Cơ học lý thuyết P13

-190- Chơng 13 Lý thuyết va chạm 13.1. Các đặc điểm và giả thiết về va chạm 13.1.1. Định nghĩa Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt trong đó vận tốc của vật biến đổi rõ rệt về cả độ lớn và phơng chiều trong một thời gian vô cùng bé. Thí dụ: Quả bóng đập vào tờng lập tức bắn trở lại, búa đập vào đe sẽ dừng lại hẳn hay nẩy lên.v.v. 13.1.1.2. Các đặc điểm và các giả thiết đơn giản hoá - Thời gian va chạm: Theo định nghĩa thời gian va chạm là rất nhỏ, thực tế thời gian va chạm thờng bằng 10 -2 giây, 10 -3 giây hoặc 10 -4 giây tuỳ thuộc vào cơ lý tính của vật va chạm. Vì thời gian va chạm rất nhỏ nên đợc xem là một đại lợng vô cùng bé. Vận tốc và gia tốc: cũng theo định nghĩa thì vận tốc của vật thay đổi đột ngột và do đó lợng biến đổi vận tốc v của vật trong thời gian va chạm là giới nội. Mặt khác theo giả thiết thời gian va chạm là vô cùng bé nên gia tốc trung bình trong quá trình va chạm w tb = v/ là đại lợng rất lớn. Trong đó là thời gian va chạm. Nếu gọi l là đoạn đờng dịch chuyển trong thời gian va chạm của vật thì: l = = 0 dtv r .v tb r Vì là đại lợng vô cùng bé nên l cũng là đại lợng vô cùng bé. Để đơn giản ngời ta đa ra giả thiết trong quá trình va chạm cơ hệ không di chuyển vị trí. - Lực và xung lực va chạm -191- Khi va chạm ngoài các lực thờng nh trọng lực, lực cản.v.v. vật còn chịu tác dụng của phản lực nơi tiếp xúc (Lực tác dụng tơng hỗ). Chính lực này là nguyên nhân tạo nên gia tốc chuyển động của vật trong quá trình va chạm. Lực đó gọi là lực va chạm ký hiệu N r . N t N * O Hình 13-1 N(t) Lực va chạm N r khác với lực thờng F r nó chỉ xuất hiện trong quá trình va chạm, không tồn tại trớc và sau va chạm. Thờng khó xác định trớc đợc lực va chạm nhng quy luật biến đổi của nó có thể biểu diễn trên hình (13. 1). Vì gia tốc trong va chạm là rất lớn nên lực va chạm N r cũng rất lớn. Thông thờng lực va chạm lớn hơn rất nhiều so với lực thờng F r . Mặt khác lực va chạm lại biến đổi rất rõ trong thời gian va chạm vô cùng nhỏ nên ngời ta đánh giá tác dụng của nó qua xung lực. áp dụng định lý biến thiên động lợng cho hệ trong thời gian va chạm có thể viết: m k v k = + (k = 1 .n). 0 k dtF r 0 dtN r Trong đó xung lực của lực thờng là rất nhỏ so với xung lực va chạm và ảnh hởng của nó đến lợng biến đổi động lợng của hệ không đáng kể. Ngời ta đa ra giả thiết là bỏ qua tác dụng của lực thờng. Ta có thể viết biểu thức biến thiên động lợng của hệ trong va chạm nh sau: 0 k dtF r m k v k = = (13-1) 0 dtN r s r Biểu thức (13-1) là phơng trình cơ bản trong quá trình va chạm. - Biến dạng và hệ số hồi phục -192- Quan sát quá trình va chạm ngời ta chia ra hai giai đoạn: giai đoạn biến dạng và giai đoạn hồi phục. Giai đoạn biến dạng trong thời gian 1 từ lúc bắt đầu va chạm cho đến khi vật thôi biến dạng. Giai đoạn hồi phục kéo dài trong thời gian 2 từ khi kết thúc giai đoạn biến dạng đến khi lấy lại hình dạng ban đầu đến mức độ nhất định tuỳ thuộc vào tính chất đàn hồi của vật. Căn cứ vào mức độ hồi phục của vật ta có thể chia va chạm thành ba loại: va chạm mềm là va chạm mà sau giai đoạn biến dạng vật không có khả năng hồi phục tức là không có giai đọan hồi phục. Va chạm hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm vật lấy lại nguyên hình dạng ban đầu. Va chạm không hoàn toàn đàn hồi là va chạm mà sau khi kết thúc va chạm vật lấy lại một phần hình dạng ban đầu. Để phản ánh tính chất hồi phục của vật ở giai đoạn hai ( gia đoạn hồi phục) ta đa ra khái niệm hệ số hồi phục k. k bằng tỷ số giữa xung lực giai đoạn 2 và xung lực giai đoạn 1 ta có: k = 1 2 S S Với khái niệm trên ta thấy ứng với va chạm mềm k = 0; với va chạm hoàn toàn đàn hồi k =1 và va chạm không hoàn toàn đàn hồi 0 < k < 1. 13.2. Các định lý tổng quát của động lực học áp dụng vào va chạm Căn cứ vào các giả thiết và phơng trình cơ bản có thể thiết lập các định lý tổng quát trong quá trình va chạm nh sau: -193- 13.2.1. Định lý biến thiên động lợng Xét va chạm của một cơ hệ gồm các chất điểm M 1 , M 2 , . M n có khối tâm c và vận tốc v r c . Gọi khối lợng của hệ là M = m = n 1k k , với m k là khối lợng của chất điểm thứ k. Ta có biểu thức động lợng của cả hệ là: K r = m = n 1k k v r k = M v r C Gọi tổng xung lợng va chạm ngoài tác dụng lên chất điểm m k là S r k e và tổng xung lợng va chạm trong S r k i ta có S = n 1k r k i = 0. Nếu bỏ qua xung lợng của lực thờng thì định lý biến thiên động lợng cho hệ viết đợc: M V r C(2) - M V r C(1) = = n 1k S r k e (11-2) Trong đó V r C(2) và V r C(1) là vận tốc khối tâm của hệ sau và trớc lúc va chạm. Thí dụ 13.1. Qủa cầu có trọng lợng P = 1KN rơi ở độ cao H = 3m xuống mặt phẳng nhẵn. Cho biết hệ số hồi phục k = 5/9. H h Xác định xung lực va chạm s trong thời gian va chạm và vận tốc của quả cầu sau va chạm (hình 13.2). Bài giải: áp dụng định lý biến thiên động lợng ta có: M( s)vu r rr = v,u rr là vận tốc của quả cầu lúc va chạm vào mặt phẳng. Các véc tơ này có phơng thẳng đứng. Chiếu biểu thức lên phơng thẳng đứng ta đợc: Hình 13.2 M (u + v) = S (a) -194- Vận tốc của quả cầu trớc lúc va chạm là: v = s/m7,73.81,9.2gH2 = Để xác định vận tốc u sau va chạm ta áp dụng định lý biến thiên động lợng cho từng giai đoạn biến dạng và phục hồi. Gọi v' là vận tốc của quả cầu ứng với cuối giai đoạn biến dạng ta có: M(u+v') = S 1 S 1 là xung lợng va chạm trong giai đoạn biến dạng, ở đây v' bằng vận tốc mặt sàn nên bằng không, v' = 0 ta có: Mv = S 1 Đối với giai đoạn hồi phục ta cũng có: M(u+v') = S 2 Mu = S 2 Theo định nghĩa về hệ số hồi phục ta có: k = 9 5 v u M M s s v u 1 2 === Suy ra u = kv = 9 5 .7,7 = 4,3 m/s Thay vào biểu thức (a) ta đợc: s = () KNS2,1k1.v. g P + Nếu lấy thời gian va chạm = 0,0005 giây thì lực va chạm trung bình là N tb = KN2400 S = . 13.2.2. Định lý biến thiên mômen động lợng Tách một chất điểm thứ k trong hệ là M k để xét. Ta có thể viết biểu thức biến thiên mômen động lợng của chất điểm nh sau: () ( ) ( ) i k0 e k0kkkk0 smsmvmu.m.m r rrr rr r += Thiết lập cho cả hệ ta sẽ có: () () ( ) ( ) i k0 N 1i e k0 N 1i kk0kk0 smsmvmmu.mm rrrr r r r r == += -195- ở đây . Nếu bỏ qua lực thờng thì là mômen có xung lực va chạm ngoài đối với tâm O. () 0sm N 1k i k0 = = rr ( = N 1k e k0 sm rr ) Ta có: () () ( ) e k N 1k 01020 SmLL r r rr = = (13-13) Trong đó ; là mômen động lợng của hệ đối với tâm O tại thời điểm sau và trớc lúc va chạm. () 20 L r () 10 L r Chiếu biểu thức (13-3) lên một trục Ox nào đó ta đợc: L x (2) - L x (1) = ( ) = N 1k e kx sm r (13-3)' Trong biểu thức (13-3), L x (2) và L x (1) là mômen động lợng của hệ đối với trục Ox, còn là tổng mô men lấy đối với trục Ox cả xung lực va chạm ngoài S ( = N 1k e kx sm r ) k e . Biểu thức (13-3)' đợc áp dụng cho va chạm của các vật chuyển động quay. Thí dụ 13-2: Hai bánh răng độc lập với nhau quanh cùng một trục với vận tốc góc là 1 và 2 . Cho biết mômen quán tính của chúng đối với trục quay là 1 và 2 . Cho biết mômen quán tính của chúng đối với trục quay là J 1 và J 2 . Cho hai bánh răng đột ngột ăn khớp với nhau. Xác định vận tốc góc sau va chạm của hai bánh răng. Bài giải: Bỏ qua tác dụng của trọng lợng và lực ma sát. Xét hệ gồm cả hai bánh răng, khi đó xung lực va chạm tại răng ăn khớp là xung lực trong (nội xung lực). Nh vậy xung lực va chạm ngoài S k e = 0. áp dụng định lý biến thiên mômen động lợng ta có: J 1 . 1 J. J 2 . 2 Hình 13.3 -196- L x (2) - L x (1) = 0 (a) Mômen động lợng của hệ trớc lúc va chạm là: L x (1) = J 1 1 + J 2 2 Mômen động lợng của hệ sau va chạm là: L x (2) = (J 1 + J 2 ) Thay vào biểu thức (a) ta đợc: J 1 1 + J 2 2 = (J 1 + J 2 ) Suy ra: = 21 2211 JJ JJ + + 13.2.3. Định lý động năng Định lý biến đổi động năng đối với các bài toán va chạm không thể áp dụng đợc. Nguyên nhân trong quá trình va chạm ta đã giả thiết di chuyển là không đáng kể. Mặt khác thực tế cho thấy khi va chạm động năng của vật thờng bị mất mát để chuyển hoá thành nhiệt năng và gây ra biến dạng d (đối với va chạm không hoàn toàn đàn hồi). Nếu gọi lợng động năng là T thì rõ ràng T = T 1 - T 2 > 0. Trong đó T 1 và T 2 là động năng của hệ ngay trớc và sau va chạm. Lợng mất động năng T phụ thuộc vào nhiều yếu tố: Trạng thái chuyển động, tính chất cơ lý của vật. Trong kỹ thuật tuỳ thuộc vào yêu cầu của bài toán đặt ra mà ta cần tăng hay giảm lợng mất động năng. Thí dụ khi sử dụng va chạm vào việc gây biến dạng nh rèn, dập vật liệu ta phải tìm cách tăng lợng mất động năng T. Trái lại khi cần sử dụng va chạm vào việc gây chuyển của vật thể nh đóng cọc, đóng đinh thì phải tìm cách giảm lợng mất động năng T. 13.3. Hai bài toán cơ bản về va chạm 13.3.1. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến 13.3.1.1. Định nghĩa -197- Xét hai vật có khối lợng máy biến áp và m 2 chuyển động tịnh tiến với vận tốc v 1 và v 2 va chạm vào nhau (hình 13-4). C 1 v 1 v 2 C 2 I n v 2 n I n' C 2 v 1 C 1 n' a) b) Hình 13.4 - Va chạm thẳng: Là va chạm trong đó các vận tốc v 1 và v 2 đều song song với pháp tuyến chung nn'. Đờng nIn' gọi là đờng va chạm. - Va chạm xuyên tâm: là va chạm trong đó đờng va chạm nIn' trùng với đờng xuyên tâm c 1 Ic 2 của vật (hình 13-4b). 13.3.1.2. Bài toán va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật chuyển động tịnh tiến Cho hai quả cầu có khối lợng M 1 và M 2 chuyển động tịnh tiến theo đờng xuyên tâm c 1 c 2 với các vận tốc 21 v,v rr va chạm nhau. Cho biết M 1 , M 2 , 21 v,v rr và hệ số hồi phục k, tìm vận tốc 21 u,u rr của hai quả cầu sau va chạm, đồng thời thiết lập biểu thức mất động năng T của hệ. Mô hình cơ học đợc mô tả trên hình (13-5). v 1 v 2 C 2 I C 1 N 12 N 21 u u C 2 I C 1 N max N' max N' 21 N' 12 v 1 u 2 C 2 I C 1 Biến dạng Hồi phục Hình 13.5 -198- áp dụng định lý biến thiên động lợng cho mỗi quả cầu ở giai đoạn biến dạng và giai đoạn hồi phục ta có: M 1 (u - v 1 ) = S 21 = - S (a) M 2 (u - v 2 ) = S 1 = S (b) Giai đoạn hồi phục: M 1 (u 1 - u) = S' 21 = - S' (c) M 2 (u 2 - u) = S' 12 = S (d) Theo định nghĩa về hệ số hồi phục ta có thêm phơng trình: S' = k.S (e) Trong 5 phơng trình trên có 5 ẩn số là u, u 1 , u 2 , S, S' ta có thể giải và tìm ra kết quả sau: u = 21 2211 21 2211 MM uMuM MM vMvM + + = + + u 1 = V 1 - (1+k). () 21 21 2 VV. MM M + u 2 = V 2 - (1+k). ( 21 21 2 VV. MM M + ) (13-4) S = 21 21 21 VV MM MM + S = 21 21 21 uu MM MM + Trong trờng hợp này lợng mất động năng T đợc xác định nh sau: T = T 1 - T 2 Với T 1 = 2 vM 2 uM 2211 + là động năng của hệ sau va chạm. Ta có: T = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 uV 2 M uV. 2 M + Thay giá trị của u 1 và u 2 từ biểu thức (11-4) ta đợc: -199- T = () ( ) ( 2 21 2 21 21 vvk1. MM2 MM + ) (13-5) So với động năng ban đầu của búa T 0 = 2 vM 2 11 Ta có: () = + = + = 2 1 2 21 2 2 0 M M 1 k1 MM M k1 T T gọi là hiệu suất của búa. Rõ ràng muốn tăng hiệu suất của búa ta phải tăng khối lợng của đe. Nếu áp dụng biểu thức (13-5) vào búa đóng cọc ta sẽ thấy kết quả ngợc lại. Vì phải giảm lợng mất động năng nên hiệu suất của búa đợc tính theo biểu thức: = 00 0 T T 1 T TT = Suy ra: = 1 - 2 1 2 M M 1 k1 + Muốn tăng hiệu suất của búa ta phải tăng tỷ số 2 1 M M nghĩa là phải tăng khối lợng của búa để đảm bảo khối lợng búa lớn hơn nhiều lần so với khối lợng cọc. B S A 13.3.2.2. Va chạm của vật rắn chuyển động quay quanh một trục Khảo sát vật rắn quay quanh trục (hình 13-6). Tại thời điểm nào đó vật chịu tác dụng xung lực va chạm S r . Khi áp dụng định lý biến thiên mômen động lợng có: L z (1) - L z (2) = m z (S) Hình 13.6 Nếu gọi vận tốc góc của vật trớc và sau va chạm là [...]... giải: r Gọi xung lực va chạm tác dụng lên vật C là S 2 và xung lực tác dụng lên vật r AB là S 1 ta có: y S =S= S 1 2 C Phơng trình biểu diễn định lý biến thiên mômen động lợng cho thanh AB viết B D S2 đợc: K JA (1 - 0) = -S.b b (a) C Phơng trình biểu diễn định lý biến thiên động lợng cho vật C viết đợc: S1 2 x S2 a A muc - mvc = S ở đây v0 = 0 do đó chỉ còn: Hình 13.8 -202muc = S (b) Xét cả hệ số: ( )... lực ở ổ đỡ là s A và s B rất có hại vì nó làm tiêu hao năng lợng và gây h hỏng ở ổ đỡ trục Nhiệm vụ của r r bài toán là tìm cách hạn chế các xung lực s A và s B Giải quyết vấn đề trên ta áp dụng định lý động lợng đối với vật Để đơn giản ta giả thiết lúc đầu vật đứng yên tức là =0, ta có: r r r r r K1 K 0 = S + SA + SB r Vì 0 = 0 nên K 0 = 0 phơng trình còn lại: r r r r r K 1 = Mu c = S + S A + S B . 13.2. Các định lý tổng quát của động lực học áp dụng vào va chạm Căn cứ vào các giả thiết và phơng trình cơ bản có thể thiết lập các định lý tổng quát trong. -190- Chơng 13 Lý thuyết va chạm 13.1. Các đặc điểm và giả thiết về va chạm 13.1.1. Định nghĩa Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt trong