SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANHHÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2007- 2008 ĐỀTHI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐIỂM CỦA BÀI THI Các giám khảo (Họ tên và chữ ký) SỐ PHÁCH (Do chủ tịch hội đồng chấm thi ghi) Bằng số Bằng chữ ……………………………………. ……………………………………. Chú ý: 1. Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx-570MS. 2. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân. Đề bài Kết quả Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A: A= .5135135 +++++ Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số, biết rằng N là số chính phương và N là bội của 147. Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia P(x)=1+x+x 2 +…+x 100 cho Q(x)=1-x-x 2 +x 3 . Biết rằng khi x=0 thì phần dư là -2449. Câu 4: (5 điểm) Giải phương trình: 222442 )1(65)1( +−=++− xxxxxx Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức baxxxf ++= 2 )( thỏa mãn [ ] 1,1 2 1 )( −∈∀≤ xxf . Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức )(xf . Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có dạng A= 6 . 121 aaaa nn − và thỏa mãn: 121 .6 aaaa nn − =4A Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK ⊥ BC, PL ⊥ AC, PM ⊥ AB. Khi P chuyển động trên cung BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của PM AB PL AC PK BC S ++= Tóm tắt lời giải: 1 Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 = -2(x 6 -x 3 y-32) Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có dạng 21 xx và 21 yy . Biết rằng 2121 yyxx chia hết cho 21 yy . 21 xx Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1. Tóm tắt lời giải: 2 HƯỚNG DẪN CHẤM Đề bài Kết quả Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A: A= .5135135 +++++ Vì A> 5 , bình phương hai vế: (A-3)[(A+3)(A+1)(A-1)-1]=0 <=> A= 3 (5 điểm) Có thể dùng máy tính, tính trực tiếp Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số, biết rằng N là số chính phương và N là bội của 147. 1764 3969 7056 Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia P(x)=1+x+x 2 +…+x 100 cho Q(x)=1-x-x 2 +x 3 . Biết rằng khi x=0 thì phần dư là -2449. Phần dư có bậc nhỏ ≤2 (r(x)=ax 2 +bx+c). Và Q(x)=(x-1) 2 (x+1). Vậy P(x)=H(x).[(x-1) 2 (x+1)]+r(x) Với x = 0, x = 1,x = -1 ta tìm được: a=2500 (2 điểm) b=50 (2 điểm) c=-2449 (1 điểm) Câu 4: (5 điểm) Giải phương trình: 222442 )1(65)1( +−=++− xxxxxx 5x 4 -5x 2 (x 2 -x+1) 2 +(x 2 -x+1) 4 -x 2 (x 2 -x+1) 2 = =…=[x 2 -(x 2 -x+1) 2 ][5x 2 -(x 2 -x+1) 2 ]= (x-1) 2 (x 2 +1)[x 2 -( 5 +1)x+1] [x 2 +( 5 -1)x+1]=0 Vậy: x=1 (1 điểm) 2 52215 +−+ = x ≈0,3460143(2 điểm) 2 52215 +++ = x ≈2,8900536(2 điểm) Câu 5: (5 điểm) Cho đa thức baxxxf ++= 2 )( thỏa mãn [ ] 1,1 2 1 )( −∈∀≤ xxf . Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức )(xf . Thay x=-1, 0, 1 giải hệ bất phương trình ta tìm được: a=0 (2,5 điểm) b= 2 1 − =-0,5 (2,5 điểm) Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có dạng A= 6 . 121 aaaa nn − và thỏa mãn: 121 .6 aaaa nn − =4A A=153846 (5 điểm) Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK ⊥ BC, PL ⊥ AC, PM ⊥ AB. Khi P chuyển động trên cung BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của PM AB PL AC PK BC S ++= Tóm tắt cách giải: Trên cung BC chứa A lấy N sao cho cung(BN)=cung(CA). PN cắt BC=E. (1 điểm) Hai tam giác PBE và PAC đồng dạng (vì góc(BPE)=góc(APC) và góc(PBE)=góc(PAC)) (1 điểm) Tương tự: hai tam giác PCE và PAB đồng dạng (0,5 điểm) Do đó: PL AC PK BE = và PM AB PK CE = => PM AB PL AC PK BC PK CEBE +== + (1 điểm) 3 Vậy PK BC PM AB PL AC PK BC S 2 =++= (0,5 điểm) Do BC cố định nên S nhỏ nhất khi PK lớn nhất tức: BC 2 1 PK = và S min =4 (1 điểm) Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y 2 =-2(x 6 -x 3 y-32) Ta có: (x 2 ) 3 +(x 3 -y) 2 =64 Mà 64=0 2 +4 3 hoặc 64=0 3 +8 2 . Vậy có 4 cặp (x,y): (0,8); (0,-8); (2,8); (-2,-8) Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên có dạng 21 xx và 21 yy . Biết rằng 2121 yyxx chia hết cho 21 yy . 21 xx Ta có hai cặp: 13 và 52 (2,5 điểm) 17 và 34 (2,5 điểm) Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1. Giải: Giả sử ngũ giác đều ABCDE thoả mãn bài toán. Xét ∆BCD và ∆ECD vì S BCD = S ECD =1, đáy CD chung nên các đường cao hạ từ B, E xuống CD đều bằng nhau nên EB//CD. Tương tự: AC//DE, BD//EA, CE//AB, DA//BC. (1 điểm) Gọi I = EC ∩ BD => ABIE là hình bình hành. => S IBE = S ABE =1. Đặt S ICD = x < 1 => S IBC = S BCD - S ICD =1-x = S ECD - S ICD = S IED Có: IBE IBC IDE ICD S S IE IC S S == (2 điểm) hay 1 1 1 x x x − = − => x2-3x+1=0 => x = 2 53 ± do x < 1 => x = 2 53 − . Vậy S IED = 2 15 − (1 điểm) Do đó S ABCDE = S EAB + S EBI + S BCD + S IED = 3 + 2 15 − = 2 55 + ≈ 3,6180340 (1 điểm) 4 A B C E D I . 2 -x+1) 2 +(x 2 -x+1) 4 -x 2 (x 2 -x+1) 2 = =…=[x 2 -( x 2 -x+1) 2 ][5x 2 -( x 2 -x+1) 2 ]= (x-1) 2 (x 2 +1)[x 2 -( 5 +1)x+1] [x 2 +( 5 -1 )x+1]=0 Vậy: x=1. ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 200 7- 2 008 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: