Một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến 62 46 01 05

ðIH C QU CGIAHÀN I TRƯ NI C CN HI G K Ê ð H N O A H NGUY N HUY HOÀNG M T S L PNGHI N H MTƯ G Ư HÀN H I - 2012 Ơ NGMIN HC A I PHƯƠN G M TRÌNH T TRUY N Ư SÓNG PHI NGUYN TUY N N HUY HOÀNG M LU NÁNTI NSĨTO ÁNH C T S L P N G T RÌ N H G T M R I U N Y H N C A P S Ó N G PHI TUY C: PGS TS Hà Ti n Ngo n N PGS TS Hoàng Qu c Toàn Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã s : LU NÁNTI NSĨTOÁNH C N G Ư IH Ư N G D N K H O A H HÀ N I 201 Mưc lưc Líi cam oan Líi c£m ỡn BÊng kỵ hiằu M u LP NGHI M N-SOLITON KH˘NG T N X CÕA HAI PH×ÌNG TR NH PHI TUY N TR N NÛA TRÖC KH˘NG GIAN 1.1 Ph÷ìng tr…nh Korteweg-de Vries 1.2 Ph÷ìng tr…nh Schrodinger phi tuy‚n NGHI M WRONSKIAN CÕA PH×ÌNG TR NH HÉN HĐP MKDV-SG TR N C TRÖC KH˘NG GIAN iv 2.1 D⁄ng song tuy‚n t‰nh cıa ph Wronskian 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 CĂc lợp nghiằm tữớng minh c 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 K‚t lu“n v K‚t lu“n Ki‚n nghà v• nhœng nghi¶n cøu ti‚p theo Danh möc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n Lu“n ¡n T i liằu tham khÊo v BÊng kỵ hi»u i Im a R C tr A det A W () L(t) D(t) S (t) ACloc[0; 1) ACloc([0; 1); C ) L (0; 1) 2 L ((0; 1); C ) sign Res ìn £o i = Phƒn £o cıa sŁ phøc Li¶n hỉp cıa sŁ phøc a T“p hæp c¡c sŁ thüc T“p hỉp c¡c sŁ phøc TŒng c¡c t§t c£ c¡c phƒn tò trản ữớng cho ch nh ca ma trn vuổng A ành thøc cıa ma tr“n A ành thøc Wronskian theo bin x (cĐp N) T cõ ct u tiản l = ( 1; 2; : : : ; N ) To¡n tß Schrodinger phư thuºc tham sŁ v o bi‚n t To¡n tß Dirac phư thuºc tham sŁ v o bi‚n t T“p dœ li»u t¡n x⁄ cıa to¡n tß Schrodinger L(t) ho°c t“p dœ li»u t¡n x⁄ cıa to¡n tß Dirac D(t) Khỉng gian c¡c h m sŁ liản tửc tuyằt i a phữỡng trản nòa khoÊng [0; 1) Khỉng gian c¡c h m v†c tì hai chi•u liản tửc tuyằt i a phữỡng trản nòa khoÊng [0; 1) Khæng gian c¡c h m kh£ t‰ch b“c hai tr¶n (0; 1) Khỉng gian c¡c h m v†c tì hai chiãu khÊ tch bc hai trản (0; 1) DĐu cıa ph†p th‚ Th°ng d÷ t⁄i =j X1 X T“p hæp T“p hæp i”m j vi M— U Trong cĂc phữỡng trnh o h m riảng mổ tÊ quĂ trnh truyãn sõng cõ mt nhõm phữỡng trnh truyãn sõng phi tuyn cõ tản l cĂc phữỡng trnh soliton Vã nguỗn gc vt lỵ, cĂc phữỡng trnh n y ữổc dÔn t mt lot b i toĂn thuc nhiãu lắnh vỹc nhữ cỡ hồc chĐt lọng, quang hồc phi tuyn, vt lỵ plasma v lỵ thuyt dƠy ([3, 20, 39]) Mỉi phữỡng trnh thuc nhõm n y ãu tha nhn mt lợp nghiằm c biằt ữổc xĂc nh t÷íng minh v c¡c nghi»m â mỉ t£ sü lan truyãn, tữỡng tĂc phi tuyn ca nhng sõng ỡn cõ tŁc º, bi¶n º khỉng Œi TŁc º v bi¶n º cıa chóng ÷ỉc b£o to n c£ sau xÊy sỹ tữỡng tĂc Vợi c tnh vt lỵ nhữ vy cĂc sõng n y ữổc gồi l cĂc soliton Thut ng soliton ữổc sò dửng ln u tiản bi V E Zabusky v M D Kruskal nôm 1965 mºt cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa hai ỉng vã b i toĂn Fermi-Pasta-Ulam v phữỡng trnh Korteweg-de Vries Vt lỵ plasma ([42]) Trữợc õ, sõng soliton ữổc quan s¡t lƒn ƒu ti¶n thüc t‚ bði J S Russell v o nôm 1834 dữợi dng mt sõng nữợc xuĐt hiằn v lan truyãn trản mt kảnh nữợc nỉng ð Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]) Trong c¡c ph÷ìng tr…nh soliton mỉ t£ qu¡ tr…nh lan truy•n sâng mºt chi•u khỉng gian v mºt chi•u thíi gian câ bn i diằn tiảu biu sau Ơy: Phữỡng trnh Korteweg-de Vries l ph÷ìng tr…nh tuy‚n ut + 6uux + uxxx = 0; ⁄o h m ri¶ng phi (1) â u = u(x; t); (x; t) R l 'n h m ph£i t…m, ut; ux : : : l kỵ hiằu cĂc o h m riảng ca u Bi‚n x l bi‚n khæng gian, bi‚n t l bi‚n thới gian Phữỡng trnh Korteweg-de Vries ữổc dÔn nôm 1895 tł nghi¶n cøu cıa D J Korteweg v mºt hồc trặ ca l G de Vries vã quĂ trnh lan truyãn ca sõng nữợc nổng trản kảnh hàp câ ¡y phflng; Ph÷ìng tr…nh Schrodinger phi tuy‚n l ph÷ìng tr…nh 2 iut = uxx + 2juj u; u = u(x; t); (x; t) R : Ph÷ìng trnh Schrodinger phi tuyn ữổc dÔn t b i toĂn truyãn sõng quang hồc; Phữỡng trnh Korteweg-de Vries bin d⁄ng l ph÷ìng tr…nh 2 ut + 6u ux + uxxx = 0; u = u(x; t); (x; t) R : Ph÷ìng tr…nh Korteweg-de Vries bi‚n d⁄ng (modified Korteweg-de Vries equation - vit tt: mKdV) ữổc dÔn bði R G Miura b i b¡o mð ƒu cho mt chuỉi cĂc nghiản cứu vã phữỡng trnh Korteweg-de Vries v cĂc m rng ([32]) Trản thỹc t phữỡng trnh (3) cõ quan hằ cht ch vợi phữỡng trnh (1) Th“t v“y n‚u v(x; t) l nghi»m cıa (3) th… u(x; t) = v(x; t) vx(x; t) l nghi»m cıa (1) ([3; 32]); Ph÷ìng tr…nh sine-Gordon l uxt = sin u; Phữỡng trnh sine-Gordon xuĐt hiằn khĂ sợm t ƒu th‚ k 19 v ban ƒu nâ ÷ỉc ÷a cĂc nghiản cứu vã cĂc mt giÊ cu hnh hồc vi phƠn (xem [38]) Trong Vt lỵ ngữới ta cụng dÔn cĂc phữỡng trnh soliton mổ t£ qu¡ tr…nh truy•n sâng hai ho°c ba chi•u khỉng gian (xem [4; 20]) Tuy nhi¶n khn khŒ c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa Lu“n ¡n chóng tỉi khổng ã cp n cĂc phữỡng trnh n y TNG QUAN NGHI N CU Cõ nhiãu phữỡng phĂp toĂn hồc  ữổc sò dửng nghiản cứu cĂc phữỡng trnh soliton Hai phữỡng phĂp s õ cõ liản quan mt thit v ữổc sò dửng Lun Ăn n y l ph÷ìng ph¡p b i to¡n t¡n x⁄ ng÷ỉc v kÿ thu“t Wronskian Ph÷ìng ph¡p b i to¡n t¡n x⁄ ng÷ỉc l ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n Cauchy tr¶n to n trưc khỉng gian (x ( ; 1)) i vợi cĂc phữỡng trnh soliton lợp cĂc h m gi£m nhanh Ph÷ìng ph¡p n y ÷ỉc h…nh th nh tł mºt chi b i b¡o vỵi khði u l kt quÊ trản phữỡng trnh truyãn sõng nữợc næng Korteweg-de Vries (1) (xem [1; 2; 5; 10; 11; 21; 43; 44; 45]) Trong ph÷ìng ph¡p n y chóng ta li¶n k‚t 'n h m u(x; t) cıa cĂc phữỡng tr nh soliton (1) v (2) vợi th v tữỡng ứng ca cĂc toĂn tò tuyn tnh Schrodinger v to¡n tß Dirac, m l c¡c to¡n tß vi phƠn theo bin x, õ t õng vai trặ l tham sŁ Tł â sß dưng c¡c k‚t qu£ ¢ bi‚t cıa b i to¡n t¡n x⁄ Łi vỵi cĂc toĂn tò n y xƠy dỹng ữổc líi gi£i cıa b i to¡n Cauchy Líi gi£i cıa b i toĂn Cauchy i vợi phữỡng trnh Korteweg-de Vries cử th nhữ sau Chúng ta xt toĂn tò Schrodinger L(t)y = vợi bin thới gian t ữổc coi l mºt tham sŁ tü Theo k‚t qu£ cıa b i to¡n t¡n x⁄ thu“n, tł th‚ u(x; t) n o §y l h m gi£m nhanh, nh“n gi¡ trà thüc, chóng ta x¡c ành ÷ỉc mºt t“p hỉp câ d⁄ng S(t) = r(t; k); k R; i 1; i 2; : : : ; i N ; C1(t); C2(t); : : : ; CN (t) : (7) vỵi j > 0; Cj(t) > vỵi måi j = 1; 2; : : : ; N T“p S(t) ÷æc gåi l t“p dœ li»u t¡n x⁄ cıa to¡n tß L(t) To¡n tß L(t) ch¿ câ c¡c gi¡ trà ri¶ng ìn l N 2 1; 2; :::; (Chóng ta x†t b i to¡n lỵp flng phŒ, tức l trữớng hổp cĂc giĂ tr riảng ca toĂn tß khỉng phư thuºc v o bi‚n t) C¡c gi¡ tr C j(t) l giĂ tr liản quan tợi chu'n ca h m riảng tữỡng ứng vợi giĂ tr ri¶ng j; j = 1; 2; : : : ; N Th nh phƒn cỈn l⁄i cıa t“p dœ li»u t¡n x⁄ l h m r(t; k) ÷ỉc gåi l h» sŁ ph£n x⁄ cıa to¡n tß Câ th” tham kh£o c¡c mỉ t£ chi ti‚t hìn v• t“p dœ li»u t¡n x⁄ S(t) c¡c t i li»u [3, 5, 7, 13, 39, 46] £o l⁄i, tł mºt t“p hổp S(t) n o Đy cõ cĐu trúc nhữ (7), b i toĂn tĂn x ngữổc  ữa mt sỡ ỗ xƠy dỹng mt h m s u(x; t) cho th‚ h m u(x; t) nh“n ÷ỉc v o to¡n tß Schrodinger (5) th… dœ li»u t¡n x⁄ cıa to¡n tß â l⁄i ch‰nh l S(t) (xem [3, 5, 7, 46]) Kh¥u then chŁt b i to¡n ng÷ỉc l vi»c gi£i mºt ph÷ìng tr…nh t‰ch phƠn ký d cõ tản l phữỡng tr nh Gelfand-Levitan-Marchenko Sỹ tỗn ti nghiằm v tnh nhĐt nghiằm ca phữỡng trnh n y  ữổc khflng nh cĂc khổng gian h m ữổc sò dửng b i toĂn tĂn x Tuy nhiản viằc tnh tữớng minh nghiằm ca phữỡng trnh Gelfand-Levitan-Marchenko mợi ch thỹc hiằn ữổc mºt v i t…nh huŁng Trong sŁ c¡c t…nh huŁng n y câ mºt tr÷íng hỉp °c bi»t l t“p S(t) chøa h» sŁ ph£n x⁄ r(t; k) = vợi mồi Tữỡng tỹ vợi cĂc tiu mửc trữợc ta nhn ữổc kt quÊ sau Mằnh ã 2.2.5 Cho c¡c h‹ng sŁ thüc Cj1; Cj2; Cj3; Cj4; j = 1; 2; : : : ; n x t tòy þ °t g = e v = x (2.2.29b) Kþ hi»u D("11; "12; : : : ; "n1; "n2) l (2.2.60a); (2.2.60b) Khi â h m sŁ f(x; t) ÷ỉc x¡c ành bði cæng thøc f(x; t) = (" ;" ;:::;" 11 12 ;" ) n1 n2 j=1 "jl= 127 l mºt nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh song tuy‚n tnh (2.1.5a); (2.1.5b) Chú ỵ rng vợi mỉi l = hoc 2, tĐt cÊ cĂc phn tò ca h ng thø (2n + l 2) ành thøc D("11; "12; : : : ; "n1; "n2) l thüc n‚u "jl = v l thuƒn £o n‚u "jl = H» qu£ l thüc n‚u Y ("j1:"j2) = v cĂc X1; X2 ữổc nh nghắa (2.2.9a); (2.2.9b) Tł c¡c t“p X 1; X2 ta ành ngh¾a c¡c h m sŁ F (x; t) = ("11;"12;:::;"n1 X X G(x; t) = ( i) ("11;"12;:::;"n1;"n2)2X2 Khi â F (x; t) v f2n(x; t) (2.2.61) Tł c¡c t‰nh toĂn trản ta cõ nh lỵ nh lỵ 2.2.8 Cho c¡c h‹ng sŁ thüc Cj1; Cj2; Cj3; Cj4; j x t ỵ t g = e v (2.2.29b) Gồi F (x; t) v (2.2.62a); (2.2.62b) Khi â c¡c h m F (x; t); G(x; t) phö thuºc v o hai tham sŁ ; v c¡c khflng ành 1) - 3) nh lỵ 2.2.1 vÔn úng Chú ỵ rng nu n = th t nh lỵ 2.2.8 chóng ta l⁄i nh“n ÷ỉc nghi»m (2.2.38) Ti‚p theo chóng ta câ h» qu£ H» qu£ 2.2.4 Cho c¡c c¡c hng s thỹc C 1; C2; C3; C4 tũy ỵ v hai h m sŁ 1; ÷ỉc x¡c ành (2.2.30a); (2.2.30b) Ta ành ngh¾a ành thøc Wronskian (ki”u) k†p f(x; t) = (2.2.63) 128 â 1xj l ; 2xj l l c¡c ⁄o h m ri¶ng cıa 1; V“y th… ành thøc Wronskian k†p (2.2.63) l mºt nghi»m cıa h» ph÷ìng tr…nh song tuy‚n t‰nh (2.1.5a); (2.1.5b) Chøng minh T÷ìng tü h» qu£ 2.2.1 Chóng ta s ữa kt quÊ tnh toĂn cử th vợi ành thøc Wronskian k†p (2.2.63) tr÷íng hỉp n = Trong tr÷íng hỉp n y ành thøc Wronskian (2.2.63) l f4(x; t) = Tữỡng tỹ tiu mửc trữợc chúng tæi thay th‚ vi»c t‰nh F (x; t); G(x; t) b‹ng c¡ch sß dưng bi”u di„n Laplace cho f 4(x; t) Khi õ nh thức cĐp bn ữổc tnh 12 nh thức cĐp hai v ta cn sò dửng h» thøc 11 12 n = x ( = h Ơy ta thu ữổc cổng thức mổ tÊ k‚t qu£ nh“n ÷ỉc l (Chóng ta bä qua vi»c mổ tÊ chi tit quĂ trnh tnh toĂn theo hữợng n y nâ công kh¡ d i v phøc t⁄p): n ( ) 2 f x; t = 8 ( + )R + 12(e 32 + ( + 2)R+ 2 2 n + i 32 32 ( â ta sß döng c¡c h m phö 129 e1 e e =(C =(C =(C h1 = x ( h2 = T f4(x; t) nhn ữổc trản ta thu ÷ỉc cỉng thøc t÷íng minh cıa mºt lỵp nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh mKdV-sG (2.1.1) Vi»c thay th‚ = 1; = v = 0; = cho chóng ta lỵp nghi»m t÷ìng øng cıa ph÷ìng tr…nh mKdV (2.1.2) v ph÷ìng trnh sine-Gordon (2.1.3) Chú ỵ Trong trữớng hổp n y, ngo i d⁄ng (2.2.51) ma tr“n m h» (2.2.1a); (2.2.1b) cụng cõ th xƠy dỹng dữợi dng m = B B B B B â m = 2n; U = khổng kch thữợc 2 @ 130 Khi â ta sß dưng bi‚n Œi = 11 11 = 12 12 21 = = 22 n1 n2 21 22 = = n1 n2 th… l⁄i mºt lƒn nœa ta thu ÷ỉc h» (2.2.54a) (2.2.54d) v cơng x¡c ành ÷ỉc nghi»m Wronskian t÷ìng tü nh÷ ¢ thüc hi»n ð trản K T LU N CHìèNG II CĂc õng gõp ca Lun Ăn chữỡng II gỗm cõ nhng im chnh nhữ sau Nghiản cứu phữỡng trnh hỉn hổp mKdV-sG m l ph÷ìng tr…nh chøa c¡c ph÷ìng tr…nh KdV bi‚n d⁄ng v sine-Gordon nh÷ l c¡c tr÷íng hỉp °c biằt;  ữa phữỡng trnh hỉn hổp mKdV-sG vã mt hằ phữỡng trnh o h m riảng song tuyn t‰nh qu¡ x¡c ành ¢ mð rºng ¡ng k” h» phữỡng tr nh iãu kiằn i vợi vectỡ ct thứ nhĐt nh thức Wronskian m l nghiằm hằ phữỡng trnh dng song tuyn tnh tữỡng ứng;  ữa hằ phữỡng trnh iãu kiằn vã dng chnh tc Jordan thỹc Nghiằm tng quĂt ca cĂc hằ phữỡng trnh iãu kiằn ứng vợi trữớng hổp cĂc Jordan thỹc khĂc  ữổc mổ tÊ y v chúng to th nh c¡c khỉng gian tuy‚n t‰nh hœu h⁄n chi•u trản R; XƠy dỹng ữổc mt lợp nghiằm Wronskian mợi chứa nhiãu tham s thỹc cho phữỡng trnh truyãn sâng hØn hỉp mKdV-sG tr¶n c£ trưc 131 K‚t lu“n v ki‚n nghà K‚t lu“n C¡c k‚t qıa ch‰nh cıa Lun Ăn l Mổ tÊ ữổc cĂc iãu kiằn cn v c¡c i•u ki»n ı cho quy lu“t ti‚n hâa theo bi‚n thíi gian t Łi vỵi dœ li»u t¡n x⁄ øng vỵi mºt lỵp c¡c th‚ khỉng tĂn x u(x; t) ca toĂn tò Schrodinger (tữỡng ứng, toĂn tò Dirac) trản nòa trửc khổng gian x > ” cho c¡c th‚ u(x; t) n y çng thíi l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh Korteweg-de Vries (t÷ìng ứng, phữỡng trnh Schrodinger phi tuyn) XƠy dỹng ữổc cĂc lợp nghiằm N-soliton khổng tĂn x tữớng minh chứa nhiãu tham s phức trản nòa trửc ca bin khổng gian i vợi cĂc phữỡng trnh Korteweg-de Vries v phữỡng trnh Schrodinger phi tuyn Nghiản cứu phữỡng trnh hỉn hổp mKdV-sG m l ph÷ìng tr…nh chøa c¡c ph÷ìng tr…nh KdV bi‚n d⁄ng v sine-Gordon nh÷ l c¡c tr÷íng hỉp °c bi»t  ữa phữỡng trnh hỉn hổp mKdV-sG vã mt hằ phữỡng trnh o h m riảng song tuyn tnh quĂ xĂc nh  m rng Ăng k hằ phữỡng trnh iãu kiằn i vợi vectỡ ct thứ nhĐt nh thøc Wronskian m l nghi»m h» ph÷ìng tr…nh d⁄ng song tuyn t nh tữỡng ứng Hằ phữỡng trnh iãu kiằn sau õ ữổc ữa vã dng ch nh tc Jordan thỹc Nghiằm tng quĂt ca cĂc hằ phữỡng trnh iãu kiằn ứng vợi trữớng hổp cĂc Jordan thỹc khĂc  ữổc mổ tÊ y v chúng to th nh c¡c khỉng gian tuy‚n t‰nh hœu h⁄n chi•u trản R Trản cỡ s õ  xƠy dỹng ữổc mt lợp nghiằm Wronskian mợi chứa nhiãu tham s thỹc cho phữỡng trnh truyãn sõng hỉn hổp mKdV-sG trản cÊ trửc 132 Kin ngh vã nhng nghiản cứu tip theo Hữợng phĂt trin tip theo ca cĂc ni dung nghiản cøu Lu“n ¡n nh÷ sau: Gi£i b i toĂn biản-giĂ tr ban u trản nòa trửc khổng gian cho cĂc phữỡng trnh soliton lợp h m giÊm nhanh v tip tửc nghiản cứu viằc Ăp dửng phữỡng ph¡p b i to¡n t¡n x⁄ ng÷ỉc cho b i toĂn n y Tip tửc nghiản cứu sò dửng kÿ thu“t Wronskian cho c¡c ph÷ìng tr… nh phi tuy‚n khĂc Tm hiu thảm vã cĂc phữỡng phĂp toĂn hồc khĂc ữổc sò dửng cho phữỡng trnh soliton v phĂt trin cĂc kt quÊ Â t ữổc TĂc giÊ hy vång r‹ng s‡ ti‚p tưc nh“n ÷ỉc c¡c k‚t quÊ nghiản cứu k tip thới gian tợi 133 Danh mưc c¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n Lu“n ¡n [1] P L Vu and N H Hoang (2000), "On the Degree of Nomalization Polynomials of the Scattering Data for Constructing Solutions of the Korteweg-de Vries Equation", Southeast Asian Bulletin of Mathemat-ics 24(4), pp 631-641 [2] P L Vu and N H Hoang (2002), "Constructing Soliton Solutions of the Nonlinear Schrodinger Equation by Inverse Scattering and Hirota s Direct Methods", Vietnam Journal of Mathematics 30(2), pp 149-165 [3] H T Ngoan and N H Hoang (2010), "The Wronskian solutions of the sine-Gordon equation", Algebraic Structures in Partial Differential Equations Related to Complex and Clifford Analysis, Ho Chi Minh City University of Education Press, pp 171-208 [4] H.T Ngoan and N H Hoang (2011), "The Wronskian solutions of the modified Korteweg-de Vries equation", Acta Mathematica Vietnamica 36(3), pp 555-583 [5] H T Ngoan and N H Hoang (2011), "The Wronskian solutions of a nonlinear evolution equation", Preprint of Institute of Mathematics, Hanoi, (11-05), pp 1-26 134 T i li»u tham kh£o [1] Ablowitz M J., Kaup D J., Newell A C., Segur H (1973), " Method for Solving the Sine-Gordon Equation", Physical Review Letters, 30, pp 1262-1264 [2] Ablowitz M J., Kaup D J., Newell A C., Segur H (1973), "Nonlinear-Evolution Equations of Physical Significance", Physical Review Let-ters, 31, pp 125-127 [3] Ablowitz M J., Segur H (1981), Solitons and the Inverse Scattering Transform, Studies in Applied Mathematics, Philadelphia [4] Ablowitz M J., Clarkson P A (1991), Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering, Cambridge University Press, Cam-bridge [5] Deift P., Trubowitz E (1979), "Inverse scattering on the line", Comm Pure Appl.Math., 32, pp 121 251 [6] Deng S F., Chen D Y., Zhang D J (2003), "The Multisoliton Solutions of the KP Equation with Self-consistent sources", J Phys Soc Jpn 72, pp 2184-2192 [7] Faddeev L D., Takhtajan L A (2007), Hamiltonian Methods in the theory of solitons, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [8] Freeman N C., Nimmo J J C (1983), "Soliton solitons of the KdV and KP equations: the Wronskian technique", Proc R Soc Lond., A 389, pp 319-329 [9] Fokas A S (2008), A Unified Approach to Boundary Value Problems, Studies in Applied Mathematics, Philadelphia 135 [10] Gardner C S., Greene J M., Kruskal M D., Miura R M (1967), "Method for solving the Korteweg-de Vries equation", Phys Rev Lett., 19, pp 1905-1907 [11] Gardner C S., Greene J M., Kruskal M D., Miura R M (1974), "Korteweg-de Vries Equation and Generalizations VI Methods for Exact Solution", Comm on Pure and App Math., 27, pp 97-133 [12] Gesztesy F., Holden H (2003), Soliton equations and their Algebrogeometric solutions - Volume I, Cambridge Univ Press, Cambridge [13] Gerdjikov V S., Vilasi G., Yanovski A B (2008), Intagrable Hamilto-nian Hierarchies - Spectral and Geometric Methods, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [14] Habibullin I T (1999), "KdV equation on a half-line with zero bound-ary conditions" Theor Math Phys., 119(3), pp 397-404 [15] Habibullin I T., Vil’danov A N (2002), "The KdV equation on a half-line", preprint (online: solv-int/9910002) [16] Habibullin I T (2002), "Innitial boundary value problem for the KdV equation on a half-line with homogeneous boundary conditions", Theor Math Phys., 130(1), pp 31-53 [17] Habibullin I T (2002), "Integrable innitial boundary problems", Math Phys Anal Geom., 9(2), pp 261-267 [18] Hirota R (1971), "Exact solution of the Korteweg-deVries equation for multiple collisions of solitons", Phys Rev Lett., 27, pp 1192-1194 [19] Hirota R (2004), Direct method in soliton theory (In English), (Edited and Translated by A Nagai, J Nimmo and C Gilson, Cambridge Univ Press, Cambridge [20] Konopelchenko B G (1992), Introduction to multidimensional inte-grable equations: The inverse spectral transform in + dimensions, Plenum Press, New York [21] Lax P D (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves", Comm Pure Appl Math., 21, pp 467 490 136 [22] Levitan B (1987), Inverse Sturm-Liouville problems, VNU Press, Utrecht [23] Li C X., Ma W X., Liu X J., Zeng Y B (2007), "Wronskian solutions of the Boussinesq equation - solitons, negatons, positons and complexitons", Inverse problems, 23, pp 279-296 [24] Lyantse V (1967), "An analog of the inverse problem of scattering theory for a nonselfadjoint operator", Mat Sbornik, 72(4), pp 485-503 [25] Ma W X (2004), "Wronskians, generalized Wronskians and solutions to the Korteweg-de Vries equation", Chao, Soliton and Fractals, 19, pp 163-170 [26] Ma W X (2005), "Complexiton solutions of integrable equations", Nonlinear Analysis, 63, pp e2461-e2471 [27] Ma W X., You Y C (2005), "Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form: Wronskian solutions", Tran Amer Math Soc., 357, pp 1753-1778 [28] Ma W X (2008), "An application of the Casoratian technique to the 2D Toda lattice equation", Modern Physics Letters B, 25, pp 1815-1825 [29] Ma W X (2009), " Wronskian solution to integrable equations", Discrete and continuous Dynamical systems, Supplement, pp 506-515 [30] Marchenko V A (1972), Spectral Theory of the Sturm-Liouville oper-ators (in Russian), Naukova, Dumka, Kiev [31] Marchenko V.A (1977), Sturm-Liouville operators and their applica-tions, Nauka, Moscow [32] Miura R M (1968), "Korteweg-deVries Equation and Generalizations I A remarkable Explicit Nonlinear Transformation", J Math Phys., 9, pp 1202-1204 [33] Nimmo J J C., Freeman N C (1984), "The use of Backlund transfor-mations in obtaining N-soliton solutions in Wronskian form", J Phys A: Math Gen., 17, pp 1415-1424 137 [34] Nimmo J J C (1983), "A method of obtaining the N- soliton solution of the Boussinesq equation in terms of Wronskian , Phys Lett., 95, pp 4-6 [35] Nimmo J.J.C (1983), "A bilinear Backlund transformation for the nonlinear Schrodinger equation", Phys Lett., 99, pp 279-280 [36] Ning T K., Zhang D J., Chen D Y., Deng S F (2005), "Exact solutions and conservation laws for a nonisospectral sine-Gordon equa-tion", Chaos, Solitons and Fractals, 25, pp 611-620 [37] Nizhnik L P., Vu P L (1974), "Inverse scattering problem on a semi-axis with nonselfadjoint potential matrix" Ukr mat Zhurnal, 26(4), pp 469-486 [38] Rogers C., Schief W K (2002), Backlund and Darboux Transforma-tions, Cambridge Univ Press, Cambridge [39] Tabor M (1988), "Chaos and integrability in nonlinear dynamics: an introduction", John Wiley & Sons, New York [40] Vu P L (1994), "Cauchy for a system of nonlinear equations and for the nonlinear Schrodinger equation", J Inverse Scattering, 10, pp 415-429 [41] Vu P L (1997), "Explicit Complex-Valued Solutions of the Korteweg-deVries Equation on the Half-Line and on the WholeLine", Acta Ap-plicandae Mathematicae, 49, pp 107-149 [42] Zabusky N J., Kruskal M D (1965), "Interactions of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states", Physical Review Letters, 15, pp 240 243 [43] Zakharov V E., Shabat A B (1971), "Exact theory of twodimensional self-focusing and one-dimensional modulation of waves in nonlinear media", Zhurn Eksp Teor Fiz., 61, pp 118134 (English transl., (1972), Sov Phys JETP, 34, pp 62-69) [44] Zakharov V E., Shabat A B (1974), "A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the in-verse scattering problem I", Funk Anal Pril., 8(3), pp 43-53 (English transl., (1975) Func Anal Appl., 8, pp 226-235) 138 [45] Zakharov V E., Shabat A B (1979), "A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem II", Funk Anal Pril., 13(3), pp 13-22 (English transl., (1980), Func Anal Appl., 13, pp 166-174) [46] Zakharov V E., Manakov S V., Novikov S P., Pitaievski I P (1980), Theory of Solitons The Inverse Scattering Method (in Russian) Nauka, Moscow (English transl., (1984), Plenum, New York) [47] Zhang D J (2002), "The N-soliton solutions for the Modified KdV Equation with Self-Consistent" J Phys Soc Jpn., 71, pp 2649-2656 [48] Zhang D J., Chen D Y (2002), "The N-soliton solutions of the sine-Gordon equation with self-consistent sources", Physica A, 321, pp 467-481 [49] Zhang D J (2003), "The N-soliton solutions of some soliton equations with self-consistent sources", Chaos, Solitons and Fractals, 18, pp 31-43 [50] Zhang D J (2006), "Notes on solutions in Wronskian form to soliton equation: KdV-type", preprint (online: arXiv:nlin SI/0603008) [51] Zhang Y., Deng S.F., Zhang D J., Chen D Y (2004), "The N-soliton for the non-isospectral mKdV equation", Physica A, 339, pp 228-236 139 ... - 2012 Ơ NGMIN HC A I PHƯƠN G M TRÌNH T TRUY N Ư SÓNG PHI NGUYN TUY N N HUY HOÀNG M LU NÁNTI NSĨTO ÁNH C T S L P N G T RÌ N H G T M R I U N Y H N C A P S Ó N G PHI. .. Hà Ti n Ngo n N PGS TS Hồng Qu c Tồn Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã s : LU NÁNTI NSĨTỐNH C N G Ư IH Ư N G D N K H O A H HÀ N I 201 Möc lửc Lới cam oan Lới cÊm ỡn BÊng kỵ hiằu Mð... tữớng minh ca phữỡng trnh Schrodinger phi tuyn (2) Lợp nghiằm n y mổ tÊ sỹ lan truyãn v tữỡng t¡c cıa N sâng soliton ìn v ÷ỉc gåi l nghi»m N-soliton khỉng ph£n x⁄ cıa ph÷ìng tr…nh Schrodinger phi