Chinh phục olympic toán dãy số HSG

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài u  11 Cho dãy số  un  xác định :  Xác định số hạng tổng quát un 1  10un   9n, n  N dãy cho Hướng dẫn giải Ta có: u1  11  10  u2  10.11    102  100  u3  10.102   9.2  1003  1000  Dự đoán: un  10n  n 1 Chứng minh theo quy nạp ta có u1  11  101  , công thức 1 với n  Giả sử công thức 1 với n  k ta có uk  10k  k Ta có: uk   10 10k  k    9k  10k 1   k  1 Công thức 1 với n  k  Vậy un  10n  n , n  N Bài u1  2 Cho dãy số (un ) biết  Xác định số hạng tổng quát dãy un  3un 1  1, n  Hướng dẫn giải un  3un 1   un  Đặt  un  1  3un 1   un   3(un 1  )(1) 2 2 1 5  v1  u1   2 (1)   3vn 1 , n  Dãy (vn ) cấp số nhân với công bội q  Nên  v1.q n 1  Do un   Bài 5 n 1 5 n 1   , n  1, 2, 2 3 n4  Cho dãy số  un  xác định u1  1; u n 1   un   , n  2 n  3n   tổng quát u n dãy số theo n HƯỚNG DẪN GIẢI * Tìm cơng thức số hạng Với n  2un 1  3(un   2(un 1  * , ta có n4 )  2un 1  3(un   ) (n  1)(n  2) n  n 1 3 3 )  3(un  )  un 1   (un  ) n2 n 1 n2 n 1 Dãy số (vn ),  un  3    2 Bài n 1 3 cấp số nhân có cơng bội q  v1   n 1 2  1    , n   2 * 13  un     n 1   n 1 , n  * Cho hàm số f : Z   Z  thỏa mãn đồng thời điều kiện: (1) f  n  1  f  n  , n  Z  (2) f  f  n    n  2000 , n  Z  a/Chứng minh: f  n  1  f  n  , n  Z  b/Tìm biểu thức f  n  HƯỚNG DẪN GIẢI Câu a Vì f  n   Z  nên từ giả thiết (1) ta được: f  n  1  f  n   , n  Z  Kết hợp giả thiết (2) ta n  Z  n  2001   n  1  2000  f  f  n  1   f  f  n     n  2001 đó: f  n  1  f  n   , n  Z  Câu b f  n   f 1  n –1, n  Z   f  f 1  f 1  f 1 –1 , Suyra:  2000  f 1 –1  f 1  1001  f  n   n  1000, n  Z  Thử lại thỏa điều kiện, nên f  n   n  1000, n  Z  Bài a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 b)Cho dãy số  un  u1  16  có  Tìm số hạng tổng qt u n 15  n.un  1 u  14  ,  n   n 1 n 1  Hướng dẫn giải a)Xác định ba số hạng đầu cấp số cộng, biết tổng chúng tổng bình phương chúng 125 Gọi d công sai, số hạng thứ a Khi số hạng đầu csc a  d , a, a  d a  d  a  a  d  Theo giả thiết ta có hệ:  2  a  d   a   a  d   125 3a   2 3a  2d  125 a    d  7 Vậy có cấp số thỏa mãn có số hạng đầu là: -4;3;10 10;3;-4 b)Cho dãy số  un  Ta có: un 1  14  u1  16  có  Tìm số hạng tổng qt u n 15  n.un  1 , n  un 1  14  n 1  15  n.un  1   un 1  14  n  1  15  n.un  1 n 1   n  1 un 1  15nun  14n  (1) Đặt  nun   v1  16  (1) trở thành: 1  15vn  14n   1   n  1  15   n  (2) Đặt w n   n   w1  15 (2) trở thành: wn 1  15wn   w n  csn có w1  15, q  15  w n  15n Từ ta có: un  Bài 15n  n n Cho dãy số  un  xác định : u1  1; u2  4; un   7un 1  un  2, n  * Chứng minh : u n số phương với n nguyên dương Hướng dẫn giải Ta có u1  1; u2  4; u3  25 Đặt un   Khi 18 123 v1  ; v2  ; v3  5 5 un   7un 1  un  2, n  *    7vn 1  , n     2  2    1        2, n  * 5  5  * Ta có :   vn21  (7vn 1  ).vn  vn21  1 (7vn  1 )  vn2  1vn 1  vn2 Suy :   vn21  1vn 1  vn2   v3v1  v22  ; n  * 2  4  2  2  2  Suy :  un     un     un 1     un  2un   un   un     un21  un 1    25  25  5  5  5   un  2un   7un 1    un21  un 1   un  2un  un21  2un 1   (un 1  1) ; n  * 5 Từ hệ thức un  2un  (un 1  1) ; n  * u1 ; u2 số phương suy u n số phương với n nguyên dương Bài Cho dãy số n xn   i 1 an n 1  tăng, an  n  1, 2,3,   Xét dãy số  xn n 1  xác định 1  Chứng minh tồn lim xn n  1ai Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy dãy  xn n 1 tăng ngặt  Trường hợp Nếu   1  1 1          xn   dãy  xn n 1   1 1ai ai 1ai ai 1 a1 bị chặn tồn lim xn n  Trường hợp Nếu    1   1        * *   ai11  1    ai1  ai  1ai   ai 1   1 ai1  ai    1 ** Ta chứng minh (**) 1  Xét hàm số f  x   x Trên đoạn  ; 1  rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số c   ; 1  thoả mãn f '  c   ai1  ai a  a a  a   c 1  i 1 i   ai11  i 1 i đpcm 1  ai 1  ai 1  Từ ta có  xn  Bài   dãy  xn n 1 bị chặn tồn lim xn  n   a1 Cho dãy số  xn  xác định : x4  xn 1  xn  1 n     n  3   n    Tính giới hạn lim n    n  1, với n  xn n4 Hướng dẫn giải Ta có: 1 n     n  3   n     n     n  1  1   n       n  1  3    n    n  1   n      n  1 1      n     12  22  32    n      =  n  1  n   n  1   n   n  1 2m  3  n  n  1 n   Do ta suy : xn 1  xn  Ta chứng minh n  n  1 n    xn  Cn3 * xn  Cn4 Thật với n  , ta có x4   C44 Giả sử với n  ta có : xn  Cn4 Ta có : xn 1  xn  Cn4 theo (*) hay xn 1  xn  Cn3  Cn4  Cn3  Cn4 xn n!  lim  4 n  n n  4! n   ! n lim Bài 1  Cho hàm số f :  0;     0;   thỏa mãn điều kiện f  3x   f  f  x    x với x  2  Chứng minh f  x   x với x  Hướng dẫn giải 1  Ta có: f (3x)  f  f (2 x)   x (1) 2  1 Từ (1) suy f ( x)  f  2 2x  2x   2x f     f ( x)  , x  (2)     2x   2x Khi f ( x)  f  f         3  2x  2x  2x  2x   f    f     x   3    27  Xét dãy (an ) ,  n  1, 2,  xác định sau: a1  2 an 1  an2  3 Ta chứng minh quy nạp theo n với n  * ln có f ( x)  an x với x  (3) Thật vậy, n  theo (2), ta có (3) Giả sử mệnh đề (3) với n  k Khi   2x   2x 2x 2x  2x  2x f ( x)  f  f      a f    a a     k   k k a2   k x  ak 1.x Vậy (3) với n  k  Tiếp theo ta chứng minh lim an  Thật vậy, ta thấy an 1  an  (an  1)(an  2)  , suy dãy (an ) tăng ngặt an  n  * Do đó: Dãy (an ) tăng bị chặn nên hội tụ Đặt lim an  l l  l  với l  , suy l  Vậy 3 lim an  Do từ (3) suy f ( x )  x với x  (đpcm)  Bài 10 Tìm tất hàm số f : thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f  x  y   f  x   f  y  với x, y  f  x   e x  với x  Hướng dẫn giải f  x    f  x   f    f    f    e0   f    f  x    x   f  x   f   x   f  x   f   x    x f  x  f    2 1  x   x f     e  1 2    2x   x f  x    e  1  f  x   f    2    4x   x f     e  1 2    xn  Dùng quy nạp theo n  1, 2, ta CM f  x   2n  e  1     Cố định x0   x0n  ta có f  x0   2n  e  1      x0n  Xét dãy an  2n  e  1 ta có:      x0n   e2 1  lim an  lim  x0   x0 x0  n    Vậy f  x0   x0 x0  Vậy f  x   f   x   x    x    2  3 Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x   Từ (2)  f   x    x  f  x   x ta thấy Vậy   Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx  f  x  f x  x  x   3 Thử lại f  x   x Kết hợp (1) (3) ta f  x   f   x   Từ (2)  f   x    x  f  x   x ta thấy   Kết hợp (2) (4) ta f  x   xx  Thử lại f  x   x 2015   x1  2016  Bài 11 Cho dãy số xác định  Chứng minh dãy số cho có giới hạn  x  x   xn  , n  n    n 1  n hữu hạn Hướng dẫn giải Trước hết, quy nạp, ta dễ dàng có xn  n  dãy số cho dãy tăng Ta có : x2  x1  x12  x1 ; x22 x3  x2   x1  x12  x1 ; xk2 Giả sử xk  kx1 với k  Ta có: xk 1  xk   kx1  x12  (k  1) x1 k Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  Ta xm  m  m  2017 thật có : mx1  m   m 1  x1    m  : 1 m  m  2016 ; 2015  x1 1 2016 Do xm  mx1  m  xn2 x x x 1 1 1  n 1 n  n  n     Ta có với n   xn xn 1 xn xn 1 xn xn 1 n xn 1 n n(n  1) n  n Do n  2018  i 0 n  2018 x2017 1 1         2016  i 2017  i  2016 n  2016 Suy 2016 x2017 1     xn  xn x2017 2016 2016  x2017 Vậy dãy cho tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn u1  1; u2   Bài 12 Cho dãy số (un ) xác định sau  u  u  u  n   n 1 n n 1 a) Xác định số hạng tổng quát u n b) Tính lim un n  Hướng dẫn giải  n2018  1     xn x2018i i   x2017 i    Biến đổi ta được: un 1  un  1  un  un1  với vn1  un 1  un đó: vn1  , n  2 nghĩa dãy v2 , v3 , , cấp số cộng v2  1; q   un  un 1  1  un 1  un     un  u1  v2  v3    v2  u2  u1 n2 n2  1  1  un   1              2    n   lim un  lim        x  x    2  Bài 13 Cho dãy số  un  xác định sau u1  2011; un 1  n  un 1  un  , với n  * , n  Chứng minh dãy số  un  có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Từ cơng thức truy hồi dãy ta           un  1   un 1     1  u        1   u1 n    2      n   n    n  1   n    n  1    Do un   n  1 n  1  n   n 4.2 3.1 2011  n  2011 Từ 2011 lim un  2 2 n 2n  n  1 Bài 14 Cho dãy số  un  xác định  u1   2014, un 1  un4  20132 , n  un3  un  4026 n , n  k 1 u  2013 Đặt   * k Tính lim Hướng dẫn giải Cho dãy số  un  un4  20132 , n  xác định  u1   2014, un 1  un  un  4026 * n , n  k 1 u  2013 Đặt   k * Tính lim  un  2013  un  2013 u  20132  2013  Ta có un 1  2013  n un  un  4026 un  un2  1  4026 Từ quy nạp ta chứng minh un  2013, n  * *  un  2013  un3  2013 un 1  2013   un  2013   un  2013 Từ 1 suy 1 1 1 1      un 1  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un  2013 un 1  2013 n   1 1 Do       1  uk 1  2013  u1  2013 un 1  2013 un 1  2013 k 1  uk  2013 Ta chứng minh lim un    u  2013  0, n  u  4026un  20132 Thật vậy, ta có un1  un  n  3n un  un  4026 un  un  4026 * Suy  un  dãy tăng, ta có 2014  u1  u2  Giả sử ngược lại  un  bị chặn  un  dãy tăng nên lim un  a   a  2014 Khi a a  20132  a  2013  2014 (vô lý) Suy  un  khơng bị chặn trên, lim un   a3  a  4026   Vậy lim  lim 1   1  uk 1  2013  Bài 15 Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  biết  u1   u   673  un   2(n  2) un 1  (n  4n  5n  2)un  n3 n  , n  1 Hướng dẫn giải Vì un   2(n  2) un 1  (n3  4n  5n  2)un nên ta có: n3 (n  3)un   2(n  2) un 1  (n  2)(n  1) un  n3 un   2(n  2)un 1  (n  1) un n2  n3 un   (n  3)un 1  (n  1)un 1  (n  1) un n2 Đặt un  n !vn , n  , n  thu (n  3)vn   (n  3)vn 1  (n  1)vn 1  (n  1)vn  (n  3)(vn   1 )  (n  1)(vn 1  ) Đặt wn   1 , n  , n  thu (n  1) wn  (n  1) wn 1  (n  1)nwn  n(n  1) wn 1 Do (n  1)nwn  n(n  1) wn1  (n  1)(n  2) wn 2   3.2.w2  6(v2  v1 )  2016 Như wn  2016  1  2016    ,n ,n  n(n  1)  n n 1  Từ đó, với n  , n  , ta có  n 1 1  v1  2016     2016 n 1  n 1    4033n  4031 2(n  1) Vậy un  n ! 4033n  4031 , n  , n  2(n  1) 3 n4  Bài 16 Cho dãy số  un  xác định u1  1; u n 1   un   , n  2 n  3n   Tìm cơng thức số hạng tổng quát u n dãy số theo n * Hướng dẫn giải 3 n4  Vì u n 1   un   nên 2 n  3n   n4 1,5n  u n1  3un    n  3n   n  1 n    u n 1  3un   u n 1  1,5 1,5  n2 n 1 1,5 1,5  3un  n2 n 1 1,5   1,5     u n 1     un   n2 2 n 1   Đặt  un  1,5 , ta có: 1  n 1 Lại có: v1  u1  1,5  3 là:    2 n 1 1,5   un     là: n 1   n 1 Từ đẳng thức ta có cơng thức tổng qt dãy   Từ ta có cơng thức tổng quát dãy  un    n  1 2014 n  dA  Vì lim gu 2014  nên suy d  A M t há n Vậ A gu đp gồ Hướng dẫn giải * T g i h xn  n  n  n  1 ọi n  (1) với Thật vậ : n  đú g đú g với n  k  : xk  k  i s  xk 1   k  1  xk  = k  k  1 xk2   k  1 k xk x  k    k  1  k k  k   k  k  1   1   k  1 k     k  1 2  k  k  1   k  1 k   k    k  1 đp k   2   * T g i h  xn  giới hạ NX:  xn  tă g v xn  với Ta có  Vậ ọi n 1    xn xn 1 xn  n n  n  1 1  1   1    x1 xn  n  xn  với 2  xn  ọi n  giới hạ t số gu gs i d ũ g  x   th a mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn x  x  x  n ; n  n  n 1 n2 Cho dãy số  xn  Bài 18  xn  số Bài 19 Cho dãy số n xn   i 1  an  tă g, an  0n  1, 2,3,   Xét dãy số  xn  xá định 1  Chứng minh tồn lim xn n  1ai Hướng dẫn giải Dễ g th  xn  rằ g tă g g t Tr g h p N u   1  1 1         xn     1 1ai ai 1ai ai 1 a1  xn  vậ ị h tr đ tồ lim xn n  Tr g h p N u    1   1        * thật vậ  1ai   ai 1   T *   ai11  1    ai1  ai  1 ai1  ai   1 ** 1  g số f  x   x Tr th H i h ** số th f c  Từ đ t Bài 20 điều đ  ; 1  i ủ đị h í L gră g ai1  ai a  a a  a   c 1  i 1 i   ai11  i 1 i 1  ai 1  ai 1   xn   dãy  xn  ị h  a1 tr đp đ tồ lim xn n  Cho dãy số xá định a0  1; a1  1; an 1  số c   ; 1  th tồ n a1a2 an  n  1, 2,3, Đ t Sn   a n  k 1 ak 1a k  2   Chứng minh tồn lim S n n  tr gđ  x phần nguyên x ) Hướng dẫn giải Ta có a 1 1 1   k 1   ak 1a  k  a a1a2 ak a1a2 ak 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 k 1 2   ak 1  n   1 1 Suy Sn       a1a2 ak 1  a1 a1a2 an 1 k 1  a1a2 ak Chứ g i h lim  a1a2 an 1    n  Ta có : an  n    2 n    n  an 1  an  su r đ h tă g Nh vậ an  an 1    a1  n  a1 lim  a1a2 an 1    , suy lim Sn  Vậ n  n  u1  3, v1   xá đị h h s u un 1  un2  2vn2 v  2u v n n  n 1 Cho dãy số  un  ;   đ Bài 21 Tì giới hạ s u: lim lim u1.u2 un n  n  N  n x  x  Hướng dẫn giải  Ta có: n  N : un 1  2.vn 1  un2  2vn2  2.un  un  2.vn    (1) Áp ụ g t su r : un  2.vn  un 1  2.vn 1 The qu  : un  2.vn  u1  2.v1 ạp t Lập uậ t g tự t : un  2.vn  ũ g Lại T : un  1     1 :  g tự t    3 2  1 2n     2n1   1 2n (2) 2n   2    1 2n      1  2 2 1    8 n n   1  n    1  1 2n n , từ đ su r :       1 t đẳ g thứ s u: 2n   un   n n n n  ữ the đề Suy ra: u1.u2 un  it n n  : 1  2un  un  1 2vn v2 v3 1 1 1   2v1 2v2 2vn 2n v1 2n 1 2n un   2n Nh vậ the đị h í ẹp t su r lim un  lim   H  (3)   :  un D đ t M t há t   2n1 2n 2n   1 u      n 2     t su r :  n n v         n 2    Từ v    n n   1 2n Vậ lim 2n u1.u2 un  lim 2n n  n  n 1 n n  lim 2.lim un lim lim 2n n 1 n 1 n  n  n  n  2  lim 2un lim 2n n n   T  n   1   1   2 : lim   lim u1.u2 un   2 ại t Bài 22 1 n  lim vn1 lim 2n n1 n 1 n  n  2 n n n  n  Cho dãy số  an  xá định  a1  an 1  an  lim  an  n   n  Hướng dẫn giải Áp ụ g t đẳ g thứ AM-GM ta có a2  a1   (do a1  ) a1 Nhậ x t: an  n, n  T g i h hậ x t ằ g ph g pháp qu p Thật vậ Với n  ta có a2  đú g i s ak  k Ta có ak 1  ak  k  k   ak2  k   k  1 ak ak  ak2   k  1 ak  k    ak  1 ak  k   đú g Suy ak 1  k  Nh an  n, n  điều ph i chứng minh) M t há , an 1   n  1  an   an2   n  1 an  n an Áp ụ g t  n n   n  1  an  n   an an  an  n  an  1 (1) an n , n  Chứng minh an   a2   a2  1 a3   a2    a  3 a3  1 a4   a3      an  n  an  1 an 1   n  1  an  Suy  a3  3 a4    an 1   n  1    an1   n  1   a2   a2  1 a3  3 a3  1  an  n  an  1 a2 a3 an  a2   a2  1 a3  1  an  1 a2 a3 an   1  1  an 1   n  1   a2   1   1   1    a2  a3   an  n  1  an1   n  1   a2    1   (2)  i 2  1 T ại a 1  n 1  an 1 an 1 n  1 i 2  i an  n 1 an an 1  an n (do an  n   ) an 1 an a1 a2 an1 a1  an an a3  1  a   a Suy  Từ  an 1   n  1   a2     an 1   n  1   a2   a1 a   a2   (vì an  n ) an n a1 n a1 a   lim  a2    n  n n  n Mà lim D đ lim  an 1   n  1   hay lim  an  n   n  Bài 23 n  Cho tr ớc số thự n  * g  xét dãy số g  xn  th a mãn xn1  Chứng minh dãy  xn  hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải th số f ( x)  x  , x  x Ta có f ( x)   x  1   x 1   1  f ( x )   x  x   ;  2 x x2      1   1 với xn T g i x thi f  x  : ủ h x0 +∞ + f'(x) +∞ +∞ f(x) f(x0) Suy f ( x)  f  x0       1    1  (  1)    1   1  1 D đ xn 1     1   xn1  xn xn 1  Suy xn 1  xn hay  xn  gi K t h p với xn  với Đ t lim xn    Chu ể qu giới hạ t đ Vậ lim xn   Bài 24      ọi n ta suy dãy  xn  hội tụ  (  1)  u1 , u2  (0;1)  Cho dãy số thực  un  th a mãn  Chứng minh dãy (un ) có 43 u  u  u ,  n  n  n  n  5 giới hạn hữu hạn, tìm giới hạ đ  x1  u1 , u2   Xét dãy ( xn ) :   xn 1  xn  xn 5  xn  (0;1) Ta có xn 1  Vậ x3  xn  xn  xn  xn 133 43 xn  xn  n  xn  xn 5  xn  tă g, ị h Chu ể qu giới hạ t đ T g tr hội tụ, lim xn  a (0  a  1) : a  a3  a  a  i h xn  u2 n 1 ; u2 n  * ằ g qu ạp the Ta có x1  u1 ; u2  i s xn  u2 n 1 ; u2 n  Suy xn 1  xn 1     x0  1 Hướng dẫn giải T th   1 43 xn  xn  u23n  u2 n 1  u2 n 1  5 5 43 4 xn  xn  xn31  xn  u23n 1  u2 n  u2 n   5 5 5 Vậ * đú g với Bài 25 ọi g Từ đ su r lim un  gu  x1  2007  xn Cho dãy số thực  xn  xá định bởi:  Chứng minh dãy số ( xn ) có x    n  n   xn2 1  giới hạn tìm giới hạ đ Hướng dẫn giải Dễ ạp xn  g qu xn Ta có: xn 1   xn2  Vậ xn  2007 với Xét f  x    =  1 ọi n x x 1   n  x 1 n ị h  f  x   x  1  f  x  2 x  Ta có: x2 f  x  x  x    ( x  3)  x 1 x2  x  ( x  3x)  2( x  3x)    x  x  1 ( L)   x  x  x  15 a Áp ụ g đị h ý L gr g : n   xn1  a  f ( xn )  f (a)  f '( n ) xn  a  xn  a    0  x1  a  n  2 2 2  15 lim xn  a  Bài 26 u1  e Cho dãy số  un  xá định bởi:  un1  un  2, n  un21 n  u u u 2 n Tìm lim * Hướng dẫn giải Vì u1  e  đ t u1  a  , a a > 1  Ta có u2  u    a     a  a a  Bằ g qu ạp, t thể g i hđ un 1  a  n a2 n , n  D đ Xét  i1 ui    a  2i1  a i 1 i 1  n n 1 1    n  2i1     2n     a  a       a  2i1     a    a  2n    a   a  i 1  a  a   a    1  a   u a  n21   u1 u2 un  2n a    2n 2  a  2n  u 1     a   lim  n 1   a     a     e2  n  u u u a  a   n  2n  a  số  xn  xá đị h ởi B i Ch  x1  a  xn2   x   n 1  x  3 , n  1, 2,3, n  Chứ g i h rằ g số giới hạ hữu hạ Tí h giới hạ đ Hướng dẫn giải Theo Cơsy   x  1 xn    1 16 xn   xn      1; xn1  xn   n 2 xn    xn  3 gi , ị h ởi 1, vậ giới hạ Từ lim xn  a  a   x1   Cho dãy số  xn  , xá định bởi:  Chứng minh dãy số  xn  có 2014  xn 1    x , n  1, 2,3 n  giới hạn hữu hạn tìm giới hạ đ Bài 27 Hướng dẫn giải số f ( x)   t h f '( x)  2014 1  x  Ta có xn 1   M t há , t đ  x2n  2014  0;   T th 1 x f ( x) i tụ v ghị h i  0;   tr (Vì  D đ  f ( x)  2015 2014  f ( xn ) với  xn ọi  dãy  xn  ị h x1  x3  f ( x1 )  f ( x3 )  x2  x4  f ( x2 )  f ( x4 )  x3  x5  Suy dãy  x2 n 1  u tă g v ị h , ò  x2n  giới hạ hữu hạ i s lim x2 n 1  a lim x2 n  b , ( a, b  ) Từ x2 n 1  f ( x2 n )  lim x2 n 1  lim f ( x2 n )  b  f (a ) đ u gi v ị h ,  x2 n1  , x2 n   f ( x2 n 1 )  lim x2 n   lim f ( x2 n 1 )  a  f (b) 2014  b    a h   a  b  2015 a   2014 1 b  Vậ t Vậ i xn = Bài 28 2015  x1  2,1  Cho dãy số  xn  đ xá định  với số xn   xn2  xn  * , n  1, 2,  xn 1   n gu g , đ t yn   Tìm lim yn i 1 xi  Hướng dẫn giải t qu s u: với số thự a  T t ì, t a   a  8a  a   a  4a  a    a     a 2 D đ 2,1  x1  x2  Suy dãy  xn  Chu ể qu giới hạ điều i x ph * t tă g, gi s ph ị h tr tứ giới hạ lim xn  L  g trì h x   x2  8x   x    x  3 x   g trì h h g Suy dãy  xn  tă g v Ta có xn1  ghi h hữu hạ g ị h xn   xn2  xn  tr h lim xn    xn1  xn   xn2  xn    xn 1  xn    xn2  xn   xn2    xn  3 xn    x  xn   1 1  2n    xn  xn 1  xn 1  xn 1  xn 1   1   x  xn  xn 1  2 n 1 n Suy yn   i 1 1 1    10  x  x1  xn 1  xn 1  2 i Vậ lim yn  10 Bài 29   x0  a xá định bởi:   n    xn 1  xn  để xn  với số tự nhiên n Dãy số thực  xn  n  củ  đ  Tìm t t c giá trị Hướng dẫn giải xn  với n  i s Từ xn   xn21   có  Lại từ   2 2  xn   1  xn   , n   xn2   có  2 Suy xn  1  xn   1, n  2 xn 1  Từ đ  xn 1  Áp ụ g i 1 1  xn2    xn2   xn  xn   xn  , n  2 2 2 ti p n 2 Mà lim    n   ại với a   Vậ a   Bài 30 t đẳ g thứ này, ta có: n n 1 2 1 2 2 a   x0   x1     x2      xn     , n  2 3 2 3 3 Th ph i a 1 0a  2 1 xn    0, n 2 giá trị u h t ầ tì  x1  2014 Cho dãy số thực (xn xá định bởi:   xn1  xn  6sin xn , n  * Hướng dẫn giải S ụ g th t đẳ g thứ x  x3  sin x  x, x  số f  x   x  6sin x , x  1  cos x  Ta có: f '  x   33  x  6sin x   0, x   f x u đồ g i với ọi x > D đ : f  x   f    x  mà x2  f  x1   x1  2014  Vậ t xn 1  f  xn   0, n  N * xn  6sin xn  xn3 M t há : xn 1  xn  xn  6sin xn  xn   xn  6sin xn   xn xn  6sin xn  xn2 x3 Vì x   sin x  x, x   x  x3 – 6sinx  0, x   xn – sinxn  xn3  xn   xn 1 – xn    xn  gi v ị h ới ởi i s limxn  x( x  0) , t ph tồ giới hạ hữu hạ g trì h: x  x  6sin x  x3  x  6sin x  th số g  x   x3  x  6sin x g '  x   3x –  6cosx g’’  x   x – 6sinx  0x   g’  x   g’    D đ g  x  u g trì h g  x    ph ghi đồ g i v i tụ với ọi x  h t x 0 u Vậ limxn  Bài 31 g  an n0 ,  bn n0 Cho hai dãy số  an 1  an  bn   a xá định bởi: a0  3, b0   n 1 a   b n  n Với n  0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải T g i h ằ g qu ạp an  tan Với n  , ta có a0   tan Với n  , ta có a1  i s T  tan 3.2 n cos  3.2 , bn  3.2n , b0   , n  0,1, 2, (*) Thật vậ  cos  , vậ i h an 1  tan an  tan n  k , k  , tứ  3.2 n 1 , bn 1  cos  3.2n 1  * đú g 3.20    tan  tan , b1   , vậ 3.2 3 cos  3.21 hẳ g đị h đú g đ g    * đú g  , bn  n  3.2 cos n 3.2 Thật vậ Từ 1 ta có      sin n  2sin n 1 cos n 1  sin  cos n 1  an 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 n 1        an 1 cos n cos  sin n 1 3.2 3.2 3.2n 1        sin n 1  cos n 1 tan n 1   sin n 1  cos n 1  3.2 3.2   3.2 3.2  3.2 Khi đ          sin n 1   cos n 1  sin  cos 3.2n 1  sin 3.2n 1  tan 3.2n 1 3.2   3.2 3.2n 1      cos n 1 3.2  a n 1  tan  2 ,  3.2n 1 suy bn21  an21   tan Nh vậ the gu n   3.2 n   3.2 n 1 1  cos n  bn 1   cos 3.2n 1 ạp an  tan ý qu lim an  lim tan D đ từ  3.2 n , bn  cos  tan  0; lim bn  lim n  n  cos  3.2n 1 , n  0,1, 2,  3.2n   1 cos 3.2n K t uậ : lim an  0; lim bn  ■ n  Bài 32 n  u1  2014 Cho dãy số (un ) xá đị h h s u:  Tì 2 un 1  un  (1  2a)un  a ; n  1, 2, a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n   tính giới hạ đ điều ki n Hướng dẫn giải Ta có: un 1  un  (un  a )   un 1  un ; n  1, 2,3, * Su r i số (un ) tă g ; từ đ số (un ) lim un  L ( L  ) , s hu ể n  qu giới hạ hữu hạ giới hạ h thứ hi v hỉ hi hỉ số k  D đ : uk  a với * mà uk  a un  a; n  k trái với t qu *Đ ại: N u a   2014  a  a   u1  a  (u1  a  1)(u1  a )   u12  (1  2a)u1  a  a   u2  a u1  u2  a   u2  a Bằ g qu ạp t lim un  L  a n  ọi k  1, 2, hay un2  (1  2a)un  a  a, n  1, 2,3,  a   u1  a  a   2014  a g i hđ a   un  a, n  1, 2,3, tr un 1  un2  (1  2a)un  a ta có: L  L2  (1  2a) L  a  L  a -N u ị h Nh vậ (un ) tă g Kết luận: Với điều i , ị h tr ới a , a   2014  a đ số (un ) số (un ) giới hạ hữu hạ giới hạ hữu hạ hi n   lim un  a n  u1   Cho dãy số (un ) xá định công thức truy hồi  un 1  un  u  2, n  n  dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạ đ Bài 33 * Chứng minh Hướng dẫn giải Đ t f ( x)  x  1  2; g ( x)  f ( f ( x))  x    2 Khi đ x x x  x  2 2  x    x  1 1  g '( x)     g ( x)  g ( )   f ( f ( x))  x, x  ( ;1) (*) 2  4 x x  2 x   1 1 )  f ( f ( x))  f ( )  , x  ( ;1) (**) 2 2 f ( x)  f ( Từ * v ** su r : n  ằ g đ u gi v ị h tồ     u2 n  f lim u2 n 1   ;1 nên u2 n  f (u2 n 1 )  lim n  n    tụ tr (un ) đ phâ tí h th h h i hội tụ tới ù g ột giới hạ D đ (un ) Bài 34 ới lim u2 n 1  Vì f ( x) i 1  f ( f ( x))  x, x  ( ;1) 2 1   u1  u3  u5  , D đ (u2 n 1 ) 2 Vậ :  u1  u3  Vậ ;1) nên f '( x)  0, x  ( M t há u1  n uk  lim xá định  Tính  n  k 1 uk 1  un 1  un  2014  un  un  , n  Cho dãy số  un  Hướng dẫn giải The gi thi t t : un 1   u1  u2  u3  un  un  1  un mà u1  suy 2014 đ  un  tă g giới hạ  un  i s lim un 1  lim n  ị h su r lim un  L với  L   hi đ tr n  L  un2  2013un L2  2012 L L  2014 2014 L  Vô lý L  Suy dãy  un  h g ị h tr đ 0 n  u n lim un    lim n  Ta có un2  2013un  un  un  1  2014  un 1  un  2014  un    2014    un 1   un  un 1   un 1   1   Sn  2014     lim Sn  2014  u1  un 1   x  x1  2014 Cho dãy số thực  xn  xá định bởi:   xn1  xn  6sin xn , n  Bài 35 * Tính lim xn ? Hướng dẫn giải S ụ g th t đẳ g thứ x  x3  sin x  x, x  số f  x   x  6sin x , x  1  cos x  Ta có: f '  x   33  x  6sin x   0, x   f x u đồ g i với ọi x > D đ : f  x   f    0x  mà x2  f  x1   x1  2014  Vậ t xn 1  f  xn   0, n  N * xn  6sin xn  xn3 M t há : xn 1  xn  xn  6sin xn  xn  Vì x   xn  6sin xn   xn xn  6sin xn  x3  sin x  x, x   x  x3 – 6si x  x   xn – 6si xn  xn3  xn   xn 1 – xn    xn  gi v ị h i s limxn  x( x  0) , t ới ởi ph g trì h: x  x  6sin x  x3  x  6sin x  tồ giới hạ hữu hạ xn2 th số g  x   x3  x  6sin x g '  x   3x –  6cosx g   x   x – 6si x  0," x   g  x   g  0  D đ ghi u Vậ limxn  h t x 0 g  x u đồ g i v i tụ với ọi x   ph g trì h g  x   ... 24 Cho dãy số  un  :  7u  un 1  n , n 2un   * a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức tổng quát dãy số  un  Hướng dẫn giải a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm... cho 2011 ta số dư 152  u1  Bài 22 Cho dãy số  un  :  n  3  2un 1  un   2, (n  * ) a) Chứng minh dãy số  un  dãy số giảm b) Lập công thức số hạng tổng quát dãy số  un  Hướng... 1  1    1  2vn  4  Chứng minh dãy số   cấp số cộng Tìm số hạng tổng quát dãy số  un  Ta có  * hay 1   v1  Suy dãy số   cấp số cộng có v1  cơng sai d  Ta có  v1 