Toán tử squaring trong nghiên cứu đối đồng điều của đại số steenrod và đồng cấu lannes zarati 62 46 05 01

Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu I Kiến thức chuẩn bị I.1 Đại số Steenrod môđulô I.1.1 I.1.2 I.2 Lý thuyết bất biến đối bất biến I.3 Các toán tử squaring I.3.1 Toán tử squaring cổ điển I.3.2 I.3.3 II Nghiên cứu bước đầu đồng cấu chuyển Singer hạng II.1 Đồng cấu chuyển đại số II.2 II.3 Một hệ sinh A-môđun P5 bậc 11 Các GL5-bất biến II.4 Chứng minh Định lý II.2 II.5 Kết luận Chương II III Toán tử squaring đối ngẫu đại số Dickson Đồng cấu Lannes Zarati III.1 Chuẩn bị III.2 Biểu diễn mức độ dây chuyền toán tử squaring đối ngẫu theo bất biến Dickson III.3 Toán tử squaring đẳng cấu ảnh III.4 Bậc triệt tiêu toán tử squaring III.5 Bậc triệt tiêu toán tử squaring hạng nhỏ ´ III.6 Ưng dụng để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati III.7 Kết luận Chương III Kiến nghị nghiên cứu Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo Bảng số ký hiệu F2 Sn V s BVs GLs := GL(Vs) RP∞ H∗(X) H∗(X) A ∗ Ext (F2, F2) A A Tor (F2, F2) ∗ S π∗ (S ) Mở đầu Phân loại đồng luân ánh xạ liên tục hai mặt cầu (có thể có số chiều khác nhau) tốn trung tâm Tơpơ đại số kể từ năm 1930, H Hopf [70, 71] tìm ánh xạ không tầm thường, ngày mang tên ông: S → S , S → S , S15 → S8 Các ánh xạ Hopf quan hệ mật thiết với cấu trúc đại số trường số thực có phép chia trường số phức, thể quaternion, đại số Cayley Một cơng cụ để nghiên cứu tốn phân loại đồng luân toán tử Steenrod, ký hiệu Sq : H∗(X; F2) → H∗+i(X; F2), với i ≥ 0, tác động tự nhiên đối i đồng điều không gian tôpô X với hệ số F2 Các toán tử Sqi Steenrod [51] xây dựng năm 1947 Đến năm 1952, ông [52] mở rộng kết cho đối đồng điều hệ số Fp với p số nguyên tố lẻ Các toán tử Steenrod cho phép nhận biết khác không gian mà cấu trúc vành đối đồng điều khơng thể nhìn thấy Lược sử việc phát tốn tử tóm tắt sau Bằng cách dùng đồng điều, người ta phân loại đa tạp chiều, compact, liên thông, định hướng Cụ thể, đa tạp đồng phôi với xuyến với g "lỗ" Mg , hay mặt cầu gắn g "quai", với g ≥ Trong thập niên 1940, Pontrjagin viết số báo đưa khẳng định tương tự cho đa tạp chiều, compact, liên thông, định hướng Nhưng sau đó, người ta tìm thấy phản ví dụ cho điều này: tồn đa tạp ba chiều có vành đối đồng điều không đồng phôi với Steenrod phát nguyên nhân kiện có tốn tử Sqi thực việc kết nối phần tử đối đồng điều đa tạp cho theo cách khác Đại số sinh Sqi (i ≥ 0) với phép cộng phép hợp thành tốn tử thơng thường gọi đại số Steenrod (môđulô 2), ký hiệu A Cấu trúc đại số này, sau đó, làm sáng tỏ Adem [4], Cartan [63], Serre [69], Milnor [38] Cụ i thể, đại số Steerod (môđulô 2) đại số tenxơ Sq môđulô quan hệ Adem [4]: SqaSqb = Tác động toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn cơng thức Cartan [63]: Xk k Sq (xy) = i i=0 k−i Sq (x)Sq (y) Trong [69], sở nghiên cứu tốn xác định đối đồng điều mơđulơ không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre đại số Steenrod đại số tất toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hốn với phép treo") phạm trù khơng gian tôpô Trong [38], Milnor thu kết đẹp bất ngờ đại số Steenrod khảo sát đại số Hopf Nói riêng, ơng chứng minh đối ngẫu đại số Steenrod đại số đa thức với phần tử sinh xác định tường minh Adams xây dựng [1] dãy phổ, sau mang tên ông, với trang E2 đối đồng điều đại số Steenrod Ext∗A(F2, F2) hội tụ đến thành phần 2-xoắn nhóm đồng luân ổn định mặt cầu π∗S (S ) Kể từ sau cơng trình đó, việc xác định Ext ∗A(F2, F2) trở thành toán quan trọng hàng đầu lý thuyết đồng luân ổn định Ext ∗A(F2, F2) nghiên cứu tập trung sâu sắc từ năm 1960 (Adams [2], Wang [56], May [36], Tangora [55], Lin [32], Lin-Mahowald [33] nhiều cơng trình khác) Tuy nhiên, nay, cịn đối tượng khó hiểu Bài tốn xác định ExtsA(F2, F2) mở s ≥ s Nhằm nghiên cứu Ext A(F2, F2) thông qua lý thuyết bất biến, Singer xây dựng [48] đồng cấu chuyển +∗ T rs : F2 ⊗ P H∗(BVs) −→ Exts,sA (F2, F2), GLs BVs khơng gian phân loại nhóm 2-abel sơ cấp hạng s, P H∗(BVs) không gian H∗(BVs) gồm tất phần tử bị triệt tiêu tốn tử Steenrod bậc dương Ơng T rs đồng cấu thực chất (không tầm thường) Nói riêng, T rs đẳng cấu với s = 1, T r := ⊕sT rs đồng cấu đại số Năm 1991, Boardman [6] khẳng định thêm giá trị đồng cấu chuyển chứng minh T r3 đẳng cấu Từ đó, đồng cấu chuyển đại số T r kỳ vọng công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đối đồng điều đại số Steenrod Đặc biệt, Singer đưa giả thuyết sau Giả thuyết (W M Singer [48, Giả thuyết 1.1]) Đồng cấu chuyển T rs : F2 ⊗ P H∗(BVs) −→ Ext s,s +∗ A (F2, F2) GLs đơn cấu với s ≥ Đồng cấu T rs xây dựng [48] hồn tồn cơng cụ đại số Tuy nhiên, ánh xạ cảm sinh đồng cấu chuyển hình học trs : π∗((BVs)+) → π∗(S ) trang E2 dãy phổ Adams (xem Kahn-Priddy [30], Mitchell [40], Singer [48]) Đối ngẫu P H∗(BVs) F2 ⊗Ps, Ps đại số đa thức s biến, biến A có bậc Bài tốn xác định sở cho không gian véctơ phân bậc F2 ⊗Ps (hay A xác định hệ sinh tối thiểu Ps xem A-mơđun) nội dung tốn "hit" thu hút nhiều nhà nghiên cứu Tơpơ đại số (Peterson [43], Singer [47, 48], Wood [60], Priddy [45], Kameko [31], Alghamdi-Crabb-Hubbuck [5], N H V Hưng [18]-[22], N H V Hưng-T N Nam [23, 24], Bruner-Hà-Hưng [10], T N Nam [67], N Sum [54]) Liulevicius có lẽ người tồn toán tử i s,s +d A (F2, Sq : Ext s +i,2(s+d) F2) → Ext A (F2, F2) đối đồng điều đại số Steenrod có hầu hết tính chất tốn tử Steenrod tác động đối đồng điều không gian tôpô (xem +d 2(s+d) [35]) Tuy nhiên, điểm khác biệt Sq : Exts,sA (F2, F2) −→ Exts,A (F2, F2) không ánh xạ đồng Ngày nay, gọi tốn tử squaring cổ điển Trong giải toán "hit" với s ≤ 3, Kameko [31] xây dựng toán tử Sq : (F2 miền xác định đồng cấu chuyển dạng tương tự toán tử squaring cổ điển Thật ra, cơng trình nói trên, Kameko khơng ký hiệu tốn tử Sq , ông không nhận mối quan hệ với tốn tử squaring cổ điển Boardman [6] Minami [39] sau tốn tử nói trên, sau gọi toán tử squar8 ing Kameko, giao hoán với toán tử Sq Ext s,s +∗ Ext A (F2, s,s +∗ A (F2, F2) qua đồng cấu chuyển đại số T rs : F2) → F2 ⊗ P H∗(BVs) GLs Nhóm tuyến tính tổng quát GLs tác động qui Vs, đó, H∗(BVs) H∗(BVs) Hơn nữa, tác động A GLs H∗(BVs) giao hốn với Do đó, tác động qui A H∗(BVs) cảm sinh tác động A F2 ⊗ H∗(BVs) Nhận xét F2 ⊗ H∗(BVs) đối ngẫu đại số Dickson [14] gồm GLs GLs ∗ tất phần tử H (BVs) bất biến tác động GLs Trong [18], N H V Hưng phát tồn toán tử, gọi squaring, GL dạng tương tự toán tử squaring cổ điển, tương thích với tốn tử squar-ing Kameko Ơng [21] chứng minh toán tử Sq Exts,sA +∗ (F2, F2) P (F2 ⊗ H∗(BVs)) giao hoán với qua đồng cấu Lannes-Zarati GLs ϕs : Exts,sA +∗ (F2, F2) −→ P (F2 ⊗ H∗(BVs)) GLs Để hiểu ý nghĩa cơng trình N H V Hưng, chúng tơi nói qua vài nét Giả thuyết cổ điển lớp cầu Đồng cấu Lannes - Zarati 0 n n Lấy Q0S thành phần chứa điểm gốc QS = limn Ω S Nhóm đồng luân thành 0 phần Q0S nhóm đồng ln ổn định điểm gốc S Bài tốn tìm ảnh S ∗ S đồng cấu Hurewicz H : π ( năm trước, chưa giải Giả thuyết cổ điển lớp cầu phán đốn khó S liên quan đến toán này: đồng cấu Hurewicz phát phần tử π∗ (S ) có bất biến Hopf bất biến Kervaire (Xem Curtis [13], Snaith-Tornehave [50], Wellington [57].) Đồng cấu Lannes-Zarati, xây dựng [64, 66], phân bậc liên kết ∗ S đồng cấu Hurewicz H : πS ( S hội tụ đến π∗ (S ) (xem Lannes-Zarati [65], Goerss [16]) Mặt khác, dãy phổ Adams hội tụ π∗S(S ), phần tử với bất biến Hopf bất biến Kervaire đại diện chu kỳ vĩnh cửu Ext ,∗ A (F2, F2) Ext ,∗ A (F2, F2); lớp ϕ1 ϕ2 không tầm thường (xem Adams [2], Browder [8], Lannes-Zarati [66]) Từ đó, N H V Hưng đưa dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu sau Giả thuyết (N H V Hưng [18, Giả thuyết 1.2]) Đồng cấu Lannes-Zarati s,s+d (F2, F2) −→ P (F2 ⊗ H∗(BVs))d ϕs : ExtA phần tử có gốc d dương với s > Giả thuyết N H V Hưng chứng minh cho s = 3, [18, 21] Mặt khác, N H V Hưng F P Peterson [26] chứng minh ϕ := ⊕sϕs đồng cấu đại số sở đồng cấu phần tử phân tích có chiều đồng điều lớn Vì vậy, để chứng minh phần lại Giả thuyết 2, ta cần xét ϕs phần tử không phân tích Mối liên hệ ba tốn tử squaring nói với đồng cấu chuyển đại số đồng cấu Lannes-Zarati tóm lược biểu đồ giao hoán sau (F2 ⊗s GL (F2 PH ⊗s ∗ GL N H V Hưng [18] hợp thành j∗ = ϕs P(F2 H∗(BVs)) đồng cấu cảm sinh từ phép đồng Vs, toán ⊗s GL ∗ F2 ⊗s js∗ PH GL với T N Nam [23] chứng minh = với s > Đây câu trả lời khẳng định cho dạng yếu Giả thuyết cổ điển lớp cầu Trong luận án này, nghiên cứu hai vấn đề sau Thứ nhất, bước đầu khảo sát đồng cấu chuyển đại số hạng mối liên hệ với Giả thuyết Singer Như nói trên, T rs đẳng cấu với s = 1, 2, (xem Singer [48], Boardman [6]) T r4 khảo sát hoàn toàn đầy đủ Bruner-Hà-Hưng [10], N H V Hưng [22], L M Hà [17], T N Nam [68], Hưng-Quỳnh [28] Với số chiều đồng điều s ≥ 5, N H V Hưng tồn vơ số bậc mà T rs không đẳng cấu (xem [22, Định lý 1.2]) Điều khác lạ chứng minh Định lý 1.2 [22] chỗ: ta chưa biết bậc T rs khơng tồn cấu hay không đơn cấu Do vậy, Giả thuyết để ngỏ Bàn giả thuyết này, 10 Định lý 1.5 N H V Hưng [22] nói T rs phát phần tử tới hạn, T rs khơng đơn cấu, nữa, T r k không đơn cấu vô hạn bậc với k > s Trong đó, phần tử gọi tới hạn bị triệt tiêu tốn tử squaring cổ điển gốc thỏa mãn điều kiện số học (xem [22, Định nghĩa 5.2]) Chẳng hạn, P (h2) phần tử tới hạn có bậc đồng điều nhỏ Hơn nữa, tích P (h2) với phần tử Adams hn sinh phần tử tới hạn bậc đồng điều lớn (xem [22, Mệnh đề 5.5]) Vì thế, muốn kiểm chứng khả áp dụng Định lý 1.5 [22] cho phần tử P (h2) Câu hỏi đặt liệu phần tử P (h2) có nằm ảnh đồng cấu chuyển hay không Nếu P (h2) ∈ Im(T r5), T r5 khơng đơn cấu, Giả thuyết Singer bị bác bỏ Tuy nhiên, theo quan điểm Định lý 1.5 [22], kết Chương II phần tử P (h2) phần "ủng hộ" Giả thuyết Singer (Xem Định lý 1.) Thứ hai, chúng tơi khảo sát tốn tử squaring Sq đối ngẫu đại số Dickson P (F2 ⊗ H∗(BVs)) với s ≥ Tác động Sq mơđun nói mơ tả GLs tường minh với s ≤ (xem N H V Hưng [18, §5]) Một mặt, chúng tơi nghiên cứu tính "đẳng cấu tận cùng" tốn tử Sq (xem Định lý 2) Hiện tượng tương tự với thuộc tính tốn tử squaring Kameko N H V Hưng phát [22]: Xuất phát từ bậc F2 ⊗ P H∗(BVs) tác động toán tử squaring Kameko Sq GLs liên tiếp (s − 2) lần, ta rơi vào miền mà Sq trở thành đẳng cấu Tính "đẳng cấu tận cùng" tốn tử squaring P (F2 ⊗ H∗(BVs)) cho số GLs thông tin không gian (xem Hệ III.3.2) Lưu ý P (F2 ⊗ H∗(BVs)) xác GLs định hoàn toàn với s ≤ 5, chưa biết với s > Mặt khác, xác định số điều kiện bậc P (F2 ⊗ H∗(BVs)) Sq triệt tiêu Các kết GLs theo hướng ứng dụng hiệu vào việc nghiên cứu dạng đại số Giả thuyết cổ điển lớp cầu (xem Hệ 5, Mệnh đề 6, Mệnh đề 7) Luận án chia làm chương Trong Chương I, chúng tơi trình bày kiến thức dùng phần luận án, bao gồm đại số Steenrod, lý thuyết bất biến đối bất biến, toán tử squaring Các kết luận án trình bày Chương II Chương III Trong Chương II, chứng minh khẳng định sau 11 s a0 P h1 P h2 n x D1 H1 Q D x 11 5,77 x 5,80 H 11 r q t y C G D 6 A0 A A” x 6,47 x 6 6,53 t1 x 6,68 70 a0 s C x 6 6,89 G1 x x x x x x x 6,94 6,97 6,99 6,101 6,102 6,107 6,110 P c0 i j k l m B1 B2 Q2 B3 x x x x 7 7,33 7,34 7,40 7,53 m1 71 ϕs(ai) = ∀ i > s a0 từ Stem(a0) + s 7 7 7 7 7 7 7 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x 7,57 7,74 7,79 7,81 7,83 7,84 7,88 7,90 7,92 7,93 7,97 7,101 7,103 7,109 7,110 7,118 7,124 P d0 P e0 N 8 x x 8,32 8,33 G 21 P D3 72 ϕs(ai) = ∀ i > s từ Stem(a0) + s 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 ≤ s ≤ 39 tất + 73 III.7 Kết luận Chương III Các kết Chương III là: • Chứng minh tốn tử squaring đối ngẫu đại số Dickson đẳng cấu tận cùng, cụ thể toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗(BVs)) đẳng GLs cấu ảnh • Chỉ lớp bậc triệt tiêu toán tử squaring Sq P (F2 ⊗ H∗(BVs)) GLs • Đưa số kết mang tính chất khẳng định cho giả thuyết đồng cấu LannesZarati, nói đồng cấu Lannes - Zarati ϕs triệt tiêu phần tử có gốc dương hạng lớn Hệ ϕs triệt tiêu hầu hết phần tử biết đối đồng điều đại số Steenrod liệt kê [9] [34] Các kết Chương III công bố công trình [2, 4] thuộc Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án Kiến nghị nghiên cứu (1) N H V Hưng [19] xây dựng biểu diễn mức độ dây chuyền cho đối ngẫu đồng cấu chuyển theo lý thuyết bất biến Chúng khảo sát đồng cấu chuyển dựa theo biểu diễn mức độ dây chuyền thời gian tới N H V Hưng [20] chứng minh phép bao hàm Ds ⊂ ∧s biểu diễn (2) mức độ dây chuyền đối ngẫu đồng cấu Lannes-Zarati, thiết lập giả thuyết nói phần tử bậc dương Ds TorAs(F2, F2) với s > Chúng dự định nghiên cứu giả thuyết (3) Mở rộng hướng nghiên cứu sang khảo sát toán tử squaring cổ điển Sq đối đồng s điều đại số Steenrod Ext A(F2, F2) Cụ thể hơn, tiếp cận giả thuyết N i−t H V Hưng [22] nói tồn số nguyên dương t phụ thuộc vào s cho (Sq ) t i Im(Sq ) → Im(Sq ) đẳng cấu với i ≥ t : 74 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến luận án [1]Võ T N Quỳnh (2007), "On behavior of the fifth algebraic transfer", in Proceed-ings of the School and Conference in Algebraic Topology, 11, Geom Topol Publ., Conventry, pp 309–326 [2]Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh (2009), "The squaring operation on A-generators of the Dickson algebra", Proc Japan Acad., 85(6), Ser A, pp 67–70 [3]Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh (2009), "The image of Singer’s fourth transfer", C R Acad Sci Paris, Serie I, 347, pp 1415–1418 [4]Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh (2010), "The squaring operation on A-generators of the Dickson algebra", Math Proc Camb Phil Soc., 148, pp 267–288 Các kết luận án báo cáo tại: - Hội nghị tổng kết năm 2004 Khoa Toán - Cơ - Tin học (Trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội, 11/2004, báo cáo 15 phút) - Hội nghị Khoa học kỷ niệm 50 năm thành lập Khoa Toán - Cơ - Tin học (Trường đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội, 10/2006, báo cáo 15 phút) - Hội nghị Đông Á lần thứ Tôpô đại số, Đại học Quốc gia Hàn Quốc, Seoul, Hàn Quốc, 11/2007, báo cáo 25 phút - Hội nghị toàn quốc Đại số - Hình học - Tơpơ, Đại học Vinh, 12/2007 - Xemina Bộ môn Đại số - Hình học - Tơpơ, Trường đại học Khoa học Tự nhiên Hà nội, 10/2007 - Xemina Phịng Hình học - Tơpơ thuộc Viện Tốn học Hà nội, 3/2008 - Hội nghị Đông Á lần thứ ba Tôpô đại số, Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội, 12/2009, báo cáo 40 phút 75 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] J F Adams (1958), "On the structure and applications of the Steenrod algebra", Comment Math Helv 32, pp 180–214 [2] J F Adams (1960), "On the non-existence of elements of Hopf invariant one", Ann of Math 72, pp 20–104 [3] J F Adams (1974), "Operations of the nth kind in K-theory, and what we don’t ∞ know about RP ", in New Developments in Topology, G Segal (ed.), London Math Soc Lect Note Series 11, pp 1–9 [4] J Adem (1952), " The iteration of Steenrod squaries in algebraic topology", Proc Nat Acad Sci USA 38, pp 720–726 [5] M A Alghamdi, M C Crabb, J R Hubbuck (1962), "Representations of the homology of BV and the Steenrod algebra I", London Math Soc Lecture Note Ser., (176) (2), pp 217–234 [6] J M Boardman (1993), "Modular representations on the homology of powers of real projective space", in Algebraic Topology (Oaxtepec 1991), Contemp Math 146, Amer Math Soc., Providence., pp 49–70 [7] A K Bousfield, E B Curtis, D M Kan, D G Quillen, D L Rector, J W Schlesinger (1966), "The mod p lower central series and the Adams spectral sequence", Topology 5, pp 331–342 76 [8] W Browder (1969), "The Kervaire invariant of a framed manifold and its generalization", Ann of Math 90, pp 157–186 [9] R R Bruner (1997), "The cohomology of the mod Steenrod algebra: A computer calculation", WSU Research Report 37, 217 pages [10] R R Bruner, Lê M Hà, Nguyễn H V Hưng (2005), "On behavior of the algebraic transfer", Trans Amer Math Soc 357, pp 473–487 [11] D P Carlisle, R M W Wood (1992), "The boundedness cọnecture for the action of the Steenrod algebra on polynomials", in Adams Memorial Symposium on Algebraic Topology , Lond Math Soc Lect Note Series 176, pp 203–216 [12] M C Crabb, J R Hubbuck (1996), "Representation of the homology of BV and the Steenrod algebra II", Algebraic Topology: New Trends in Localization and Periodicity (Sant Feliu de Guixois, 1994; C Broto et al., eds.), Progr Math., Birkhăauser, 136, pp 143–154 [13] E B Curtis (1975), "The Dyer-Lashof algebra and the lambda algebra", Illinois Jour Math 18, pp 231–246 [14] L E Dickson (1911), "A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem", Trans Amer Math Soc 12, pp 75–98 [15] V Giambalvo, F P Peterson (2001), "A-generators for ideals in the Dickson algebra", J Pure Appl Algebra 158, pp 161–182 [16] P G Goerss (1986), "Unstable projectives and stable Ext : with applications", Proc London Math Soc 53, pp 539–561 [17] Lê M Hà (2007), "Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer", in Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, 11, Geom Topol Publ., Conventry, pp 101–124 [18] Nguyễn H V Hưng (1997), "Spherical classes and the algebraic transfer", Trans Amer Math Soc 349, pp 3893–3910 77 [19] Nguyễn H V Hưng (1999), "The weak conjecture on spherical classes", Math Zeit 231, pp 727–743 [20] Nguyễn H V Hưng (2001), "Spherical classes and the lambda algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 4447–4460 [21] Nguyễn H V Hưng (2003), "On triviality of Dickson invariants in the homology of the Steenrod algebra", Math Proc Camb Phil Soc 134, pp 103–113 [22] Nguyễn H V Hưng (2005), "The cohomology of the Steenrod algebra and represen-tations of the general linear groups", Trans Amer Math Soc 357, pp 4065– 4089 [23] Nguyễn H V Hưng, Trần N Nam (2001), "The hit problem for the Dickson algebra", Trans Amer Math Soc 353, pp 5029–5040 [24] Nguyễn H V Hưng, Trần N Nam (2001), "The hit problem for the modular invariants of linear groups", J Algebra 246(1), pp 367–384 [25] Nguyễn H V Hưng, F P Peterson (1995), "A–generators for the Dickson algebra", Trans Amer Math Soc 347, pp 4687–4728 [26] Nguyễn H V Hưng, F P Peterson (1998), "Spherical classes and the Dickson alge-bra", Math Proc Camb Phil Soc 124, pp 253–264 [27] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh (2009), "The squaring operation on A- generators of the Dickson algebra", Proc Japan Acad., 85(6), Ser A, pp 67–70 [28] Nguyễn H V Hưng, Võ T N Quỳnh (2009), "The image of Singer’s fourth transfer", C R Acad Sci Paris, Serie I, 347, pp 1415–1418 [29] Nguyễn H V Hưng and Võ T N Quỳnh (2010), "The squaring operation on A-generators of the Dickson algebra", Math Proc Camb Phil Soc., 148, pp 267–288 [30] D S Kahn, S B Priddy (1978), "The transfer and stable homotopy theory", Math Proc Cambridge Philos Soc 83(1), pp 103–111 [31] M Kameko (1990), Products of projective spaces as Steenrod modules, Ph D Thesis, Johns Hopkins University 78 [32] W H Lin, "Some differentials in Adams spectral sequence for spheres", Trans Amer Math Soc., to appear [33] W H Lin, M Mahowald (1998), "The Adams spectral sequence for Minami’s theo-rem", Contemp Math 220, pp 143–177 [34] W H Lin (2008), "Ext ,∗ A (F2, F2) and Ext ,∗ A (F2, F2)", Topology and its Applications, Vol 155, pp 459-496 [35] A Liulevicius (1962), The factorization of cyclic reduced powers by secondary coho-mology operations, Mem Amer Math Soc., No 42, Amer Math Soc., Providence [36] J P May (1964), "The cohomology of restricted Lie algebras and of Hopf algebras, application to the Steenrod algebra", Ph D Thesis, Princeton University New Jersey [37] J P May (1970), "A general algebraic approach to Steenrod operations", Lecture Notes in Math Vol 168, Springer-Verlag, pp 153–231 [38] J Milnor (1958), "The Steenrod algebra and its dual", Annals of Math 67, pp 150– 171 [39] N Minami (1999), "The iterated transfer analogue of the new doomsday conjecture", Trans Amer Math Soc 351, pp 2325–2351 [40] S A Mitchell (1985), "Splitting B(Z/p)n and BT n via modular representation the-ory", Math Z 189, pp 1–9 [41] Huỳnh Mùi (1975), "Modular invariant theory and cohomology algebras of symmetric groups", Jour Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math 22, pp 310–369 [42] Huỳnh Mùi (1985), "Homology operations derived from modular coinvariants", Lec-ture Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin and New York, 1172, pp 85–115 [43] F P Peterson (1987), "Generators of H∗(RP ∧RP ) as a module over the Steenrod algebra", Abstracts Amer Math Soc 833-55-89 ∞ ∞ [44] J H Palmieri (1999), "Quillen stratification for the Steenrod algebra", Ann of Math 149, pp 421–449 79 [45] S Priddy (1990), "On characterizing summands in the classifying space of a group" , I, Amer Jour Math 112, pp 737-748 [46] Võ T N Quỳnh (2007), "On behavior of the fifth algebraic transfer", in Proceedings of the School and Conference in Algebraic Topology, 11, Geom Topol Publ., Conventry, pp 309–326 [47] W M Singer (1983), "Invariant theory and the lambda algebra", Trans Amer Math Soc 280, pp 673–693 [48] W M Singer (1989), "The transfer in homological algebra", Math Zeit 202, pp 493–523 [49] W M Singer (1991), "On the action of the Steenrod squares on polynomials algebras", Proc Amer Math Soc 111, pp 577–583 [50] V Snaith, J Tornehave (1982), "On π∗S (BO) and the Arf invariant of framed mani-folds", Amer Math Soc Contemporary Math 12, pp 299–313 [51] N E Steenrod (1947), " Products of cocycles and extensions of mappings", Ann of Math., No.48, pp 290–320 [52] N E Steenrod (1952), " Reduced powers of cohomology classes", Ann of Math., No.56, pp 47–67 [53] N E Steenrod, D B A Epstein (1962), Cohomology Operations, Ann of Math Stud., No 50, Princeton University Press, New Jersey [54] N Sum, The hit problem for the polynomial algebra of four variables, Preprint (2007), 240 pages [55] M C Tangora (1970), "On the cohomology of the Steenrod algebra", Math Zeit 116, pp 18–64 [56] J S P Wang (1967), "On the cohomology of the mod-2 Steenrod algebra and the non-existence of elements of Hopf invariant one", Illinois J Math 11, pp 480–490 80 [57] R J Wellington (1982), "The unstable Adams spectral sequence of free iterated loop spaces", Memoirs Amer Math Soc., No 258 [58] G Whitehead (1942), "On the homotopy groups of spheres and rotation groups", Ann of Math., 43, 634–640 [59] C Wilkerson (1977), "Classifying spaces, Steenrod operations and algebraic closure", Topology 16, pp 227–237 [60] R M W Wood (1989), "Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjec-ture", Math Proc Cambridge Phil Soc 105, pp 307–309 [61] A Zacharious (1967), "A subalgebra of Ext∗A (F2, F2)", Bull Amer Math ,∗ Soc., 73, pp 647–648 [62] A Zacharious (1973/74), "A polynomial subalgebra of the cohomology of the Steenrod algebra", Publ Res Inst Math Sci., 9, pp 157–164 Tiếng Pháp [63] H Cartan (1950), "Une théories axiomatique des carrés de Steenrod ", C R Acad Sci Paris Sér I Math 230, pp 425-427 [64] J Lannes, S Zarati (1983), "Foncteurs dérivés de la déstabilisation", C R Acad Sci Paris Sér I Math., 296(14), pp 573–576 [65] J Lannes, S Zarati (1983), "Invariants de Hopf d’ordre supérieur et suite spectrale d’Adams", C R Acad Sci Paris Sér I Math 296(15), pp 695–698 [66] J Lannes, S Zarati (1987), "Sur les foncteurs dérivés de la déstabilisation", Math Zeit 194, pp 25–59 [67] Trần N Nam (2004), "A-générateurs génériques pour l’algèbre polynomiale", Ad-vances in Mathematics 186(2), pp 334–362 [68] Trần N Nam (2008), "Transfert algébrique et représentation modulaire du groupe linéare", Ann Inst Fourier Grenoble 58(5), pp 1785–1837 81 [69] J P Serre (1953), "Cohomologie des complexes d’Eilenberg-MacLane", Comment Math Helv 27, pp 198-232 Ting c ă [70] H Hopf (1931), " Uber die Abbildungen der dreidimensionalen Sphăare auf die Kugelflăache", Math Ann 104, pp 637665 ă [71] H Hopf (1935), " Uber die Abbildungen von Sphăare auf Sphăare niedrigerer Dimension", Fundam Math 25, pp 427–440 82 ... "giao hoán với phép treo") Đại số toán tử đối đồng điều ổn định gọi đại số Steenrod (môđulô 2) thường ký hiệu A Đại số Steenrod A định nghĩa theo cách túy đại số đại số phân bậc kết hợp i sinh... Các toán tử squaring Mục nhằm nhắc lại định nghĩa số tính chất tốn tử squaring: tốn tử squaring cổ điển (Liulevicius [35]), toán tử squaring Kameko (Kameko [31]), toán tử squaring đối ngẫu đại số. .. Serre đại số Steenrod đại số tất toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") phạm trù không gian tôpô Trong [38], Milnor thu kết đẹp bất ngờ đại số Steenrod khảo sát đại số