Chặn trên cho độ đo Hausdorff của tập semi - đại số

Bài viết này nhằm mục đích trình bày một kết quả đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorff của tập semi-đại số dựa vào công thức chiếu.

Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 1-2013 51 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA TẬP SEMI - ĐẠI SỐ ThS Đồn Văn Hiệp Phó trưởng Khoa Khoa học Cơ bản, trường Đại học Xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Bài viết nhằm mục đích trình bày kết đánh giá chặn cho độ đo Hausdorff tập semi-đại số dựa vào công thức chiếu Mở đầu e) dimV số chiều không gian V Một cách trực quan ta thấy rằng, số giao điểm đường cong mặt cong với đường thẳng hữu hạn chiều dài đường cong, diện tích mặt cong chứa tập compact hữu hạn 1 x  A f) 1A ( x)   0 x  A Các tập semi-đại số có hữu hạn thành phần liên thơng nên độ đo Hausdorff chứa tập compact hữu hạn Trong nhiều trường hợp, tính xác độ đo nên dẫn đến vấn đề cần ước lượng đặc biệt quan tâm đến cận tập  n thỏa: a) Chứa tập dạng Bài viết đưa đánh giá chặn cho độ đo Hausdorff tập semiđại số dựa vào công thức chiếu Phần đầu trình bày định nghĩa cơng thức, kết đưa phần cuối 2.2 Tập semi-đại số Lớp tập semi-đại số  n lớp bé b) x   n  : P ( x)  ,với P[X1, ,Xn]; c) Đóng với phép hợp hữu hạn, giao hữu hạn lấy phần bù Ánh xạ f : X   n   m gọi semi-đại số đồ thị f semi-đại số 2.3 Diagram tập semi-đại số Cho A   n tập semi-đại số có p ji i 1 j 1 dạng A   Ai , với Ai   Aij , Aij x   n có dạng 2.1 Một số ký hiệu Pij đa thức bậc d ij a) P  [X , ,X n ] có nghĩa P đa thức n biến, deg P bậc P b) diam( S ) : sup d ( x, y ) : x, y  S  đường kính S   c) Bn (x0 , r) : x  n : d ( x, x0 )  r cầu tâm x0 , bán kính r không gian  n d) V ( B m (., r )) thể tích cầu m chiều  : Pij ( x)  , với  ,  , Các định nghĩa công thức Khi đó, liệu  D  D( A)  n, p, j1 , , j p , (d ij )i 1, , p; j 1, j i  gọi diagram A Nhận xét: Một tập semi-đại số A có nhiều diagram khác tùy theo cách biểu p diễn A Ký hiệu: B0 ( D) :  di (d i  1)n1 , i 1 ji với d i   d ij j 1 Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 1-2013 Bˆ0 ( A) : inf B0 ( D ) : D is a diagram of A  2.4 Số thành phần liên thông tập semi-đại số Nếu S   n tập semi-đại số đóng bị chặn, theo [2] Th 5.41, tồn phức đơn hình K đồng phôi semi-đại số h :| K | S Khi đó, số Betti thứ p S ký hiệu định nghĩa bp ( S ) : dim H p ( S )  dim H p ( K ) Nếu S   n tập semi-đại số đóng, khơng bị chặn, theo [2] Pro 5.50, tồn r  phép co rút biến dạng semi-đại số từ S vào S r  S  B (0, r ) Khi đó, bp ( S ) : bp ( S r ) Chú thích: Định nghĩa H p ( S ) xem [2] mục 6.1 Định lý Số thành phần liên thơng tập semi-đại số đóng S b0 ( S ) Chứng minh Xem [2] Pro 6.26 Định lý Số thành phần liên thông tập semi-đại số hữu hạn Chứng minh Xem [3] Th 2.4.4 2.5 Độ đo Hausdorff Cho A   n ,   Với   , họ   phủ A ký hiệu  C ( , A)  U i i : A   U i , diam(U i )   i  52 H  ( A) : lim H  ( A) gọi độ đo  0 Hausdorff  chiều A Định lý a) H ( A) số điểm A b) Độ đo Hausdorff n chiều độ đo Lebesgue Ln  n Chứng minh Xem [4] Th.2.10.35 2.6 Ánh xạ Lipschitz Cho X, Y hai không gian mêtric với hai mêtric tương ứng d X , dY f : X  Y gọi ánh xạ Lipschitz tồn M  : dY  f ( x1 ), f ( x2 )   Md X ( x1 , x2 ), x1 , x2  X 2.7 Tập cầu phương Cho  m  n Tập A   n gọi H m - cầu phương H m ( A)    A  A0   Fj ( A j ) , j 1 H m ( A0 )  , A j   m , F j : A j   n ánh xạ Lipschitz 2.8 Công thức chiếu Với  m  n , đặt  (n, m) tập hàm tăng từ 1, , m vào 1, , n Nhận xét: #  (n, m)  Cnm    ( n, m ) , Với đặt Đặt p :  n   m ,( x1 , , xn )  ( x (1) , , x ( m ) )   H ( A)  c( )inf diam(Ui ) :(Ui )i C( , A) i  phép chiếu trực giao từ  n vào  m  1   2 c ( )  , với      1   Định lý Cho A   n tập H m - cầu phương Đặt a   #  A  p ( y )  dH 1  m ( y) m   (t )  e  x t 1 x dx Khi đó,   a  H m ( A)   ( n , m ) Chứng minh Xem [4] Th.3.2.27   ( n , m ) a Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 1-2013 Chặn cho độ đo Hausdorff tập semi-đại số Với A   n , ký hiệu:    B0,nm(A): sup b0 A p1( y) : (n, m), y m Định lý Cho A, B hai tập semi-đại số n , A  B, B compact, dim A  m ( m  n) Khi đó, m m n m H ( A)  C B0,n m ( A) max H ( p ( B ))  ( n ,m ) minh Chứng Với    ( n, m ) , dim( B  p1 ( y ))  , dim( A  p1 ( y ))  , y   m nằm tập semi-đại số có số chiều < m Theo cơng thức chiếu ta có: H m ( A)  1   b ( A  p ( y))dH m ( y)  ( n , m )  m    ( n , m )    ( n , m )   m B0,n m ( A)  p ( A) dH ( y) B0,n m ( A)  p (B) dH m ( y )   m  m m B0,n m ( A) H ( p ( B ))  ( n , m )  # (n, m) B0,n m ( A) max H m ( p ( B ))  ( n , m ) m n m  C B0,n m ( A) max H ( p ( B ))  ( n , m ) Hệ Cho A tập semi-đại số 53 H m ( A  Bn (., r ))  Cnm B0,n m ( A)V ( Bm (.,1)) r m Chứng minh: Áp dụng Định lý ta Hm(ABn (.,r))  CnmB0,nm(A) max Hm  p (Bm(., r)) ( n,m) m n  C B0,n m ( A)V ( Bm (.,1))r m Hệ a) Nếu A   n tập đại số m chiều, đồ thị đa thức bậc  d , H m ( A  Bn (., r ))  Cnm d V ( Bm (.,1)).r m b) Nếu A   n tập semi-đại số m chiều, H m ( A  B (., r ))  C m Bˆ ( A).V ( B (.,1)).r m n n m Chứng minh a) Vì A   tập đại số m n chiều, đồ thị đa thức bậc  d nên B0,n m ( A)  d Từ đó, áp dụng Hệ ta suy điều phải chứng minh ˆ b) Ta có B0,nm( A)  B( A) (xem [1]) nên theo Hệ ta suy điều phải chứng minh Ví dụ Cho A miền giới hạn đường bậc Khi đó, diagram A D   2,1,1,  Do đó, B0 ( D )  Vậy phần diện tích A chứa hình trịn bán kính r bị chặn H ( A  B2 (., r ))  C22 1.S ( B2 (.,1)).r   r  n có số chiều m Khi đó, với cầu Bn (., r ) bán kính r  n , TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Văn Hiệp, Chặn cho số thành phần liên thông tập semi-đại số, Thông báo khoa học & công nghệ số năm 2012 [2] S Basu, R Pollack, M-F Roy 2003 Algorithms in real algebraic geometry, Spinger Verlag [3] J Bochnak, M Coste, M-F Roy 1998 Real algebraic geometry, Spinger – Verlag [4] H Federer 1969 Geometric measure theory, Spinger – Verlag [5] Y Yomdim and G Comte.2004, Tame geometry with application in smooth analysis, LNM 1834, Spinger – Verlag  ... học Công nghệ* Số 1-2 013 Chặn cho độ đo Hausdorff tập semi- đại số Với A   n , ký hiệu:    B0,nm(A): sup b0 A p1( y) : (n, m), y m Định lý Cho A, B hai tập semi- đại số n , A  B,...Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 1-2 013 Bˆ0 ( A) : inf B0 ( D ) : D is a diagram of A  2.4 Số thành phần liên thông tập semi- đại số Nếu S   n tập semi- đại số đóng bị chặn, theo [2] Th 5.41, tồn... đơn hình K đồng phôi semi- đại số h :| K | S Khi đó, số Betti thứ p S ký hiệu định nghĩa bp ( S ) : dim H p ( S )  dim H p ( K ) Nếu S   n tập semi- đại số đóng, khơng bị chặn, theo [2] Pro