Phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc

Bài viết trình bày một trong những cách đơn giản nhất để dẫn ra phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc – phương trình mô tả gần đúng nhiều quá trình vật lý diễn ra trong tự nhiên. Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng của phương trình, nó liên quan trực tiếp đến các hệ vật lý cũng được cho thấy.

Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 33 PHƢƠNG TRÌNH SCHRƯDINGER PHI TUYẾN RỜI RẠC TS Nguyễn Bá Phi Khoa Khoa học bản, Trường Đại học xây dựng Miền Trung Tóm tắt: Bài viết trình bày cách đơn giản để d n phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc – phương trình mơ tả gần nhiều q trình vật lý diễn tự nhiên Bên cạnh đó, hai trường hợp giới hạn quan trọng phương trình, liên quan trực tiếp đến hệ vật lý cho thấy Từ khóa: Phương trình phi tuyến tính Schrưdinger, tượng định sứ Anderson, phi tuyến quang học, tự bẫy Đặt vấn đề Sự trật tự tính chất phi tuyến hai đặc trưng quan trọng, xuất hầu hết loại vật liệu hệ vật lý Trong năm gần đây, việc nghiên cứu lan truyền sóng môi trường trật tự phi tuyến trở thành mảng nghiên cứu nhà khoa học quan tâm, phương diện lý thuyết lẫn thực nghiệm Tuy nhiên, nay, hiểu biết chủ đề mang tính thách thức cịn mang tính chấp vá, chưa thật đầy đủ Để giải toán liên quan đến ảnh hưởng đồng thời tính trật tự tính phi tuyến lên q trình lan truyền sóng mơi trường đó, phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc – phương trình mơ hình động học mạng phi tuyến nhất, cho thấy công cụ hữu ích Phương trình thu hút nhiều ý nhà nghiên cứu tính ứng dụng rỗng rãi nhiều lĩnh vực khác Ví dụ, phương trình mơ hình đường bao tán sắc thích hợp việc mơ tả điện trường ống dẫn sóng [1, 2], tự hội tụ (self-focusing) suy yếu sóng Langmuir vật lý plasma [3], hay việc mơ tả sóng nước đại dương [4] Về mặt lịch sử, việc nghiên cứu phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc có từ năm 50 kỷ trước với mơ hình Holstein việc hình thành polaron (một giả hạt – liên quan đến tương tác điện tử nguyên tử chất rắn) tinh thể phân tử [5, 6] Những ví dụ quan trọng khác phải kể đến mơ hình Davydov vận chuyển lượng dọc theo phân tử protein [7] mơ hình ống dẫn sóng phi tuyến liên kết [8-10] Bên cạnh đó, phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc cịn đóng vai trị trung tâm việc phát triển lý thuyết tổng quát kiểu định xứ có chất nội gọi “discrete breather”, xảy hệ dao động phi điều hòa liên kết [11] Gần đây, quan tâm dành cho phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc đẩy lên cao việc quan sát thực nghiệm tượng định xứ Anderson ánh sáng mạng quang tử trật tự [12-14], nơi mà phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc mô tả lan truyền ánh sáng gần gần trục quang học; nguyên tử lạnh Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 34 mạng quang học trật tự [15, 16], nơi mà phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc xem mô tả gần trường trung bình Với tầm quan trọng vậy, nhiên, tài liệu tiếng Việt liên quan đến phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc ứng dụng phương trình việc giải số tốn vật lý chưa có theo hiểu biết tác giả viết Nhằm mục đích giúp cho bạn đọc quan tâm nói chung nhà vật lý Việt Nam nói riêng có tài liệu tiếng Việt liên quan đến vấn đề để tham khảo, tác giả mạnh dạn viết viết Bố cục viết sau Trong mục 1, tác giả nêu lên tầm quan trọng phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc cần thiết viết Nội dung viết cách dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc, trình bày mục Tiếp theo, hai trường hợp giới hạn quan trọng vài ứng dụng phương trình việc giải vấn đề vật lý thực tác giả viết, đưa mục Cuối cùng, vài kết luận viết tóm tắt mục Cách d n phƣơng trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc Việc dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc dựa số cách khác Trong viết này, tác giả theo sát cách làm nói đơn giản (theo quan điểm tác giả), đưa Alfimov [17] với điểm xuất phát phương trình Schrưdinger phi tuyến liên tục có dạng tổng qt:  ( x, t )  2 ( x, t ) i   V ( x) ( x, t )    ( x, t )  ( x, t ) (1) t x Trong  ( x, t ) hàm sóng hệ lượng tử; V ( x) hàm tuần hoàn với chu kỳ L , nghĩa là, V ( x  L)  V ( x) Phương cho thấy thích hợp việc mơ tả q trình tiến triển chất đặc Bose-Einstein bị giam cầm có mặt quang học Trong phạm vi này, dấu  xác định chất tương tác nguyên tử Cụ thể, tương tác hút   1và tương ứng với gọi tính phi tuyến hội tụ (focusing nonlinearity), ngược lại tương tác đẩy   1 tương ứng với gọi tính phi tuyến phân kỳ (defocusing nonlinearity) Những thuật ngữ sử dụng lĩnh vực quang học lĩnh vực khác Để đơn giản, giới hạn việc dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc trường hợp chiều Tuy nhiên, khái niệm tương tự viết tổng qt hóa phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc có số chiều lớn Trước hết, khảo sát toán trị riêng tuyến tính tương ứng, nghĩa số hạng cuối bên vế phải phương trình (1) bỏ qua Khi đó, phương trình Schrưdinger khơng phụ thuộc thời gian tương ứng có dạng:  d 2k , ( x) dx  V ( x)k , ( x)  E (k )k , ( x) (2) Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 35 Trong phương trình (2), k, hàm Bloch, tức thõa mãn k, (x) = eikxuk, (x), uk, (x) hàm tuần hoàn với chu kỳ L  số ký hiệu vùng lượng tương ứng E(k) Vì vùng lượng hàm tuần hoàn E (k  2 / L)  E (k ) [18] nên chúng biểu diễn dạng chuỗi Fourier: E (k )  ˆ n, e iknL , ˆ n,  ˆ  n,  ˆ n*, , (3) n dấu “*” việc lấy liên hợp phức số hạng chứa Các hệ số Fourier ˆ n, phương trình (3) xác định bỡi: ˆ n,  L 2  /L   E (k )eiknL dk (4)  /L Mặc dù hàm Bloch tạo nên hệ sở trực giao để thuận lợi việc tính tốn giải tích, Alfimov sử dụng hệ sở tạo hàm Wannier thay sử dụng hệ sở tạo thành từ hàm Bloch Chúng ta nhớ lại rằng, hàm Wannier với tâm đặt vị trí nL ( n số nguyên) tương ứng với vùng lượng  định nghĩa: L w ( x  nL)  2  /L   k , ( x)e iknL dk (5)  /L Ngược lại, hàm Bloch cho bỡi: k , ( x)  L 2   w  ( x)e n  iknL n, (6) Tương tự hàm Bloch, hàm Wannier tạo nên tập hợp hàm trực giao đầy đủ sau:  *   wn, ( x)wn,  ( x)dx   nn  , (7)   wn*, ( x) wn , ( x)   ( x  x)  n , Từ phương trình (4), chọn pha hàm Bloch cách hợp lý hàm Wannier thực giảm theo hàm mũ n   [18] Nếu điều thực hiện, có được: wn*, ( x)  wn, ( x) Cốt lõi việc dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc nằm việc tách nghiệm phương trình (1) sở hàm Wannier  ( x, t )   cn, (t )wn, ( x) (8) n , Thay nghiệm (8) vào phương trình (1) thực phép biến đổi đại số ta thu phương trình dc (t ) nn1n2 n3 (9) i n,   cn1 , ˆ nn1 ,     cn*1 ,1 cn2 , cn3 ,3W , 1 2 dt n1 1 , ,3 n1 ,n2 ,n3 Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 36  nn1n2 n3 W  1 2 Trong đó: w n ,  (10) wn1 ,1 wn2 , wn3 ,3 dx yếu tố ma trận xen phủ Chúng đối xứng theo tất phép giao hốn nhóm số (, 1, 2, 3) (n, n1, n2, n3) Phương trình (9) xem dạng vectơ phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc Nếu hệ số Fourier (4) giảm đủ nhanh n   , nghĩa | ˆ1, | | ˆ n, | với n  , số hạng liên kết từ bậc hai trở phần tuyến tính phương trình (9) bỏ qua Do vậy, mơ hình động học kể đến tương tác lân cận gần đưa Ngồi ra, hàm Wannier vớin, (x) định xứ có tâm đặt x  nL nên giả thuyết số trường hợp đó, số tất hệ số nn1n2 n3 nn1n2 n3 hệ số W với n  n1  n2  n3 có ảnh hưởng trội hệ W 1 2 1 2 nn1n2 n3 số lại Do vậy, hệ số W lại bỏ qua phương trình 1 2 Khi đó, phương trình (9) viết lại: i dcn, (t ) dt  ˆ 0, cn,  ˆ1, (cn1,  cn1, )    W   c  c  c     nnnn 1, 2, * n, n, n, (11) Thêm vào đó, cách giới hạn xem xét vùng lượng  , phương trình (11) trở thành phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc liên kết chặt sau: i dcn, (t ) nnnn  ˆ 0, cn,  ˆ1, (cn1,  cn1, )   W cn, cn, (12) dt Một điểm thuận lợi cách dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc cho thấy cách trực tiếp làm để tổng quát hóa gần vùng cho trường hợp phức tạp Chẳng hạn, độ mạnh liên kết vùng lượng so sánh với độ mạnh liên kết vùng, cần phải cộng thêm vài số hạng liên quan đến vùng lượng vào phương trình (12) Nếu hệ số Fourier phương trình (4) giảm khơng đủ nhanh n   ˆ n , có giá trị đáng kể n  Khi đó, phải kể thêm số hạng ˆ 2, , ˆ3, , vào phương trình (12) Tuy nhiên, số lý vật lý cụ thể, hầu hết nghiên cứu từ trước nay, dạng đơn giản phương trình (12) sử dụng: i dcn (t )   ncn  J (cn1  cn1 )   cn cn , dt (13) n lượng nút thứ n mạng, J tham số nhảy lân cận bậc  hệ số phi tuyến – đặc trưng cho độ mạnh tính phi tuyến Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 37 Ứng dụng phƣơng trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc Kích thích định xứ kích thích lan truyền Trong trường hợp lượng nút n có phân bố ngẫu nhiên khoảng giá trị phương trình (13) thường sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng tính phi tuyến lên tượng định xứ Anderson [19] trường hợp kích thích định xứ Về mặt thực nghiệm, điều thực nhiều hệ vật lý khác nhau, chẳng hạn sợi quang học, mảng ống dẫn sóng, tinh thể quang tử, chất đặc Bose-Einstein,… Mặc khác, tìm nghiệm dừng phương trình (13) dạng cn   n exp(iEt ), rút phương trình: E n   n n  J ( n1  n1 )    n  n (14) Phương trình thường sử dụng để nghiên cứu ảnh hưởng tính phi tuyến lên tượng định xứ Anderson trường hợp kích thích lan truyền Thật thứ vị để nhắc lại  = phương trình (14) thu phương trình mơ hình Anderson chiều chuẩn Ảnh hưởng tính phi tuyến lên tượng định xứ Anderson khác cách định lượng kích thích định xứ lan truyền Đối với trường hợp trước, có mặt tính phi tuyến làm chậm trình bắt đầu định xứ Ngược lại, trường hợp sau, tính phi tuyến tăng cường vai trị tính trật tự tượng định xứ Anderson, nghĩa độ giảm theo hàm mũ hệ số truyền qua Hình Hệ số truyền qua (được lấy trung bình theo cấu hình trật tự) hàm kích thước hệ cho thấy đối trường hợp mạnh với trường hợp kích thích lan truyền Kết số cho thấy rằng, trường hợp định xứ Anderson tý tượng định xứ Anderson tăng cường có mặt (khi chưa kể đến tính phi tuyến), tính phi tuyến  [20] hệ có kích thước khơng q lớn [20-22] Hiện tƣợng tự chặn Phương trình (13) với  n  n trở thành dcn (t )  J (cn1  cn1 )   cn cn (15) dt Phương trình mơ tả có hiệu ảnh hưởng dao động mạng lên động học điện tử lĩnh vực vật lý chất rắn Trong phạm vi động học điện tử i Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 38 dao động mạng, tượng quan trọng gắn với phương trình (15) tượng tự chặn – bó sóng (hoặc hạt) ban đầu định xứ định xứ vùng hữu hạn quanh nút kích thích ban đầu giới hạn thời gian dài Hiện tượng xảy độ mạnh tính phi tuyến vượt giá trị giới hạn c 3.5 [23, 24] Kết luận Bài viết trình bày cách đơn giản để dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc – phương trình mơ tả gần nhiều Hình Sự phụ thuộc xác suất tìm thấy hạt (hoặc bó sóng) Ro (t ) vị trí kích thích ban đầu theo thời trình vật lý diễn tự nhiên gian cho thấy Giá trị giới hạn tham số phi hệ vật lý tuyến mà tượng tự chặn xảy xác người tạo u điểm cách dẫn định c 3.5 [24] phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc viết khả tổng quát hóa cách làm toán phức tạp Bài viết chứa đựng vài kết xem ví dụ việc sử dụng phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc việc nghiên cứu, giải số toán vật lý Điều thực thân tác giả TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Morandotti, H S Eisenberg, Y Silberberg, M Sorel, and J S Aitchison 2001 Self-focusing and defocusing in waveguide arrays, Phys Rev Lett 86, 3296 [2] S Burger, F S Cataliotti, C Fort, P Maddaloni, F Minardi, and M Ingscio 2002 Quasi - 2D Bose - Einstein condensate in an optical lattice, Europhys Lett 57, [3] V E Zakharov 1972 Collapse of Langmuir waves, Sov Phys JETP 35, 908 [4] M Onorato, A R Osborne, M Serio, and S Bertone 2001 Freak Waves in Random Oceanic Sea States, Phys Rev Lett, 86, 5831 [5] T Holstein 1959 Studies of polaron motion: Part I The molecular-crystal model, Ann Phys 8, 325 [6] T Holstein 1959 Studies of polaron motion: Part II The “small” polaron, Ann Phys 8, 343 [7] A Davydov 1977 Soliton and energy transfer along protein molecules, J Theor Biol 66, 379 [8] D Hennig and G P Tsironis 1999 Wave transmission in nonlinear lattices, Phys Rep 307, 333 Thông báo Khoa học Công nghệ* Số 2-2013 39 [9] F Lederer, G I Stegeman, D N Christodoulides, G Assanto, M Segev, and Y Silberberg 2008 Discrete soliton in optics, Phys Rep 463, [10] D N Christodoulides, F Lederer, and Y Silberberg 2003 Discretizing light behavious in linear and nonlinear waveguide lattices, Nature 424, 817 [11] S Flach and C R Willis 1998 Discrete Breathers, Phys Rep 295, 181 [12] T Schwatz, G Bartal, S Fishman, and M Segev 2007 Transport and Anderson localization in disordered two-dimensional photonic lattices, Nature 446, 52 [13] Y Lahini, A Avidan, F Pozzi, M Sorel, R Morandotti, D N Christodoulides, and Y Silberberg 2008 Anderson Localization and Nonlinearity in One-Dimensional Discreted Photonic Lattices, Phys Rev Lett 100, 013906 [14] Y Lahini, F Pozzi, M Sorel, R Morandotti, D N Christodoulides, and Y Silberberg 2009 Direct Observation of a Localization Transition in Quasi-Periodic Photonic Lattices, Phys Rev Lett 103, 013901 [15] J Billy, V Josse, Z Zuo, A Bernard, B Hambrecht, P Lugan, D Clément, L Sanchez-Palencia, P Bouyer, and A Aspect 2008 Direct observation of Anderson localization of matter-waves in a controlled disorder, Nature 453, 891 [16] G Roati, C D’Errio, L Fallani, M Fattori, C Fort, M Zaccanti, G Modugno, M Modugno, and M Ingucio 2008 Anderson localization of a non-interacting BoseEinstein condensate, Nature 453, 895 [17] G Alfimov, P G Kevrekidis, V V Konotop, and M Salerno 2002 Wannier function analysis of the nonlinear Schrodinger equation with a periodic potential, Phys Rev E 66, 046608 [18] W Kohn 1959 Analytic Properties of Bloch Waves and Wannier Functions, Phys Rev 115, 809 [19] P W Anderson 1958 Absence of Diffusion in Certain Random Lattices, Phys Rev 109, 1492 [20] B P Nguyen, K Kim, F Rotermund, and H Lim 2011 Enhanced localization of waves in one-dimensional random media due to nonlinearity: Fixed input case, Physica B 406, 4535 [21] B P Nguyen and K Kim 2011 Influence of weak nonlinearity on the 1D Anderson model with long-range correlated disorder, Eur Phys J B 84, 79 [22] B P Nguyen and K Kim 2012 Anomalously suppressed localization in the twochannel Anderson model, J Phys.: Condens Matter 24, 135303 [23] M Johannson, M Hornquist, and R Riklund 1995 Effects of nonlinearity on the time evolution of single-site localized states in periodic and aperiodic discrete systems, Phys Rev B 52, 231 [24] B P Nguyen and K Kim 2013 Wave packet dynamics in one-dimensional nonlinear Schrödinger lattices: Local vs nonlocal nonlinear effects, J Kor Phys Soc (accepted for publication)  ... 1, tác giả nêu lên tầm quan trọng phương trình Schrödinger phi tuyến rời rạc cần thiết viết Nội dung viết cách dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc, trình bày mục Tiếp theo, hai trường... nơi mà phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc xem mơ tả gần trường trung bình Với tầm quan trọng vậy, nhiên, tài liệu tiếng Việt liên quan đến phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc ứng... giản, giới hạn việc dẫn phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc trường hợp chiều Tuy nhiên, khái niệm tương tự viết tổng quát hóa phương trình Schrưdinger phi tuyến rời rạc có số chiều lớn Trước