Kiến thức bổ sung về xác suất

http://www.ebook.edu.vn Chơng 1. kiến thức bổ Sung về xác suất Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng 1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc Tên Kí hiệu Xác suất P { } Xk= Kì vọng Phơng sai Nhị thức B(n,p) kk nk n C p (1 p) ;k 0,1, ., n = np np(1-p) Poisson P( ) k e ;k 0,1, . k! = Hình học G(p) p(1-p) k=0,1,2, . k ; 1p p 2 1p p Siêu hình học H(N,n,p) knk Np N Np n N CC ;k 0,1, ., n C = . Các luật phân bố rời rạc khác: đều rời rạc, nhị thức âm, . 1.1.2Biến ngẫu nhiên liên tục Tên Kí hiệu Mật độ Kì vọng Phơng sai Đều U([a;b]) 1 ;a x b b a ab 2 + 2 (b a) 12 Mũ E( ) x e ; ,x>0 1/ 2 1/ Cauchy C (,) 22 /[ ( (x ) )] + Không tồn tại Không tồn tại Chuẩn N(m, 2 ) 2 2 2 1(xm) exp ( 0) 2 2 > m 2 Gamma (r, ) r1 x (x) e ; ,r,x 0 (r) > r 2 r Khi bình phơng 2 (n) nxn 1 222 x e /(2 (n / 2); x 0,n 1, 2, . >= n 2n Student T(n) ((n 1) / 2)) n(n/2) + 2 (n 1)/2 x (1 ) n + + 0 n n2 Fisher- Snecdecor F(n,m) n2 nm 2 Bx (m nx) ; + + 2 m, n, x > 0 Weibul W( ,) 1x xe ;,,x0 > 1 (1 1 / ) + Lôga chuẩn 2 LN(m, ) 2 1 2 2 1 (ln x m) xexp ;,x0 2 2 > exp 2 m 2 + Rayleigh 2 (x a) /b 2 (x a)e , x a b b a 4 + 4 b 4 http://www.ebook.edu.vn Lu ý: với u>0 hàm Gamma. u1 t o (u) t e dt = Tính chất: ; (u 1) u (u)+= (n) (n 1)! ; (1/ 2) = = . Các luật phân bố liên tục khác: Bê ta, tam giác, . Biến ngẫu nhiên chuẩn rất quan trọng ta dành ra 1 phần riêng. Đ.1.2. Biến ngẫu nhiên chuẩn 1.2.1.Tính chất hàm mật độ . f(x) = 2 2 2 1(xm) exp ( 0) 2 2 > +Hàm mật độ xác định trên Ă ; +f(x) > 0: Đồ thị nằm trên trục hoành; +Trục Ox là tiệm cận ngang; +Giá trị cực đại 2 1 2 , đạt đợc tại x = m; +Đồ thị đối xứng qua đờng thẳng x=m, có dạng hình chuông (Hình 1.1). Hình 1.1. Đồ thị hàm mật độ của phân bố chuẩn. 2 1 2 m x O 1.2.2.Các tham số đặc trng 2 E[X] m; D[X] . = = (1.1) Nh vậy nhận thấy rằng, chỉ cần biết kì vọng và phơng sai là có thể biết mật độ f(x) và do đó hoàn toàn biết về phân bố chuẩn. Còn có thể tính đợc +Độ chệch Skew(X) = 3 3 E[(X EX) ] = 0; +Độ nhọn Kurt(X) = 4 4 E[(X EX) ] - 3 = 0. (1.2) 1.2. 3.Bnn chuẩn hoá (chuẩn tắc). X đợc gọi là biến nn chuẩn tắc nếu X N(0,1).Hàm mật độ của nó cho bởi 8 http://www.ebook.edu.vn 2 x 2 1 (x) e 2 = . (1.3) Đặc điểm : -Giá trị của đợc lập bảng với x (x) {0;4]; -Đồ thị đối xứng qua trục tung; -Hàm phân bố tơng ứng 2 t x 2 1 F(x) e dt 2 = (1,4) cũng đợc lập bảng. Tuy nhiên, để tiết kiệm bảng, thay cho F(x), ngời ta lập bảng giá trị của hàm Laplace: 2 t x 2 0 1 (x) e dt, 2 = x [0; 3]. (1.5) Với x > 3, coi (x) 1 2 . Hình 1.2. Đồ thị hàm mật độ chuẩn hoá (a) và đồ thị hàm Laplace (b). Khi cần tính F(x) qua (x) hay ngợc lại, dùng công thức : F(x) = 1 2 + (x). (1,6) Công thức sau rất có ích để tính xác suất X nằm trên đoạn nào đó: [] { } PX a;b (b) (a).= (1,7) 1.2.4.Biến đổi tuyến tính bnn chuẩn. +Cho X N(m, ) Y= a X+b có phân bố chuẩn. 2 a,b ,Ă Từ đó dễ thấy aX+b N(am+b, 22 a ). +Hệ quả. X 2 Xm N(m, ) U = N(0,1). (1.8) 9 http://www.ebook.edu.vn Hệ quả này cho ta phơng pháp thuận lợi để tính { } PX [a;b] : [] { } PX a;b =P amXm bm b mam ()(). = (1.9) 1.2.5.Phân vị .Phân vị chuẩn mức , kí hiệu U , là giá trị xác định bởi { } PU U >= , với U N(0,1) 2 t 2 U 1 edt 2 + = . (1.10) Hình 1.3. Phân vị chuẩn mức . Tính chất: 1 UU = . (1.11) Một số giá trị đặc biệt: (1.12) 0,10 0,025 0,05 0,01 U 1,280; U 1,960; U 1,645; U 2,326. == == Lu ý: Nhiều tài liệu không lập bảng của U mà lập bảng của hoặc p u với { } PU p <= ; { } PU u < = . 1.2. 6. Sai số trung gian, dạng mật độ chuẩn dùng trong pháo binh. Cho X , U ( 2 Nm, ) là phân vị chuẩn mức , đặt == 6745,0UL 25,0 ; .4769,02/U 25,0 == (1.13) Chúng ta có thể viết lại hàm mật độ của X dới dạng () 22 (x m) /L fx e L 2 = . (1.14) Rõ ràng là , nếu m = 0 thì {} 5,0LXLP =<< . (1.15) 10 http://www.ebook.edu.vn Nh vậy nếu quan sát BNN chuẩn quy tâm nhiều lần thì có khoảng 50% số lần BNN đó rơi vào khoảng (-L;L). Chính vì thế, L đợc gọi là sai số trung gian, nó tỉ lệ với độ lệch chuẩn. Dạng mật độ (1.14) của phân bố chuẩn hay đợc dùng trong pháo binh. 1.2.7.Quy tắc 2, 3 . Cho X N(m, ), theo công thức (1.9) ta có 2 {} Xm PX m P <=< < =2 () . (1.16) Thay ta đợc 1,2,3= { } P X m 1 2 (1) 0,68268<== ; { } P X m 2 2 (1) 0,95450<== ; { } P X m 3 2 (1) 0,9973.<== (1.17) Các xác suất 0,9545; 0,9973 là các xác suất rất lớn. Theo nguyên lí xác suất lớn ta có quy tắc 2 sau đây: ,(3 ) Quy tắc.Nếu BNN có phân bố chuẩn thì hầu nh chắc chắn (độ tin cậy trên 95%(trên 99%)), BNN chỉ sai lệch với giá trị trung bình cuả nó một lợng không quá 2 ). (3 ) 1.2.8.Tính phổ cập của phân bố chuẩn. Thực tế chúng ta rất hay gặp phân bố chuẩn. Sở dĩ nh vậy vì xảy ra Định lí giới hạn trung tâm sau đây (xem mục 3.5.2d): Nếu bnn X là kết quả của rất nhiều nguyên nhân, mỗi nguyên nhân chỉ có vai trò không đáng kể đến kết quả cuối cùng thì X có phân bố rất gần phân bố chuẩn. Đ1.3.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn. 1.3.1.Véc tơ kì vọng, ma trận tơng quan, ma trận hệ số tơng quan a)Trờng hợp 2 biến. Xét 2 BNN X, Y bình phơng khả tích. Mô men tơng quan (gốc) của X và Y, kí hiệu , xác định theo công thức XY R XY RE[XY= ]. Hiệp phơng sai của X và Y, kí hiệu Cov(X,Y) xác định bởi . Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)]= Hai BNN X và Y đợc gọi là không tơng quan nếu . Cov(X,Y) E[(X EX)(Y EY)] 0= = Điều này tơng đơng với . E[XY] E[X] E[Y]= Trái lại, nếu đẳng thức không xảy ra, X và Y đợc gọi là không tơng quan. 11 http://www.ebook.edu.vn Nếu X và Y độc lập thì chúng không tơng quan. Ngợc lại không đúng: Tồn tại những BNN X và Y không tơng quan, song chúng không độc lập. Đối với 2 BNN chuẩn X, Ythì X và Y độc lập X và Y không tơng quan. b) Trờng hợp tông quát. Cho là VTNN với các thành phần là những BNN bình phơng khả tích. Đặt 1 T 1n n X X . (X , ., X ) X == 11 nn E[X ] m m E[X] . . E[X ] m == = - véc tơ kì vọng; Ma trận tơng quan của X cho bởi ( ) ij i j R(R) E[XX]== . Rõ ràng . 2 ii i RE[X = ] Ma trận hiệp phơng sai của X cho bởi ij () = = Cov(X) = E[(X-m) . (1.18) T (X m) ] Lu ý: 22 ii iiii D[X ] E[(X m ) ]= = = j - phơng sai của . i X ij = - hiệp phơng sai của . iijj i E[X m )(X m )] Cov(X ,X ) = ij X,X ij i i j j ij ij ij Cov(X ,X ) E[(X m )(X m )] D[X ]D[X ] D[X ]D[X ] = = - hệ số tơng quan của . ij X,X R -ma trận các hệ số tơng quan. ij () = c)Tính chất 1) ij 1, i, j. (1.19) 2) Nếu các thành phần X 1 độc lập thì không tơng quan và R= ma trận chéo, n j , .,X i X,X ij (R ) ij () -ma trận đơn vị . Ngợc lại không đúng. 3) và R đối xứng , xác định không âm. 1.3.2. VTNN chuẩn, các tính chất quan trọng. VTNN X= đợc gọi là VTNN chuẩn ( X gọi là có phân bố chuẩn trong T 1n (X , .,X ) n Ă ) nếu tổ hợp tuyến tính bất kì các thành phần của nó có phân bố chuẩn. 12 http://www.ebook.edu.vn Nói cách khác, u 1 , ., u n , BNN Y= 11 n n uX . u X + + có phân bố chuẩn. Hệ quả. Từng thành phần của VTNN chuẩn là BNN chuẩn. Lu ý: Điều ngợc lại nói chung không đúng: Từng thành phần của VTNN là chuẩn chuẩn. T 1n X (X , .,X ) = T 1n X (X , .,X ) = Bây giờ gọi m = E[X] là véc tơ kì vọng và = Cov(X) là ma trận hiệp phơng sai của X (dễ thấy tồn tại ), phân bố chuẩn đợc kí hiệu bởi N(m, ). VTNN chuẩn X có véc tơ kì vọng m và ma trận hiệp phơng sai đợc kí hiệu bởi X N(m, ). + Nếu định thức của bằng 0 thì VTNN chuẩn X đợc gọi là suy biến. Đặt (hạnh của ), tồn tại không gian con k chiều của kRang()= n Ă để chiếu của X trên không gian này là VTNN chuẩn không suy biến. Mệnh đề- định nghĩa. Giả sử X là VTNN chuẩn với ma trận tơng quan . Nếu det( ) 0 thì X đợc gọi là VTNN chuẩn không suy biến và mật độ của nó cho bởi f(x)= T1 n/2 1/2 11 exp (x m) (x m) 2 (2 ) (det ) , n x Ă . (1.20) Nh vậy, véc tơ giá trị trung bình m và ma trận hiệp phơng sai hoàn toàn xác định phân bố chuẩn; các thông tin về mô men cấp cao hơn là không cần thiết. Đặt 1 n G. = Dễ thấy 1 G = 1 n 1/ . 1/ , với ii D[X ]= Lại đặt ; 11 RG G = Dễ thấy = GRG ; 111 GRG 1 = ; 11 1n 1 n1 nn D D 1 R det(R) D D = trong đó là phần phụ đại số của trong ma trận R. Thay vào (1.20) ta đợc ij D ij R 13 http://www.ebook.edu.vn f(x) = n jj ii ij n/2 1/2 ij i,j 1 1n xm 11xm exp D . 2 . (2 ) (det R) = (1.21) Mệnh đề . Cho X = T 1n (X , .,X ) N(m, ): . Khi đó là các BNN độc lập khi và chỉ khi không tơng quan 1 X , .,X n n1 X , .,X ( là ma trận chéo: 2 1 2 n . = ) 1.3.3.Biến đổi tuyến tính VTNN chuẩn. Mệnh đề. Cho X N(m, ), A- ma trận cấp k ì n tuỳ ý còn k b Ă bất kì. Khi đó VTNN Y=AX+b có phân bố chuẩn trên k Ă với T E[Y] Am b; Cov(Y) A A . =+ = Hệ quả. Giả sử X N(m, ) là VTNN chuẩn trong n Ă . Khi đó tồn tại ma trận trực giao A sao cho U = A(X-m) N(0, D) : trong đó D là ma trận chéo, các phần tử trên đờng chéo chính của nó không âm. Nếu X không suy biến (det 0 ) thì các phần tử trên đờng chéo chính của D dơng. Chứng minh. Ta chứng minh cho trờng hợp det 0 . Khi đó, đối xứng, xác định dơng, vậy tồn tại ma trận trực giao F có các véc tơ cột e i là các véc tơ riêng của với các giá trị riêng i tơng ứng sao cho D = 1 1T n FF . = (1.22) là ma trận chéo. Vì xác định dơng nên các giá trị riêng i 0 > . Đặt A = 1 F thì E[U] = 0 ; Cov(U) = E TTT [F (X m)(X m) F] F F D == . (1.23) Khi đó U là VTNN chuẩn, quy tâm, các thành phần độc lập. Bởi vì mỗi phép biến đổi trực giao chính là một phép quay trong n Ă nên ta có thể phát biểu hệ quả trên bằng lời nh sau: Đối với mỗi VTNN chuẩn, ta có thể dùng một phép quay thích hợp để biến nó thành VTNN chuẩn với các thành phần độc lập. 14 http://www.ebook.edu.vn Hình 1.4.Đờng đồng mức của mật độ chuần 2 chiều. O x y 1.3.4. Một số BNN liên quan đến VTNN chuẩn. Mệnh đề. độc lập cùng phân bố chuẩn N(0,1) thì 1 X , .,X n 222 1n YX .X (n)=++ : . (1.24) Mệnh đề. U N(0,1) , V , U, V độc lập thì : 2 (n): U T V/n = T(n): . (1.25) Mệnh đề (Fisher). Nếu X = là VTNN n chiều sao cho các thành phần là những BNN độc lập, cùng phân bố chuẩn N(m, T 1n (X , .,X ) 2 ) thì : a) n i i1 1 XX n = = và () n 22 i i1 1 SX n X = = là hai BNN độc lập; b) 2 2 2 n 2 i 2 i1 XN(m, ); n XX nS (n 1). = = : : (1.26) Hệ quả. độc lập cùng phân bố chuẩn N(m, 1 X , .,X n 2 ) thì n 2 i i1 Xm n 1 (X X) n1 = : T = T(n-1). (1.27) 1.3.5.Một số phân vị khác. a) . Phân vị mức của phân bố Khi bình phơng với n bậc tự do, kí hiệu là , là giá trị xác định từ biểu thức: 2 (n) 2 (n) 15 http://www.ebook.edu.vn { } 2 PX (n) > = , 01< < trong đó . 2 X(: n) b) . Phân vị Student mức t(n) với n bậc tự do, kí hiệu là , là giá trị xác định từ biểu thức: t(n) { } PT t (n) >= , 01<< trong đó T . T(n): Tính chất: * 1 t (n) t (n) = ; * t(n) U với n > 30. Ngời ta lập bảng giá trị của 2 (n) và t(n) với những giá trị khác nhau của và n. 2 t(n) (n) Hình 1.5. Phân vị của phân bố Khi bình phơng(a) và của phân bố Student (b). 1.3.5.Véc tơ ngẫu nhiên chuẩn 2 chiều. Cho Z = (X,Y) là VTNN chuẩn 2 chiều (không suy biến) với véc tơ kì vọng m = ( và ma trận hệ số tơng quan ) . T 1, 2 mm 1 R 1 = Theo công thức (1.21), mật độ đồng thời của Z cho bởi f(x,y) = 22 112 2 2 1122 12 1 1 xm xmxm xm exp 2 2(1 ) 21 2 + . (1.28) Dễ dàng tính đợc E[X 1 ] = m; D[X] = 2 1 ; E[X 2 ]= m; D[X] = 2 2 ; XY . = (1.29) Đặc biệt, nếu X và Y độc lập = 0 ( X và Y không tơng quan), mật độ đồng thời cho bởi 16 [...]... dx (1.44) Ngời ta cũng hay xét hàm khối lợng xác suất của BNN X p(x) = P {X = x} , x Ă Ví dụ Cho X là BNN với bảng xác suất X P 1 0,5 2 0,3 4 0,2 0,5 0,3 p(x) = 0, 2 0 khi x = 1 khi x = 2 khi x = 4 trai lai Hàm mật độ (suy rộng) và hàm khối lợng xác suất thể hiện ở Hình 1.8 y y 0,5 0,5 O 1 2 4 x O 1 2 4 x Hình 1.8 Hàm mật độ (a) và hàm khối lợng xác suất (b) của BNN rời rạc http://www.ebook.edu.vn... (tức là kì vọng 0), độc lập, và cùng độ lệch chuẩn 4 mét Tính xác suất để đạn rơi vào vòng tròn tâm O bán kính 3 mét 1.15 Giả sử điểm đạn rơi (X,Y) có phân bố chuẩn, trong đó độ lệch hớng X : N(0, 4) , độ lệch tầm Y : N(0, 5) , X và Y độc lập Tính xác suất để đạn rơi vào vòng tròn bán kính 3 mét, tâm tại điểm ngắm bắn 1.16 ứơc lợng xác suất đạn trúng vào xe tăng, biết rằng ta ngắm bắn vào điểm giữa... dới dạng 2 x2 2 y2 f (x, y) = exp 2 + 2 (1.33) L L D L H LH D trong đó LD - sai số trung gian về tầm, LH - sai số trung gian về hớng Đối với hầu hết các pháo thông dụng, LD lớn gấp 10 ữ15 lần LH Elip tản mát (E) là elíp có các bán trục 4LD, 4LH (có tài liệu ghi là LD, LH) Xác suất để điểm đạn rơi (X,Y) nằm ngoài elip tản mát rất nhỏ, có thể bỏ qua: X 2 Y 2 2 P {( X, Y ) ( E )}... nhỏ, có thể bỏ qua: X 2 Y 2 2 P {( X, Y ) ( E )} = P + 4U 0,25 0,025 (1.34) X Y Ngời ta chia (E) thành các vùng với tỉ lệ % xấp xỉ đạn rơi vào (Hình 1.5); nhờ đó có thể tính dễ dàng xác suất đạn rơi vào miền G cho trớc nào đó ( ) y 2 7 16 25 LH 25 16 LD 7 2 http://www.ebook.edu.vn 17 x Hình 1.6 Elip tản mát với thang chia độ 1.4 Mở rộng khái niệm mật độ đối với BNN rời rạc +Chúng ta... thì E[X] =(1-p)/p 1.2 Chứng tỏ rằng nếu X : U [ a; b] thì E[X] = a+b (b a) 2 ; D[X] = 2 12 1.3 Cho X : N(m, 2 ) ; chứng tỏ rằng E[X] =m 1.4 Cho X : N(2, 9) Viết ra hàm mật độ của X và tính các sác suất b)P {1 X 4} a) P {0 < X 1} ; 1.5 Cho X : N(0,1) Tìm mật độ của Y = 2X 3 Tính E[Y], D[Y] 1.6 Cho X : N(0,1) Tính P {X > 1, 645} ; P {X > 1,960} ; P { X > 1,960} 1.7 Viết mật độ của phân bố chuẩn,... 2} ; 1.8 Đờng kính của viên bi có phân bố chuẩn với trung bình 20 và độ lệch chuẩn 0,5 Quy tắc 2; 3 khẳng định cho ta điều gì? 1.9 Cho (X,Y) : N(0, ) 1 a) Giả sử = 0 b)Giả sử 4 = 1 0 , kết luận gì về tính độc lập giữa X và Y? 3 1 , tìm hệ số tơng quan giữa X và Y 9 http://www.ebook.edu.vn 20 1.10 Ma trận nào sau đây là ma trận hiệp phơng sai? 2 0 a) 0 ; 1 2 b) 1 1 ; 1 2 0 c) 1 1 ; 1 d) 1 1... cao chúng ta có kết quả quan trọng sau đây: Nếu (X, Y) là VTNN chuẩn quy tâm thì E[X 2 Y 2 ] = E[X 2 ]E[Y 2 ] + 2E 2 [XY] (1.31) Bây giờ chọn X = Y : N(0, 2 ) thì E[X 4 ] = 34 và chúng ta nhận đợc công thức tính độ nhọn (1.2) 1.3.6 Mật độ chuẩn 2 chiều dùng trong pháo binh - Elíp tản mát Để nghiên cứu mức độ tản mát của đạn rơi trên mặt phẳng nằm ngang, ngời ta lập hệ trục Oxy với gốc O trùng với mục . 1. kiến thức bổ Sung về xác suất Đ1.1.Các biến ngẫu nhiên quan trọng 1.1.1.Biến ngẫu nhiên rời rạc Tên Kí hiệu Xác suất P { } Xk= Kì vọng Phơng sai Nhị thức. } P X m 3 2 (1) 0,9973.<== (1.17) Các xác suất 0,9545; 0,9973 là các xác suất rất lớn. Theo nguyên lí xác suất lớn ta có quy tắc 2 sau đây: ,(3 ) Quy