Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm tạo một tài liệu tham khảo nhỏ giúp
Sáng kiến kinh nghiệm phần I: đặt vấn đề I lí chọn đề tài Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN năm toán tích phân hầu nh thiếu nhng học sinh THPT toán tích phân toán khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất , phơng pháp tính tích phân Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm nguyên hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phơng pháp đổi biến số, phơng pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến nguyên hàm hàm số tìm đợc có phải nguyên hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến phơng pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tơng đơng không? trình tính tích phân học sinh thờng mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm nhận thấy rõ yếu điểm học sinh mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Một số sai lầm thờng gặp học sinh tính tích phân Nhằm giúp học sinh khắc phục đợc yếu điểm nêu từ đạt đợc kết cao giải toán tích phân nói riêng đạt kết cao trình học tập nói chung Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung, tính phức tạp hóa gây nên trở ngại cho học sinh trình tiếp cận víi tÝch ph©n Cïng víi sù tÝch l kinh nghiƯm có đợc thân qua số năm giảng dạy Kết hợp với kiến thức mà đà lĩnh hội đợc chơng trình Đại học Toán mà đặc biệt hớng dẫn tận tình thầy cô giáo Tôi mạnh dạn chọn đề tài Qua đề tài, mong thân tìm hiểu sâu vấn đề này, tự phân loại đợc số dạng toán tích phân, nêu lên số Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm phơng pháp giải cho dạng tập Từ giúp học sinh dễ dàng việc tính tích phân Qua nội dung hy vọng học sinh phát huy đợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ Từ hình thành cho học sinh khả t sáng tạo học tập II - Nhiệm vụ nghiên cứu : -Các phơng pháp tính tích phân : PP đổi biến số, pp tích phân phần, Tích phân hàm số lợng giác, tích phân hàm số vô tỷ - Kỹ tính tích phân dùng bảng nguyên hàm mà học sinh đà học III Đối tợng nghiên cứu : - Học sinh lớp 12 BT.THPT - Các phơng pháp tính tích phân chơng trình toán lớp 12 IV Phơng pháp nghiên cứu : Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng kết kinh nghiệm, kiểm tra kết Dự giờ, kiểm tra chất lợng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học, thể nhiều đối tợng học sinh khác : Học sinh khá, giỏi học sinh trung bình môn Toán V Phạm vi nghiên cứu : Giới hạn vấn đề giảng dạy Nguyên hàm Tích phân chơng trình lớp 12 THPT VI phơng pháp + Lựa chọn ví dụ tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh vận dụng hoạt động lực t kỹ vận dụng kiÕn thøc cđa häc sinh ®Ĩ tõ ®ã ®a lời giải toán +Thực nghiệm s phạm Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Phần II : nội dung I sở khoa học Dựa nguyên tắc trình nhận thức ngời từ: sai đến gần đến khái niệm đúng, nguyên tắc dạy học đặc điểm trình nhận thøc cđa häc sinh II néi dung thĨ Mét số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ Bài 1: Tính tích phân: I = dx 1) 2 (x dx * Sai lầm thờng gặp : I = = 1) 2 (x d ( x 1) =1) x (x 2 = - -1 = - * Nguyên nhân sai lầm : Hµm sè y = ( x 1) không xác định x= -1 2;2 suy hàm số không 2;2 nên không sử dụng đợc công thức newtơn leibnitz nh liên tục cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x 1) không xác định x= -1 liên tục 2;2 suy hàm số không 2;2 tích phân không tồn * Chú ý ®èi víi häc sinh: b f ( x)dx cÇn chó ý xem hàm số y=f(x) có liên tục Khi tính a; b a không? có áp dụng phơng pháp đà học để tính tích phân đà cho không kết luận tích phân không tồn * Một số tập tơng tự : Tính tích phân sau: Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm 1/ dx (x 4) 2/ x( x 3/ 2 dx cos x 1) dx x e x x3 4/ Bài :Tính tích phân: I = x2 dx dx sin x t2 2dt x * Sai lầm thờng gặp : Đặt t = tan th× dx = ; = t sin x (1 t ) 2dt dx = = 2(t 1) (1 t ) sin x dx I= = tan x 1 sin x 2 2 d(t+1) = = tan t +c tan tan không xác định nên tích phân không tồn *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tan x x 0; x = tan x nghĩa * Lời giải đúng: I= dx = sin x dx cos x x d cos x tan x = tan tan 4 * Chó ý ®èi víi häc sinh: Đối với phơng pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục a; b *Một số tập tơng tự: Tính tích phân sau: 1/ Nguyễn Khắc Hào dx sin x 2/ dx cos x Trung t©m GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Bài 3: TÝnh x2 I= 6x dx * Sai lÇm thêng gỈp: x I= 6x dx = x dx x x 3d x 0 * Nguyên nhân sai lầm: Phép biÕn ®ỉi x x víi x 0;4 không tơng đơng * Lời giải đúng: x2 I= 6x dx 4 x dx = x 3d x x 3d x x =- x 3 2 x 3d x 3 * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n 2n f x b I= N b 2n f x 2n n 1, n f x f x dx ta phải xét dấu hàm sè f(x) trªn a; b råi dïng tÝnh a a chất tích phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối Một số tập t¬ng tù: sin x dx ; 1/ I = 3/ I = x 2/ I = 2x x2 x dx 4/ I = x2 tan x cot x dx dx Bµi 4: Tính I = Nguyễn Khắc Hào x dx 2x Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm * Sai lầm thờng gặp: I= d x x arctan x 1 arctan arctan * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctgx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: §Ỉt : x+1 = tant dx tan t dt Đổi cận: Khi : I = x -1 t tan t dt tan t 4 dt t 0 * Chú ý học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày sách giáo khoa hiƯn thêi Häc sinh cã thĨ ®äc thÊy mét số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trớc năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm sách giáo khoa nên học sinh không đợc áp dụng phơng pháp Vì b gặp tích phân dạng dx ta dùng phơng pháp đổi biến số x a đặt t = tanx t = cotx ; b a 1 x2 dx th× ®Ỉt x = sint hc x = cost *Mét sè tập tơng tự: Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm 1/ I = x2 16 x Bµi 5: 2/ I = dx TÝnh :I = x3 x2 2x 2x dx x2 3/ I = x dx x8 dx *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt x3 x2 dx sin t dt cos t §ỉi cËn: x t 1/4 ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thờng đặt x = sint nhng tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = không tìm đợc xác t = ? * Lời giải đúng: Đặt : t = x x dt = x2 dx tdt xdx Đổi cận: x t Nguyễn Khắc Hào 1/4 15 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiÖm I= x3 x 15 = dx 15 t tdt t t dt t3 t 1 15 15 15 15 192 33 15 192 * Chó ý ®èi víi học sinh: Khi gặp tích phân hàm số có chứa x thờng đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tant nhng cần ý đến cận tích phân cận giá trị lợng giác góc đặc biệt làm đợc theo phơng pháp không phải nghĩ đếnphơng pháp khác *Một số tập tơng tự: x3 1/ tÝnh I = x2 dx 2/ tÝnh I = dx x x2 1 Bµi 6: x2 dx TÝnh I = x4 11 1 * Sai lầm thờng mắc: I = §Ỉt t = x+ x dt 1 x2 x2 x x2 1 x x dx 2 dx x2 §ỉi cËn: I= t = ln -1 t -2 2 dt x = ( 2 2 t ln t 2 2 Nguyễn Khắc Hào )dt =(ln t ln 2 2 -ln t 2) 2 ln t t 2 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm x2 * Nguyên nhân sai lầm: x4 x2 1 x2 x sai 1;1 chứa x = nên chia tử mẫu cho x = đợc * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = F(x) = 2 2 ln x 2 x x (ln Do ®ã I = x2 x2 x 2 x x x2 1 x2 dx ln = x4 2 x2 11 ) x x x2 x4 1 1 ln 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = III Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết từ thực tiễn: Ban đầu học sinh gặp khó khăn định việc giải dạng tích phân nh đà nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích toán tích phân từ hàm số dới dấu tích phân,cận tích phân để lựa chọn phơng pháp phù hợp sở giáo viên đa sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trình suy luận,trong bớc tính tích phân từ hớng em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng Sau híng dÉn häc sinh nh yêu cầu học sinh giải số tập tích phân sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 số đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng trung học chuyên nghiệp năm trớc em đà thận trọng tìm trình bày lời giải đà giải đợc lợng lớn tập Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến đợc áp dụng năm học 2009-2010 Bài kiểm tra hai đối tợng lớp 12A(49 học sinh) không áp dụng sáng kiến vào 12B(47 học sinh) áp dụng sáng kiến nh sau: Xếp loại giỏi Tb Yếu ối tợng 12A 50% 40% 10% 0% 12B 0% 0% 40% 60% Sau thùc hiƯn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp tích cực hứng thú đặc biệt giải toán tích phân em tính tích phân thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc nh trớc, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh phần III : kÕt luËn – kiÕn nghÞ I kÕt luËn: Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa rÊt lín trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy đợc điểm yếu hiểu biết cha thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh t độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ đợc kiến thức, đạt đợc kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trờng đại học, cao đẳng , THCN II Kiến nghị: Hiện Trung Tâm GDTX Yên phong đà có số sách tham khảo nhiên cha có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toán Vì Trung Tâm cần quan tâm việc Nguyễn Khắc Hào 10 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh đợc tìm tòi sai lầm thờng mắc giải toán để em tránh đợc sai lầm làm tập tài liệu tham khảo Hớng dẫn ôn tập môn Toán lớp 12 ( Phạm Vĩnh Phúc- Chủ biên NXB Giáo dục Việt Nam - 2009) Phơng pháp giải toán Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB Trẻ ) Phơng pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB Giáo Dục) Sách giáo khoa Giải tích 12 (Trần Văn Hạo - Tổng Chủ biên NXB GD 2008) Phơng pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc NXB Hà Nội 2005) Sai lầm thờng gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phơng Nguyễn Đức TÊn – NXB Hµ Néi – 2004) mơc lơc trang phần I : mở đầu Nguyễn Khắc Hào 11 Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm I Đặt vấn đề II Phơng pháp nghiên cứu phần II : Nội dung I Cơ sở khoa häc II Néi dung thĨ III HiƯu sáng kiến phần III: Kết luận - kiến nghị Nguyễn Khắc Hào 12 Trung tâm GDTX Yªn Phong ... Sáng kiến kinh nghiệm 2/Kết thực nghiệm: Sáng kiến đợc áp dụng năm học 2009-2010 Bài kiểm tra hai đối tợng lớp 12A(49 học sinh) không áp dụng sáng kiến vào 12B(47 học sinh) áp dụng sáng kiến. .. GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm I Đặt vấn đề II Phơng pháp nghiên cứu phần II : Néi dung I C¬ së khoa häc II Néi dung thĨ III HiƯu qu¶ sáng kiến phần III: Kết luận - kiến nghị Nguyễn Khắc... vận dụng hoạt động lực t kỹ vận dụng kiến thøc cđa häc sinh ®Ĩ tõ ®ã ®a lêi giải toán +Thực nghiệm s phạm Nguyễn Khắc Hào Trung tâm GDTX Yên Phong Sáng kiến kinh nghiệm Phần II : nội dung I sở