Bài báo đề xuất những cách thức tập luyện cho học sinh khá giỏi năng lực dự đoán trong chứng minh bất đẳng thức (BĐT), nhất là dự đoán cách tìm lời giải một bài toán chứng minh BĐT, tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức.
JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Educational Sci., 2014, Vol 59, No 2, pp 57-62 This paper is available online at http://stdb.hnue.edu.vn TẬP LUYỆN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI NĂNG LỰC DỰ ĐOÁN TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nguyễn Dương Thịnh Trường THPT B Duy Tiên, Hà Nam Tóm tắt Tập luyện cho học sinh lực dự đoán dạy học mơn Tốn việc làm cần thiết, khơng góp phần kích thích tìm tịi, ham hiểu biết học sinh mà giúp cho học sinh rèn luyện quy tắc có tính chất tìm đốn cách hợp lí tránh mày mị khơng có định hướng, để tìm đến cách giải ngắn gọn, cô đọng Bài báo đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh giỏi lực dự đoán chứng minh bất đẳng thức (BĐT), dự đốn cách tìm lời giải tốn chứng minh BĐT, tìm giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức Từ khóa: Mở đầu Nhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung BĐT trường trung học phổ thông (THPT), việc trang bị cho học sinh kiến thức BĐT như: BĐT trị tuyệt đối, BĐT Cauchy, BĐT Bunhiacopxki cần cho học sinh tập luyện dự đốn cách tìm lời giải tốn BĐT, tìm GTLN GTNN biểu thức Qua thực tế giảng dạy nhận thấy việc làm chưa diễn thường xuyên, hầu hết giáo viên dừng lại việc định hướng sẵn cách nghĩ, cách làm cho học sinh, gặp toán chứng minh BĐT học sinh thường có nhiều lúng túng, khơng biết giải nào? Để khắc phục tồn chúng tơi thấy cần phải tập luyện cho học sinh lực dự đốn cách tìm lời giải tốn chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN biểu thức Trong báo này, đề xuất cách thức tập luyện cho học sinh lực dự đốn cách tìm lời giải tốn chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN biểu thức Nội dung nghiên cứu Theo tác giả G.Polya “Dự đoán phán đoán dựa sở quan sát tiến hành từ trước phù hợp chúng quy luật giả định để đưa kết quan sát ” [3; 58] Ngày nhận bài: 06/06/2013 Ngày nhận đăng: 15/12/2013 Liên hệ: Nguyễn Dương Thịnh, e-mail: thinht84maths@gmail.com 57 Nguyễn Dương Thịnh Trong trình tìm lời giải tốn, dự đốn khơng giúp ta hiểu tốn mà cịn tránh cách giải mày mị, mù qng Trước tốn khó khơng vội vào tính tốn, chứng minh mà biết vào kiện mục tiêu cần giải để có trù liệu, phán đốn Nó thuộc loại vấn đề gì? Đại thể nên đâu? Giả thiết cho biết gì? Có điều đặc biệt tốn cho? Sau bắt tay vào tính tốn, chứng minh Khi đạt kết kết hợp với mục tiêu dự đoán, cảm nhận cách giải đạt kết Nếu thấy tiếp tục phương pháp đó, cảm nhận thấy khơng phải quay lại điều kiện ban đầu để dự đốn, tìm cách giải khác, điều chỉnh giải toán Để hiểu rõ cách thức dự đốn tìm lời giải chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN biểu thức, xét ví dụ sau: Ví dụ Cho hai số thực dương x y: x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =x+ 1 +y+ x y Bài giải Ta có 1 1 + y + = 4x + + 4y + − (x + y) x y x y Do x; y > nên áp dụng BĐT Cauchy ta có: √ 1 4x + ≥ 4x ⇒ 4x + ≥ x x x Tương tự: 4y + ≥ y Mà theo giả thiết ta có: x + y ≤ ⇒ −3 (x + y) ≥ −3 P =x+ Do đó: 1 +y+ x y 1 = 4x + + 4y + − (x + y) x y ≥4+4−3 P =x+ Suy ra: P ≥ Vậy GTNN P Dấu “ =” xảy khi: x; y > x+y =1 1 ⇒x=y= 4x = x 4y = y 58 Tập luyện cho học sinh giỏi lực dự đoán chứng minh bất đẳng thức - Phân tích: Đối với học sinh giỏi việc tìm lời giải toán hiểu lời giải toán khơng q khó khăn Tuy nhiên, hầu hết học sinh việc tìm lời giải tốn cơng việc khó khăn, học sinh khơng hiểu biểu thức: P =x+ 1 +y+ x y lại phân tích thành: P = 4x + 1 + 4y + − (x + y) x y để học sinh tự làm thường dẫn đến sai lầm giải toán cách áp dụng BĐT Cauchy Do giáo viên tập luyện cho học sinh dự đoán cách thức tìm lời giải tốn sau: + Nhận thấy biểu thức đạt GTLN GTNN tồn giá trị biến để dấu “=” xảy + Đối với tốn ta thấy P biểu thức đối xứng biến x, y dấu “ =” xảy từ giả thiết tốn ta có x + y = 1, GTNN biểu thức đạt x = y = Khi để sử dụng BĐT Cauchy xác phải tìm biểu thức phù hợp để x, y Từ hướng cho học sinh biến đổi theo hướng sau: 1 +y+ x y 1 = 4x + + 4y + − (x + y) x y P =x+ Tương tự trên, ta xét ví dụ sau: Ví dụ Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ Chứng minh rằng: √ √ √ 1 2 x + + y + + z + ≥ 82 (2.1) x y z (Trích đề thi Tuyển sinh Đại học, Khối A năm 2003) - Phân tích: Tương tự Ví dụ 1, ta dự đốn dấu “=” xảy BĐT khi: x=y=z= Khi cách biến đổi biểu thức sử dụng BĐT Cauchy - Schwart ta có cách chứng minh sau: 59 Nguyễn Dương Thịnh Ta có: √ ( ) ( )2 ( ) 1 9 2 (1 + 81) x + ≥ x + ⇒ x + ≥√ x+ x x x x 82 Tương tự ta có: √ ) ( 1 y2 + ≥ √ y+ y y 82 √ 1 z2 + ≥ √ z 82 ) ( z+ z Vậy BĐT cần chứng minh quy chứng minh BĐT: x+ 9 + y + + z + ≥ 82 x y z Tới ta ý áp dụng BĐT Cauchy dấu “ =” xảy phải x = y = z = Do ta tách vế trái sau: 9 +y+ +z+ x y z ( ) 1 80 1 =x+ +y+ +z+ + + + 9x 9y 9z x y z VT =x+ Theo BĐT Cauchy ta có: x+ ≥ ; 9x y+ ≥ ; 9y z+ 1 80 VT =x+ +y+ +z+ + 9x 9y 9z ( ) 80 ≥2+ x+y+z ≥ 82 (vì x + y + z ≤ 1) ≥ 9z ( 1 + + x y z ) Vậy tìm cách chứng minh bất BĐT đẳng thức Ví dụ Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: b2 c2 a+b+c a2 + + ≥ b+c c+a a+b - Phân tích: + Ta thấy toán BĐT toán đối xứng biến a, b, c, dấu “ =” xảy a = b = c 60 Tập luyện cho học sinh giỏi lực dự đoán chứng minh bất đẳng thức + Mặt khác vế trái biểu thức có mẫu biến a, b, c, vế phải biểu thức có mẫu số Do trình áp dụng BĐT quen thuộc ta phải làm biến mẫu bên vế trái Với cách phân tích đến dự đốn toán chứng minh BĐT sau: a2 + Đối với số hạng vế trái, a = b = c thì: b+c a2 a = ⇒ b + c = 2a b+c Do để làm biến mẫu số hạng ta cần thêm biểu thức thỏa mãn: có a tử a + b mẫu số cho xảy dấu “ =” phân số có giá trị b+c Như vậy, để giải ta phải đưa vào số hạng để có: √ b+c a a2 b + c + ≥2 =a b+c b+c Tương tự: √ b2 c + a b c+a + ≥2 =b c+a c+a √ c2 c2 b + a b+a + ≥2 =c b+a b+a Cộng vế với vế BĐT ta có kết toán Dấu xảy nào? Ví dụ Cho a, b số dương thỏa mãn a + b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = ab + ab Sai lầm thường gặp: √ 1 S = ab + ≥ ab = ab ab Vậy S = - Nguyên nhân sai lầm: Ta có: =1 S = ⇔ ab = ab √ 1 a+b ≤ ⇒1≤ (Vơ lí) ⇒ = ab ≤ 2 61 Nguyễn Dương Thịnh - Phân tích: Thứ nhất, coi S biểu thức đối xứng biến a b Do dấu “ =” xảy a = b Thứ hai, dấu “ =” xảy biểu thức điều kiện a + b ≤ xảy dấu “ =” nghĩa a + b = ⇒ a = b = Do q trình áp dụng bất đẳn BĐT quen thức quen thuộc phải ý tới điều kiện xảy dấu “ =” Từ ta phân tích: ab 15 = ab + + √ 16ab 16ab 15 17 ≥ ab + ( )2 ≥ 16ab a+b 16 S = ab + Kết luận Qua thực tế giảng dạy, nhận thấy việc rèn luyện lực dự đốn tìm lời giải cho toán chứng minh BĐT việc làm cần thiết góp phần kích thích tính tị mị, ham hiểu biết học sinh, làm cho học sinh có hứng thú học toán hiểu sâu toán Theo tác giả G.Polya “Một phát minh khoa học lớn cho phép giải vấn đề lớn, việc tìm lời giải cho tốn có nhiều phát minh” [1; 4] Do thật hữu ích giáo viên thường xuyên tập luyện cho học sinh lực dự đoán tìm lời giải cho tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] [2] [3] [4] [5] [6] G Pôlya, 2009 Giải toán nào? Nxb Giáo dục Việt Nam G Pơlya, 2010 Sáng tạo tốn học Nxb Giáo dục Việt Nam G Pơlya, 2010 Tốn học suy luận có lí Nxb Giáo dục Việt Nam Nguyễn Bá Kim, 2004 Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb ĐHSP Nguyễn Văn Mậu, 2006 Bất đẳng thức, định lí áp dụng Nxb Giáo dục Việt Nam Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn, 2006 Sai lầm thường gặp sáng tạo giả toán Nxb ĐHQG Hà Nội ABSTRACT Teaching students to be able to accurately predict the proof of a mathematical inequality Teaching students to be able to predict mathematical inequality proofs is necessary in the teaching of high school mathematics This article proposes ways to teach students to be able to predict solutions to problems such as mathematics inequality proofs and finding the maximum and minimum mathematical expressions 62 ... y 58 Tập luyện cho học sinh giỏi lực dự đoán chứng minh bất đẳng thức - Phân tích: Đối với học sinh giỏi việc tìm lời giải tốn hiểu lời giải tốn khơng q khó khăn Tuy nhiên, hầu hết học sinh việc... b, c, dấu “ =” xảy a = b = c 60 Tập luyện cho học sinh giỏi lực dự đoán chứng minh bất đẳng thức + Mặt khác vế trái biểu thức có mẫu biến a, b, c, vế phải biểu thức có mẫu số Do trình áp dụng... phát minh khoa học lớn cho phép giải vấn đề lớn, việc tìm lời giải cho tốn có nhiều phát minh? ?? [1; 4] Do thật hữu ích giáo viên thường xuyên tập luyện cho học sinh lực dự đốn tìm lời giải cho