãy các lũy thừa của các số nguyên tố. Gọi λ (x) là số phần tử của Pn không vượt quá x. Định lý 2.3.10. Nếu An là dãy số nguyên dương tăng chặt thỏa mãn (2.23) thì λ (x) ∼ ψ (x). (2.41) Chứng minh. Các phần tử Ai ≤ x là A1, A2, ..., Aψ(x) . Phương trình A αi i = x, (i = 1, 2, ..., ψ (x)), có nghiệm là αi = log x log Ai , (i = 1, 2, ..., ψ (x)). Do đó, ta có ψ (x) ≤ λ (x) ≤ X ψ(x) i=1 αi ≤ X ψ(x) i=1 αi = log x X ψ(x) i=1 1 log Ai . (2.42) Theo (2.28) ta có 1 log An ∼ 1 s log n . (2.43) Lưu ý rằng (xem (2.15)) Z x 2 1 log t dt ∼ 1 log x . Ta lại có 1 log A1 + X ψ(x) i=2 1 s log i = 1 log A1 + 1 s X ψ(x) i=2 1 log i 1 s Z ψ(x) 2 1 log t dt + O (1) ∼ ψ (x) s log ψ (x) . (2.44) 28 Từ (2.43), (2.44) và Bổ đề 2.3.5 suy ra X ψ(x) i=1 1 log Ai ∼ ψ (x) s log ψ (x) . (2.45) Từ (2.42) và (2.45) suy ra ψ (x) ≤ λ (x) ≤ h (x) ψ (x) log x s log ψ (x) , trong đó h (x) → 1. Tức là 1 ≤ λ (x) ψ (x) ≤ h (x) log x s log ψ (x) . (2.46) Cuối cùng, từ (2.31) và (2.46) suy ra (2.41). Định lý 2.3.11. Nếu An thỏa mãn (2.23) thì các biểu thức sau là đúng X n i=1 A α i ∼ n sα+1f(n) α sα + 1 − n sα + 1 A α n , (α > 0), (2.47) X Ai≤x A α i ∼ ψ (x) sα + 1 x α , (α > 0). (2.48) Chứng minh. Xét tổng 1 + 2 + ... + (n 0 − 1) +X n i=n0 (i s f (i))α , (2.49) trong đó n 0 là số nguyên dương thuộc khoảng a,∞). Lưu ý rằng (xem (2.23)) A α i ∼ (i s f (i))α . (2.50) Do hàm số x s f(x) là hàm tăng nên ta có X n i=n0 (i s f (i))α = Z n n0 x sαf(x) α dx + O (n sαf(n) α ). (2.51) 29 Mặt khác, theo (2.12), ta có Z n n0 x sαf(x) α dx ∼ n sα+1f (n) α sα + 1 . (2.52) Từ (2.49), (2.51) và (2.52) suy ra 1 + 2 + ... + (n 0 − 1) +X n i=n0 (i s f (i))α ∼ n sα+1f(n) α sα + 1 ∼ n sα + 1 A α n . (2.53) Bây giờ, từ (2.53), (2.50) và Bổ đề 2.3.5 ta có (2.47). Nếu chúng ta thay n = ψ (An) vào biểu thức (2.47) và tiến hành như trong Định lý 2.3.4 và Định lý 2.3.6 thì chúng ta thu được (2.48). Định nghĩa 2.3.12. Hàm tăng chậm f(x) được gọi là hàm phổ dụng khi và chỉ khi với mọi dãy An thỏa mãn (2.23) ta có f (An) ∼ lf (n), trong đó l phụ thuộc vào dãy An. Ví dụ 2.3.13. Phương trình (2.28) cho thấy rằng f(x) = log x là một hàm phổ dụng, trong trường hợp này l = s. Phương trình (2.29) suy ra rằng f(x) = log log x là một hàm phổ dụng, trong trường hợp này l = 1 không phụ thuộc vào dãy An. Nhận xét 2.3.14. Nếu f(x) và g(x) là các hàm phổ dụng thì các hàm số f(x) α (α > 0), Cf (x) (C > 0) và f(x)g(x) là các hàm phổ dụng. Hơn nữa, nếu f(x)g(x) là hàm tăng chậm thì nó cũng là một hàm phổ dụng. Định lý 2.3.15. Nếu f(x) là một hàm phổ dụng và An thỏa mãn (2.23) thì ta có ψ (x) ∼ X Ai≤x f(Ai) β f(x) β , với mọi β. 30 Chứng minh. Chứng minh tương tự như chứng minh của Định lý 2.3.6 và chứng minh của Định lý 2.3.8. Ví dụ 2.3.16. Vì f(x) = log x là một hàm phổ dụng nên, với mọi dãy An thỏa mãn (2.23), ta có ψ (x) ∼ P Ai≤x logβAi logβ x . Đặc biệt, nếu β = 1 chúng ta có ψ (x) ∼ P Ai≤x logβAi log x . Định lý 2.3.17. Tồn tại các hàm tăng chậm mà không phải là hàm phổ dụng. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh hàm tăng chậm sau đây không phải là một hàm phổ dụng: g (x) = e log x log log x . Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một dãy An thỏa mãn (2.23) và lim x→∞ g (An) g (n) = ∞. Do An thỏa mãn (2.23) nên ta có thể viết An = h1 (n) n s f (n), với h1 (n) → 1. Do đó g (An) g (n) = exp   log h1 (n) + s log n + log f (n) log log n + log s + log 1 + log f(n) s log n + log h1(n) s log n − log n log log n   . (2.54) Nếu s > 1 thì (2.54) trở thành g (An) g (n) = exp h2 (n) s log n log log n − log n log log n , 31 trong đó h2(n) → 1. Tức là g (An) g (n) = exp h3 (n) (s − 1) log n log log n , với h3(n) → 1. Do đó, chúng ta có lim x→∞ g (An) g (n) = ∞. Suy ra điều cần chứng minh. 2.4. Hàm tăng chậm và dãy số trung bình nhân Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về một số dãy số trung bình nhân được xác định bởi các hàm tăng chậm. Trước tiên, chúng tôi nhắc lại hai bổ đề dưới đây là những kết quả quen thuộc của giải tích thực. Bổ đề 2.4.1. Nếu {sn} là dãy số dương có giới hạn s thì dãy số { √n s1s2...sn} cũng có giới hạn s. Bổ đề 2.4.2. Ta có giới hạn sau đây lim x→∞ √n n n = 1 e . Bổ đề sau đây cho ta một thông tin tiệm cận của dãy số trung bình nhân xác định bởi một hàm tăng chậm. Bổ đề 2.4.3. Nếu f(x) là hàm tăng chậm trong khoảng b, ∞) thì pn f (b) f (b + 1)...f (n) ∼ f (n), (2.55) trong đó b là một số nguyên dương. 32 Chứng minh. Lưu ý rằng chúng ta luôn có thể giả sử rằng f(x) > 1 trên khoảng b, ∞). Vì log f(x) tăng và dương trong khoảng b, ∞) nên X n i=b log f (i) = X n i=b (1. log f (i)) = Z n b log f (x) dx + O (log f (n)) = n log f (n) + Z n b xf0 (x) f (x) dx + O (log f (n)). (2.56) Theo quy tắc L’Hôpital ta có lim x→∞ log f (x) x = lim x→∞ f 0 (x) f (x) = 0. Vì thế O (log f (n)) = o (n). (2.57) Nếu tích phân Z x b tf0 (t) f (t) dt hội tụ thì chúng ta thu được lim x→∞ Z x b tf0 (t) f (t) dt x = 0. Mặt khác, nếu tích phân Z x b tf0 (t) f (t) dt phân kỳ thì chúng ta thu được từ quy tắc L’Hôpital và (2.1) rằng lim x→∞ Z x b tf0 (t) f (t) dt x = 0. Suy ra Z n b xf0 (x) f(x) dx = o(n). (2.58) Từ (2.56), (2.57) và (2.58) suy ra X n i=b log f(i) = n log f(n) + o(n). (2.59) 33 Tức là 1 n X n i=b log f (i) = log f (n) + o (1). Suy ra điều cần chứng minh. Định lý 2.4.4. Giả sử An (n ≥ 0) là một dãy số dương sao cho An An−1 ∼ Cnα f(n) β , (2.60) trong đó f(x) là hàm tăng chậm trên khoảng b, ∞), C > 0, α > 0 và β là một số thực. Nếu 1 ≤ n < b ta đặt f(n) = 1. Ta có các công thức sau đây n qA1 A0 A2 A1 · · · An An−1 An An−1 → 1 e α , (2.61) An+1 ∼ e αA 1+ 1 n n , (2.62) log An = αn log n + βn log f (n) + (−α + log C) n + o (n), (2.63) log An ∼ αn log n, (2.64) An = Cnα f(n) β n e (α+o(1))n . (2.65) Chứng minh. Từ giả thiết (2.60) ta có An An−1 Cnαf(n) β → 1. (2.66) Áp dụng Bổ đề 2.4.1 ta được n vuutY n k=1 Ak Ak−1 Ckαf(k) β = n s Q n k=1 Ak Ak−1 n s Q n k=1 Ckαf(k) β → 1. 34 Suy ra pn An ∼ n s A1 A0 A2 A1 ... An An−1 ∼ n vuut Y n k=1 Ckαf(k) β . (2.67) Bổ đề 2.4.2 và Bổ đề 2.4.3 suy ra n vuut Yn k=1 Ckαf(k) β = C( √n n) α ( pn f (1) f (2)...f (n)) β ∼ C n α e α f(n) β . (2.68) Từ (2.67), (2.68) và (2.60) suy ra pn An ∼ n s A1 A0 A2 A1 ... An An−1 ∼ C n α e α f(n) β ∼ 1 e α An An−1 . (2.69) Suy ra (2.61). Từ (2.69) suy ra A 1 n n ∼ A 1 n−1 n−1 . (2.70) Suy ra An ∼ e αA 1+ 1 n−1 n−1 . Vậy (2.62) được chứng minh. Từ (2.69) ta lại có 1 n log An = log C n α e α f(n) β + o (1). Vậy (2.63) được chứng minh. Theo quy tắc L’Hôpital, (2.63) suy ra (2.64) vì lim x→∞ log f (x) log x = lim x→∞ xf0 (x) f (x) = 0. Cuối cùng, (2.65) là hệ quả trực tiếp của (2.63). 35 Chương 3 Hàm αtăng chậm Mục đích của chương này là trình bày các kết quả được công bố trong bài báo của Y.Shang năm 2012. 3.1. Định nghĩa và ví dụ Hàm αtăng chậm được định nghĩa như dưới đây chính là một sự mở rộng của khái niệm hàm tăng chậm được giới thiệu ở chương trước. Định nghĩa 3.1.1. Cho f(x) là một hàm được xác định trên khoảng a,∞) sao cho f(x) > 0, lim x→∞ f (x) = ∞ và có đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0. Với α > 0, hàm f(x) được gọi là hàm αtăng chậm nếu lim x→∞ f 0 (x) f(x) x α = 0. (3.1) Dễ thấy rằng, hàm tăng chậm đã được trình bày ở chương trước chính là hàm αtăng chậm với α = 1. Dưới đây là một vài ví dụ điển hình cho hàm αtăng chậm: • f(x) = x là hàm αtăng chậm với α < 1. • f(x) = ln x và f (x) = ln ln x là các hàm αtăng chậm với α ≤ 1. 36 3.2. Tính chất Định lý 3.2.1. Giả sử rằng 0 < α1 < α2. Nếu f(x) là một hàm α2tăng chậm thì nó cũng là một hàm α1tăng chậm. Chứng minh. Tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa của hàm αtăng chậm. Định lý 3.2.2. Cho α1, α2, β > 0 và C ∈ R. Nếu f(x) và g(x) lần lượt là các hàm α1tăng chậm và α2tăng chậm thì các phát biểu sau là đúng. i) f(x) + C, Cf(x) và f(x) β là hàm α1tăng chậm. ii) f(x β ) là hàm ((α1 − 1) β + 1)tăng chậm nếu (α1 − 1) β > −1. iii) f(x)g(x) và f(x) + g(x) làm hàm min {α1, α2}tăng chậm. Chứng minh. Chúng tôi trình bày chứng minh của khẳng định thứ hai, các khẳng định còn lại được chứng minh tương tự. Theo Định nghĩa ta có lim x→∞ x (α1−1)β+1 d dxf x β f (x β) = lim x→∞ βxα1β f 0 x β f (x β) = lim y→∞ βyα1 f 0 (y) f (y) = 0. Suy ra f(x β ) là hàm ((α1 −1)β + 1)tăng chậm nếu (α1 −1)β > −1. Định lý 3.2.3. Nếu f(x) là một hàm αtăng chậm với α ≥ 1 thì ta có (i) lim x→∞ ln f(x) ln x = 0. (ii) lim x→∞ f(x) x β = 0 với mọi β > 0. (iii) lim x→∞ f 0 (x) = 0. Chứng minh. Để chứng minh (i), ta sử dụng quy tắc L’Hôpital như sau lim x→∞ ln f (x) ln x = lim x→∞ f 0 (x) x f (x) ≤ lim x→∞ f 0 (x) x α f (x) = 0, (3. 37 do giả thiết α ≥ 1. Để chứng minh (ii), giả sử 0 < γ < β. Theo (3.2), ta có f 0 (x)xf(x) < γ với x đủ lớn. Suy ra f (x) x γ 0 = f 0 (x) x γ − γxγ−1 f (x) x 2γ < 0, với x lớn. Do đó, tồn tại 0 < M < ∞ sao cho 0 < f(x)xγ < M. Suy ra lim x→∞ f (x) x β = lim x→∞ f (x) x γ · 1 x β−γ = 0. Khẳng định (iii) là hệ quả trực tiếp của (ii) và (3.1). Định lý 3.2.4. Cho C ∈ R. Nếu f(x) là hàm αtăng chậm với α ≥ 1 thì lim x→∞ f (x + C) f (x) = 1. (3.3) Chứng minh. Chúng ta chứng minh cho trường hợp C > 0, trường hợp C < 0 có thể chứng minh tương tự. Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, ta có 0 ≤ f (x + C) − f (x) f (x) = Cf0 (ξ) f (x) , (3.4) với x < ξ < x + C. Từ (3.4) và khẳng định (iii) trong Định lý 3.2.3 suy ra giới hạn (3.3). Định nghĩa 3.2.5. Hàm số L(x) được gọi là biến đổi chậm nếu L (tx) L (t) → 1, khi t → ∞, với mọi x > 0. Định lý dưới đây cho ta mối liên hệ giữa hàm αtăng chậm và hàm biến đổi chậm. 38 Định lý 3.2.6. Cho C ∈ R. Nếu f(x) là một hàm αtăng chậm với α ≥ 1 và f 0 (x) giảm thì lim x→∞ f (Cx) f (x) = 1, (3.5) tức là, f(x) là biến đổi chậm. Mặt khác, nếu f(x) là hàm biến đổi chậm với lim x→∞ f (x) = ∞, đạo hàm liên tục f 0 (x) > 0 và f 0 (x) tăng thì f(x) là hàm αtăng chậm với α ≤ 1. Chứng minh. Giả sử f(x) là hàm αtăng chậm và C > 1. Áp dụng định lý giá trị trung bình Lagrange, ta có: 0 ≤ f (Cx) − f (x) f (x) = (Cx − x) f 0 (ξ) f (x) ≤ (C − 1) xf0 (x) f (x) ≤ (C − 1) x α f 0 (x) f (x) , (3.6) với x < ξ < Cx. Từ (3.6) và Định nghĩa 3.1.1 suy ra giới hạn (3.5). Giả sử rằng C < 1. Tương tự, ta có 0 ≤ f (x) − f (Cx) f (Cx) = (x − Cx) f 0 (ξ) f (Cx) ≤ 1 − C C · Cxf0 (Cx) f (Cx) ≤ 1 − C Cα · (Cx) α f 0 (Cx) f (Cx) , (3.7) với Cx < ξ < x. Từ (3.7) và Định nghĩa 3.1.1 suy ra giới hạn (3.5). Mặt khác, giả sử rằng f(x) thỏa mãn (3.5). Khi đó, bằng cách lấy C > 1, ta có 0 ≤ (C − 1) x α f 0 (x) f (x) ≤ (C − 1) xf0 (x) f (x) ≤ (C − 1) xf0 (ξ) f (x) 39 = f (Cx) − f (x) f (x) → 0, với x < ξ < Cx và α ≤ 1. Do đó, f(x) là một hàm αtăng chậm. Định lý dưới đây cho chúng ta một tính chất của hàm αtăng chậm tương tự như tính chất của hàm tăng chậm đã được trình bày bởi Bổ đề 2.4.3 của chương trước. Định lý 3.2.7. Nếu f(x) là một hàm αtăng chậm trong khoảng a,∞), với a là một số dương, thì ta có pn f (a) f (a + 1)...f (n) ∼ f (n). Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử f(x) > 1 trên khoảng a,∞). Vì ln f(x) tăng và dương, ta có X n i=a ln f (i) = Z n a ln f (x) dx + O (ln f (n)) = n ln f (n) − Z n a xf0 (x) f (x) dx + O (ln f (n)). (3.8) Từ (3.1) và quy tắc L’Hôpital suy ra lim x→∞ ln f (x) x = lim x→∞ f 0 (x) f (x) = 0 và do đó ln f (n) = o (n). (3.9) Nếu tích phân Z x a tf0 (t) f (t) dt hội tụ thì ta có lim x→∞ Z x a tf0 (t) f (t) dt x = 0. (3.10) 40 Mặt khác, nếu tích phân Z x a tf0 (t) f (t) dt phân kỳ thì, từ (3.1) và quy tắc L’Hôpital suy ra lim x→∞ Z x a tf0 (t) f (t) dt x = lim x→∞ xf0 (x) f (x) = o x 1−α . (3.11) Từ (3.10) và (3.11) suy ra Z n a xf0 (x) f (x) dx = o n 1−α . (3.12) Từ (3.8), (3.9) và (3.12) suy ra X n i=a ln f (i) = n ln f (n) + o (n), tương đương với 1 n X n i=a ln f (i) = ln f (n) + o (1). Suy ra điều phải chứng min 41 Kết luận Dựa theo các tài liệu tham khảo, luận văn đã trình bày được một số vấn đề sau: 1. Nhắc lại sơ lược một số kiến thức về giới hạn dãy số, giới hạn của hàm số một biến số thực. 2. Khái niệm và tính chất của hàm tăng chậm; áp dụng của hàm tăng chậm vào nghiên cứu một số dãy số nguyên. 3. Khái niệm và tính chất của hàm αtăng chậm; áp dụng của hàm αtăng chậm vào nghiên cứu một số dãy số nguyên. 42 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt 1 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2006), Toán học cao cấp, tập 2, NXB Giáo dục. Tiếng Anh 2 R. Jakimczuk (2010), “Functions of slow increase and integer sequences”, J. Integer Seq. 13, Article 10.1.1. 3 R. Jakimczuk (2010), “Integer Sequences, Functions of slow increase, and the Bell numbers”, J. Integer Seq. 14, Article 11.5.8. 4 Y. Shang (2012), “Functions of αslow increase”, Bulletin of Mathematical Analysis and Applications, 4(1), pp. 226–230.