Sử dụng kết thức để xác định bội giao của hai đường cong trong P2 (C)

Giả sử A và B là hai đường cong trong P2 (C) không có chung thành phần bất khả quy. Vấn đề chúng tôi quan tâm là xác định bội giao của A và B và mối quan hệ giữa bội giao với bậc của các phương trình rút gọn của chúng. Bài viết sẽ trình bày việc dùng kết thức để giải quyết vấn đề nêu trên.

Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 1-8 SỬ DỤNG KẾT THỨC ĐỂ XÁC ĐỊNH BỘI GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG CONG TRONG ( ) Trần Thị Gia Lâm* Trường Đại học Phú Yên Ngày nhận bài: 02/02/2020; Ngày nhận đăng: 17/02/2020 Tóm tắt Giả sử A B hai đường cong ( ) khơng có chung thành phần bất khả quy Vấn đề quan tâm xác định bội giao A B mối quan hệ bội giao với bậc phương trình rút gọn chúng Trong báo này, trình bày việc dùng kết thức để giải vấn đề nêu Từ khóa: Kết thức, bội giao, đường cong xạ ảnh, phương trình rút gọn Mở đầu Hình học Đại số xây dựng trường Đã có nhiều cơng trình cơng bố Hình học Đại số trường trường số phức Đường cong đại số đối tượng nghiên cứu quan trọng Hình học Đại số, ngày quan tâm người ta tìm thấy nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực Tốn học như: Hình học, Số học, Giải tích,… Một vấn đề quan trọng nghiên cứu đường cong đại số ( ) tính kì dị, tìm giao điểm, xác định bội giao mối quan hệ chúng với bậc phương trình rút gọn Trong báo này, chúng tơi trình bày việc dùng kết thức để tìm bội giao chứng minh mối quan hệ bội giao hai đường cong xạ ảnh A B ( ) với bậc phương trình rút gọn chúng với giả thiết A B khơng có chung thành phần bất khả quy Nội dung 2.1 Kết thức Định nghĩa Cho đa thức f g thuộc k  x , có bậc nguyên dương f  a0 x l  a1 x l 1   al , a0  0, g  b0 x m  b1 x m 1   am , b0  Ma trận Sylvester f g x, kí hiệu Syl  f , g , x  , ma trận vuông cấp l  m, xác định sau * Email: gialam1983@gmail.com Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 1-8  a0   a1      Syl  f , g , x  :  al               b0   b1       bm    b0 a0 b1 a1 b0 b1 a0 a1 al bm bm al m cét l cét (các chỗ trống ma trận 0) Định nghĩa Kết thức f g x, kí hiệu Res  f , g , x  , định thức ma trận Syl  f , g , x  Định nghĩa Cho f , g  k[ x1 , , xn ] đa thức bậc dương theo xi với i số nguyên đó,  i  n Ta viết f  a0 xil   al , a0  0, g  b0 xim   bm , b0  (1) với a j , b j  k[ x1 , , xi 1 , xi 1 , , xn ] Kết thức f g xác định xi Res  f , g , xi  : det (Syl ( f , g , xi )) Mệnh đề [Xem 1] Cho f , g  k[ x1 , , xn ] đa thức bậc dương theo x1 Khi đó, i/ Res( f , g , x1 )   f , g   k[ x2 , , xn ] ; ii/ Res  f , g, x1   f g có nhân tử chung k  x1, , xn  với bậc dương theo x1 Mệnh đề Cho f , g  [ x1 , , xn ] Gọi a0 , b0  [ x2 , , xn ] (1) Nếu Res( f , g , x1 )  [ x2 , , xn ] triệt tiêu (c2 , , cn )  n1 i/ a0 b0 triệt tiêu (c2 , , cn ) ii/ Tồn c1  cho f g triệt tiêu (c1 , , cn ) Chứng minh Đặt c   c2 , , cn  , f  x1 , c   f  x1 , c2 , , cn  Giả sử a0 (c)  b0 (c)  Khi đó, ta có f ( x1 , c)  a0 (c) x1l   al (c), a0 (c)  0, g ( x1 , c)  b0 (c) x1m   bm (c), b0 (c)  0, Do giả thiết, h  Res  f , g, x1  triệt tiêu c nên (2) Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 1-8 b0 ( c )  a0 (c )    a0 ( c ) b0 ( c )  (3)  h(c)  det  a (c ) bm ( c )  l    al ( c ) bm ( c )   Từ (2) (3) ta thấy  h  c   Res  f  x1 ,c  , g  x1,c  , x1  Theo Mệnh đề 4, f  x1 , c  g  x1 , c  có nhân tử chung [ x1 ] , suy f  x1, c  g  x1 , c  có nghiệm chung, hay tồn c1  cho f  x1, c   g  x1, c   2.2 Bội giao mối quan hệ bội giao hai đường cong ( ) với bậc phương trình rút gọn Cho f đa thức k[ x1 , , xn ] , kí hiệu V ( f ) : (a1 , , an )  k n | f (a1 , , an )  0 Định nghĩa Cho C  V( f ) với f đa thức k[ x1 , , xn ] f  f11 f ss với f1 , , f s thành phần bất khả quy phân biệt f Đa thức f1 f s đa thức định nghĩa có bậc bé C phương trình f1 f s  gọi phương trình rút gọn C Phương trình rút gọn xác định cách nhất, sai khác số khác Bổ đề Cho f , g   x, y, z  đa thức có bậc m n Nếu f (0,0,1) g (0,0,1) khác khơng kết thức Res  f , g , z  đa thức biến x, y có bậc mn Chứng minh Viết đa thức f g thành đa thức theo z f  a0 z m   am , g  b0 z n   an Vì f đa thức bậc m nên  bậc i Hơn nữa,  x, y f  0,0,1  nên a0  Tương tự, bi  đa thức  x, y đa thức bậc i b0  Ta có kết thức f g xác định z định thức cấp m  n Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 1-8  a0   a1      Res  f , g , z  : det  am         b0 a0 b1 b0 a1 b1 a0 a1 am bn bn am n cét chỗ trống số Để chứng minh m cét       b0   b1       bn    Res  f , g , z  đa thức bậc mn , gọi cij phần tử hàng i cột j ma trận Ngoài vị trí số 0, ta có  ai  j cij    bni  j nÕu jn nÕu j  n Do đó, cij  đa thức bậc i  j j  n bậc n  i  j mn j  n Res  f , g , z  tổng hạng tử  ci (i ) với  hoán vị i 1 1, ,m  n   ci ( i )  ( i ) n Ta giả sử ci ( i ) tích khác khơng Nếu ta viết  c  ( i ) n i (i ) tích  (i  (i))   (n  i  (i)) Vì   ( i ) n ( i ) n đa thức bậc hoán vị 1, ,m  n nên tổng thứ có n số hạng, tổng thứ hai có m số hạng tất i nằm m  n xuất lần Do đó, ta xếp lại tổng để  mn mn  mn    i    (i )   mn   mn i 1  i 1  Suy Res  f , g , z  tổng đa thức bậc mn Vậy ta có điều cần chứng minh Bổ đề Cho F  [ x, y] đa thức khác khơng Khi đó, F viết thành F  c.(s1x  r1 y)m1 (st x  rt y)mt với  c  phân biệt  r1, s1  , ,  rt , st  ( ) Hơn nữa, V( F )  (r1, s1 ), ,(rt , st )  Chứng minh Đặt f  F ( x,1)  [ x] Giả sử trường đóng đại số nên điểm f  a0 xm   am ,  , a0  Vì f có đủ m nghiệm Do đó, f  a0 ( x  x1 )m1 ( x  xt )mt Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 1-8 với m1   mt  m Đặt xi  ri , i  1, , t Khi đó, si f  a0 ( x   r r1 m1 ) ( x  t ) mt s1 st a0 ( s1 x  r1 ) m1 ( st x  rt ) mt mt s st m1 a0 m m h , ta F  f  c(s1x  r1 y) (st x  r1 y) mt s st Xét đa thức không tương ứng với F f  F ( x,1)  c(s1x  r1 )m1 (st x  rt )mt  [ x] Đặt c  m1 Ta có r r V ( f )   , , t  ; st   s1  r r  V ( f h )  V ( F )  ( ,1), ,( t ,1)   ( r1 , s1 ), ,( rt , st )  st   s1 Định lí [Xem ] Cho A B hai đường cong ( ) khơng có chung thành phần bất khả quy Nếu bậc phương trình rút gọn A B m n A  B có nhiều mn điểm Chứng minh Giả sử A  B có nhiều mn điểm Chọn mn  điểm số chúng, đặt p1 , , pmn1 với  i  j  mn  1, đặt Lij đường thẳng qua pi p j Khi chọn điểm q  ( ) cho q A B  Lij (4) i j M  GL(3, ) cho ta ánh xạ M : ( )  ( ) Dễ tìm ma trận M thỏa mãn M (q)  (0,0,1) Nếu ta xem M phép đổi tọa độ q có tọa độ (0,0,1) hệ tọa độ Ta giả sử q  (0,0,1) (4) Giả sử f g có bậc m n Khi đó, từ (4) suy f (0,0,1)  (0,0,1)  A g (0,0,1)  (0,0,1)  B Do đó, theo Bổ đề 8, kết thức R( f , g , z) đa thức bậc mn theo biến x, y Vì f g có bậc dương theo z khơng có nhân tử chung [ x, y, z ] nên theo theo Mệnh đề ta có Res( f , g , z ) khác Ta biết, ma trận không Nếu lấy pi (ui , vi , wi ) kết thức nằm iđêan Res( f , g , z )(ui , vi )   f , g  (theo Mệnh đề 4) nên (5) Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 1-8 Chú ý đường thẳng nối q  (0,0,1) pi (ui , vi , wi ) cắt đường thẳng z  (ui , vi ,0) Từ (4) ta thấy q  (0,0,1)  Lij Do mn  đường thẳng qua q pi cắt đường thẳng z  mn  điểm (ui , vi ,0) phân biệt, nghĩa Res( f , g , z) triệt tiêu mn  điểm phân biệt Điều mâu thuẫn với Res( f , g , z) đa thức bậc mn Như ta có tiêu chuẩn để giao hai đường cong xạ ảnh ( ) hữu hạn Bước ta định nghĩa bội giao cho p  A  B Cho A B đường cong xạ ảnh ( ) , thành phần chung bất khả quy phương trình rút gọn f  g  Với cặp điểm p  q thuộc A  B , đặt Lpq đường thẳng xạ ảnh qua p q Chọn ma trận M  GL(3, ) cho hệ tọa độ xác định M ta có (0,0,1)  A  B  L pq (6) p  q A B Theo chứng minh Định lí 9, p  (u, v, w)  A  B kết thức Res ( f , g , z ) triệt tiêu (u, v) Do đó, theo Bổ đề 8, vx  uy nhân tử Res( f , g , z) Định nghĩa 10 Cho A B đường cong xạ ảnh ( ) , khơng có chung thành phần bất khả quy phương trình rút gọn f  g  Chọn hệ tọa độ ( ) cho (6) thỏa mãn Khi đó, cho p  (u, v, w)  A  B , bội giao I p ( A, B) (vx  uy) phân tích thành nhân tử Res( f , g , z) Định lí 11 [Xem ] Bội giao I p ( A, B ) tồn cho tất đường cong xạ ảnh số mũ nhân tử A B ( ) thỏa mãn tính chất sau đây: i/ I p ( A, B )  I p ( B, A) ii/ I p ( A, B )   p nằm thành phần chung A B , ngược lại số ngun khơng âm iii/ I p ( A, B )  p  A  B Định lí 12 [Xem ] Cho A B đường cong xạ ảnh ( ) , khơng có thành phần bất khả quy chung m, n bậc phương trình rút gọn chúng Khi  pA B Chứng minh Gọi lượt I p ( A, B)  mn f  g  phương trình rút gọn A B , có bậc lần m n Giả sử ta chọn hệ tọa độ thỏa mãn (3) Theo Bổ đề 8, ta có Res( f , g, z)  c(v1x  u1 y)m1 (vt x  ut y)mt với c số khác Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 23 (2020), 1-8 Với (u j , v j ) thỏa mãn Res ( f , g , z )(u j , v j )  , tồn w j  m j  I p j ( A, B) cho p j  (u j , v j , w j )  A  B (theo Mệnh đề 5) Ngoài ra, p  (u p , v p , wp )  A  B phân tích Res( f , g , z ) thành nhân tử, tồn nhân tử (v p x  u p y) I p ( A, B ) Như ta có  (v x  u Res( f , g , z )  c p pAB p y) I p ( A, B ) , c số khác p  (u p , v p , wp ) Do Bổ đề 7, ta có Mặt khác, c  pA B Vậy  pAB Res( f , g , z) có bậc mn (v p x  u p y ) I p ( A, B ) có bậc  pA B I p ( A, B) I p ( A, B)  mn Ví dụ 13 Cho f  x  yz g  x  y  yz đa thức 2 [ x, y,z] Ký hiệu A  V ( f ), B  V ( g ) đường cong xạ ảnh định nghĩa f g Dễ thấy đường cong A, B bất khả quy Hơn nữa, chúng khơng có thành phần chung, f  g  phương trình rút gọn A B Ta có Res ( f , g , z )  y x 8y x  4y 2  x y  y  y ( x  y )( x  y ) Theo Mệnh đề 5, ta có điểm thuộc A  B có tọa độ thỏa mãn y  hoặc 7x  y  x  y  Kết hợp với f  g  ta 4   A  B   p(0,0,1), q(2, 7, ), r (2,  7,  )  7   Vì điểm p(0,0,1)  A  B không thỏa mãn (6) nên theo Định nghĩa 10, kết thức Res ( f , g , z ) không cho ta giá trị bội giao Vì vậy, ta cần thực phép đổi tọa độ Chú ý điểm (0,1,0)  A  B  L pq  L pr  Lqr Ta xét phép biến đổi xạ ảnh M : mãn ( ) ( ) xác định M ( x, y, z )  ( z, x, y) , thỏa M (0,1,0)  (0,0,1) Để tìm phương trình rút gọn M ( A) M ( B) ta ý (u, v, w)  M ( A)  M 1 (u, v, w)  A  f ( M 1 (u, v, w))  Do M ( A) M ( B) xác định phương trình f ( y, z, x)   xz  y  g ( y, z, x)  z  xz  y  Res ( M ( f ), M ( g ), z )  x y2 x y2  x   y ( x  y )( x  y ) y2 Journal of Science – Phu Yen University, No.23 (2020), 1-8 Ta thấy (0,0,1)  M ( A)  M ( B)  LM ( p ) M ( q )  LM ( p ) M ( r )  LM ( q ) M( r ) 4 , 2, 7) , M (r )  ( , 2,  7) Vì vậy, theo Định 7 nghĩa 10 Định lí 11 ta suy I p ( A, B )  2, I q ( A, B )  1, I r ( A, B)  1, M ( p)  (1,0,0), M (q )  (  pA B [1] [2] [3] I p ( A, B)   deg f deg g , thỏa mãn Định lí 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Cox D., Little J., O'Shea D., Ideals, varieties, and algorithms, Undergraduate Texts in Mathematics Springer, New York, 2007 Fulton W., Algebraic curves An introduction to algebraic geometry, Advanced Book Classics Redwood City, CA etc.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc 1989 Frances Kirwan, Complex algebraic curves, Cambridge University Press, 1992 Using the resultants to identify the intersection multiplicity of the two curves in ( ) Tran Thi Gia Lam Phu Yen University Email: gialam1983@gmail.com Received: February 02, 2020; Accepted: February 17, 2020 Abstract A and B are supposed to be the two curves in ( ) ,and they not have the same irreducible compositions The problem we are interested in is to determine the intersection multiplicity of A and B and the relationship between the intersection multiplicity with the degrees of their reduced equations In this paper, we will present the use of resultants to solve the above problem Keywords: Resultants, intersection multiplicity  ... thuẫn với Res( f , g , z) đa thức bậc mn Như ta có tiêu chuẩn để giao hai đường cong xạ ảnh ( ) hữu hạn Bước ta định nghĩa bội giao cho p  A  B Cho A B đường cong xạ ảnh ( ) , khơng có thành... c   2.2 Bội giao mối quan hệ bội giao hai đường cong ( ) với bậc phương trình rút gọn Cho f đa thức k[ x1 , , xn ] , kí hiệu V ( f ) : (a1 , , an )  k n | f (a1 , , an )  0 Định nghĩa... c   f  x1 , c2 , , cn  Giả sử a0 (c)  b0 (c)  Khi đó, ta có f ( x1 , c)  a0 (c) x1l   al (c), a0 (c)  0, g ( x1 , c)  b0 (c) x1m   bm (c), b0 (c)  0, Do giả thiết, h  Res 