Bai giang DS

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH (lưu hành nội bộ) TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC, MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH , K HƠNG GIAN VÉCTƠ , Á NH XẠ TUYẾN TÍNH , D ẠNG TỒN PHƯƠNG - K HƠNG GIAN E UCLIDE Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, tập lời giải Hà Nội - 2019 (bản cập nhật Ngày 22 tháng năm 2019) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk Hà Nội, Ngày 22 tháng năm 2019 MỤC Mục lục LỤC Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức Logic 1.1 Các phép toán logic 1.2 Các tính chất 1.3 Lượng từ phổ biến lượng từ tồn Tập hợp 2.1 Các phép toán tập hợp 2.2 Các tính chất Ánh xạ 3.1 Định nghĩa 3.2 Tập ảnh, tập nghịch ảnh 3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh Cấu trúc đại số 4.1 Cấu trúc nhóm 4.2 Cấu trúc vành 4.3 Cấu trúc trường 4.4 Bài tập Số phức 5.1 Dạng tắc số phức 5.2 Dạng lượng giác số phức 5.3 Số phức liên hợp 5.4 Bài tập Chương Ma trận - Định thức - Hệ phương trình 7 12 12 12 15 15 15 15 18 18 19 20 20 22 22 23 24 24 29 Ma trận 1.1 Các phép toán ma trận 1.2 Các tính chất 29 29 29 MỤC LỤC Định thức 2.1 Định nghĩa 2.2 Các tính chất định thức 2.3 Các phương pháp tính định thức 2.4 Ma trận nghịch đảo 2.5 Đọc thêm: Về định nghĩa ma trận nghịch đảo 2.6 Đọc thêm: Về số phép nhân ma trận có tính giao hoán Hạng ma trận 3.1 Định nghĩa 3.2 Phương pháp tính hạng ma trận biến đổi sơ cấp hàng 3.3 Các tính chất hạng ma trận 3.4 Bài tập Hệ phương trình tuyến tính 4.1 Dạng tổng qt hệ phương trình tuyến tính 4.2 Hệ Cramer 4.3 Định lý Kronecker-Capelli 4.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát Chương Không gian véctơ 33 33 33 33 34 43 45 48 48 48 49 50 51 51 51 51 52 59 Khái niệm 1.1 Định nghĩa 1.2 Một số tính chất ban đầu khơng gian véctơ 1.3 Bài tập Không gian véctơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Điều kiện cần đủ để W ⊂ V không gian véctơ 2.3 Không gian sinh họ véctơ 2.4 Hệ sinh không gian véctơ 2.5 Bài tập Cơ sở toạ độ 3.1 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.2 Cơ sở số chiều không gian véctơ 3.3 Bài tập Số chiều sở không gian sinh họ véctơ - Hạng họ véctơ 4.1 Mở đầu 4.2 Hạng họ véctơ 4.3 Cách tính hạng họ véctơ biến đổi sơ cấp 4.4 Số chiều sở không gian sinh họ véctơ 4.5 Bài tập 59 59 60 60 61 61 61 61 61 61 64 64 64 65 67 67 67 67 67 68 MỤC LỤC Bài toán đổi sở 5.1 Đặt vấn đề 5.2 Ma trận chuyển 5.3 Bài tập Chương Ánh xạ tuyến tính 71 71 71 71 73 Ánh xạ tuyến tính 1.1 Khái niệm 1.2 Bài tập Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 2.1 Các tính chất hạt nhân ảnh 2.2 Hạng ánh xạ tuyến tính - Định lý số chiều 2.3 Bài tập Ma trận ánh xạ tuyến tính 3.1 Khái niệm 3.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính thơng qua phép đổi sở 3.3 Bài tập Trị riêng véctơ riêng 4.1 Trị riêng véctơ riêng ma trận 4.2 Trị riêng véctơ riêng toán tử tuyến tính 4.3 Chéo hố ma trận 4.4 Đa thức tối tiểu 4.5 Bài tập 4.6 Một số tính chất sâu trị riêng ma trận 4.7 Một ứng dụng phép chéo hóa ma trận Chương Dạng tồn phương, khơng gian Euclide 73 73 73 75 75 75 76 78 78 82 82 84 84 86 86 89 89 91 93 97 Khái niệm 1.1 Định nghĩa 1.2 Phân loại dạng toàn phương 1.3 Dạng song tuyến tính dạng tồn phương khơng gian hữu hạn chiều 1.4 Bài tập Rút gọn dạng toàn phương 2.1 Phương pháp Lagrange 2.2 Phương pháp Jacobi 2.3 Phương pháp chéo hoá trực giao 2.4 Bài tập 2.5 Kết luận 97 97 97 1 98 98 100 100 100 101 101 103 MỤC LỤC Không gian Euclide 3.1 Tích vơ hướng khơng gian có tích vơ hướng 3.2 Phép trực giao hoá Schmidt 3.3 Hình chiếu vectơ lên khơng gian vectơ 3.4 Bài tập Chéo hoá trực giao ma trận - Phương pháp chéo hoá trực giao 4.1 Chéo hoá trực giao ma trận 4.2 Phương pháp chéo hoá trực giao để rút gọn dạng toàn phương 4.3 Nhận dạng đường cong phẳng 4.4 Nhận dạng mặt bậc hai 4.5 Ứng dụng phép biến đổi trực giao vào tốn tìm cực trị có điều kiện 4.6 Bài tập Phụ lục 104 104 105 106 106 113 113 113 114 114 115 115 123 Chương A Một số ma trận đặc biệt 123 Ma trận luỹ linh 1.1 Các định nghĩa tính chất 1.2 Bài tập Toán tử chiếu - Ma trận lũy đẳng 2.1 Các định nghĩa tính chất 2.2 Bài tập Ma trận đối hợp Ma trận đối xứng, phản đối xứng 4.1 Các định nghĩa tính chất 4.2 Bài tập Vết ma trận 5.1 Định nghĩa tính chất 5.2 Bài tập Ma trận khối 6.1 Định thức ma trận khối 6.2 Hạng ma trận khối Chương B Dạng chuẩn Jordan ma trận 123 123 124 126 126 127 129 131 131 132 133 133 134 135 135 137 141 Dạng chuẩn Jordan ma trận 141 Chương C Các tính chất sâu định thức ma trận 145 Các định thức đặc biệt 145 1.1 Định thức Vandermonde 145 MỤC LỤC 1.2 Định thức Cauchy 1.3 Định thức Frobenius 1.4 Định thức ma trận ba đường chéo 1.5 Bài tập Định thức phần phụ đại số 2.1 Các định nghĩa tính chất 2.2 Bài tập 148 149 149 150 152 152 153 MỤC LỤC CHƯƠNG TẬP HỢP - LOGIC - ÁNH §1 LOGIC 1.1 Các phép toán logic Phép phủ định A A A = 1−A Phép hội A 1 0 B 1 A∧B 0 ( A ∧ B) = min{ A, B} Phép tuyển XẠ - SỐ PHỨC Chương Tập hợp - Logic - Ánh xạ - Số phức A 1 0 B 1 A∨B 1 ( A ∨ B) = max{ A, B} Phép kéo theo A 1 0 B 1 A→B 1 ( A → B) = max{1 − A, B} Phép tương đương A 1 0 B 1 A↔B 0 Chú ý: Để đơn giản mặt kí hiệu, viết A hiểu mệnh đề A giá trị chân lý mệnh đề A tuỳ theo hoàn cảnh phù hợp Ví dụ viết A = − A ta hiểu giá trị chân lý mệnh đề A trừ giá trị chân lý A 1.2 Các tính chất Tính giao hoán: A ∧ B ⇔ B ∧ A, A ∨ B ⇔ B ∨ A Tính kết hợp ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ), ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) Tính phân phối A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ), A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) 140 Chương A Một số ma trận đặc biệt Đặt N = I Từ AB = BA ta có B −( A + B) NG = I B −( A + B) A+B B B B = A+B B − AB Do đó, A+B B − AB r ( A) + r ( B) = r ( M ) = r ( G ) ≥ r ( NG ) = r = r ( AB) + r ( A + B) Bài tập A.2 Cho A, B, C ma trận vuông cấp n thỏa mãn r (C ) = n A( BA + C ) = Chứng minh r ( BA + C ) = n − r ( A) Chứng minh Điều kiện A( BA + C ) = Bổ đề 1.39 dẫn đến r ( A) + r ( BA + C ) ≤ n Xét ma trận khối biến đổi sau BA + C 0 A → BA + C BA A → C BA −A A Ta có r ( BA + C ) + r ( A) = r BA + C 0 A =r dẫn đến điều phải chứng minh Bài tập A.3 Cho A = A11 A12 A21 A22 B = B11 B12 B21 B22 C BA −A A ≥ r (C ) = n , A11 , B11 , A22 , B22 ma trận vuông cấp rank A11 = rank A, rank B11 = rank B Chứng minh A11 B12 A11 A12 = | A + B|.| A11 |.| B22 | A21 B22 B21 B22 140 PHỤ LỤC DẠNG CHUẨN §1 DẠNG CHUẨN JORDAN JORDAN B CỦA MA TRẬN CỦA MA TRẬN Cho f : V → V tự đồng cấu Với λ ∈ R, xét Pλ = Ker( f − λ idV ), Rλ = {v ∈ V : ∃m ∈ N : ( f − λ idV )m (v) = 0.} Bổ đề 2.1 i) Rλ không gian véctơ V ii) Rλ không gian ổn định với f iii) Rλ = {0} λ trị riêng f Rλ gọi không gian riêng suy rộng ứng với trị riêng λ Mệnh đề 2.2 Nếu λ trị riêng f dimRλ bội λ xem nghiệm đa thức đặc trưng Định lý 2.3 Cho A B ma trận vuông thực A = P−1 BP, P ma trận phức Khi tồn ma trận thực Q cho A = Q−1 BQ Điều có nghĩa tập hợp tất ma trận có dạng A = P−1 BP với P ma trận phức ”khơng lớn hơn” tập hợp tất ma trận có dạng A = Q−1 BQ với Q ma trận thực 141 142 Chương B Dạng chuẩn Jordan ma trận Một khối Jordan cỡ r × r ma trận có dạng   λ   0 λ 0       Jr (λ) =   0 0 0   0 0 λ 1   0 λ Định nghĩa 2.4 đường chéo i) Một ma trận Jordan ma trận khối có khối Jordan ii) Một sở Jordan tốn tử tuyến tính A : V → V sở không gian V cho ma trận sở ma trận Jordan Định lý 2.5 (Dạng chuẩn Jordan ma trận (tự đồng cấu)) Cho f : V → V có ma trận A sở đa thức đặc trưng A có đủ nghiệm trường K PA ( X ) = (−1)n ( X − λ1 )s1 · · · ( X − λm )sm , λ1 , · · · , λm đôi khác Khi đó, V phân tích thành tổng trực tiếp không gian riêng suy rộng ứng với trị riêng λ1 , · · · , λm : V = Rλ1 ⊕ Rλ2 ⊕ · · · ⊕ Rλm , dimRλk = sk Nói cách khác, ma trận A đồng dạng với ma trận khối, với khối Jordan cấp s có dạng   λk    λk        Js,λk =    0      0 λ   k 0 λk Số khối Jordan cấp s với phần tử λk đường chéo rank( f − λk idV )s−1 − rank( f − λk idV )s + rank( f − λk idV )s+1 Ma trận Jordan xác định nhất, sai khác hốn vị khối Jordan Định lý 2.6 (Jordan) Với tốn tử tuyến tính A : V → V C, tồn sở Jordan, ma trận Jordan xác định nhất, sai khác hoán vị khối Jordan 142 Dạng chuẩn Jordan ma trận 143 Định lý 2.7 Cho ma trận A thỏa mãn đa thức đặc trưng có đủ nghiệm trường K PA ( X ) = (−1)n ( X − λ1 )s1 · · · ( X − λm )sm , λ1 , · · · , λm đôi khác dimRλk = sk Khi đó, đa thức tối tiểu m p(λ) = ∏ ( λ − λ k )sk k =1 Chú ý 2.8 Dạng chuẩn Jordan ma trận sử dụng cách thuận tiện việc thực phép tính lũy thừa ma trận Cụ thể hơn, A = P−1 JP An = P−1 J n P Để tính lũy thừa khối Jordan Jr (λ) = λI + N , ta có cơng thức khai triển Newton:   k(k−1)···(k−n+1) k−n+1 k ( k −1) k −2 λ λ · · · λk kλk−1 ( n −1) !   k(k−1)···(k−n+2) k−n+2  0 k k − n λ λ kλ · · ·   ( n −2) ! J n = ∑ Ckn λk N n−k =     k =0   k 0 ··· ··· λ Một cách tổng quát, ( x ) hàm giải tích (chẳng hạn f ( x ) = e x ),     f ( J) =    f (λ) f ′ (λ) 1! f (λ) f ′′ (λ) 2! f ′ (λ) 1! ··· ··· ··· ···  f ( n −1) ( λ ) ( n −1) !  f ( n −2) ( λ )  ( n −2) !     f (λ) Chú ý 2.9 Cơ sở Jordan ln ln tồn trường đóng đại số Trên R lúc tồn sở Jordan Tuy nhiên trường số thực tồn dạng Jordan, thực hóa dạng chuẩn Jordan trường số phức Định lý 2.10 Với tốn tử tuyến tính A trường số thực, ln tồn sở mà ma trận sở cho có dạng đường chéo khối với khối Jm1 (t1 ), , Jmk (tk ) tương ứng với trị riêng thực ti khối Jn∗1 (λ1 ), , Jn∗s (λs ) tương ứng với trị riêng phức λi λ¯ i , Jn∗ (λ) ma trận cỡ 2n × 2n thu từ khối Jordan Jn (λ) cách thay a b phần tử có dạng a + ib ma trận −b a Chú ý 2.11 Từ dạng chuẩn Jordan, tốn tử tuyến tính A C phân tích dạng A = As + An , As chéo hóa được, An luỹ linh, As An = An As 143 144 Chương B Dạng chuẩn Jordan ma trận Định lý 2.12 Các toán tử As An xác định nhất, As = S( A) An = N ( A), S N đa thức Định lý 2.13 Cho A toán tử tuyến tính khả nghịch trường số phức C Khi A biểu diễn dạng A = As Au = Au As , As tốn tử chéo hóa Au tốn tử lũy đơn (toán tử lũy đơn tổng toán tử đồng toán tử lũy linh) Biểu diễn Chứng minh Nếu A khả nghịch As khả nghịch Khi A = As + An = As Au , −1 Au = A− s ( As + An ) = I + As An 144 PHỤ LỤC CÁC C TÍNH CHẤT SÂU HƠN VỀ ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN §1 CÁC ĐỊNH THỨC ĐẶC BIỆT 1.1 Định thức Vandermonde Ma trận Vandermonde cấp n ma trận vuông cấp n có dạng     Vn ( a1 , a2 , , an ) =     a1 a21 a2 a22 a1n−1 a2n−1 1 a n −1 a n a2n−1 a2n n −1 n a n −1 a n −1 Định lý 3.1 Chứng minh det Vn ( a1 , a2 , , an ) = ∏ i< j n         ( a j − ) Từ suy hệ Vn ( a1 , a2 , , an ).X = có nghiệm tầm thường a1 , a2 , , an đôi phân biệt Một ứng dụng thú vị định thức Vandermonde toán sau: Bài tập 3.1 Cho A ma trận vuông cấp n Khi An = ⇔ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, , n Chứng minh ⇒ Nếu An = A ma trận lũy linh, A có trị riêng 0, nên Ak có trị riêng với k Suy điều phải chứng minh 145 146 Chương C Các tính chất sâu định thức ma trận ⇐ Giả sử giá trị riêng A λ1 , λ2 , , λn Khi từ tr( Ak ) = 0, k = 0, 1, 2, , n ta có hệ phương trình:    λ1 + λ2 + + λ n =      λ1 + λ22 + + λ2n = (3.1)       λn + λn + + λn = n hay Vn (λ1 , λ2 , , λn )(λ1 , λ2 , , λn ) T = Ta chứng minh tất giá trị riêng A Thật vậy: Nếu λi đơi phân biệt định thức Vandermonde khác khơng, hệ phương trình có nghiệm λ1 , λ2 , , λn = Mâu thuẫn Ngược lại, khơng tính tổng qt, giả sử λ1 = λ2 không giá trị λi cịn lại Khi hệ phương trình viết lại dạng Vn−1 (λ2 , , λn )(2λ2 , , λn ) T = Lập luận tương tự ta có λ2 = = λn = 0, mâu thuẫn Vậy tất trị riêng A Bài tập 3.2 Chứng minh với số nguyên k1 < k2 < < k n số nguyên det Vn (k1 , k2 , , k n ) det Vn (1, 2, , n) Bài tập 3.3 Cho W ma trận có từ ma trận V = Vn ( a1 , a2 , , an ) cách thay hàng ( a1n−1 , a2n−1 , , ann−1 ) hàng ( a1n , a2n , , ann ) Chứng minh det W = ( a1 + a2 + + an ) det V Bài tập 3.4 Chứng minh      det     a1 a2 a1n−2 a2n−2 a2 a3 an a1 a3 an 1 a n −1 an ann− ann−2 −1 a1 a2 an−2 an a1 a2 an−1       = (−1)n−1 det Vn ( a1 , a2 , , an )    Chứng minh • Nếu a1 , a2 , , an = nhân cột thứ với a1 , cột thứ hai với a2 , , cột thứ n với an chia cho a1 a2 an ta 146 Các định thức đặc biệt  147  1     a n −1 an     det      n −2  n −2 n −2 n −2 a a a a   n n −1 a2 a3 an a1 a3 an a1 a2 an−2 an a1 a2 an−1   a1 a a n −1 a n    a1 a22 a2n−1 a2n      det  =    a1 a2 a n  n−1 n−1 n −1  ann− a a2  a1 n  −1 1 1 n − = (−1) det Vn ( a1 , a2 , , an ) a1 a2 • Trường hợp có số a1 , a2 , , an (xét riêng) Bài tập 3.5 Cho f ( x ), f ( x ), , f n ( x ) đa thức bậc không n − Chứng minh với số a1 , a2 , , an ta có f ( a1 ) f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a2 ) f ( an ) f ( an ) =0 f n ( a1 ) f n ( a2 ) f n ( a n ) Chứng minh Giả sử f i ( x ) = bi0 + bi1 x + + bi,n−2 x n−2       f ( a1 ) f ( a1 ) f ( a2 ) f ( a2 ) f ( an ) f ( an )   b10 b11     b20 b21 =     f n ( a1 ) f n ( a2 ) f n ( a n ) bn0 bn1 b1,n−2 b2,n−2 bn,n−2 Từ ta có điều phải chứng minh Bài tập 3.6 Cho A = aij f i ( x ) = f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f n ( x1 ) f n ( x2 )     0    .   a1 a2 a1n−1 a2n−1  1  a n −1 a n     n −1 ann− −1 a n a1i + a2i x + + ani x n−1 với i = 1, n Chứng minh f ( xn ) f ( xn ) f n ( xn ) 147 = det A.Vn ( x1 , x2 , , xn ) 148 Chương C Các tính chất sâu định thức ma trận Chứng minh Tương tự 3.5 ta có       f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x2 ) f ( xn ) f ( xn )   a11 a12     a21 a22 =     f n ( x1 ) f n ( x2 ) f n ( x n ) an1 an2   a1,n−1 a1n 1   a2,n−1 a2n   x1 x2 .     n −1 n −1 an,n−1 ann x1 x2  1  x n −1 x n     −1 n −1 xnn− xn Suy điều phải chứng minh Bài tập 3.7 Chứng minh với k1 , k2 , , k n số tự nhiện khác a1 , a2 , , an số dương khác     det     1 k1 k1 a1 a2 a3k1 a1k2 a2k2 a3k2 a1kn a2kn a3kn   akn1   akn2  =0   kn an 1.2 Định thức Cauchy Ma trận Cauchy ma trận vuông cấp n, A = ( aij ), aij = quy nạp, ta chứng minh det A = xi + y j Bằng phương pháp Πi> j ( xi − x j )(yi − y j ) Πi,j ( xi + y j ) Trước hết lấy cột từ đến n − trừ cột cuối cùng, ta aij′ = ( xi + y j )−1 − ( xi + yn )−1 = (yn − y j )( xi + yn )−1 ( xi + y j )−1 với j = n Đưa nhân tử ( xi + yn )−1 hàng, yn − y j cột trừ cột cuối khỏi định n thức ta thu định thức |bij |i,j =1 , bij = aij với j = n bin = Tiếp theo, lấy hàng từ đến n − trừ hàng cuối Đưa nhân tử xn − xi hàng trừ hàng cuối cùng, nhân tử ( xn + y j )−1 cột trừ cột cuối cùng, ta thu công thức truy hồi định thức Cauchy cấp n qua cấp n − 148 Các định thức đặc biệt 149 1.3 Định thức Frobenius Ma trận có dạng  0   0 0           0 0   0 0    a a a a n −2 a n −1  gọi ma trận Frobenius, hay ma trận bạn đa thức p ( λ ) = λ n − a n −1 λ n −1 − a n −2 λ n −2 − − a Khai triển định thức Frobenius theo hàng thứ nhất, bạn dễ dàng thu công thức sau: det(λI − A) = p(λ) 1.4 Định thức ma trận ba đường chéo n Ma trận ba đường chéo ma trận vuông J = ( aij )i,j =1 , aij = với |i − j | > Đặt = aii , bi = ai,i+1 , ci = ai+1,i , ma trận ba đường chéo có dạng:  a1 b1   c1 a2 b2   a3  c2     0 0   0 0 0 0 0 a n − bn − c n −2 a n −1 c n −1              bn −  an Khai triển định thức ma trận theo hàng thứ k, ta k ∆k = ak ∆k−1 − bk−1 ck ∆k−2 với k ≥ 2, ∆k = det( aij )i,j =1 149 150 Chương C Các tính chất sâu định thức ma trận Công thức truy hồi khẳng định định thức ∆n phụ thuộc vào số bi , c j mà phụ thuộc vào bi ci Trong trường hợp đặc biệt, kí hiệu a1 −1 ( a1 a n ) = 0 a2 0 0 0 −1 a3 a n −2 0 0 − a n −1 0 −1 a n ta có công thức truy hồi thông qua liên phân số sau: ( a1 a2 a n ) = a1 + ( a2 a3 a n ) a2 + a3 + + an−1 + a1n 1.5 Bài tập Bài tập 3.8 Cho A ma trận phản xứng cấp n lẻ Chứng minh det A = Bài tập 3.9 Chứng minh định thức ma trận phản xứng cấp n chẵn không thay đổi ta cộng thêm vào phần tử với số cố định Bài tập 3.10 Tính định thức ma trận phản xứng cấp 2n chẵn thỏa mãn tính chất phần tử phía đường chéo n |i− j| Tính det A Bài tập 3.11 Cho A = ( aij )i,j =1 , với aij = a −1 0 x h −1 Bài tập 3.12 Cho ∆3 = ∆n định nghĩa tương tự cho n > x hx h −1 x3 hx2 hx h Chứng minh ∆n = ( x + h)n  a b i = j i j n Bài tập 3.13 Cho C = (cij )i,j , với c = Tính det C ij =1 x i = j i Bài tập 3.14 Cho ai,i+1 = ci với i = 1, · · · , n, phần tử khác ma trận A Chứng minh định thức ma trận I + A + A2 + + An−1 (1 − c)n−1 , với c = c1 c n 150 Định thức phần phụ đại số 151 n −1 Bài tập 3.15 Tính det( aij )i,j =1 , với aij = (1 − xi y j ) Bài tập 3.16 Tính x1 x1n−2 ( x2 + x3 + + xn )n−1 xn xnn−2 ( x1 + x2 + + xn−1 )n−1 Bài tập 3.17 Tính x1 x1n−2 x2 x3 xn xn xnn−2 x1 x2 xn−1 Bài tập 3.18 Tính | aik |0n , với aik = λin−k (1 + λ2i )k Bài tập 3.19 Cho aij = Cjin Chứng minh | aij|1r = nr(r+1)/2 với r ≤ n Bài tập 3.20 Cho k1 , , k n ∈ Z, tính | aij|1n , aij =   ( k i + j −i ) ! 0 với k i + j − i ≥ với k i + j − i < Bài tập 3.21 Cho sk = p1 x1k + + pn xnk , ai,j = si+ j Chứng minh | aij |0n−1 = p1 pn Πi> j ( xi − x j )2 Bài tập 3.22 Cho s = x1k + + xnk Tính s0 s1 sn s1 s2 sn+1 s2n− s n −1 sn y yn Bài tập 3.23 Cho aij = ( xi + y j )n Chứng minh | aij |0n = C1n C2n Cnn Πi>k ( xi − xk )(yk − yi ) Bài tập 3.24 Cho bij = (−1)i+ j aij Chứng minh | aij|1n = |bij|1n k +i Bài tập 3.25 Cho ∆n (k ) = | aij |0n , aij = C2j Chứng minh ∆n (k ) = k ( k + 1) ( k + n − 1) ∆ n −1 ( k − ) 1.3 (2n − 1) n n(n+1)/2 Bài tập 3.26 Cho Dn = | aij|0n , aij = C2j −1 Chứng minh Dn = 151 152 Chương C Các tính chất sâu định thức ma trận §2 ĐỊNH THỨC CON VÀ PHẦN PHỤ ĐẠI SỐ 2.1 Các định nghĩa tính chất Định nghĩa 3.2 Ma trận mà phần tử giao p hàng p cột ma trận vuông A gọi ma trận cấp p A Định thức tương ứng gọi định thức cấp p Kí hiệu a i1 k a i1 k a i1 k p i1 i p A = k1 k p p k1 p k2 p k p Nếu i1 = k1 , , i p = k p định thức gọi định thức cấp p Định nghĩa 3.3 Định thức khác có bậc cao gọi định thức sở cấp gọi hạng ma trận A i1 i p định thức sở A, hàng ma k1 k p trận A tổ hợp tuyến tính hàng i1 , , i p nó, hàng i1 , , i p độc lập tuyến tính Định lý 3.4 Nếu A Hệ 3.5 Hạng ma trận số hàng (cột) độc lập tuyến tính lớn Định lý 3.6 (Cơng thức Binet - Cauchy) Giả sử A B ma trận cỡ n × m m × n tương ứng n ≤ m Khi det AB = ∑ 1≤k1