Trong bài viết này, tác giả trình bày nghiên cứu sự hội tụ của hệ tựa gradient chứa số hạng giảm xóc. Hy vọng bài viết sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai đang học tập và nghiên cứu trong các lĩnh vực Toán-Tin. Mời các bạn cùng tham khảo.
Năm học 2015 - 2016 SỰ HỘI TỤ CỦA HỆ TỰA GRADIENT CHỨA SỐ HẠNG GIẢM XÓC Bùi Nhựt Minh (Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học) GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân TÓM TẮT Bài viết khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm bị chặn phương trình đó, g metric Riemann, với số điều kiện khác hàm Thêm vào đó, viết bàn hướng mở rộng kết vấn đề liên quan Giới thiệu Trong [1], tác giả trình bày việc khảo sát dáng điệu tiệm cận (tức khảo sát giới hạn vô cực) nghiệm bị chặn phương trình g metric Riemann không gian Hilbert Xuất phát từ tốn này, viết trình bày việc khảo sát dạng điệu tiệm cận nghiệm bị chặn phương trình với điều kiện khác lượng “nhiễu nhỏ” Sự mở rộng cần thiết, (1) “q lí tưởng” để bắt gặp thường xun Hình thức mở rộng tương tự tìm thấy [4,5,6] hệ gradient bậc bậc 2 Một số định nghĩa kí hiệu Trong suốt viết này, ta giả sử khơng gian Hilbert thực, với tích vơ hướng chuẩn tương ứng Ngồi ra, ta kí hiệu tập tất tích vơ hướng Cuối cùng, ta quy ước Metric Riemann gradient ứng với metric Riemann Ta kí hiệu khơng gian dạng song tuyến tính bị chặn , tức ánh xạ song tuyến tính cho có số thỏa mãn Ta dễ dàng kiểm tra khơng gian vectơ với phép tốn cộng hai ánh xạ phép tốn nhân vơ hướng số thực với ánh xạ thông thường Hơn nữa, không gian Banach với chuẩn 35 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH đó, Do định nghĩa tích vơ hướng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta suy ; đó, ta bàn hội tụ Một metric Riemann ánh xạ liên tục Với , để thuận tiện mặt kí hiệu, ta viết Cho Ta kí hiệu thay cho ánh xạ khả vi Fréchet cho g metric Riemann Cho , khơng khó để kiểm tra phần tử nói nhất; đó, ta kí hiệu Ngồi ra, ta gọi gradient ứng với metric g Ta có nhận xét đơn giản sau đó, gradient Fréchet Tập - giới hạn ánh xạ liên tục Cho không gian metric cho ánh xạ liên tục Tập gọi tập -giới hạn ánh xạ u Sự hội tụ hệ gradient Trong mục này, ta giả sử ánh xạ khả vi Fréchet, hàm g metric Riemann Mục tiêu ta mục nghiên cứu hội tụ phương trình với hai điều kiện sau hàm : (i) Điều kiện thứ (ii) Điều kiện thứ hai Cho tới thời điểm tại, tác giả chưa tìm mối liên hệ điều kiện (4) (5) Tuy nhiên, nên ta dự đốn khơng có 36 Năm học 2015 - 2016 điều kiện hệ điều kiện cịn lại Ngồi ra, khác hai điều kiện dẫn tới khác biệt đôi chút chứng minh mà người đọc dễ dàng nhận Ta nói u nghiệm phương trình (3) Cho , phương trình (3) thỏa Từ sau, không nghiệm phương trình (3) với t nói thêm, ta hiểu Trước vào kết chính, ta nhắc lại khái niệm bất đẳng thức gradient trình bày [4, Definition 2.2] Khi đó, ta nói thỏa mãn bất đẳng thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 3.1 Cho thức gradient lớp gần có hàm sau: (i) ; (ii) 3.1 Sự hội tụ với điều kiện (4) Kết mục ta phát biểu sau Định lí 3.2 Giả sử: (i) thỏa (4); compact tương đối (ii) Tập (iii) Có số dương ; a,b cho ; (iv) Có cho kiện Định nghĩa 3.1) thỏa bất đẳng thức gradient lớp gần (với Khi Chứng minh Xét Ta có với hầu hết , 37 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Ngồi ra, ta có Tiếp theo, ta định nghĩa Cố định cho Do tính liên tục u, ta suy (9), ta kết hợp với (8), ta suy 38 đặt Với hầu hết , ta có Năm học 2015 - 2016 Từ (9), với hầu hết , ta có Từ đây, ta chứng tỏ Nhận xét 3.3 Thực giả thiết có số cho bỏ Vì chứng minh, ta cần sử dụng nhiên, điều suy từ tính liên tục metric g tính tiền compact tập cách áp dụng nguyên lí bị chặn 3.2 Sự hội tụ với điều kiện (5) Định lí 3.4 Giả sử điều kiện (ii)&(iii)&(iv) Định lí 3.2 thỏa Ngồi ra, ta giả sử thỏa (5) Khi đó, Chứng minh Dễ thấy hàm cho 39 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH xác định Hơn nữa, u nghiệm phương trình (3) nên với hầu hết t Tiếp theo, ta định nghĩa Cố định đặt cho Do tính liên tục u, ta suy thêm vào đó, theo giả thiết hàm 40 Với hầu hết (9), ta Tổng hợp lại, ta có , ta có Năm học 2015 - 2016 Từ đây, ta chứng tỏ Nhận xét 3.5 So với chứng minh Định lí 3.2, ta thấy chứng minh định lí khơng cần sử dụng giả thiết có số b dương cho Kết luận Bài viết trình bày việc khảo sát dáng điệu tiệm cận nghiệm bị chặn phương trình với hàm điều kiện khác hàm Tuy nhiên, vấn đề cịn sót lại mối liên hệ hai điều kiện trình bày viết Liệu hai điều kiện độc lập với nhau, hay có điều kiện hệ điều kiện lại? Câu hỏi xin để lại cho bạn đọc hệ sinh viên sau khoa Toán-Tin Dựa vào [2, Theorem 1], kết viết dùng để khảo sát hệ với hàm thỏa số điều kiện định Đây mở rộng kết có [3] Ngoài ra, tác giả tin rằng, phương pháp nghiên cứu lí luận làm viết, ta mở rộng kết qua cho hệ (được khảo sát [6]) thành kết cho hệ đó, g metric Riemann khơng gian Hilbert xét 41 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH TÀI LIỆU THAM KHẢO Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2010), Gradient Systems, 13th International Internet Seminar, June Tomaˇs Barta, Ralph Chill, Eva Faˇsangova (2012), “Every ordinary differential equation with a strict Lyapunov function is a gradient system”, Monatsh Math, 166:57-72 Ralph Chill, Alain Haraux, and Mohamed Ali Jendoubi (2009), “Applications of the Lojasiewicz-Simon gradient inequality to gradient-like evolution equations”, Anal Appl (Singap.), 7(4): 351-372 Sen-Zhong Huang (2006), Gradient Inequalities with Applications to Asymptotic Behavior and Stability of Gradient-like Systems, American Mathematical Society H Attouch, X Goudou, P Redont (2000), "The heavy ball with friction method", I The continuous dynamical system: Global exploration of the local minima of a real-valued function by asymptotic analysis of a dissipative dynamical system”, Commun Contemp Math.02, DOI: http://dx.doi.org/10.1142/S0219199700000025 Mohamed Ali Jendoubi, Ramzi May (2014), “Asymptotics for a second-order differential equation with nonautonomous damping and an integrable source term”, Applicable Analysis, DOI: http://dx.doi.org/10.1080/00036811.2014.903569 42 ... gradient ứng với metric g Ta có nhận xét đơn giản sau đó, gradient Fréchet Tập - giới hạn ánh xạ liên tục Cho không gian metric cho ánh xạ liên tục Tập gọi tập -giới hạn ánh xạ u Sự hội tụ hệ. .. bất đẳng thức gradient trình bày [4, Definition 2.2] Khi đó, ta nói thỏa mãn bất đẳng thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 3.1 Cho thức gradient lớp gần có hàm sau: (i) ; (ii) 3.1 Sự hội tụ với điều...Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH đó, Do định nghĩa tích vơ hướng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta suy ; đó, ta bàn hội tụ Một metric Riemann ánh xạ liên tục Với , để thuận tiện