Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2013-2014 – Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Phước (Đề chính thức) được biên soạn 6 bài tập và có kèm theo hướng dẫn chấm; phục vụ giáo viên trong quá trình đánh giá và phân loại năng lực của học sinh.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/10/2013 2x − Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: y = (1) x−2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = IB , với I (2, 2) Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm) Giải hệ phương trình: Giải phương trình: 2x + + ( x − y) 2y + = ( x, y ﾡ ) ( x + y ) ( x + y ) + 3x + y = sin 2x + 3tan 2x + sin x = tan x − sin x Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, −7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x − y + = Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: x − y − 23 = Tìm tọa độ của B C , biết điểm B có hồnh độ dương Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn (O, R ) Gọi P, Q lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ ﾡAB , ﾡAC sao cho P, Q, O thẳng hàng. Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vng góc của P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' lần lượt là hình chiếu vng góc của Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= a + b + c +1 − ( a +1) ( b +1) ( c +1) 2013 Câu VI:(THPT:2,0 điểm) Cho dãy số (un ) được xác định: un (2 − 9un +1 ) = 2un +1 (2 − 5un ), ∀n u1 = Xét dãy số = u u1 u + + L + n . Tìm lim − u1 − u2 − un HẾT Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm Lưu ý: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì khơng làm câu VI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIỎI BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: TỐN Ngày thi: 03/10/2013 ĐỐI VỚI THÍ SINH THPT Lời giải Điểm 2x − 2,0 Cho hàm số: y = Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm x−2 số TXĐ: D = R \ { 2} 0,25 lim y = phương trình đường TCN: y = 2 x 0,5 lim y = − ;lim y = + phương trình đường TCĐ: x = 2 x 2− x 2+ y/ = −1 ( x − 2) < ∀x D Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hồnh: B(3/2;0) Đồ thị: 0,5 0,25 0,25 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường 2,0 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = IB , với I(2;2) 0,5 � 2x − � ( C ) Gọi M �x0 ; � x0 − � � PTTT của (C) tại M: y = − ( x0 − ) x+ x02 − x0 + ( x0 − ) Do AB = IB và tam giác AIB vng tại I IA = IB nên hệ số góc của −1 / < nên ta có hệ số góc tiếp tiếp tuyến k = 1 hoặc k = 1. vì y = ( x − 2) tuyến k = 1 � −1 ( x0 − 1) = −1 � x0 = x0 = 0,5 0,5 có hai phương trình tiếp tuyến: y = − x + ; y = − x + II Giải hệ phương trình: x Đk: y 2x + + ( x − y) 2y + = 2,5 2 ( x + y ) ( x + y ) + 3x + y = (1) x, y ﾡ (2) 0,5 − − 2 Pt(2) � x + ( y + 3) x + y + y − = � Pt(1) � x + + 0,5 ( x + y) y +1 = 2 − xy x + y −1 = x + y + = (loai ) 1,0 1,25 �( x + y ) − xy � � ( x + y ) + + xy + ( x + y ) + = � � � � � � � xy + = ( xy + 3) ( xy − ) xy + = ( xy − 5) xy + = (loai ) ( = ( x + y ) �� xy xy − < 0) � � x + y = �x = − �x = � � � �� Hệ đã cho tương đương: � 3�� �xy = − �y = �y = − � � � ��3 � − ; �� , ;− � Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: � � 2 ��2 � sin x + 3tan x + sin x =2 Giải phương trình: tan x − sin x cos x Đk: (*) tan x − sin x Pt tương đương: 3sin x + tan x + sin x = � 3sin x cos x + sin x + sin x cos x = 0,75 2,5 0,5 0,75 � ( cos x + 1) ( sin x + sin x ) = π + kπ cos x = −1 cos x + = π � � sin x = � x = k sin x + sin x = π cos x = − x= + kπ π + kπ thỏa mãn (*) Nghiệm x = x= π + kπ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, −7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x − y + = Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: x − y − 23 = Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hồnh độ dương Gọi C ( c; c + ) d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 0,75 0,5 Phương trình có 2 họ nghiệm: x = III 2,0 0,5 4y – 23 = 0 uur uur �c + 10 c − 10 � ; Ta có VAIM đồng dạng VCID � CI = AI � CI = IA � I � � � � 0,5 c + 10 c − 10 −4 − 23 = � c = Mà I d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t − � � 3t − 23 � � t; 2t − 5; Ta có: M �d � M � �� B � � � � � � uuur � 3t + � uuur � 3t − 19 � AB = � 2t − 10; , CB = � 2t − 6; � � � � � � 0,5 0,5 t =1 uuur uuur Do AB.CB = � ( t − ) ( t − 3) + ( 3t + ) ( 3t − 19 ) = � 29 t= B(−3; −3) (loai ) �33 21 � � �33 21 � � B� ; � B� ; � �5 � �5 � Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi P, Q lần lượt 2,0 là các điểm di động trên cung nhỏ ﾡAB , ﾡAC sao cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vng góc của P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' lần lượt là hình chiếu vng góc của Q lên các đường thẳng BC , AC Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KDD ' (theo R ) Chứng minh góc �DKD ' = 900 Kẻ KH vng góc với BC (H thuộc BC), ta có: �DKH = �DKP ( KH / / PD) �DKP = �PBA (tứ giác PEBD nội tiếp) ﾡ Suy ra: �DKH = �PBA = sd PA Tương tự, ta chứng minh được: �D ' KH = sd ﾡAQ ﾡ = 900 (do PQ là đường kính) Vậy �DKD ' = �DKH + �D ' KH = sd PQ Chứng minh DD ' R : Thật vậy, xét hình thang vng DPQD ' vng tại D và D’ nên 0,5 0,5 DD ' QP = R , dấu “=” xảy ra khi PQ / / BC IV 1,0 KD + KD '2 DD '2 R Xét tam giác DKD ' Ta có: S = KD.KD ' = = R2 4 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác DKD ' bằng R khi PQ / / BC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB 1,5 đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD SH ⊥ AB  Ta có: �� SH ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) a Góc giữa (SCD) và mặt đáy là �SMH = 600 SH a = Ta có HM = tan 60 2 a a a3 � VS ABCD = = 2 12 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vng góc với SI tại K Khi đó: d ( BD ,SA) = d ( I ,( S ,d ) ) = 2d( H ,( S ,d ) ) = 2d ( H ,( SBD ) ) = HK 0,5 SH = IH BH BH AD a = � IH = = AD BD BD 10 1 a Xét VSHI vng tại H, ta có: = + � HK = 2 HK HS HI a Vậy d ( BD ,SA) = Cho a, b, c là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Ta có VBIH đồng dạng VBAD � V 0,25 0,25 0,5 1,5 0,5 0,5 0,5 2,0 P= a + b + c +1 ( a + b) − ( c + 1) + ( a +1) ( b +1) ( c +1) 1� 2 a + b + c + 1) (�a + b ) + ( c + 1) � ( � 2 3 �a + + b + + c + � �a + b + c + � ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) � �= � � 3 � � � � 54 − Vậy P a + b + c + ( a + b + c + 3) a + b + c +1 2 = 54 = f (t ) với t = a + b + c + = − t ( t + 2) f / (t ) = − t 162 + ; f / (t ) = t ( t + 2) f’(t) + 0,75 0,75 0,75 (t > 1) 0,75 t=4 t = 1(loai ) + - 1/4 f(t) 0 a+b+c = � a = b = c =1 Vậy giá trị lớn nhất của P = khi a = b = c c =1 VI 2013 Cho dãy số (un ) đuợc xác định: un (2 − 9un +1 ) = 2un +1 (2 − 5un ), ∀n u1 = Xét dãy số = Ta có un u u1 u + + L + n . Tìm lim − u1 − u2 − un 0∀n 0,25 Khi đó: un ( − 9un +1 ) = 2un+1 ( − 5un ) � � −9 = 2,0 − 9un +1 = ( − 5un ) un +1 un 10 − un2 un un+1 Đặt xn = ∀n Khi đó ta có dãy mới ( xn ) được xác định bởi: un x1 = 2013 xn +1 = xn2 − xn + ∀n Chứng minh ( xn ) là dãy tăng: Xét hiệu: xn+1 − xn = xn2 − xn + − xn = ( xn − 3) 0,25 Do x1 = 2013 > nên xn+1 − xn > suy ra dãy ( xn ) là dãy tăng Chứng minh (xn) khơng bị chặn hay lim xn = + : Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt lim xn = a, ( a > 2013) 0,5 Từ công thức truy hồi xn+1 = xn2 − xn + Lấy giới hạn hai vế, ta được: a = a − 5a + � a = (khơng thỏa mãn) Do đó dãy đã cho khơng có giới hạn hữu hạn Ta có: 0,5 � � � u1 un 1 � �1 � � �= � = + + =2 + + + + �∀n − u1 − un x − x − �2 − � n � � −2� �u u n �1 � 1 = − Mà: xn − xn − xn +1 − 0,5 �1 � � 1 � − = − Do đó, ta có: = � � � � �x1 − xn +1 − � �2013 − xn +1 − � Mà lim xn = + nên lim = 1005 Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIỎI BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN: TỐN Ngày thi: 03/10/2013 ĐỐI VỚI THÍ SINH HỌC TẠI CÁC TRUNG TÂM GDTX Lời giải 2x − Cho hàm số: y = Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của x−2 hàm số Điểm 2,0 TXĐ: D = R \ { 2} 0,25 lim y = phương trình đường TCN: y = 2 x 0,5 lim y = − ;lim y = + phương trình đường TCĐ: x = 2 x 2− x 2+ y/ = −1 ( x − 2) < ∀x D 0,5 Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: 0,25 Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2) Giao điểm với trục hồnh: B(3/2;0) Đồ thị: 0,25 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB = IB , với I(2;2) 2,0 0,25 0,5 � x0 − � � (C ) x − � � Gọi M �x0 ; PTTT của (C) tại M: y = − ( x0 − ) x+ x02 − x0 + ( x0 − ) Do AB = IB và tam giác AIB vng tại I IA = IB nên hệ số góc của −1 / < nên ta có hệ số góc tiếp tiếp tuyến k = 1 hoặc k = 1. vì y = ( x − 2) tuyến k = 1 � −1 ( x0 − 1) = −1 � x0 = x0 = có hai phương trình tiếp tuyến: y = − x + ; y = − x + 0,5 0,5 0,5 II Giải hệ phương trình: x Đk: y 2x + + ( x − y) 2y + = 3,5 (1) ( x + y ) ( x + y ) + 3x + y = x, y ﾡ (2) 0,5 − − 2 Pt(2) � x + ( y + 3) x + y + y − = � Pt(1) � x + + y + = ( x + y −1 = x + y + = (loai ) 1,0 1,25 x + y ) − xy 2 �( x + y ) − xy � � ( x + y ) + + xy + ( x + y ) + = � � � � � � � xy + = ( xy + 3) ( xy − ) xy + = ( xy − 5) xy + = (loai) ( = ( x + y ) �� xy � � x + y = �x = − �x = � � � �� Hệ đã cho tương đương: � 3�� �xy = − �y = �y = − � � � ��3 � − ; �� , ;− � Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: � � 2 ��2 � sin x + 3tan x + sin x =2 Giải phương trình: tan x − sin x cos x Đk: (*) tan x − sin x Pt tương đương: 3sin x + tan x + sin x = � 3sin x cos x + sin x + sin x cos x = xy − < 0) 0,75 2,5 0,5 0,75 � ( cos x + 1) ( sin x + sin x ) = π + kπ cos x = −1 cos x + = π � � sin x = � x = k sin x + sin x = π cos x = − x= + kπ π + kπ thỏa mãn (*) Nghiệm x = x= Phương trình có 2 họ nghiệm: x = π + kπ 0,75 0,5 III Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, −7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x − y + = Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình: x − y − 23 = Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hồnh độ dương Gọi C ( c; c + ) d1 , M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0 Ta có VAIM đồng dạng VCID uur uur �c + 10 c − 10 � � CI = AI � CI = IA � I � ; � � � c + 10 c − 10 −4 − 23 = � c = Mà I d nên ta có: 3 Vậy C(1;5) 3t − � � 3t − 23 � � t; 2t − 5; Ta có: M �d � M � �� B � � � � � � uuur � 3t + � uuur � 3t − 19 � AB = � 2t − 10; , CB = � 2t − 6; � � � � � � t =1 uuur uuur Do AB.CB = � ( t − ) ( t − 3) + ( 3t + ) ( 3t − 19 ) = � 29 t= B(−3; −3) (loai ) �33 21 � � �33 21 � � B� ; � B� ; � �5 � �5 � Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O, R) Gọi P, Q lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ ﾡAB , ﾡAC sao cho P, Q, O thẳng hàng Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vng góc của P lên các đường thẳng BC , AB tương ứng và D ', E ' lần lượt là hình chiếu vng góc Q lên đường thẳng BC , AC Gọi K giao điểm hai đường thẳng DE và D ' E ' Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác KDD ' (theo R ) 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 IV Chứng minh góc �DKD ' = 900 Kẻ KH vng góc với BC (H thuộc BC), ta có: �DKH = �DKP ( KH / / PD) �DKP = �PBA (tứ giác PEBD nội tiếp) ﾡ Suy ra: �DKH = �PBA = sd PA Tương tự, ta chứng minh được: �D ' KH = sd ﾡAQ ﾡ = 900 (do PQ là đường kính) Vậy �DKD ' = �DKH + �D ' KH = sd PQ Chứng minh DD ' R : Thật vậy, xét hình thang vng DPQD ' vng tại D và D’ nên DD ' QP = R , dấu “=” xảy ra khi PQ / / BC Xét tam giác DKD ' Ta có: KD + KD '2 DD '2 R S = KD.KD ' = = R2 4 Vậy diện tích lớn nhất của tam giác DKD ' bằng R khi PQ / / BC Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng ( SCD) và mặt phẳng đáy bằng 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD SH ⊥ AB  Ta có: �� SH ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) a Góc giữa (SCD) và mặt đáy là �SMH = 600 SH a = Ta có HM = tan 60 2 a a a3 � VS ABCD = = 2 12 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a 0,5 0,5 1,0 1,5 0,5 SH = 0,25 0,25 0,5 1,5 V Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD. Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường 0,5 thẳng đi qua H , d và cắt d tại J, cắt BD tại I. trong (SHI) kẻ HK vng góc với SI tại K Khi đó: d ( BD ,SA) = d ( I ,( S ,d ) ) = 2d( H ,( S ,d ) ) = 2d ( H ,( SBD ) ) = HK 0,5 IH BH BH AD a Ta có VBIH đồng dạng VBAD � = � IH = = AD BD BD 10 0,5 1 a Xét VSHI vng tại H, ta có: = + � HK = 2 HK HS HI a Vậy d ( BD ,SA) = 3,0 Cho a, b, c là ba số duơng. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= a + b + c +1 ( a + b) − ( c + 1) + ( a +1) ( b +1) ( c +1) 0,75 1� 2 a + b + c + 1) (�a + b ) + ( c + 1) � ( � 2 3 0,75 �a + + b + + c + � �a + b + c + � ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) � �= � � 3 � � � � 0,75 54 P − Vậy a + b + c + ( a + b + c + 3) a + b + c +1 2 2 = 54 = f (t ) với t = a + b + c + = − t ( t + 2) f / (t ) = − t 162 + ; f / (t ) = t ( t + 2) f’(t) + (t > 1) t=4 t = 1(loai ) + - 1/4 f(t) 0 a+b+c = � a = b = c =1 Vậy giá trị lớn nhất của P = khi a = b = c c =1 Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa 0,75 ... Chú ý: Nếu thí? ?sinh? ?làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIỎI BÌNH PHƯỚC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) Câu I Ý HƯỚNG DẪN CHẤM? ?THI? ?CHỌN HỌC? ?SINH? ? CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013? ?–? ?2014... HƯỚNG DẪN CHẤM? ?THI? ?CHỌN HỌC? ?SINH? ? CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013? ?–? ?2014 MƠN: TỐN Ngày? ?thi: 03/10/2013 ĐỐI VỚI THÍ? ?SINH? ?THPT Lời giải Điểm 2x − 2,0 Cho hàm số: y = Khảo sát sự biến? ?thi? ?n? ?và? ?vẽ đồ thị (C) của hàm ...Thí? ?sinh? ?khơng được sử dụng tài liệu. Giám thị khơng giải thích gì thêm Lưu ý: Đối với thí? ?sinh? ?học? ?tại các trung tâm GDTX thì khơng làm câu VI SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIỎI BÌNH PHƯỚC