Về một lớp đa thức đối xứng

-„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC „ o0o „ NGUY„N THÀ LU„N V„ MËT LŒP -A THŸC -ÈI XŸNG LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020 -„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC „ o0o „ NGUY„N THÀ LU„N V„ MËT LŒP -A THŸC -ÈI XŸNG Chuy¶n ng nh: Ph˜Ïng phĂp toĂn cĐp M sậ: 46 01 13 LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC NG ÕI H ŒNG D N KHOA HC TS NGặ TH NGOAN ThĂi Nguyản - 2020 i Lèi cÊm ẽn Luên vôn n y ềc thác hiằn tÔi Trèng -Ôi hc Khoa hc -Ôi hc ThĂi Nguyản v ho n th nh dểi sá hểng dăn ca TS Ngấ Th Ngoan TĂc giÊ xin ềc b y t lÃng biát ẽn chƠn th nh v sƠu sc tểi ngèi hểng dăn khoa hc ca mẳnh, ngèi  t vĐn à nghiản cu, d nh thèi gian hểng dăn v tên tẳnh giÊi Ăp nh˙ng thc mc cıa t¡c gi£ suËt qu¡ tr¼nh l m luên vôn TĂc giÊ cng  hc têp ềc rĐt nhiÃu kián thc chuyản ng nh b ẵch cho cấng tĂc v nghiản cu ca bÊn thƠn Tấi xin b y t‰ l·ng c£m Ïn s¥u sc tĨi cĂc thƯy giĂo, cấ giĂo  tham gia giÊng dÔy lĨp Cao hÂc To¡n; Nh tr˜Ìng v c¡c ph·ng ch˘c nông ca Trèng; Khoa ToĂn Tin, trèng -Ôi hc Khoa hc -Ôi hc ThĂi Nguyản  quan tƠm v giÛp Ơ t¡c gi£ st thÌi gian hÂc têp tÔi trèng TĂc giÊ cng xin gi lèi cÊm ẽn tểi têp th lểp Cao hc ToĂn K12B  luấn ẻng viản v gip ễ tĂc giÊ rĐt nhiÃu quĂ trẳnh hc têp v l m luên vôn Ci cÚng, tÊi xin g˚i lÌi c£m Ïn ch¥n th nh tểi gia ẳnh, bÔn b  gip ễ v tÔo iÃu kiằn tật nhĐt cho tấi hc têp v nghiản cu ThĂi Nguyản, thĂng nôm 2020 TĂc giÊ Nguyạn Th Luên ii Mc lc Lèi m Ưu Ch˜Ïng -a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ v sÏ Á Newton 1.1 -a th˘c Ëi x˘ng 1.2 -a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ hai bi¸n 1.3 -a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ ba bi¸n 1.4 Sẽ Newton biu diạn a thc ba bián Ch˜Ïng MỴt lĨp a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ v a th˘c sharp °c bi»t 11 2.1 H a thc fFmg v cĂc tẵnh chĐt 11 2.2 H a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ fSmg 22 T i li»u tham kh£o 31 iii Lèi m Ưu Luên vôn c mc ẵch tẳm hiu và hai b i toĂn tr và a thc thuƯn nhĐt CĂc b i toĂn n y c‚ c¡c lÌi gi£i Ïn gi£n cho a thc mẻt hoc hai bián v tr nản phc tÔp v thÛ v‡ vĨi a th˘c ba ho°c nhi·u bi¸n Ta s tẳm hiu và mẻt h cĂc a thc ậi xng thuƯn nhĐt ba bián nh viằc giÊi quyát nhng b i toĂn trản v trẳnh b y cĂc tẵnh chĐt th v khĂc ca h a thc n y V½ dˆ: C¡c h» sË cıa chÛng l c¡c sậ nguyản c th ềc biu th dểi dÔng tng cıa c¡c h» sË nh‡ th˘c v s h˙u mỴt tẵnh chĐt chia hát Hẽn na, cĂc a thc n y ềc kát nậi ẽn giÊn vểi mẻt têp hềp c¡c a th˘c ˜Ịc sinh nh˜ nh˙ng v½ dˆ sharp nghiản cu và Ănh xÔ a thc riảng gia cĂc hẳnh cƯu khấng gian Euclide phc NhiÃu kát quÊ hay toĂn hc minh cho nguyản l heuristic rơng nhng ậi tềng tha mÂn mẻt sậ iÃu kiằn tr c cĂc tẵnh chĐt rĐt c bi»t ChÛng ta c‚ mỴt v i minh hÂa cÏ bÊn ca nguyản l n y, chng hÔn: Trong sậ tĐt cÊ cĂc hẳnh ch nhêt c cng chu vi, hẳnh c diằn tẵch lển nhĐt l mẻt hẳnh vuấng Mẻt vẵ d tẽng tá, rơng ẻ d i L ca mẻt èng cong kẵn mt phng v diằn tẵch A ca miÃn phng giểi hÔn -èng cong tr m b i L luấn tha mÂn bĐt ng thc A L2 ng thc Ôt ềc l ˜Ìng tr·n -Ëi vĨi b§t k˝ a th˘c p, hÔng ca p, k hiằu l R(p), l sậ ẽn thc phƠn biằt xuĐt hiằn p vểi hằ sậ khĂc khấng -à t i t mc ẵch tẳm hiu hai cƠu hi sau Ơy và a thc thuƯn nhĐt: CƠu hi Trong tĐt cÊ cĂc a thc ậi xng thuƯn nhĐt p bêc m thoÊ mÂn p = sq vểi q l Ưy , hÔng b nhĐt c‚ thº cıa p l g¼? C¡c a th˘c c‚ hÔng b nhĐt n y l cĂc a thc n o? C¡c a th˘c nh˜ vªy l a th˘c Ëi xng tr CƠu hi c liản quan án cƠu hi sau: CƠu hi Trong sậ tĐt cÊ cĂc a thc thuƯn nhĐt p bêc m thoÊ mÂn p = sq vểi q l Ưy , hÔng nh nhĐt ca p c th l bao nhiảu? CĂc a thc c hÔng b nhĐt n y l cĂc a th˘c n o? C¡c a th˘c nh˜ vªy l a thc sharp -ậi vểi a thc mẻt bián, nhng cƠu hi n y khấng th v b i vẳ mÈi a v ‚ n‚ th˘c kh¡c khÊng thu¦n nhĐt bêc m ch l mẻt bẻi ca xm c hÔng bơng -ậi vểi a thc hai bián, cƠu trÊ lèi cng khĂ ẽn giÊn Nẻi dung chẵnh luên vôn i sƠu v o viằc tẳm hiu cƠu trÊ lèi cho cĂc cƠu hi trản ậi vểi a thc thuƯn nhĐt ba bián CĐu trc ca luên vôn gm hai ch˜Ïng Trong Ch˜Ïng ta tr¼nh b y v· a th˘c Ëi x˘ng, a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ hai bi¸n, a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ ba bi¸n v Newton biu diạn a thc ba bián cho ta nhng hẳnh dung trác quan và a thc -Ơy cng l nhng kián thc cƯn thiát phc v cho viằc trẳnh b y cĂc nẻi dung tiáp theo ca luên vôn Chẽng ềc bt Ưu bơng viằc giểi thiằu và mậi quan hằ gia cƠu hi trản v l thuyát h m bián phc T , hẳnh th nh h a thc hai bián nhĐt fm(x; y) vểi nhng tẵnh chĐt th v T , cĂc h fFm(x; y; z)g; fSm(x; y; z)g ˜Ịc h¼nh th nh vĨi mËi quan h» ch°t ch³, cho ta lÌi giÊi ca hai cƠu hi trản trèng hềp c bi»t Ch˜Ïng -a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ v sÏ Á Newton 1.1 -a th˘c Ëi x˘ng Cho n N , trản Nn ta nh nghắa mẻt quan hằ th tá nh sau: vểi hai phƯn t˚ tu˝ ˛ cıa Nn l (a1; : : : ; an), (b1; : : : ; bn) ta n‚i (a1; : : : ; an) (b1; : : : ; bn) v ch¿ ho°c (a1; : : : ; an) = (b1; : : : ; bn) ho°c 9i f1; : : : ; ng cho a1 = b1; : : : ; = bi 1, < bi Quan h» th˘ t¸ nh trản gi l quan hằ th tá t in -Ơy cng l mẻt quan hằ th tá to n phƯn Ta quy ểc viát (a1; : : : ; an) < (b1; : : : ; bn) c‚ ngh¾a l (a1; : : : ; an) (b1; : : : ; bn) v (a1; : : : ; an) 6= (b1; : : : ; bn) -‡nh ngh¾a 1.1.1 Cho A l v nh giao ho¡n c‚ Ïn v‡ v a f(x1; : : : ; xn) A[x1; : : : ; xn], gi£ s˚ m f(x 1; : : : ; x n) = Xi cx i a : : : xn i1 a th˘c A[x1; : : : ; xn]; in =1 vÓi ci A, ci 6= 0, i = 1; : : : ; m, (ai1; : : : ; ain) Nn v mÈi i 6= j ta c‚ (ai1; : : : ; ain) 6= (aj1; : : : ; ajn) Khi ta sp têp cĂc bẻ sậ mÙ f(ai1; : : : ; ain)ji = 1; : : : ; mg theo quan h» th˘ t¸ t¯ in theo chiÃu giÊm dƯn Theo th tá ta viát lÔi a thc f, lc n y ta ni a th˘c f ˜Òc sp theo lËi t¯ iºn, hÔng t ng vểi bẻ sậ m lển nhĐt ềc gi l hÔng t cao nhĐt ca f -‡nh ngh¾a 1.1.2 Cho A l v nh giao ho¡n c‚ Ïn v‡ v f(x1; : : : ; xn) A[x1; : : : ; xn] Ta n‚i f l mẻt a thc ậi xng ca n ân náu f(x1; : : : ; xn) = K m;k = 18 ! k m + k k ! m j vÓi k k 2k: m M»nh · 2.1.9 Vểi kẵ hiằu trản, Bm tha mÂn cĂc cấng th˘c (2.9) v (2.10) Do vªy Bm = Am v ta c‚ fm(x; y) = fm;2(x; y): Ch˘ng minh Ta c‚ B1 = x = A1 v B = x2 + 2y = A 2 M°t kh¡c, vÓi m 1; ta c‚ b m+1 c X xBm+1 + yBm = x(x m+1 k + Km+1;kx m+1 2k k y) =1 bm c Xk m + y(x + Km;kx m 2k k y) =1 b m+1 c m+2 =x Xk m +x y+ Km+1;kx m+2 2k k y =1 bm c m + Km;kx Xk =1 =x – ¥y, m+2 m+2 +x b m+1 c náu m l thẳ B = (Km+1;k + Km;k 1)x m+2 2kyk m P k y(1 + Km+1;1) + B: =2 b2c k m+2 m (K náu m chđn th¼ B = m+2 2k k P =2 m+1;k +K 1)x m;k y + Km; y2 M°t kh¡c, ta lƯn lềt tẵnh cĂc hằ t ca a thc tr¶n ( K m+1;k = = = +K m;k + m k +k m +k m k ! + ! + k k k !+ m k k k !m k + + k m+1 k ! + k != K m+1 k m k m+2;k: ! + ! + k ! m k k m k ! 2k k+1 y 19 ! (+) m = 2n(ch®n): Km; = m2 ! n n n ! m (+) + Km+1;1 = + = m+1 ! + T¯ ‚ ta c‚: m ! m + =K =K + n ! m+2 m+2; : =m+2 m+2;1: b m+2 c Xk xBm+1 + yBm = Km+2;kx m+2 2k k y +x m+2 = Bm+2: =1 T˘c l Bm+2 = xBm+1 + yBm hay Bm = Am vÓi mÂi m: „p dˆng M»nh · 2.1.8 ta suy b m2 c fm(x; y) = x m X m k Nh˜ tr¶n ta ¢ · cªp, a th˘c F m c‚ ˜Ịc a th˘c fm(x; y) rÁi thay z b i Fm(x; y; z) = x m m 2k k ( y) + ( y) =1 Km;kx y = fm;2(x; y): b¬ng cĂch thuƯn nhĐt z b m2 c m ( m X k z) + ( 1) Km;kx m 2k k k y z : k=1 Ta c‚ k¸t qu£ sau ¥y v· Fm M»nh · 2.1.10 Ta c‚ c¡c khng nh sau Ơy: (i) Fm(x; y; z) chia hát cho x + y + z v th˜Ïng l mỴt a thc Ưy (ii) Náu m l, R(Fm) = m + Vẳ vêy F ml a th˘c sharp Ch˘ng minh (i) Ta ch˘ng minh Fm = Qm:(x + y + z) vÓi m minfm Qm = ( 1) X j + =0 j ( 1)j c X =0 1g m k Xk m j=1 b j;j m ! j xm j j ! xm 2jyjzj; k j j k j k zy + yz (2.14) 20 a+b+c=m (a; b; c)x y z (a; b; c) = ( 1) f g max b;c P v ‚ a b c Thªt vªy, ta °t Qm = f b; c a + b; c : g! f g -º ch˘ng minh Fm = Qm:(x + y + z) ta s³ kiºm tra c¡c h» sË cıa hai a thc, ta chng minh chng bơng (+) Dạ kim tra cho nh˙ng h» sË cıa xm; ym; zm: GÂi (A; B; C) l h» sË A B C x y z Qm:(x + y + z) Khi ‚ suy (A;B;C) = (A 1;B;C)+ (A;B 1;C)+ (A;B;C 1): ! Tr˜Ìng hỊp B > C : ! B +( 1)B (A; B; C) = ( 1) C A C 1+C A+C + ( 1)B =( 1) " B C A ! + 1+C A 1+C B1 =( 1) B C B1 +( 1) A+C C ! ! C +( 1) ! 11 A+C !# C C ! A+C =0: A+C Tr˜Ìng hỊp B < C; ch˘ng minh t˜Ïng t¸ ta c‚ (A; B; C) = 0: Tr˜Ìng hÒp B = C; ta c‚ (A; B; C) l h» sË cıa xm 2ByBzB a th˘c Qm:(x + y + z): VÓi l˜u ˛ A + 2B = m v A + B = m (A;B;C) = (A =( 1) B 1;B;B)+ (A;B 1;B)+ (A;B;B B B ! +( 1) B ! A 1+B A+B + ( ! 1)B ! B ta c‚ 1) +( 1)B = ( 1)B B B A+B = ( 1) Km;B: B A+B ! A+B B 1 21 (ii) R„ r ng m l´, th¼ a th˘c b m2 c m Xk m m 2k k fm(x; y) = x + y + Km;kx y =1 m c hÔng m+3 R(fm) = + b c = : -a th˘c Fm(x; y; z) nhªn ˜Ịc bơng cĂch thuƯn nhĐt a thc fm(x; y) m+5 1, vẳ vêy R(Fm) = Theo Hằ quÊ 2.1.6, Fm l a thc sharp Nh vêy, án Ơy ta  trÊ lèi ềc CƠu hi trèng hÒp m l´ t˘c l sË c¡c a th˘c thuƯn nhĐt p bêc m l thoÊ mÂn p = sq vểi q l Ưy , hÔng nh nhĐt ca p c‚ thº l m + MỴt lĨp a thc n y c dÔng l bm c m m Xk m k Fm(x; y; z) = x + y + z + ( (2.15) m 2k k k 1) Km;kx yz: =1 BÍ · 2.1.11 Ta c‚ (x + y) m m m ch¿ n¸u m l x + y mod m náu v nguyản tậ Ch˘ng minh (+) Gi£ s˚ m = p l sË nguy¶n tË, ta c‚ p p ! p x (x + y) = x + ! C¡c h» sË nh‡ th˘c i p ! p p xy y+ + p +y : p ·u chia h¸t cho p, vĨi i p 1: Do vªy p (x + y) p p p x + y mod p: (+) B¥y giÌ ta gi£ s˚ (x + y)m xm + ym mod m T¯ khai triºn nh‡ th˘c Newton cıa (x+y)m, ta suy m l ˜Óc cıa i m !, vÓi mÂi i m 1: GÂi p l mẻt ểc nguyản tậ ca m Khi p l ˜Óc cıa m ! i , vÓi mÂi i m 1: Do ‚ m l mỴt lÙy th¯a cıa p Ta vi¸t m = pr r Khi ‚ h» sË nh‡ th˘c p!=p r p r (p r )1 2(p p r + 1) p = pr (p r Gi£ s˚ 1)2 ((pp 1)+ 1) r p 22 khÊng chia h¸t cho m = pr, mƠu thuăn Vêy r = v m = p l sË nguy¶n tË H» qu£ 2.1.12 C¡c h» sË K c¡c sË nguy¶n v m;k l ta c‚ (i) fm(x; y) = xm + ym ch náu m l sậ nguyản tậ Zm[x; y] náu v (ii) Fm(x; y; z) = xm + ym + zm Zm[x; y; z] n¸u v ch¿ n¸u m l Chng minh sậ nguyản tậ Vẳ (ii) l hằ quÊ ca (i) nản ta ch cƯn chng minh (i) Lêp luên tẽng tá chng minh Mằnh à 2.1.7 ta gi£ s˚ f(x; y) = X r s crsx y ry s r s (x + ri thuƯn nhĐt h‚a b¬ng c¡ch thay mÈi Ïn th˘c crsx b i crsx y r s R„ m r s m r s m y) ta a Ïn th˘c g(x; y) = (x + y) = crsx y (x + y) r ng fm(x; y) x m + y m mod m n¸u v ch¿ n¸u g x; y ) xm + ym mod m P( m m m Theo bÍ · tr¶n, g(x; y) = (x + y) x + y mod m náu v ch náu m l sậ nguyản tậ Nh vêy (i) ềc chng minh Mc tiáp theo, ta s³ mÊ t£ v· h fSmg c¡c a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ v mËi quan h» vĨi h fFmg c¡c a th˘c sharp 2.2 H a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ fSmg Tr˜Ĩc h¸t, ta x¡c ‡nh Sm tr˜Ìng hỊp tÍng qu¡t -°t r = bm2 c v Km;k ˜Òc x¡c ‡nh nh˜ cÊng th˘c (2.4), t˘c l Km;0 = v 11 ! m k! m vÓi k r: k Km;k = + k k DÔng ca Sm ph thuẻc v o lểp ng d˜ modulo cıa bªc m X²t m mod ho°c m mod Trong tr˜Ìng hỊp ¦u tiản, ta c th viát m = 6L + vểi mẻt sậ nguyản khấng Ơm L v trèng hỊp th˘ hai, ta c‚ thº vi¸t m = 6L vểi mẻt sậ nguyản dẽng L Trong cÊ hai tr˜Ìng hỊp n y ta °t m m Sm = x + y + z m 23 L + Xj r j ( 1) Km;r j(xyz) 2j+1 =0 r 3j (xy) + (xz) r 3j + (yz) r 3j : (2.16) Khi m mod 6, ta vi¸t m = 6L + v °t (2.17) Sm = v¸ ph£i cıa 2.16 + ( 1) Km;r L(xyz) : Khi m mod 6, ta vi¸t m = 6L v m mod 6, ta vi¸t m = 6L r L 2L+1 Trong c£ tr˜Ìng hỊp, ta °t m m Sm = x + y + z L X j m r j ( 1) Km;r j(xyz) 2j =0 r 3j (xy) + (xz) r 3j + (yz) r 3j : (2.18) CuËi cÚng, m mod 6, ta vi¸t m = 6L v °t Sm = v¸ ph£i cıa (2.18) r L ( 1) 2L Km;r L(xyz) : (2.19) -‡nh l˛ sau Ơy cho ta thĐy cĂc a thc Sm tha mÂn mẻt hoc cÊ hai iÃu kiằn tr -nh l˛ 2.2.1 S m ˜Òc x¡c ‡nh nh˜ c¡c cÊng th˘c t¯ (2.16) ¸n (2.19) l a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ HÏn n˙a n¸u m mod ho°c m th¼ S m cÙng mod l a th˘c sharp (2.17) ta c‚ n¸u m Ch˘ng minh T¯ c¡c cÊng th˘c (2.16) v 1; mod m+5 thẳ R(Sm) = Do vêy náu ta c‚ thº ch¿ r¬ng Sm = sqm vĨi th˜Ïng ¦y ı qm th¼ ¡p dˆng H» qu£ 2.1.6 ta suy m 1; mod th¼ Sm l a th˘c sharp Ta s³ ch˘ng minh ‡nh l˛ b¬ng c¡ch ch¿ r„ th˜Ïng qm v ch˘ng minh Sm = s:qm ‚ s = x + y + z Tr˜Ĩc h¸t ta x²t tr˜Ìng hỊp m l´, ta gi£ s˚ m = 2r + 1, °t q2r+1(x; y; z) = ‚ (2r j; k; j k) = ( 1)j X a b c (a; b; c)x y z k j ! (2.20) (2.21) 24 vÓi 2r j k j k Ta c‚ ( (2r j; k; j k)) c‚ gi¡ tr‡ khÊng Íi vĨi b§t k˝ ho¡n v‡ cıa (2r k) CÙng giËng nh˜ vÓi a th˘c j; k; j S , c§u trÛc cıa a thc thẽng q m m ềc thĐy r hẽn bơng c¡ch nh¼n v o sÏ Á Newton H¼nh 2.1 l sÏ Á Newton cıa q7 H¼nh 2.1: SÏ Á Newton cıa q7 Ti¸p theo ta s³ ch˘ng minh c¡c h» sË cıa t½ch s:q2r+1 trÚng vĨi c¡c h» sË cıa S2r+1 Ta °t A B C (A; B; C) l h» sË cıa x y z a th˘c q2r+1(x; y; z)s(x; y; z) Khi ‚ A + B + C = 2r + v (A; B; C) = (A 1;B;C)+ (A;B 1; C) + (A; B; C 1); (2.22) ‚ ta quy ˜Óc (a; b; c) = náu mẻt cĂc sậ a; b; c l ¥m Ta ph£i ch¿ r¬ng c¡c h» sË (A; B; C) trÚng vÓi c¡c h» sË cıa a th˘c S2r+1 Ta s³ x²t l¦n l˜Ịt t¯ng tr˜Ìng hỊp, nhiản ta lu rơng q2r+1 sq2r+1 l ậi xng Vẳ vêy ta ch cƯn xt cĂc hằ sậ (A; B; C) c¡c tr˜Ìng hỊp A B C v 25 Tr˜Ìng hỊp N¸u B = C = th¼ (2r + 1; 0; 0) = (2r; 0; 0) = 1; ch½nh l h» sË cıa x2r+1 S2r+1 Tr˜Ìng hỊp Gi£ s˚ A B > C = Khi ‚ A + B = 2r + 1, th¸c t¸ ta ph£i c‚ A > B Do ‚ ta c‚ (A;B;0) = (A B 1;B;0)+ (A;B 1;0) = ( 1) +( 1) B1 = 0: Ta v¯a x²t xong cĂc trèng hềp c ẵt nhĐt mẻt sậ A; B hoc C bơng khấng Trèng hềp 3.Tiáp theo ta x²t A > B C > Ta vi¸t (A; B; C) = (2r + j; k; j k) vểi cĂc sậ tá nhiản j v k tha m¢n j > k Ta c‚ (2r+1 j; k; j k) = (2r j; k; j + (2r =( 1) k) + (2r (j j k ! 1); k; (j +( j 1)j (j 1); k 1; (j 1) (k 1) k) k j ! j + ( 1) ! j k =0: 1)) (2.23) Tr˜Ìng hỊp Ta x²t tr˜Ìng hỊp ti¸p theo l A = B > C > Ta vi¸t (A; B; C) = (2r + j; 2r + j; 2j 2r 1) vĨi mỴt sË j Khi ‚ ta c‚ (2r+1 j; 2r + j; 2j 2r 1) = (2r j; 2r (j 1); 2(j + (2r (j + (2r (j 2r j =( 1) j =( 1)j =( 1) j " 1); 2r 1); 2r + 1! j + ( 1)j j ! r 1j + K2r+1;2r+1 j: 1) j; 2(j 2r + 1) 1) j; 2(j 2r + 1) 1) 2r) j 2r !# 2r +j1 j 1! j + ( 1)j 2r + j ! j 26 Tr˜Ìng hỊp Tr˜Ìng hỊp ci cÚng, A = B = C = 2r + th¼ ta c‚ 2r + = 6L + v ‚ A = B = C = 2L + Trong tr˜Ìng hỊp n y ta c‚ (2L + 1; 2L + 1;2L + 1) = (2L;2L+1;2L+1)+ (2L+1;2L;2L+1) + (2L+1;2L+1;2L) =3 (2L + 1; 2L + 1; 2L) =3 (2r (4L + 1); 2L + 1; 2L) =3( 1) 4L+1 =( 1) 2L+1 4L+1 =( 1)4L+1 =( 1) ! " 4L+1 2L+1 4L+1 " 2L+1 4L+1 ! ! + 2L+1 + 2L 4L+1 4L+1 + ! 2L + 4L+2 !# !# 4L+1 K6L+3;2L+1: Vẳ vêy náu r 0; mod th¼ ta c‚ b 4r+1 c X j K + ( 1) 2r+1;2r+1 2r+1 s:q2r+1 =x 2r+1 +y 2r+1 j +z j =r+1 h : (xy)2r+1 jz2(j r) + (xzr2)2r+1 jy2(j b =x 2r+1 2r+1 +y +z 2r+1 + X + x2(j r) (yz)2r+1 j i c ( 1) J =0 r) r+J K2r+1;r : (xy)r J z2J+1 + (xz)r J y2J+1 + x2J+1(yz)r J J : V¼ 2r + = 6L + t¯ biºu th˘c cuËi cÚng ta nhên ềc hằ sậ ca hÔng t ng vểi ẽn thc x2L+1y2L+1z2L+1 l ( 1)4L+1K6L+3;2L+1 trng vểi hÔng t tẽng ˘ng cıa Sm: -Ëi vĨi tr˜Ìng hỊp m ch®n ta vi¸t m = 2r v °t X q2r(x; y; z) = a b c (a; b; c)x y z ; 27 ‚ j; k; j k) = ( 1)j (2r vÓi 2r j k j ! k ; j k Ta c‚ ( (2r j; k; j k)) c‚ gi¡ j; k; j k) Ch˘ng minh tr‡ khÊng Íi vĨi b§t k˝ ho¡n v‡ ca (2r tẽng tá trản ta cng c s:q2r = S2r T¯ ch˘ng minh -‡nh l˛ 2.2.1 ta th§y m 1; mod 6, th¼ R(Sm) = m + Do ‚, theo M»nh · 2.1.10 c£ F v S m m ·u l c¡c a th˘c sharp c bêc m Tc l sá tn tÔi ca a th˘c sharp khÊng ph£i l nh§t vĨi mÈi m l´ D'Angelo v Lebl ˜a mỴt ph˜Ïng ph¡p c th xƠy dáng cĂc vẵ d và a th˘c sharp t¯ fm b¬ng c¡ch thay c¡c biºu th˘c fm b¬ng c¡c biºu th˘c Áng d˜ theo modulo (x + y 1) Ơy mẻt k thuêt tẽng t¸ ˜Ịc s˚ dˆng º i t¯ F ¸n S chng m m Mẻt chẳa kha quan trng m ta s ms dng lp lÔi Ơy l r= j k Fm(x; y; z) Ta °t mod(x + y + z) ‚ r X m k k m 2k k k Gm(x; y; z) := x + ( 1) Km;kx yz =1 m m m (2.24) ( 1) [y + z ] mod(x + y + z): S M»nh · 2.2.3 sau ¥y mÊ t£ t¯ng tr˜Ìng hỊp º c‚ thº thu ˜Ịc F m Tr˜Ĩc hát ta minh quĂ trẳnh trản bơng mẻt vẵ dˆ V½ dˆ 2.2.2 VĨi m = 13, ta c‚ m F13 =x 13 +y 13 +z 13 5 11 2 13x yz + 65x y z 3 4 156x y z + 182x y z 6 91x y z + 13xy z : ta th§y 3 3 3 156x y z = 65x y z + 91x y z : Thay v o v sp xáp lÔi, ta ềc F13 =x 13 +y 13 +z 13 11 2 13x yz + 65x y z 3 6 65x y z + 13xy z t¯ 28 3 4 5 91x y z + 182x y z 91x y z 13 13 13 5 =x + y + z + 13xyz x x + 5x yz 91x y z 3 3 yz Ta °t x x x 2 5xy z = yz + 5x ta c‚ + 2 =x 13 +y 13 13 +z 2yz = G 2 2 x13 + y13 + z13 + 13xyz 3 91x y z K¸t hỊp vĨi 2.24 5 + 13xyz x ( G ) + y z 91x y z x (G2) + y z 3 5 +y z y z : x2 G5 v 13 F 2 5xy z x y +z y5 + z5 x5 + y2z2 + y5z5 mod(x + y + z) =S13: Cho Gm = Fm +( y) +( z) m vÓi m v Khi ‚ ta c‚ M»nh · 2.2.3 r= j m k m N¸u m = 6L + ho°c m = 6L th¼ m m Fm =x + y + z m L + Xj ( 1) r j Km;r j(xyz) 2j+1 r 3j ( x) Gr 3j + (yz) r 3j =0 (2.25) n¸u m = 6L + thẳ Fm = Vá phÊi ca (2.25) + ( 1) r L Km;r Ta nhên ềc Sm bơng c¡ch thay ( 1)r yr 3j + zr 3j N¸u m = 6L Fm = x L(xyz) 3j Gr 3j 2L+1 :(2.26) b i biºu th˘c , chÛng Áng d˜ vÓi theo modulo (x + y + z) ho°c m = 6L 4, m y m z m L X + j=0 r j ( 1) Km;r j(xyz) 2j r 3j ( x) Gr 3j + (yz) r 3j ; (2.27) ; 29 Trong n¸u m = 6L Fm = V¸ ph£i cıa (2.27) + ( 1) r L 2L (2.28) Km;r L(xyz) : r 3j r 3j Ta nhªn ˜Ịc Sm b¬ng c¡ch thay ( 1) Gr 3j b¬ng y chÛng Áng d˜ vÓi theo modulo x + y + z Ta s s dng cĂc tẵnh chĐt ca f m ˜Òc ˜a + zr 3j, M»nh · 2.1.7 º ch˘ng minh m»nh · n y Ch˘ng minh Ta ch˘ng minh m»nh · cho tr˜Ìng hỊp m l, trèng hềp m chđn chng minh tẽng tá Ta °t P m l v¸ ph£i cıa cÊng th˘c (2.25) ho°c r 3j r 3j r 3j (2.26) R„ r ng, thay ( 1) Gr 3j b i biºu th˘c y +z ta nhªn ˜Ịc cÊng th˘c S m Nh˜ vªy s˚ dˆng Áng d˜ th˘c (2.24), ta suy Pm M°t kh¡c S = (x + y + z):q Sm mod(x + y + z) ch˘ng minh -‡nh l˛ 2.2.1 ta suy Pm nhªn gi¡ tr‡ x + y + z = Vẳ vêy, náu ta thay z b i m m (nh v cẻng thảm hơng sậ 1, ta nhên ềc mẻt a thc hai bián pm(x; y) tha m Ân cĂc iÃu kiằn t (1) án (4) M»nh · 2.1.7 Thªt vªy pm(x; y) nhªn gi¡ tr‡ tr¶n ˜Ìng th¯ng x + y = (do Pm nhªn gi¡ tr‡ x + y + z = 0); pm(0; 0) = 0; pm( x; y) = pm(x; y) vểi l mẻt côn nguyản thy bêc m ca ẽn v; deg pm = m Theo m»nh · 2.1.7 v 2.1.9 ta suy pm(x; y) fm(x; y) -án Ơy, ta lÔi tr pm(x; y) i 1; thuƯn nhĐt v thay thá z bơng z ta nhên lÔi ềc Pm suy Pm = Fm Vªy ta c‚ i·u ph£i ch˘ng minh m M»nh · 2.2.4 Sm(x; y; z) = x ch¿ n¸u m l sË nguy¶n tË m + y m + z Zm[x; y; z] n¸u v Ch˘ng minh Theo ch˘ng minh M»nh · 2.2.3 ta c‚ c¡c h» sË cıa Sm l tªp cıa c¡c h» sË cıa F m, n¶n ta ¡p dˆng H» qu£ 2.1.12 ˛ (ii) ta suy i·u ph£i ch˘ng minh 30 Kát luên ca luên vôn Luên vôn trẳnh b y v nghiản cu và lểp a thc ậi xng thuƯn nhĐt thấng qua viằc trÊ lèi hai cƠu hi tng quĂt nhng trèng hềp c biằt Luên vôn thu ềc cĂc kát quÊ chẵnh sau Ơy: Vểi mẩi m 1; tn tÔi nhĐt mẻt a thc hai bián f = fm(x; y) bêc m cho f(0; 0) = 0; f(x; y) = x + y = v f l m; 2)bĐt bián -a thc n y c nhng dÔng biu diạn khĂc r§t thÛ v‡ (thº hi»n c¡c M»nh · 2.1.7, Mằnh à 2.1.8 v Mằnh à 2.1.9) XƠy dáng cÊng th˘c cıa h Fm (m 1) nh˙ng a th˘c thuƯn nhĐt ba bián chia hát cho x + y + z vểi thẽng l mẻt a thc Ưy biằt m l´ F ı -°c m l sharp (M»nh à 2.1.10) 3.XƠy dáng cấng thc ca h Sm (m 1) nh˙ng a th˘c Ëi x˘ng c¸c tr‡ ba bi¸n, c biằt m l sậ tá nhiản chia cho d˜ S ho°c th¼ m cÙng l a th˘c sharp (-‡nh l˛ 2.2.1) MËi li¶n h» gi˙a S v F m m ềc xƠy dáng thấng qua tẵnh chĐt c biằt ca a thc f m ph¦n (1.) (M»nh · 2.2.3) 31 T i liằu tham khÊo Tiáng Viằt [1]Lả Th Thanh Nh n, (2015), GiĂo trẳnh L thuyát a thc, Nh xuĐt bÊn -Ôi hc Quậc gia H Nẻi Tiáng Anh [2]Brooks J., (2019), "An Interesting Family of Symmetric Polynomials", Amer Math Monthly, 126:6, 527-540, DOI: 10.1080/00029890.2019.1584514 [3]D'Angelo, J., (2004), "Number-theoretic properties of certain CR mappings", J Geom Anal 14(2): 215-229 [4]D'Angelo, J P., (1993), Several Complex Variables and the Geometry of Real Hypersurfaces Boca Raton, FL: CRC Press [5]D'Angelo, J., Kos, S., Riehl, E., (2003), "A sharp bound for the degree of proper monomial mappings between balls", J Geom Anal 13 (4): 581-593 [6]D'Angelo, J., Lebl, J., (2009), "Complexity results for CR mappings between spheres", Int J Math 29(2): 149-166 [7]Lebl, J., Peters, H., (2011), "Polynomials constant on a hyperplane and CR maps of hyperquadric", Mosc Math J 11(2): 285-315